Свойства чисел. Периодическая система чисел
© Автор Бутарева Людмила
29 декабря 2006 г.
СВОЙСТВА ЧИСЕЛ
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ЧИСЕЛ.
Свойства чисел натурального ряда, а также производных от них находятся в различной периодической зависимости от порядковых номеров чисел.
Например, рассмотрим шестеричную периодизацию чисел.
1. Запишем натуральный ряд чисел по 6
---------------------------------------------------------------------------------------------
Группы ! A B C D E F
-------------------!--------------------------------------------------------------------------
Периоды !
0 ! 1
1 ! 2 3 4 5 6 7
2 ! 8 9 10 11 12 13
3 ! 14 15 16 17 18 19
n ! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------------------------------------------------
Условные обозначения: A B C D E F - группы чисел
0, 1, 2... n - ## периодов
2. Продолжим таблицу в область отрицательных чисел: --------------------------------------------------------------------------------------------
Группы ! A B C D E F
------------------- !------------------------------------------------------------------------
Периоды !
-4 ! -28 -27 -26 -25 -24 -23
-3 ! -22 -21 -20 -19 -18 -17
-2 ! -16 -15 -14 -13 - 12 -11
-1 ! -10 -9 -8 -7 -6 -5
0 ! -4 -3 -2 -1 0 1
1 ! 2 3 4 5 6 7
2 ! 8 9 10 11 12 13
3 ! 14 15 16 17 18 19
4 ! 20 21 22 23 24 25
n ! 6n - 4 6n - 3 6n - 2 6n - 1 6n 6n + 1
-----------------!-------------------------------------------------------------------------
Группы В и Е – самостоятельные группы. Отрицательные числа каждой из этих групп по абсолютной величине равны собственным положительным.
Группа А в отрицательной части переходит в группу С (и наоборот).
Группа D в отрицательной части переходит в группу F (и наоборот).
По абсолютной величине ряды чисел A = C, D = F на всем протяжении от оо до – оо.
Группы A и C, D и F называются близнецами.
В Таблице № 1 приведены некоторые общие свойства чисел по группам при шестеричной периодизации.
Таблица № 1
___________________________________________________________________
Группа ! Общие свойства чисел
---------------- !---------------------------------------------------------------------------------- А ( 6n – 4) ! Четные (из них 1 простое) ! имеет близнеца С
B ( 6n – 3) ! Кратные 3-м ( из них 1 простое) !
С ( 6n – 2) ! Четные ! имеет близнеца А D ( 6n – 1) ! Простые + произведения D x F ! имеет близнеца F
E ( 6n) ! Четные, кратные 3-м !
F ( 6n + 1) ! Простые + произведения D x D, F x F! имеет близнеца D
------------------------------------------------ -------------------------------------------------
.
I. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Таблица № 2 Расположение простых чисел в соответствии с шестеричной периодизацией.
--------------------------------------------------------------
Группы ! A B C D E F
----------------------!---------------------------------------
№№ периодов !
0 ! х х х х х х
1 ! 2 3 х 5 х 7
2 ! х х х 11 х 13
3 ! х х х 17 х 19
4 ! х х х 23 х х
n ! х х х 6n - 1 х 6n + 1
----------------------!-----------------------------------------
1. Числа 2 и 3 – первичные простые числа. Это единственные простые числа, стоящие рядом, без интервалов
Все остальные, типичные простые числа находятся в D и F группах
Обозначим №№ периодов чисел группы D буквой d, а чисел группы F буквой f.
D = 6d -1 F = 6f +1.
2. Типичные простые числа, принадлежащие разным группам, но одному и тому же периоду, называются близнецами
Например
Числа 5 и7 – близнецы. Они имеют один и тот же период d = f = 1
( 6d – 1 ) = 6 х 1 – 1 = 5
( 6f + 1 ) = 6 х 1 + 1 = 7.
Числа 29 и 31 – близнецы. Они имеют период d = f = 5
( 6d – 1 ) = 6 х 5 – 1 = 29
( 6f + 1 ) = 6 х 5 + 1 = 31
3. Состав ряда чисел группы D ( Таблица №1)
а) простые числа
b) произведения D х F:
( 6a – 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a – 6b – 1 = 6 (6ab + a – b) – 1 = 6d - 1
Отсюда следует, что все D =/ 6 (6ab + a – b) – 1
( где a и b любое натуральное число) – это простые числа.
Все d =/ 6ab + a – b (где a и b любое натуральное число) – это периоды простых чисел.
4. Состав ряда чисел группы F ( Таблица №1)
а) простые числа
b) произведения D х D
( 6a – 1 ) х ( 6b – 1 ) = 36ab – 6a – 6b + 1 = 6 (6ab – a – b) + 1
с) произведения F х F:
( 6a + 1 ) х ( 6b + 1 ) = 36ab + 6a + 6b + 1 = 6 (6ab + a + b) + 1
Значит, простые числа это:
F =/ 6 (6ab – a – b) + 1
F =/ 6 (6ab + a + b) + 1( где a и b любое натуральное число)
Периоды простых чисел
f =/ 6ab - a – b
f =/ 6ab + a + b (где a и b любое натуральное число)
.
