Метризуемость топологических пространств
Министерство образования и науки Российской Федерации
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра математического анализа и МПМ
Дипломная работа
Метризуемость топологических пространств
Выполнила
студентка 5 курса
математического факультета
Побединская Татьяна Викторовна
_______________________________
(подпись)
Научный руководитель
к.ф.-м.н., доцент кафедры математического анализа и МПМ Варанкина Вера Ивановна
_______________________________
(подпись)
Рецензент
_______________________________
(подпись)
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой______________________________к.п.н., доцент Крутихина М.В.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
Декан факультета_________________________к.ф.-м.н., доцент Варанкина В.И.
(подпись)
«_____» _______________2004 г.
КИРОВ
2004
Содержание
Введение 3
Глава I. Основные понятия и теоремы 4
Глава II. Свойства метризуемых пространств 10
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств 21
Библиографический список 24
Введение
Тема дипломной работы – «Метризуемость топологических пространств».
В первой главе работы вводятся основные определения, связанные с понятиями метрического и топологического пространств.
Во второй главе рассматриваются и доказываются следующие свойства метризуемых пространств:
1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
2. Метризуемое пространство нормально.
3. В
метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
5. Для
метризуемого пространства
следующие условия эквивалентны:
1)
сепарабельно,
2)
имеет счетную базу,
3)
финально компактно.
6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
В третьей главе рассматриваются примеры метризуемых и неметризуемых пространств.
Глава I. Основные понятия и теоремы
Определение.
Метрическим пространством называется
пара
,
состоящая из некоторого множества
(пространства)
элементов (точек) и расстояния, то есть
однозначной неотрицательной действительной
функции
,
определенной для любых
и
из
и
удовлетворяющей трем условиям:
(аксиома тождества);
(аксиома симметрии);
(аксиома треугольника).
Определение.
Пусть
–
некоторое множество. Топологией в
называется любая система
его подмножеств
,
удовлетворяющая двум требованиям:
Само
множество
и пустое множество принадлежат
.
Объединение
любого (конечного или бесконечного) и
пересечение
любого конечного числа множеств из
принадлежат
.
Множество
с
заданной в нем топологией
,
то есть пара
,
называется топологическим
пространством.
Множества,
принадлежащие системе
,
называются открытыми.
Множества
,
дополнительные к открытым, называются
замкнутыми множествами топологического
пространства
.
Определение.
Совокупность
открытых множеств топологического
пространства называется базой
топологического пространства
,
если всякое открытое множество в
может быть представлено как объединение
некоторого числа множеств из
.
Теорема
1. Всякая база
в топологическом пространстве
обладает
следующими двумя свойствами:
любая
точка
содержится
хотя бы в одном
;
если
содержится в пересечении двух множеств
и> >
из
,
то существует такое
,
что
.
Определение.
Открытым шаром или окрестностью точки
радиуса
в метрическом пространстве
называется совокупность точек
,
удовлетворяющих условию
.
При этом
– центр шара,
– радиус шара.
Утверждение
1. Для любого
,
принадлежащего
-окрестности
точки
,
существует окрестность радиуса
,
включенная в
-окрестность
точки
.
Доказательство.
Выберем в качестве
:
.
Достаточно
доказать для произвольного
импликацию
.
Действительно, если
,
то
Получаем,
что
,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Совокупность всех открытых шаров образуют базу некоторой топологии.
Доказательство. Проверим свойства базы (теорема 1).
Свойство
первое очевидно, так как для любого
выполняется
для любого
.
Проверим второе свойство.
Пусть
,
и
,
тогда, воспользовавшись утверждением
1, найдем такое
,
что
Теорема доказана.
Определение.
Топологическое пространство
метризуемо, если существует такая
метрика
на множестве
,
что порожденная этой метрикой топология
совпадает с исходной топологией
пространства
.
Аксиомы отделимости
Аксиома
.
Для любых двух различных точек
топологического пространства окрестность
хотя бы одной из них не содержит другую.
Аксиома
.
