Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Курсовая работа
"Решетки
субнормальных и
-субнормальных
подгрупп"
Введение
В
теории конечных групп одним из центральных
понятий является понятие
-субнормальной
подгруппы. Изучению свойств субнормальных
подгрупп конечных групп положило начало
в 1939 г. известная работа Виландта
[10], оказавшая огромное влияние на
развитие всей теории конечных групп в
последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.
В
теории формаций одним из важнейших
понятий является понятие
-субнормальных
подгрупп, которое является естественным
расширением субнормальных подгрупп.
Поэтому, конечно, возникает задача о
построении теории
-субнормальных
подгрупп, аналогичной теории субнормальных
подгрупп Виландта.
Во
втором разделе курсовой работы
рассматриваются минимальные не
-группы.
В
третьем разделе приводится описание
локальных наследственных формаций,
обладающих решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение.
Пусть
– подгруппа группы
.
Цепь подгрупп
в
которой
для любого
,
,…,
,
называется субнормальной
-цепью,
а число
– длиной этой цепи. Наименьшее
,
при котором существует хотя бы одна
субнормальная
-цепь
длины
,
называется дефектом подгруппы
в
и обозначается через
.
Определение.
Пусть
– подгруппа группы
.
Если существует хотя бы одна субнормальная
-цепь,
то подгруппа называется субнормальной,
обозначается
.
Лемма.
Если
субнормальна в
,
и
субнормальна в
,
то
субнормальна в
.
субнормальна
в
,
следовательно, по определению субнормальной
подгруппы существует субнормальная
-цепь
субнормальна
в
,
следовательно, существует субнормальная
-цепь
Таким
образом, мы получили субнормальную
-цепь
то
есть
субнормальна в
по определению. Лемма доказана.
Теорема.
Если подгруппа
субнормальна, но не нормальна в
,
то существует такой элемент
,
что
Доказательство.
Пусть
– дефект подгруппы
в группе
.
Рассмотрим субнормальную
-цепь
длины
:
Из
того, что
не нормальна в
,
следует, что
.
не нормальна и в
,
иначе мы получаем противоречие с тем,
что
– дефект подгруппы
в группе
,
так как в этом случае подгруппу
в цепи можно было опустить. Поэтому
существует элемент
такой, что
.
Теперь имеем
Так
как
,
то
.
С другой стороны,
и
,
откуда получаем
.
Теорема доказана.
Определение.
Пусть
– субнормальная подгруппа дефекта
в
.
Субнормальная
-цепь
называется
канонической, если для любой субнормальной
-цепи
имеет
место
,
,
,…,
.
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема.
Если
субнормальна в
,
то существует единственная каноническая
субнормальная
-цепь.
Доказательство.
Пусть
– дефект подгруппы
в группе
.
Будем рассматривать все возможные
субнормальные
-цепи
длины
.
все
субнормальные
-цепи
длины
(
– второй индекс). Положим
.
Так как
,
то для любого
,
,…,
мы имеем
Таким образом, цепь
является
субнормальной
-цепью
длины
и, следовательно, не имеет повторений.
Так как
при любых
и
,
то теорема доказана.
Теорема.
Если
субнормальна в
и
– подгруппа
,
то пересечение
есть субнормальная подгруппа
.
Доказательство.
Рассмотрим субнормальную
-цепь
минимальной длины
:
Положим
.
Получаем цепь
Ясно,
что она будет субнормальной, так как
.
Действительно, пусть
,
значит,
и
.
Тогда для любого
,
так как
и
.
Мы
получили субнормальную
-цепь.
Теорема доказана.
Следствие.
Пусть
и
– подгруппы группы
.
Если
субнормальна в
и
– подгруппа
,
то
субнормальна в
.
Доказательство.
Пусть
и цепь
является
субнормальной
-цепью.
Положив
,
получим субнормальную
-цепь
что и требовалось.
Теорема.