II ТЕСТЫ ПРОСТОТЫ
1. РЕШЕТО
Запишем любой из числовых рядов групп D или F до нужного нам числа. Знак ( - ) опустим без ущерба для нашей задачи.
53 47 41 35 29 23 17 11 5 1 7 13 19 25 31 37 43 49 55
Центр этого ряда - число 1. Оно не является простым. Обозначим его [х]. Первое после 1
число 5 – простое. От 5 влево и вправо отсчитываем каждое 5-ое число и вычеркиваем.
53 47 41 х 29 23 17 11 5 х 7 13 19 х 31 37 43 49 х
Следующее по величине невычеркнутое число 7 – простое. От 7 влево и вправо отсчитываем каждое 7-е число и вычеркиваем.
53 47 41 х 29 23 17 11 5 х 7 13 19 х 31 37 43 х х
Мы получили ряд типичных простых чисел в интервале от 5 до 55. Достаточным является вычеркиваемое число [корень квадратный из наибольшего квадрата в ряду].
2. ПЕСОЧНЫЕ ЧАСЫ
Таблица № 1 Определение простоты чисел «Песочные часы»
____________________________________________________________________
! ! ! ! ! ! ! _________!x!
! ! ! ! ! ! _________!_!_!_!_!_!x!_!
! ! ! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!
! ! ! ! _________!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!
! ! !_________ !_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!
! !_________ !_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!
! ____!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!x!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!0!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!x!_!x!_!_!x!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!
!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! ! !
!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_!_!_!_!_!x!_! ! ! !
!_!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_!_! ! ! ! !
!_!_!x!_!_!_!_!_!_!_!_!_!x!_!_! ! ! ! ! !
!_!x!_!_!_!_!_!_!_! ! ! ! ! ! !
!x!_!_!_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_________ !_!
1 
Разрежем Таблицу № 1 на вертикальные
колонки шириной 6 клеток.
2. Отрежем от каждой колонки белую неразлинованную часть.
3 Совместим колонки, наложив друг на друга. Если первая колонка имеет ширину меньше, чем 6 клеток, то она сдвигается вправо, а последняя – влево до боковой линии.
Допустим, что лист прозрачный. Тогда пустые клетки в совмещенной колонке
соответствуют простым числам ( Таблицы № 2А и2В ). Формулы вверху Таблицы № 2В для чисел f периодов от 0 и выше, формулы внизу – для чисел d периодов от 0 и ниже. (Периоды f и d - №№ строчек ).
Таблица № 2А Таблица № 2В Периоды
_____________________________________________
!_36f+25 !_36f+19!_36f+13 !_36f+7_!_36f+1_!_36f-5_! F
___________ ______________________________________________
!х!х!х!_!_!х! !_______!_______!_______!__547__!__541__!_______! 15
!х!_!х!х!х!_! !_______!__ 523_ !_______!_______!_______!__499__! 14
!х!_!х!х!х!_! !_______!__487__!_______!_______!_______!__463__! 13
!_!х!х!_!_!х! !__457__!_______!_______!__439__!__433__!_______! 12
!_!х!_!х!_!х! !__421__!_______!__409__!_______!__397__!_______! 11
!х!_!_!_!х!х! !_______!__379__!__373__!__367__!_______!_______! 10
!_!х!_!_!х!х! !__349__!_______!__337__!__331__!_______!_______! 9
!_!_!х!х!х!_! !__313__!__307__!_______!_______!_______!__283__! 8
!_!_!х!х!х!х! !__277__!__271__!_______!_______!_______!_______! 7
!_!х!_!_!х!_! !__241__!_______!__229__!__223__!_______!__211__! 6
!х!_!_!х!_!х! !_______!__199__!__193__!_______!__181__!_______! 5
!х!_!_!_!х!_! !_______!__163__!__157__!__151__!_______!__139__! 4
!х!_!х!х!_!_! !_______!__127__!_______!_______!__109__!__103__! 3
!_!х!х!_!_!_! !___97__!_______!_______!___79__!___73__!___67__! 2
!_!х!х!_!_!_! !___61__!_______!_______!___43__!___37__!___31__! 1
!х!_!_!_!0!_! !_______!___19__!___13__!____7__!_______!____5__! 0
!_!_!_!_!х!_! !___11__!___17__!____23_!___29__!_______!___41__! 1
!_!_!_!х!_!х! !___47__!___53__!___59__!_______!___71__!_______! 2
!_!_!х!_!_!_! !___83__!___89__!_______!__101__!__107__!__113__! 3
!х!х!_!_!х!_! !_______!_______!__131__!__137__!_______!__149__! 4
!х!х!_!_!_!х! !_______!_______!___167_!__173__!__179__!_______! 5
!_!_!х!х!х!х! !__191__!__197__!_______!_______!_______!_______! 6
!_!_!_!х!_!_! !__227__!__233__!__239__!_______!__251__!__257__! 7
!_!_!х!_!х!_! !__263__!__269__!_______!__281__!_______!__293__! 8
!х!х!_!_!х!х! !_______!_______!__311__!__317__!_______!_______! 9
!х!х!_!_!_!х! !_______!_______!__347__!__353__!__359__!_______! 10
!х!х!_!_!х!_! !_______!_______!__383__!__389__!_______!__401__! 11
!х!х!_!х!_!х! !_______!_______!__419__!_______!__443__!_______! 12
!_!_!х!_!_!х! !__443__!__449__!_______!__461__!__467__!_______! 13
!_!х!_!х!_!_! !__479__!_______!__491__!_______!__503__!__509__! 14
!х!_!х!х!х!х! !_______!__521__!_______!_______!_______!_______! 15
!х!_!_!_!х!х! !_______!__557__!__563__!__569__!_______!_______! 16
!_!_!_!х!х!_! !__587__!__593__!__599__!_______!_______!__617 _! 17
_______________________________________________
!36d -25 _!36d-19_!36d-13_!_36d-7_ !_36d-1_ !_36d+5_! D
Построение Таблицы № 1
1. Числовая ось. ( Таблица № 3А)
Числовая ось - это два ряда натуральных чисел, которые идут вверх и вниз от 0 в центре таблицы. Числа на оси - номера периодов.