Каждая из двух произвольных точек
пространства имеет окрестность, не
содержащую вторую точку.
Предложение.
является
-
пространством тогда и только тогда,
когда для любого
множество
замкнуто.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть
.
Так как
является
-пространством,
то существует окрестность
,
не содержащая
.
Рассмотрим
Докажем,
что
.
Применим метод двойного включения:
Очевидно,
что
по построению множества
.
.
Пусть
отсюда для любого
отличного от
существует окрестность
,
значит
,
тогда
.
Множество
-
открыто, как объединение открытых
множеств.
Тогда
множество
-
замкнуто, как дополнение открытого
множества.
Достаточность.
Рассмотрим
.
По условию
замкнутые
множества. Так как
,
то
.
Множество
-открыто
как дополнение замкнутого и не содержит
.
Аналогично доказывается существование
окрестности точки
,
не содержащей точку
Что и требовалось доказать.
Аксиома
( аксиома Хаусдорфа). Любые две точки
пространства имеют непересекающиеся
окрестности.
Аксиома
.
Любая точка и не содержащее ее замкнутое
множество имеют непересекающиеся
окрестности.
Определение.
Пространства, удовлетворяющие аксиомам
(
)
называются
-пространствами
(-пространства
называют также хаусдорфовыми
пространствами).
Определение.
Пространство называется нормальным
или
-пространством,
если оно удовлетворяет аксиоме
,
и всякие его два непустые непересекающиеся
замкнутые множества имеют непересекающиеся
окрестности.
Определение.
Система окрестностей называется
определяющей системой окрестностей
точки
,
если для любой окрестности
точки
найдется окрестность из этой системы,
содержащаяся в
.
Определение.
Если точка
топологического пространства имеет
счетную определяющую систему окрестностей,
то говорят, что в этой точке выполняется
первая аксиома счетности. Если это
верно для каждой точки пространства,
то пространство называется пространством
с первой аксиомой счетности.
Определение.
Две метрики
и
на множестве
называются эквивалентными, если
они порождают на нем одну и ту же
топологию.
Пример.
На плоскости
для точек
и
определим расстояние тремя различными
способами:
1.
,
2.
,
3.
.
Введенные расстояния являются метриками. Проверим выполнимость аксиом метрики для введенных расстояний.
1. 1)
2)
так как
и
,
то вторая аксиома очевидна:
3)
рассмотрим точки
,,
и докажем следующее неравенство:
Возведем это неравенство в квадрат:
.
Так как
и
(поскольку
)
и выражение
есть величина неотрицательная, то
неравенство
является верным.
2. 1)
2) так
как
и
,
то вторая аксиома очевидна:
.
3)
рассмотрим точки
,,
и докажем следующее неравенство:
.
Тогда
и
.
3. 1)
2) так
как
и
,
то вторая аксиома очевидна:
.
3)
рассмотрим точки
,,.
Неравенство:
- очевидно.
Введенные
метрики
и
эквивалентны, то есть задают одну и ту
же топологию.
Пусть
метрика
порождает топологию
,
-
топологию
и
-
топологию
.
Достаточно показать два равенства.
Покажем,
что
.
Рассмотрим
множество,
открытое в
и покажем, что
открыто в
.
Возьмем некоторую точку и изобразим
шар с центром в этой точке, который
целиком лежит в
.
Шар в
-
квадрат, шар в
-
круг. А квадрат всегда можно заключить
в круг. Тогда
открыто и в
.
Аналогично
доказывается, что
.
А тогда и
.
Глава II. Свойства метризуемых пространств
Свойство 1. Метризуемое пространство хаусдорфово.
Доказательство.
Пусть
.
Возьмем
.
Докажем, что
.
Предположим,
что
,
тогда существует
,
т.е.
и
.
Тогда,
.
Получили противоречие. Следовательно,
.
Следствие.
Метризуемое пространство является
- пространством.
Определение.
Расстоянием от точки
до множества
в метрическом пространстве называется
.
