Положительные и ограниченные полукольца
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное
учреждение высшего профессионального
образования
Вятский
государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
Положительные и ограниченные полукольца
Выполнил:
студент V курса математического факультета
Ворожцов Вячеслав Андреевич _____
Научный руководитель:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В. Чермных ________
Рецензент:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов _______
Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии
«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е.М. Вечтомов
«___»___________2005 г. Декан факультета В.И. Варанкина
Киров
2005
Содержание
Введение 3
Глава 1. Основные понятия теории полуколец 4
1.1. Определение полукольца. Примеры. 4
1.2. Дистрибутивные решетки 5
1.3. Идеалы полуколец 6
Глава 2 Положительные и ограниченные полукольца. 7
2.1. Определение и примеры положительных и ограниченных полуколец 7
2.2. Основные свойства положительных и ограниченных полуколец 7
Библиографический список 16
Введение
Теория полуколец – это раздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивные решетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Как самостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивно теория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не только теоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.
Целью данной работы является изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрение основных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказывается автором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.
Работа состоит из 2 глав. В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается эта работа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения и свойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказаны некоторые теоремы.
Глава I. «Основные понятия теории полуколец».
1.1. Определение полукольца. Примеры.
Определение полукольца: Непустое множество S с бинарными операциями + и · называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
(S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
Ассоциативность:
;
Коммутативность:
;
Существование нейтрального
элемента:
.
(S,·) – полугруппа:
Ассоциативность:
;
Умножение дистрибутивно относительно сложения:
левая дистрибутивность:
а(в+с)=ав+ас;
правая дистрибутивность:
(а+в)с=ас+вс.
Мультипликативное свойство 0:
.
Эта аксиоматика появилась в 1934 году и ее автором является Вандовер.
Полукольцо S
называется коммутативным,
если операция
в нем коммутативна:
.
Полукольцо S
называется полукольцом с
единицей, если в нем
существует нейтральный элемент по
умножению, который называется единицей
(1):
Примеры полуколец:
<N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычными операциями + и ·;
<{0},+,·> - тривиальное полукольцо;
Двухэлементные полукольца:<Z>2> ,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);
Множество матриц
с
элементами из полукольца N
и операциями + и
;
Множества N,
Z,
Q+,
Q,
R+,
R
и введенных на них различных комбинаций
операций: обычные сложение и умножение,
максимум
и минимум
двух чисел, НОД и НОК, когда они определены.
Полукольцо с импликацией
называется мультипликативно
(аддитивно) сократимым.
Полукольцо, в котором выполняется
равенство
,
называется мультипликативно
(аддитивно) идемпотентным.
1.2. Дистрибутивные решетки.
Пусть L
– произвольное множество. Введем на
L
отношение
положив,
.
Отношением порядка называется рефлексивное, транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество L назовем частично упорядоченным множеством.
Отношение
на множестве L
является отношением порядка.
Пусть M
– непустое подмножество частично
упорядоченного множества L
. Нижней гранью
множества M
называется такой элемент
,
что
для любого
.
Нижняя грань m
множества M
называется точной нижней гранью, если
,
где n
– произвольная нижняя
грань множества M.
Двойственным образом определяется
точная верхняя грань.
Частично упорядоченное множество
L
называется решеткой,
если любые два элемента имеют точную
верхнюю
и точную нижнюю
грани; решетка называется дистрибутивной,
если в ней выполняются дистрибутивные
законы:
Кроме этого определения существует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система L с двумя бинарными операциями сложения + и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентными коммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения
,
;
Решетка называется дистрибутивной,
если для любых
,
ограниченной,
если она имеет 0 и 1.
1.3. Идеалы полуколец.
Непустое подмножество I
полукольца S
называется левым (правым)
идеалом полукольца S,
если для любых элементов a,
b
I,
sS
элементы a+b
и sa
(as)
принадлежат I.
Непустое подмножество, являющееся
одновременно левым и правым идеалом,
называется двусторонним
идеалом или просто идеалом
полукольца. Идеал, отличный от полукольца
S
называется собственным.
Наименьший из всех (левых) идеалов,
содержащий элемент a
S,
называется главным
(главным левым) идеалом,
порожденным элементом a.
Обозначается (a)
или SaS,
односторонние Sa
и aS
– левый и правый соответственно.
Множество всех элементов принадлежащих
главному идеалу можно записать так
.
Собственный идеал M
полукольца S
называется максимальным
(максимальным правым) идеалом,
если
влечет M=A
или A=S
для каждого идеала A
.
Примерами идеалов могут служить следующие подмножества:
1. {0} – нулевой идеал;
2. S – идеал, совпадающий со всем полукольцом;
3. Идеал на полукольце
:
;
4. Главный идеал ограниченной
дистрибутивной решетки L,
порожденный элементом a:
.
Глава II «Положительные и ограниченные полукольца».
2.1. Определение, примеры и основные свойства.
Полукольцо S
с 1
называется положительным,
если для любого элемента а
S
элемент а+1
обратим в S,
т.е.
.
Примерами положительных полуколец служат следующие алгебраические системы:
ограниченные дистрибутивные решетки;
полукольца непрерывных R+ - значных функций;
множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
Полукольцо S
называется ограниченым,
если для любого
выполняется
.
Ограниченное полукольцо – частный
случай положительного полукольца.
Примеры ограниченных полуколец:
ограниченные дистрибутивные решетки;
множество всех идеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.
