Системы с постоянной четной частью
Дипломная работа
"Системы с постоянной четной частью"
Содержание
Введение 3
1. Четные и нечетные вектор-функции 4
2. Основные сведения из теории отражающих функций 6
3. Системы чёт-нечет 11
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная 14
5. Простые и простейшие системы 22
6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна 26
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть 26
6.2 Построение систем с заданной четной частью 27
Заключение 31
Список использованных источников………………………………………… 25
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие отражающей функции. Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем рассматривать семейства решений с постоянной четной частью, т.е. когда четная часть будет представлена в виде константы.
Разберем примеры систем, семейства решений которых имеют постаянную четную часть. Будем изучать построение систем с заданной четной частью.
1. Четные и нечетные вектор-функции
По
аналогии с вещественными функциями
одной переменной, вектор-функцию
,
будем называть четной (нечетной), если
для всех
,
является четной (нечетной) функцией,
т.е. область определения
симметрична относительно нуля и
(
).
Любую функцию с симметричной областью определения, можно представить как сумму четной и нечетной функций. Действительно, если
и
то
и
является четной функцией, а
– нечетной.
будем
называть четной частью функции
,
– нечетной.
Отметим следующие свойства четных и нечетных функций.
Свойство 1 Производная дифференцируемой четной (нечетной) функции есть функция нечетная (четная).
Доказательство.
a)
– четная функция.
Т.к.
и
существуют или не существуют одновременно,
то
,
и
.
Таким образом, производная четной
функции есть функция нечетная.
б)
– нечетная функция.
Т.к.
и
существуют или не существуют одновременно,
то
,
и
.
Таким образом, производная нечетной
функции есть функция четная.
Свойство
2
Если
– нечетная функция, то
.
Доказательство.
Поскольку
– нечетная функция, то
Подставив
вместо
получаем
Откуда следует
2. Основные сведения из теории отражающих функций
Рассмотрим систему
(1)
считая,
что её правая часть непрерывна и имеет
непрерывные частные производные по
.
Общее решение этой системы в форме Коши
обозначим через
.
Через
обозначим интервал существования
решения
Пусть
Определение: Отражающей функцией системы (1) назовем дифференцируемую функцию
определяемую формулой
(2)
или формулами
Для отражающей функции справедливы свойства:
1) Для любого решения
системы (1) верно тождество
(3)
2)
Для отображающей функции
любой системы выполнены тождества:
(4)
3) Дифференцируемая функция
будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
(5)
и начальному условию
(6)
Уравнение (5) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
Доказательство.
Свойство 1) следует непосредственно из
определения (2). Для доказательства
свойства 2) заметим, что согласно свойству
1) для любого решения
системы (1) верны тождества
Из
этих тождеств в силу того, что через
каждую точку
проходит некоторое решение
системы (1), и следуют тождества (5).
Приступим
к доказательству свойства 3). Пусть
– отражающая функция системы (1). Тогда
для неё верно тождество (3). Продифференцируем
это тождество по
и воспользуемся тем, что
– решение системы (1), и самим тождеством
(3). Получим тождество
из
которого в силу произвольности решения
следует, что
– решение системы (5). Начальное условие
согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть
некоторая функция
удовлетворяет системе (5) и условию (6).
Так как этой системе и этому условию
удовлетворяет так же и отражающая
функция, то из единственности решения
задачи (5) – (6) функция
должна совпадать с отражающей функцией.
Свойство 3) доказано.
Лемма
Основная лемма 3
Пусть
правая часть системы (1)
-периодична
по
,
непрерывна и имеет непрерывные частные
производные по переменным
.
Тогда отображение за период для системы
(1)
можно найти по формуле
и поэтому решение
системы
(1)
будет
-периодическим
тогда и только тогда, когда
есть решение недифференциальной системы
(7)
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение.
Утверждение
4
Пусть
непрерывно дифференцируемая функция
-периодична
и нечетна по
,
т.е.
и
.
Тогда всякое продолжение на отрезок
решение системы (1) будет
-периодическим
и четным по
.
Доказательство.
Для доказательства достаточно заметить,
что функция
удовлетворяет уравнению (5) и условию
(6). Поэтому она согласно свойству 3)
является отражающей функцией
рассматриваемой системы. Уравнение (7)
в нашем случае вырождается в тождество,
и ему удовлетворяет любое
,
для которого определено значение
Согласно
основной лемме любое продолжимое на
решение системы (1) будет
-периодическим.
Четность произвольного решения
системы (1) следует из тождеств
справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
Справедливы следующие утверждения [4].