Утверждение
2. Пусть множество
фиксировано; тогда функция
,
сопоставляющая каждой точке
расстояние
,
непрерывна на пространстве
.
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности:
функция
называется непрерывной в точке
,
если
.
Из
неравенства
,
где
,
получаем
.
Аналогично
.
Из полученных неравенств следует
.
Для
произвольного
возьмем
.
Тогда из неравенства
следует
.
Непрерывность
доказана.
Лемма.
–
замкнутое множество в метрическом
пространстве
.
Для любого
расстояние от
до множества
положительно.
Доказательство.
Множество
замкнуто, отсюда следует, что множество
-
открыто. Так как точка
принадлежит открытому множеству
,
то существует такое,
что
.
Так как
,
то
для некоторого
.
Поэтому
для любого
.
Следовательно,
,
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Метризуемое пространство нормально.
Доказательство. По доказанному метризуемое пространство является
-пространством.
Остается доказать, что любые непустые
непересекающиеся замкнутые множества
и
имеют непересекающиеся окрестности.
Так как
и множество
замкнуто по условию, то для любого
по лемме
.
Обозначим
и
для произвольных
и
.
Множества
и
открыты как объединения открытых шаров
в
и содержат соответственно множества
и
.
Следовательно,
- окрестность множества
,
- окрестность множества
.
Докажем,
что
.
Предположим,
что
,
то есть
.
Тогда из условия
следует, что
для некоторого
.
Отсюда
.
Аналогично
получаем
для некоторого
.
Для определенности пусть
.
Тогда
.
Получаем
,
для некоторой точки
,
что невозможно в силу определения
расстояния от точки до множества.
Следовательно
.
Таким образом,
является
-пространством,
а, значит, нормальным пространством.
Теорема доказана.
Свойство
3. В метризуемом пространстве
выполняется первая аксиома счетности.
Доказательство.
Пусть
-
произвольное открытое множество,
содержащее точку
.
Так как открытые шары образуют базу
топологии метрического пространства,
то
содержится в
вместе с некоторым открытым шаром, то
есть
для некоторых
и
.
По утверждению 1 найдется такое
,
что
.
Возьмем
,
для которого
.
Тогда
.
Таким образом открытые шары
,
образуют определяющую систему окрестностей
точки
.
Очевидно, что множество этих окрестностей
счетно. Что и требовалось доказать.
Определение.
Множеством типа
или просто
- множеством пространства
называется всякое множество
,
являющееся объединением счетного числа
замкнутых (в
)
множеств.
Определение.
Множеством типа
или просто
- множеством пространства
называется всякое множество
,
являющееся пересечением счетного числа
открытых (в
)
множеств.
Очевидно,
что множества типа
и
являются взаимно дополнительными друг
для друга.
Определение.
Нормальное пространство, в котором
всякое замкнутое множество является
множеством типа
,
называется совершенно нормальным.
Утверждение
3. Нормальное пространство является
совершенно нормальным тогда и только
тогда, когда всякое открытое множество,
принадлежащее этому пространству,
является множеством типа
.
Свойство 4. Метризуемое пространство совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть
- непустое замкнутое множество в
.
Тогда
для непрерывной функции
(непрерывность ее установлена в
утверждении 2). Обозначим
,
множества
открыты в
как прообразы открытых множеств при
непрерывном отображении. Докажем, что
.
Пусть
,
тогда
.
Так как
для любого
,
то
для любого
.
Отсюда
.
Обратно.
Пусть
,
тогда
для любого
.
Отсюда
для любого
,
поэтому
для любого
,
тогда
,
значит
.
Таким образом множество
является множеством типа
.
Определение.
Множество
всюду плотно в
,
если любое непустое открытое в
множество содержит точки из
.
Определение.
Топологическое пространство
называется сепарабельным, если оно
имеет счетное всюду плотное подмножество.
Определение.
Семейство γ открытых в
множеств образуют покрытие пространства
,
если
содержится в объединении множеств этого
семейства.
Определение.
Топологическое пространство
называется финально компактным,
если из любого его открытого покрытия
можно выделить счетное подпокрытие.
