Семейства решений с постоянной четной частью
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
"Семейства решений с постоянной четной частью"
Гомель, 2005
Реферат
В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.
В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Библиография – 5 названий.
Содержание
Введение
1. Определение и свойства отражающей функции
2. Простейшая система
3. Система чет-нечет
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Заключение
Литература
Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.
Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.
1. Определение и свойства отражающей функции
Рассмотрим систему
,
(1.1)
считая, что её правая
часть непрерывна и имеет непрерывные
частные производные по
.
Общее решение этой системы в форме Коши
обозначим через
.
Через
обозначим интервал существования
решения
Пусть
.
Определение:
Отражающей
функцией системы (1.1)
назовем
дифференцируемую функцию
,
определяемую формулой
(*)
или формулами
.
Для отражающей функции справедливы свойства:
1). Для любого решения
,
системы
верно тождество
; (1.2)
2). Для отображающей
функции
любой системы выполнены тождества:
; (1.3)
3). Дифференцируемая
функция
будет отражающей функцией системы (1.1)
тогда и
только тогда, когда она удовлетворяет
уравнениям в частных производных
(1.4)
и начальному условию
. (1.5)
Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
► Свойство 1) следует
непосредственно из определения (*).
Для доказательства свойства 2) заметим,
что согласно свойству 1) для любого
решения
системы (1) верны тождества
.
Из этих тождеств в силу того, что через
каждую точку
проходит некоторое решение
системы (1.1), и следуют тождества (1.3).
Приступим к
доказательству свойства 3). Пусть
– отражающая функция системы (1.1). Тогда
для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем
это тождество по
и воспользуемся тем, что
– решение системы (1.1), и самим тождеством
(1.2). Получим тождество
из которого в силу
произвольности решения
следует, что
– решение системы (1.4). Начальное условие
согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая
функция
удовлетворяет системе (1.4) и условию
(1.5). Так как этой системе и этому условию
удовлетворяет так же и отражающая
функция, то из единственности решения
задачи (1.4) – (1.5) функция
должна совпадать с отражающей функцией.
Свойство 3) доказано.
Основная лемма.
Пусть правая часть системы (1.1)
– периодична по
,
непрерывна и имеет непрерывные частные
производные по переменным
.
Тогда отображение за период для системы
(1.1) можно найти по формуле
,
и поэтому решение
системы (1.1) будет
– периодическим тогда и только тогда,
когда
есть решение недифференциальной системы
(1.6)
В качестве следствия
этой леммы докажем следующее предположение.
Пусть непрерывно дифференцируемая
функция
– периодична и нечетна по
,
т. е.
и
.
Тогда всякое продолжение на отрезок
решение системы (1.1) будет
– периодическим и четным по
.
Для доказательства
достаточно заметить, что функция
удовлетворяет уравнению (1.4) и условию
(1.5). Поэтому она согласно свойству 3)
является отражающей функцией
рассматриваемой системы. Уравнение
(1.6) в нашем случае вырождается в тождество,
и ему удовлетворяет любое
,
для которого определено значение
.
Согласно основной лемме любое продолжимое
на
решение системы (1.1) будет
– периодическим. Четность произвольного
решения
системы (1.1) следует из тождеств
,
справедливых в силу свойства 1) отражающей
функции.
2. Простейшая система
Простейшей называют систему вида
(2.1),
где
– отражающая
функция этой системы.
Теорема: Пусть
(2.2) простейшая
система, тогда
,
где
-
отражающая функция системы (2.2).
Если система простейшая,
;
.
Замечание.
Доказанная теорема позволяет нам
определять, является данная нам система
(2.2.) простейшей или нет. Для этого следует
по системе (2.2.) записать соотношение
(2.3.), из
него определить функцию
,
обладающую свойством
и для неё проверить все соотношения.
Если соотношения выполнены, то система
простейшая.
3. Система чет-нечет
Рассмотрим систему
(3.1)
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.)
Функция
непрерывно дифференцируема, и поэтому,
задача Коши для системы (3.1) имеет
единственное решение;
б.)
Правая часть системы (3.1)
– периодична по
.
Лемма.
Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям
а).
и б).
Тогда продолжимое на отрезок
решение
этой системы будет
– периодическим тогда и только тогда,
когда
,
где
– есть нечетная часть решения
.
Пусть
–
– периодическое решение системы (3.1).
Тогда
.
Необходимость доказана.
Пусть
– решение системы (3.1), для которого
.
Тогда
, и поэтому
.
Таким образом, точка
есть неподвижная точка отображения за
период, а решение
–
– периодическое.
Доказанная лемма
вопрос о периодичности решения
,
сводит к вычислению одного из значений
нечетной части
.
Иногда относительно
можно сказать больше, чем о самом решении
.
Это позволяет в таких случаях делать
различные заключения относительно
существования периодических решений
у систем вида (3.1).
Дифференцируемые
функции
;
,
удовлетворяют некоторой системе
дифференциальных уравнений. Прежде,
чем выписать эту систему, заметим:
(3.2)
Так как
решение системы (3.1). Заменяя в тождестве
(3.2)
на
и учитывая, что производная четной
функции – функция нечетная, а производная
нечетной функции – функция четная,
получаем тождество
(3.3)
Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:
;
.
Таким образом, вектор-функция
(3.4)
Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
:
;
При этом
.
Систему (3.5) будем называть системой
чет-нечет, соответствующей системе
(3.1) решение системы чет-нечет, как следует
из условия а), однозначно определяется
своими начальными условиями.
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1
.
Найдем решение:
;
;
Таким образом:
Сделаем проверку:
;
Четная часть общего
решения:
2.
Найдем решение:
Таким образом:
Сделаем проверку:
;
;,
четная часть общего решения
3.
Найдем решение:
.
Сделаем проверку:
Таким образом:
Четная часть общего решения
Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
где
и
– нечетные функции, а четная часть
представлена константой.
(4.1)
Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
(5.1)
Надо выяснить, когда
и при каких условиях семейства решений
этой системы будут иметь постоянную
четную часть
.
Иначе говоря, когда
не будет зависеть от
.
Рассмотрим уравнение
.
Его решение
.
Возьмем отражающую
функцию
системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем
записать четную часть следующим образом:
(5.2)
Если четная часть будет представлена константой, то
. (5.3)
Продифференцируем
(5.2) и прировняем к (5.3). Получаем:
.
Учитывая (5.1),
имеем:
.
Воспользуемся соотношением (1.4)
(5.4)
Таким образом, приходим к теореме:
Теорема: Если система
вида
(5.1) имеет
семейства решений с постоянной четной
частью, то выполнено тождество
(5.4)
Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции».
Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.
На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Литература
Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.
Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.
Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.