Функции и их производные

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ВАРИАНТ 4.3

№ 1.

а) Найти производные от данных функций:

б)

Применяем правило нахождения производной произведения функций

в)

№ 2

Дана функция

Найти:

а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)

По определению:

б) в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}

По определению:

Величины найдены в п.а)

Найдем cosб, cosв, cosг.

По формуле получаем:

№ 3.

Дана функция .

Найти y”. Вычислить y”(-1).

№ 4.

Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: , что и требовалось доказать.

№5

Найти если

Вычислить если .

Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически

№ 6.

Функции задана неявно уравнением

Вычислить:

а)

Вычисления проводим по формуле

б)

№ 7.

На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.

Из геометрического смысла производной имеем

№ 8.

Найти dy, если у=х⁶. Вычислить значение dy, если

Для имеем

№ 9.

Дана функция и точки и

Вычислить Дz и dz при переходе из точки М_>0> в точку М_>1> . Приращение функции Дz равно

Дифференциал функции dz равен

№ 10.

Дана функция . Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем

Приравниваем числитель к нулю при условии

Решение отбрасываем.

совпадает с граничным значением.

Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.

Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно , наименьшее равно 3.

№ 11

Дана функция .

Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми .

Найдем стационарные точки из системы уравнений

Решаем систему уравнений

Сделаем чертеж

На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной

Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем , отсюда . Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.