Свойство
5. Для метризуемого пространства
следующие условия эквивалентны:
1)
сепарабельно,
2)
имеет счетную базу,
3)
финально компактно.
Доказательство.
Пусть
-
счетное всюду плотное множество в
,
-
метрика в
.
Множество окрестностей
счетно. Докажем, что
- база топологии в
.
Пусть
-
произвольное открытое в
множество,
.
Тогда
для некоторого
.
Рассмотрим рациональное число
,
для которого
и точку
,
для которой
.
Докажем,
что
.
Пусть
.
Так как
,
то
.
Тогда
.
Таким образом, для произвольного
и открытого множества
нашелся элемент из
,
такой, что
.
Следовательно
-
база топологии.
Пусть
- счетная база в
.
Рассмотрим произвольное открытое
покрытие множества
,
-
открыты для любого
(-
индексное множество). Для любого
существует
,
для которого
.
Так как
-
база, то найдется такое
,
что
.
Тогда
.
Поскольку база
счетна, то
покрывается счетным числом соответствующих
множеств
.
Таким образом,
-
финально компактно.
Для каждой точки
рассмотрим окрестности
,
которые образуют покрытие пространства
.
В силу финальной компактности
из этого покрытия можно выделить счетное
подпокрытие
.
В каждом из этих множеств выберем точку
.
Множество точек
счетно, докажем, что оно плотно в
.
Пусть
-
произвольное открытое множество в
,
,
тогда
для некоторого
.
Существует элемент подпокрытия
.
Тогда
,
то есть любое непустое открытое множество
в
содержит точку этого множества. Что и
требовалось доказать.
Определение.
Диаметром непустого множества
в метрическом пространстве
называется точная верхняя грань множества
всех расстояний между точками множества
и обозначается
.
.
Если
,
то множество
называют неограниченным.
Определение.
Метрика
метрического пространства
называется ограниченной, если
.
Свойство 6. Любое метризуемое топологическое пространство может быть метризовано ограниченной метрикой.
Доказательство.
Пусть метрика
порождает топологию топологического
пространства
.
Положим
для любых
.
Докажем следующее:
-метрика
на
;
метрики
и
эквивалентны;
.
1. Проверим выполнимость аксиом.
1)
;
2)
;
:
Докажем, что
.
Известно,
что
.
Если
и
,
то
и
,
тогда
.
Так как
,
то
.
Если
или
,
то
,
а
,
тогда
.
2. Пусть
-
топология, порожденная метрикой
,
а
-
топология, порожденная метрикой
.
Докажем, что
.
Пусть
-
открытое множество в
,
докажем, что множество
открыто в
.
Для любого
существует
такое, что
.
Можно считать, что
.
Тогда
является окрестностью в
того же радиуса
.
Следовательно,
открыто в топологии
.
В обратную сторону доказательство проводится аналогично.
Из всего
выше сказанного следует, что метрики
и
эквивалентны.
3. Из
формулы
следует, что
для любых
.
Отсюда
.
Определение.
- топологические пространства,
.
Тихоновским произведением топологических
пространств
называется топологическое пространство
,
в котором базу топологии образуют
множества
,
где
открыто в
для любого
и
для всех индексов кроме конечного их
числа.
Свойство 7. Произведение счетного числа метризуемых пространств метризуемо.
Доказательство. Пусть
- метризуемые топологические пространства.
По лемме на каждом множестве
существует ограниченная метрика
соответственно.
Рассмотрим
.
Покажем:
1.
является метрикой на
и
.
2.
топология, порожденная метрикой
,
совпадает с топологией произведения
пространств
.
1. Проверим выполнимость аксиом метрики.
1)
(так
как
- метрика по условию).
2)
,
.
Так как
(-метрика
по условию), то
,
тогда
.
3)
Докажем, что
.
,
,
.
Но так как выполняется неравенство
,
то будет выполняться неравенство:
,
тогда
.
Теперь
докажем, что
.
,
где
геометрическая прогрессия, а
,
тогда
.