Теорема
5
Пусть
все решения системы (1)
-периодичны
и однозначно определяются своими
начальными данными. Тогда отражающая
функция
этой системы
-периодична
по
Теорема
6
Пусть
система (1)
-периодична
по
а ее решения однозначно определяются
своими начальными данными и существуют
при всех
Если, кроме того, отражающая функция
этой системы
-периодична
по
то все решения системы (1)
периодичны с периодом
Аналогичная
теорема имеет место в том случае, когда
не все решения системы (1) продолжимы на
отрезок
При этом заключение о
-периодичности
можно сделать лишь для тех решений,
которые существуют при всех
Из
-периодичности
отражающей функции следует
-периодичность
всех продолжимых на
решений периодической системы (1). Из
-периодичности
отражающей функции не следует, вообще
говоря,
-периодичность
решений
-периодической
системы, хотя следует их
-периодичность.
Не
следует думать, что если все решения
-периодической
системы
-периодичны,
то ее отражающая функция обязана быть
-периодической.
Этому противоречит пример уравнения
В
случае, когда
,
т.е. когда система (1) вырождается в
уравнение, верна
Теорема
7
Пусть
уравнение (1)
-периодично
по
а его решения однозначно определяются
своими начальными данными и существуют
при всех
Тогда для того, чтобы все решения
уравнения (1)
были
-периодичны,
необходима и достаточна
-периодичность
по
отражающей функции этого уравнения.
3. Системы чёт-нечет
Рассмотрим систему
(8)
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а)
Функция
непрерывно дифференцируема, и поэтому,
задача Коши для системы (8) имеет
единственное решение;
б)
Правая часть системы (8)
-периодична
по
.
Лемма
8
Пусть
система (8)
удовлетворяет условиям а) и б). Тогда
продолжимое на отрезок
решение
этой системы будет
-периодическим
тогда и только тогда, когда
где
– есть
нечетная часть решения
.
Доказательство.
Пусть
–
-периодическое
решение системы (8). Тогда
Необходимость доказана.
Пусть
– решение системы (8), для которого
.
Тогда
и поэтому
Таким
образом, точка
есть неподвижная точка отображения за
период, а решение
–
-периодическое.
Доказанная лемма, вопрос о периодичности решения
сводит
к вычислению одного из значений нечетной
части
.
Иногда относительно
можно сказать больше, чем о самом решении
.
Это позволяет в таких случаях делать
различные заключения относительно
существования периодических решений
у систем вида (8). Дифференцируемые
функции
удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
(9)
так как
решение
системы (8). Заменяя в тождестве (9)
на
и учитывая, что производная четной
функции – функция нечетная, а производная
нечетной функции – функция четная,
получаем тождество –
(10)
Из тождеств (9) и (10) найдем производные:
Таким образом вектор-функция
(11)
удовлетворяет
следующей системе дифференциальных
уравнений порядка
:
(12)
При этом
Систему (12) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (8). решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Построение примеров систем, четная часть общего решения которых постоянная
Пример
Найдем
решение: будем использовать метод
исключения, возьмем первое уравнение
системы и выразим из него
:
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку, для этого в исходную систему подставим полученное решение:
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Четная часть общего решения:
Пример
Найдем
решение: будем использовать метод
исключения, возьмем первое уравнение
системы и выразим из него
:
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Сделаем преобразования и приведем подобные
Таким образом:
Сделаем проверку:
Четная часть общего решения
Пример
Найдем
решение: будем использовать метод
исключения, возьмем первое уравнение
системы и выразим из него
:
теперь продифференцируем его
Мы можем приравнять левую часть полученного уравнения с левой частью второго уравнения исходной системы
Получили
два решения
и
.
1)
;
2)
;
Сделаем
проверку для
:
Получили верные равенства. Значит было найдено правильное решение исходной системы.
Сделаем
проверку для
:
Отсюда
видно, что
не являются решением для исходной
системы.
Таким образом:
Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где
и
– нечетные функции, а четная часть
представлена константой.
;
;
(13)
Системы вида (13) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью. В этом легко убедится, проделав вычисления, аналогичные предыдущим примерам.
5. Простые и простейшие системы
Лемма 9 Для всякой непрерывно дифференцируемой функции
для которой выполнены тождества (4), имеют место соотношения
Теорема
10
Для
всякой дважды непрерывно дифференцируемой
функции
определенной в симметричной области
,
содержащей гиперплоскость
для которой выполнены тождества (4),
существует дифференциальная система
c
непрерывно дифференцируемой правой
частью, отражающая функция которой
совпадает с
.
Теорема 11 Для всякой дважды непрерывно дифференцируемой функции
определенной
в области
содержащей гиперплоскость
,
для которой выполнены тождества (4), при
всех
и достаточно малых
существует дифференциальная система
отражающая
функция которой совпадает с
а общий интеграл задается формулой
Следствие 12 Дважды непрерывно дифференцируемая функция
является отражающей функцией хотя бы одной дифференциальной системы тогда и только тогда, когда для нее выполнены тождества (4).