2.1.Основные свойства положительных и ограниченных полуколец:
I. Для полукольца S следующие условия равносильны:
1. S – положительное полукольцо;
2. для любого максимального
одностороннего идеала M
в S
и любых a и b
S
(a+b
M)
(a
M
& b
M).
Доказательство:
1
2.
Пусть
для произвольных
и максимального правого идеала M.
Предположим, что
,
тогда
и
для
некоторых
и
.
Имеем:
.
В левой части последнего равенства – элемент из M, тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.
21.
Пусть выполнено 2 и с
– произвольный элемент из S.
Элемент 1+с не
лежит ни в одном максимальном одностороннем
идеале полукольца S
(т.к. в противном случае в силу условия
2 в идеале должен лежать элемент 1,
противоречие), значит, 1+с
обратим.
II. В положительном полукольце S справедливы импликации:
Доказательство.
Пусть
.
Поскольку S
положительно, то для x+1
найдется некоторый
,
такой что
.
Тогда
,т.к.
.
Получили y=1
и значит
.
Таким образом мы доказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оно ограниченно,
Теперь, пусть
,
тогда
,т.е.
такое полукольцо еще и аддитивно
идемпотентно.
Поскольку
выполняется для
,
то для x=1,
также выполняется. Обратно, 1+1=1,
помножим обе части на x
и получим необходимое равенство.
III
. Полукольцо S
положительно тогда и только тогда, когда
для любого элемента
и любого обратимого элемента
элемент
обратим.
Доказательство.
Полукольцо положительно,
следовательно, элемент
- обратим. Умножим обратимый элемент на
обратимый, получим обратимый.
В левой части обратимый элемент, значит и в правой элемент тоже обратим.
и
– обратимы, тогда их произведение также
обратимо
,
значит
обратим.
IV . Для коммутативного положительного полукольца S равносильны следующие условия:
S – дистрибутивная решетка.
Доказательство.
.
Очевидно.
.
По свойству 2 следует
,
тогда:
и
.
Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.
V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.
Доказательство.
Пусть есть некоторый обратимый элемент u,
и
VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:
a+1=1;
Доказательство.
.
Докажем методом математической индукции
по числу n.
База. к=1.
(выполняется
по условию).
II. Индуктивное
предположение. Пусть для к<n
условие выполняется, т.е.
Рассмотрим для k=n
и a+1=1
Из I
и II
Следует
.
.
.
Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.
Примером того , что условие 3 не
влечет условие 1 является полукольцо
матриц
.
Зафиксируем элемент
,
где
.
Для n=2
верно, но
совсем неверно.
VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.
Доказательство.
Осталось доказать
.
Имеем
.
Добавим к правой и левой части выражения
равные элементы
:
В силу аддитивной идемпотентности
мы можем подбирать коэффициенты перед
.
В соответствии с биномом Ньютона,
подберем коэффициенты и получим:
Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.
VIII.
Пусть S
– ограниченное полукольцо, и существует
такое
, что
для всех
.
Тогда:
1.
для всех
;
2. 
- коммутативное ограниченное полукольцо
с 1, где I
– множество всех мультипликативных
идемпотентов из S,
а операция
определяется
так:
.
Доказательство.
1. Возьмем
.
Тогда
,
т.к.
.
Для доказательства понадобится
Лемма: В ограниченном полукольце
.
Доказательство:
ММИ по числу n
в
.
I. База. n=1. Из условия ограниченности
II. И.П. n=i-1.
Из условия II и ограниченности:
.
По ИП:
Из условий I,II
получили, что данное равенство верно
для
,
лемма доказана.
Рассмотрим
:
Поскольку степень равна 2n-1,
то в каждом из составляющих сумму
слагаемых, либо
(1 группа), либо
(2 группа), и только так.
Среди слагаемых 1 группы имеется
член
.
Этот член в сумме с каждым слагаемым 1
группы будет давать самого себя, при
условии
и лемме 1. из группы 1 останется только
элемент
Аналогично с элементами группы
2, в которой имеется элемент
,
который и останется. Получаем
.Прежде всего проверим замкнутость
операций
и + на множестве I.
(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.
(2) Докажем, что
- коммутативная полугруппа с нейтральным
элементом 1:
a). Ассоциативность:
Рассмотрим элемент
Элемент X
состоит из таких слагаемых,
которые получены при умножении, кроме
тех которые получены при произведении
со всеми 1, или
со всеми с.
Элемент
имеется в качестве сомножителя в каждом
слагаемом X,
т.е.
С другой стороны
Таким образом, правые части
рассматриваемых тождеств равны, значит
ассоциативность доказана.
b). 1 – нейтральный элемент:
с). Коммутативность:
,
1.
2.
Из 1 и 2 следует
,
по причине равенств правых частей
каждого, а значит следует равенство
.
Коммутативность доказана.
- коммутативная полугруппа с нейтральным
элементом 1.
(3) Дистрибутивность:
(4)
Все аксиомы полукольца доказаны,
а значит
- коммутативное полукольцо и его элементы
– элементы ограниченного полукольца,
значит полукольцо – ограничено.
IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство
,
то S – аддитивно идемпотентно.
Доказательство.
Рассмотрим t>1
Рассмотрим t=1,
…
т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.
X. В
положительном полукольце S
справедливо следующее тождество:
Доказательство.
Домножим на обратный к
:
Получим:
Что и требовалось доказать.
Библиографический список
Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.
Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.