Нахождение пределов функций
Контрольная работа по дисциплине «Математика»
для студентов заочного отделения
1. Найти пределы функций:
а) 
=;
=
=
=
=
=
=
=
= 0;
б) 
=
=
=
=
=
=
=.6290;
в) 
=
=
=
=
= 0;
г) 
=
=
=
=
=
ln
=
=
ln e*
= 1*56/3 = 18.667;
д) 
;
=
=
=
=
;
;
е) 
=
=
=
=
=
+
=
=
-
=
-
=
=
= 2.
2.
Найти производные
функций:
а) 
=
=
=
;
б) 
=
=
=
;
в) 
=
=
=
=
=
=
=
;
г) 
=
=
=
=
=
=
;
д) 
=
;
е) 
;
;
;
ж) 
;
;
;
;
;
;
;
;
з) 
.
=
=
=
=
;
3. С помощью методов дифференциального исчисления построить график функции
.
1
Знаменатель положительный не для всех
значений Х, область определения функции
имеет точку разрыва.
отсюда IхI=7 или точки разрыва х = -7 и х=7.
2. Функция нечетная, следовательно график симметричен относительно центра координат. У(-х) = -У(х). Периодической функция не является.
3. Поскольку область определения вся вещественная ось, вертикальных асимтот график не имеет.
4.
Найдем асимптоты при
в виде у = kх+b. Имеем:
k
=
b
=
Таким
образом при
асимптотой служит прямая ОХ оси координат.
Найдем левый и правый пределы в точках разрыва функции х=-7 и х=+7
=-1,19,
.
В точке (-7:-1,19) первый разрыв функции, К разрыву функции х=7 функции приближается бесконечно близко.
5. Найдем точки пересечения с осями координат:
|
Х |
0 |
|
У |
1,08 |
Точка (0:3,86) с осью ОУ.
6. Исследуем на возрастание и убывание:
=
.
0;
Это говорит о том что функция возрастающая.
Строим график:
4. Найти интегралы при m=3, n=4:
а)
=
=
:
б)
=
=
пусть t = arcsin4x,
получим
=
=
.
в)
=
=
;
=
=
.
Решаем равенство и получим:
;
аналогично второе слагаемое
3
-
получим
=
подставим все в последнее равенство
… =
+
+9
+-
+С.
г)
.=
=
=
=
=
=
=
….избавившись
от знаменателя получим
B+C+A=0; 25B=332; -625A=625; 25=25(B-C);
Т.е.: A=1; B= 13.28; C=-12.28;
…=
= =
= 2,527766.
5. Вычислить интегралы или установить их расходимость при m=3, n=4:
а)
=
…
пусть
t = arctg(x/4), тогда
и
подставим и получим
… =
;
б)
=
=
0,6880057.
6.
Построить схематический чертеж и найти
площадь фигуры, ограниченной линиями:
,
при m=3, n=4.
х
= -1,5, у = -18,25.
точки пересечения с осью ОХ: А(-4,19:0) и В(1,19:0) с осью ОУ – С(0:-16), точка перегиба – D(-1,5:-18,25)
|
X |
-4.19 |
1.19 |
0 |
|
Y |
0 |
0 |
-16 |
или
|
Х |
0 |
4 |
|
У |
-4 |
0 |
Точки пересечения двух функций:
=
и
т.е.:
и
.
Площадь получиться из выражения
=
=
49,679.
График выглядит:
7.
Найти частные производные
функций при m=3, n=4:
а)
=
,
,
,
б)
.
;
;
8.
Найти дифференциал
функции:
при m=3, n=4.
9.
Для функции
в точке
найти градиент и производную по
направлению
при m=3, n=4.
в
точке А(-4,3)
grad(z) = (-0,1429:0,1875);
=grad(z)*
(
)*cos
=…
cos
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции при m=3, n=4
в области, заданной неравенствами:
.
D=AC-B;
A=
B=
C=
D=AC-B=(
)(
)
-
;
найдем
;
Получим четыре точки: 1) (2,236:7,18), (1,236:0,82), (-2,236:7,18), (-2,236:0,82).
A=8+7,18*7,18-8*7,18=2,11 > 0;
=
-114,74 < 0 – нет экстремума функции,
=
45097,12 > 0 – min функции
=
12,279;
=
1767.38 > 0 - min функции
=
65,94;
=
-160,296 < 0 – нет экстремума функции.
11. Изменить порядок интегрирования при m=3, n=4:
.
=
,
так как
подставляя x = 0 x = 4 в последние уравнения получим
.
12.
Сделать чертеж и найти объем тела,
ограниченного поверхностями
,
и плоскостью, проходящей через точки
,
и
.
А)
см.
рис.
- получим уравнение плоскости, через которую проходят точки А, В и С.
7(х-4)+7*16*(z-0)-(y-16)*4+4(z-0)+49(y-16)+16(x-4)=
23x-812+116z-45y=0
Получим пределы интегрирования:
Для z – от 0 до z=7-0,198x+0,388y. Для у – от 0 до у=х^2. Для х – от 0 до х=76,81(объем фигуры разбиваем пополам).
=
=
=
=
=
=232,109 куб.ед.,
13.
Вычислить при m=3, n=4
,
где
,
,
а контур
образован
линиями
,
,
.
а) непосредственно;
б) по формулам Грина.
,
P(x,y) = 4y+2x, Q(x,y) = 3x+2y, и контур С образован линиями 16y = 9x^3, y = 9, x = 0.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=32,4060912,
где пределы интегрирования были получены:
и у
= 9, то
откуда х =
2,52.
14.
Даны поле
и пирамида с вершинами
,
,
,.
Найти при m=3, n=4:
O(0:0:0), A(3:0:0), B(0:4:0), C(0:0:7).
а)
поток поля
через грань
пирамиды
в направлении нормали, составляющей
острый угол с осью
;
=
=
=
=
=
=
=
=
=…
после подстановки и преобразования однородных членов получим:
… = 8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2, т.е.
поток поля
=
8423,43 - 3336,03*у - 293,9*z^2 +118,98*у^2 – 24y^3 + 42y*z^2.
б)
поток поля
через внешнюю поверхность пирамиды с
помощью теоремы Остроградского –
Гаусса;
в)
циркуляцию поля
вдоль замкнутого контура
;
с помощью теоремы Стока (обход контура происходит в положительном направлении относительно внешней нормали к поверхности пирамиды).
rot(F)
=
,
в
нашем случае
15. Найти первообразные и вычислить значение определенного интеграла:
=
.