2. Периоды чисел. ( Таблица № 3А)
Период чисел – это одна строчка (6 клеток) в колонке. Вверх от 0 идут №№ периодов f чисел вида (6а + 1), вниз от 0 идут №№ периодов d чисел вида (6а - 1).
3. Числовые узлы. ( Таблица № 3В)
Числовые узлы - это числа d на оси, равные квадратам чисел (1 4 9 16 ... n ^ 2).
4. Числовые цепочки . ( Таблицы № 3В и №3С)
Числовые цепочки – парные. Они симметричны относительно оси. Каждая клетка в цепочке сдвинута относительно предыдущей на 1 клетку в сторону от числовой оси, на n клеток вверх или вниз (похоже на «ход конем» в шахматах.)
а) Числовые цепочки внизу от 0 исходят из числовых узлов d. Клетки в них сдвинуты на 1 в стороны от числовой оси и на n вниз (Таблица № 3В). Параметры построения цепочек вниз от 0 приведены в Таблице № 4А
Таблица № 3
А. Числовая ось. В. Числовые узлы d = n^2 C. Числовые
Периоды чисел и числовые цепочки d’ цепочки f’
_______f___ ________ ________ _______________
!_!_!_!_!4!_! !_!_!х!_!_! !_!_!х!_!_! !х!_!_!_!3!_!_!_!х!
!_!_!_!_!3!_! !_!х!2!х!_! !_!_!5!_!_! !_!х!_!_!2!_!_!х!_!
!_!_!_!_!2!_! !х!_!3!_!х! !_!х!6!х!_! !_!_!х!_!1!_!х!_!_!
!_!_!_!_!1!_! !_!_!7!_!_! !_!_!_!_!0!_!_!_!_!
!_!_!_!_!0!_! d = 1^2 !х!_!8!_!х!
!_!_!_!_!1!_! f = 1^2
!_!_!_!_!2!_! d = 2^2
!_!_!_!_!4!_!
d
b) Цепочки вверх от 0 начинаются на расстоянии 2n клеток по обе стороны от f = n^2 (клетка f при этом отсчете выполняет роль 0) и сдвинуты на 1 клетку в стороны от оси и на n клеток вверх (Таблица № 3С)
Параметры построения цепочек от 0 и выше приведены в Таблице № 4В
Таблица № 4А.Параметры Таблица № 4В. Параметры
цепочек чисел вида (6а – 1) цепочек чисел вида (6а + 1)
(вниз от 0) (вверх от 0)
___________________________ ________________________________________
! Числовые ! Колич.! Колич. ! ! Число ! Количество ! Колич, ! Колич. !
! узлы ! клеток !клеток в ! ! на оси ! клеток от числа! клеток ! клеток в !
! ! вниз ! сторону ! ! ! на оси до ! вниз ! сторону !
! ! ! ! ! ! начала цепочки! ! !
!--------------!-----------!-----------! !-----------!-------------------- !-----------!-------------!
! 1 ^ 2= 1 ! 1 ! 1 ! ! 1 ^ 2= !! 1 х 2 ! 1 ! 1 !
! 2 ^ 2 = 4 ! 2 ! 1 ! ! 2 ^2 = 4 ! 2 х 2 ! 2 ! 1 !
! 3 ^ 2 = 9 ! 3 ! 1 ! ! 3 ^ 2= 9 ! 3 х 2 ! 3 ! 1 !
! n ^ 2 ! n ! 1 ! ! n ^ 2 ! 2n ! n ! 1 !
!--------------!----------!----------- ! !-----------!---------------------!-----------!------------ !
Построим числовые цепочки до нужного нам числа. Все непомеченные знаком {x} клетки соответствуют простым числам. Следует предусмотреть, что запись цифр на числовой оси не является зачеркиванием клеток
Таким способом можно определить все простые числа от 5 и больше до технически возможных пределов.
1