Системы, существование которых гарантируется теоремами 10 и 11, называются соответственно простой и простейшей.
Теорема 13 Пусть
простейшая система, тогда
где
– отражающая функция системы (1).
Доказательство. Если система простейшая,
Теорема 14 Пусть
есть отражающая функция некоторой дифференциальной системы, решения которой однозначно определяются своими начальными данными, а для непрерывно дифференцируемой функции
выполнены
тождества (4). Тогда для того, чтобы в
области
функция
совпадала с
необходимо и достаточно, чтобы
рассматриваемая система имела вид
или вид
где
есть некоторая непрерывная вектор-функция.
Будем говорить, что множество систем вида (1) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция
со свойствами:
1) Oтражающая функция
любой
системы из рассматриваемого множества
совпадает в своей области определения
с функцией
2) Любая система вида (1), отражающая функция
которой
совпадает в области
с функцией
содержится в рассматриваемом множестве.
Две
системы вида (1), принадлежащие одному
классу эквивалентности, будем называть
эквивалентными. Допуская определенную
вольность речи, будем говорить также,
что они имеют одну и ту же отражающую
функцию. Функцию
при этом будем называть отражающей
функцией класса, а класс – соответствующим
отражающей функции
.
Из третьего свойства отражающей функции следует, что система (1) и система
принадлежат одному классу эквивалентности тогда и только тогда, когда система уравнений
совместна.
Необходимым
условием совместности этой системы
является тождество
.
6. Построение множества систем, четная часть общего решения которых постоянна
6.1 Системы, имеющие постоянную четную часть
Пусть нам дана система
(14)
Перед нами стоит следующий вопрос о том, когда семейство решений этой системы будут иметь постоянную четную часть.
(15)
То
есть, когда
не будет зависеть от времени
.
Возьмем
отражающую функцию системы (14)
и используя
получим четную часть следующим образом:
(16)
Теорема 15 Если выполнено тождество
где
– отражающая функция, для линейной
системы вида (14), то любое решение этой
системы имеет постоянную четную часть.
Доказательство.
Возьмем любое решение
системы (14). Его производная
Поэтому можем записать
Из условия теоремы имеем
Таким
образом получили, что
– четная вектор-функция. Тогда
6.2 Построение систем с заданной четной частью
Рассмотрим систему (14). Будем строить систему с заданной четной частью.
Пусть
нам известна четная часть
.
Воспользуемся формулой (15) и преобразуем
ее
Следовательно, можем записать
Отсюда зная (3), получим
где
– отражающая функция системы. Исключая
из предыдущего соотношения, с произвольной
отражающей функцией
,
удовлетворяющей условию
получим требуемую систему.
Пример 16 Пусть
где
– заданная четная часть,
.
Продифференцируем обе части равенства
Преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим
:
(17)
Для всех систем вида (17) должно быть выполнено условие
Возьмем
Найдем
,
.
;
Подставим
значения
,
в систему (17):
Получаем требуемую систему:
Пример 17 Пусть
где
– заданная четная часть,
.
Продифференцируем обе части равенства
и преобразуем правую часть
Перепишем полученное в виде:
Выразим
:
(18)
Для
всех таких систем должно быть выполнено
условие
.
Возьмем
.
Найдем
,
.
,
Подставим найденные значения в систему (18) и сделав преобразования аналогичные примеру 16, получаем:
Рассмотрим
теперь общий случай, когда нам задана
четная часть
общего решения системы с отражающей
функцией
.
В этом случае
Поэтому,
если
нам задана, то из соотношения
при
заданной
мы найдем общее решение
искомой системы. Саму систему мы построим
исключая
из соотношений
Таким образом, мы пришли к
Теорема 18 Всякая система
(19)
где
находятся из системы
при
любой заданной дифференцируемой функции
,
удовлетворяющей соотношениям
имеет
общее решение с четной частью
.
Если
то система (19) имеет вид:
Таким образом, мы пришли к выводу:
Следствие 19 Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Заключение
Основным результатом данной работы является построение дифференциальных систем, семейство решений которых имеет заданную четную часть. А так же теорема о связи простейшей системы и системы, семейство решений которой имеет постоянную четную часть.
Теорема. Общее решение дифференциальной системы имеет постоянную четную часть тогда и только тогда, когда эта система простейшая.
Список использованных источников
[1] Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1971 – 240 с.
[2] Бибиков Ю.Н., Общий курс дифференциальных уравнений, изд. Ленинградского университета, 1981 – 232 с.
[3] Еругин Н.П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание, М. изд. Наука и Техника, 1979 – 744 с.
[4] Мироненко В.И., Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений, г. Минск: изд. Университетское, 1986 – 76 с.
[5] Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, М.: Наука, 1970 – 331 с.