Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя
Реферат
на тему:
"Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя"
1. Теорема Ролля
Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.
Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).
Теорема 1.1. Если
функция
непрерывна на отрезке
,
дифференцируема во всех его внутренних
точках, а на концах отрезка
,
обращается в ноль, то существует, по
крайней мере, одна точка
,
в которой
.
Доказательство. Так
как функция непрерывна на отрезке
,
то, согласно свойству 11.1.1, она должна
достигать хотя бы один раз на этом
отрезке своего минимума
и максимума
(рис. 1.1).
Если
,
функция постоянна, то есть
.
Но в этом случае
для любого
.
В общем случае
,
и хотя бы одно из этих чисел не равно
нулю. Предположим для определенности,
что
.
Тогда существует точка
,
в которой
.
Рис. 1.1
Так как рассматриваемое
значение
является максимальным, то для него
справедливо, что
для
и
.
Рассмотрим пределы
для
и
для
.
Так как оба предела
равны производной функции
в одной и той же точке
,
то они равны между собой. Значит, из
одновременности
и
следует, что
,
что и требовалось доказать.
Следует отметить,
что данная теорема справедлива и в том
случае, когда на концах отрезка
функция не обращается в ноль, но принимает
равные значения
.
Доказательство проводится аналогично.
Геометрический смысл
данной теоремы следующий: если непрерывная
кривая пересекает ось
в двух точках
,
или принимает в них равные значения,
то, по крайней мере, в одной точке между
и
касательная к кривой параллельна оси
.
Необходимо отметить,
что если не во всех точках
у рассматриваемой функции существует
производная, то теорема может не
выполняться. Это касается, например,
функции
(рис. 1.2):
Рис. 1.2
Данная функция
непрерывна на отрезке
и обращается в ноль на его концах, но ни
в одной точке внутри отрезка производная
не равна нулю.
2. Теорема Лагранжа
Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736–1813).
Теорема. Если
функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех его внутренних
точках, то существует, по крайней мере,
одна точка
,
в которой
.
Доказательство.
Рассмотрим график функции
(рис. 2.1).
Проведем хорду,
соединяющую точки
и
,
и запишем ее уравнение. Воспользовавшись
уравнением прямой, проходящей через
две точки на плоскости, получим:
,
откуда:
Рис. 2.1
и
.
Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:
.
Полученная функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех его внутренних
точках. Кроме того, вычисление
в точках
и
показывает, что
.
Значит, функция
на отрезке
удовлетворяет требованиям теоремы
Ролля. Но в этом случае существует такая
точка
,
в которой
.
Вычислим производную
функции
:
.
Согласно теореме
Ролля в точке
производная
,
то есть
и
,
что и требовалось доказать.
Геометрический смысл
теоремы Лагранжа следующий: внутри
отрезка
существует, по крайней мере, одна точка,
в которой касательная параллельна
хорде, стягивающей кривую на данном
отрезке. В частности, при
теорема переходит в теорему Ролля.
Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:
,
то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.
3. Теорема Коши
Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.
Теорема. Если
функции
и
непрерывны на отрезке
и дифференцируемы во всех его внутренних
точках, причем
не обращается в ноль ни в одной из
указанных точек, то существует, по
крайней мере, одна точка
,
в которой
.
Доказательство. Так
как
во всех точках
,
то отсюда следует, что
.
В противном случае, как следует из
теоремы Ролля, существовала хотя бы
одна точка
,
в которой
.
Составим вспомогательную функцию
.
Данная функция
непрерывна на отрезке
и дифференцируема во всех его внутренних
точках. Кроме того, вычисление ее в
точках
и
дает:
.
Значит, функция
удовлетворяет требованиям теоремы
Ролля, то есть существует хотя бы одна
точка
,
в которой
.
Вычислим производную
:
.
Из условия
следует, что
и
,
что и требовалось доказать.
В случае, когда
,
теорема Коши переходит в формулировку
теоремы Лагранжа.
4. Правило Лопиталя
На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661–1704).
Теорема. Пусть
функции
и
непрерывны и дифференцируемы во всех
точках полуинтервала
и при
совместно стремятся к нулю или
бесконечности. Тогда, если отношение
их производных имеет предел при
,
то этот же предел имеет отношение и
самих функций, то есть
.
Проведем доказательство
данной теоремы только для случая, когда
.
Так как пределы у обеих функций одинаковы,
то доопределим их на отрезке
,
положив, что при
выполняется равенство
.
Возьмем точку
.
Так как функции
и
удовлетворяют теореме Коши (п. 2.14),
применим ее на отрезке
:
,
где
.
Так как
,
то
.
Перейдем в данном равенстве к пределу:
.
Но если
,
то и
,
находящееся между точками
и
,
будет стремится к
,
значит
.
Отсюда, если
,
то и
,
то есть
,
что и требовалось доказать.
Если при
,
то снова получается неопределенность
вида
и правило Лопиталя можно применять
снова, то есть
Доказательство
правила Лопиталя для случая
проводится сложнее, и мы его рассматривать
не будем.
При раскрытии
неопределенностей типа
,
,
,
,
правило Лопиталя применять непосредственно
нельзя. Вначале все эти неопределенности
необходимо преобразовать к виду
или
.
Правило Лопиталя
может быть использовано при сравнении
роста функций, в случае когда
.
Наибольший практический интерес здесь
представляют функции
,
,
.
Для этого найдем пределы их отношений:
1)
,
значит,
растет быстрее, чем
;
2)
,
значит,
растет быстрее, чем
;
3)
,
значит,
растет быстрее, чем
.
Отсюда следует, что
быстрее всего растет
,
затем
и, наконец,
.
Литература
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.
Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. – 400 с.
Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.
Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.
Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.