Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя (работа 2)
Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“ Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя”
Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х>0>;
частка
цих функцій
в точці х>0>
має невизначеність вигляду
або
;
існує
.
Тоді
існує
і виконує рівність:
(1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х>0> функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
2. Частки
,
,
…,
мають невизначеність вигляду
або
;
3. Існує
,
тоді
(2)
б) Приклад 1.
Знайти:
.
Розв’язання:
Функції
та
визначені з усіма своїми похідними в
околі точки х=0.
Маємо:
.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
Існують
прийоми, що дозволяють зводити вказані
невизначеності до невизначеностей
вигляду
або
,
які можна розкривати з використанням
правила Лопіталя.
Нехай
і
,
тоді
(3)
За умовою
при
,
тому
при
.
Якщо
не прямує до 0 при
,
то границя в правій частині (3) не існує,
а тому і границя лівої частини (3) не
існує.
Якщо
при
,
то вираз
має невизначеність
.
2. Нехай
,
,
тоді
має невизначеність вигляду
при
.
В цьому випадку поступають так:
Під знаком
останньої границі маємо невизначеність
.
3. Нехай
,
при
.
Тоді
має невизначеність вигляду
.
Позначимо
.
Шляхом логарифмування цієї рівності
одержимо:
Отже,
обчислення натурального логарифма
границі
зводиться до розкриття невизначеності
вигляду
.
4.
Невизначеності вигляду
та
зводять до невизначеностей
або
шляхом логарифмування аналогічно до
невизначеності вигляду
.
а) Приклад 2.
Знайти
границю
.
Розв’язання:
Функції
та
диференційовані, а їх частка
має невизначеність вигляду
при
.
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.
б) Приклад 3.
Знайти
границю
.
Розв’язання:
В цьому
випадку маємо невизначеність вигляду
.
Позначимо
і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо:
,
тобто невизначеність вигляду
.
Використовуючи правило Лопіталя,
одержимо:
.
Отже,
.
в) Приклад 4.
Знайти
границю
.
В цьому
випадку маємо невизначеність вигляду
.
Нехай
.
Логарифмуючи цю рівність, одержимо:
.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
Список використаної літератури:
Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум. Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
Бородин А.И., Бугай А.С., Биографический словарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
Алгебра и начала анализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головное изд-во, 1984.–Ч.2. 293с.