2. 1)
Покажем, что каждое множество
,
открытое в топологии, индуцированной
метрикой
,
открыто и в топологии произведения.
Рассмотрим
произвольную точку
.
Существует такое
,
что
.
Далее достаточно найти положительное
число
и открытые множества
,
такие, что
.
Пусть
-
положительное целое число, удовлетворяющее
условию:
.
Для
положим
и
для
.
Для
каждой точки
.
Рассмотрим полученные суммы. Так как
,
где
,
то
.
Так как
для любых
,
то
.
Тогда
,
т.е.
.
Таким образом
.
Следовательно, множество
открыто в тихоновской топологии
произведения.
2) Пусть
множество
открыто в топологии произведения.
Докажем, что оно открыто в топологии,
порожденной метрикой
.
Требуется
доказать, что для любой точки
найдется такое
,
что
.
Так как
множество
открыто в топологии произведении, то
для некоторого множества
,
где
- открыто в
и
для любого
и
для всех индексов
кроме конечного их числа. Поскольку
и
открыто в
,
то
для конечного числа индексов, для которых
.
Пусть
- наименьший из этих значений
.
Докажем, что
.
Возьмем произвольное
.
Тогда
.
Отсюда
для любого
.
Это означает, что
для любого
.
Получили
.
Следовательно, множество
открыто в топологии, индуцируемой
метрикой
.
Теорема доказана.
Глава III. Примеры метризуемых и неметризуемых пространств
1. Дискретное топологическое пространство.
- произвольное непустое множество.
Открытым назовем любое подмножество в
.
Очевидно, при этом выполнены все аксиомы
топологического пространства. Рассмотрим
Для любого
множество
открыто, так как
.
Следовательно, открыто и любое подмножество
в
как объединение одноэлементных множеств.
Вывод: дискретное топологическое
пространство – метризуемо.
2. Двоеточия.
.
Рассмотрим топологии на
.
1)
- простое двоеточие.
2)
- связное двоеточие.
3)
- слипшееся двоеточие.
- метризуемо, так как топология
- дискретная.
,
- неметризуемы, так как не являются
хаусдорфовыми.
3. Стрелка
(
).
В
открытыми назовем
и множества вида
,
где
.
Очевидно, при этом выполнены все аксиомы
топологического пространства.
Топологическое пространство
не является хаусдорфовым, а значит
неметризуемо.
4.
Окружности Александрова (пространство
).
Открытые множества в
:
первого рода: интервал на малой
окружности
плюс его проекция на большую окружность
,
из которой выброшено конечное число
точек.
в
торого
рода: каждая точка на большой окружности
открыта.
1.
Множество
замкнуто в
тогда и только тогда, когда
- конечно.
Доказательство.
Очевидно, что любое конечное множество
замкнуто как дополнение открытого.
Пусть
и
- бесконечно. Докажем, что
- незамкнуто.
Так как
- бесконечно, то оно содержит счетное
подмножество, которое можно рассмотреть
как последовательность точек, принадлежащих
.
Эта последовательность ограничена в
,
по теореме Больцано-Вейерштрасса из
нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность. Так как
замкнуто в
,
то предел этой последовательности
.
Пусть
- точка, для которой
является проекцией на
.
Возьмем произвольное открытое в
множество
,
содержащее точку
.
Тогда исходя из структуры открытых
множеств первого рода получаем, что
содержит бесконечно много точек множества
,
т.е.
является предельной точкой множества
.
При этом
.
Следовательно,
- незамкнуто.
2.
Множество
не совершенно нормально.
Доказательство.
Пусть дуга
.
Множество
открыто, как объединение открытых
одноэлементных множеств. Замкнутыми в
являются по доказанному лишь конечные
множества. Но счетное объединение
конечных множеств счетно. Следовательно
открыто и не является множеством типа
.
Таким образом множество
неметризуемо.
Библиографический список
1. Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. – М.: Наука, 1973.
2. Энгелькинг Р. Общая топология – М.: Мир, 1986.
3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М. Наука, 1989.