Пусть
субнормальна в
и
субнормальна в
.
Тогда пересечение
есть субнормальная подгруппа в.
Доказательство.
Пусть
– наибольший из дефектов подгрупп
и
в группе
.
Очевидно, существует (возможно, с
повторениями) цепи
Положим
,
,
,…,
.
Из
,
следует, что
нормальна в
.
Следовательно, цепь
является
субнормальной
-цепью,
что и доказывает теорему.
Лемма.
Если
субнормальна в
,
а
– нормальная подгруппа группы
,
то произведение есть субнормальная
подгруппа группы
.
Доказательство.
субнормальна в
,
следовательно, существует субнормальная
-цепь
Следовательно, цепь
будет субнормальной.
Действительно,
так как
и
,
то
.
Лемма доказана.
Лемма.
Если подгруппы
и
субнормальны в
и
,
топроизведение
есть субнормальная подгруппа группы
.
Доказательство.
Если
нормальна в
,
то результат следует по лемме 1.9.
Предположим,
что
не нормальна в
,
то есть
.
Будем считать, что теорема верна для
субнормальных подгрупп с дефектом
меньшим
.
Таким образом, если
и
субнормальны в
причем
и
,
то по индуктивному предположению
субнормальна в
.
Пусть
– каноническая субнормальная
-цепь.
Так как
нормализует подгруппу
,
то для любого
цепь
будет
субнормальной
-цепью.
По свойству канонической субнормальной
-цепи
,
а значит,
для любого
,
,…,
(по определеделению).
Следовательно,
содержится в
для любого
.
Так как
и
,
то по индукции
субнормальна в
.
По следствию 1.7.1
субнормальна в
.
Так как
и
,
то
.
Таким образом,
,
,
а значит, по лемме 1.9 подгруппа
субнормальна в
.
К тому же
,
то мы получаем
.
Лемма доказана.
Теорема.
Если
и
– субнормальный подгруппы группы
,
то
есть также субнормальная подгруппа
.
Доказательство.
Положим
.
Среди субнормальных подгрупп группы
,
содержащихся в
,
выберем подгруппу
,
имеющю наибольший порядок. По следствию
1.7.1
субнормальна в
.
Докажем, что
нормальна в
.
Предположим противное, то есть что
не нормальна в
.
Тогда по теореме 1.4 найдется такой
элемент
,
что
,
и
.
Так как
субнормальна в
и
,
то
субнормальна в
.
Получается следующая ситуация:
и
субнормальны в
,
.
По лемме 1.10
субнормальна в
.
Ввиду выбора
отсюда следует
,
что противоречит
.
Итак,
нормальна в
,
а значит,
и
нормализуют подгруппу
.
По лемме 1.10
и
субнормальны в
.
Так как
и
,
то ввиду выбора
получаем
.
Следовательно,
,
откуда вытекает, что
.
Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
Теорема
(Виландт).
Множество всех субнормальных подгрупп
группы
образует подрешетку решетки
.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема.
Пусть
– некоторое непустое множество
субнормальных подгрупп группы
,
удовлетворяющее следующим условиям:
1)
если
и
,
то
;
2)
если
,
,
,
,
то
.
Тогда
для любой подгруппы
.
Доказательство.
Возьмем произвольную подгруппу
из
.
Если
не нормальна в
,
то по теореме 1.4 найдется такой элемент
,
что
,
,
.
По условиям 1) и 2)
,
.
Если
не нормальна в
,
то найдется
такой, что
,
,
.
Тогда
и
.
Если
не нормальна, то описанную процедуру
применяем к
.
Так как
конечна, то этот процесс завершится
построением нормальной подгруппы
,
представимой в виде
,
где
– некоторые элементы из
.
Очевидно,
,
и теорема доказана.
Следствие.
Если
– непустой радикальный класс, то
содержит все субнормальные
-подгруппы
группы
.
Доказательство.
Пусть
– множество всех субнормальных
-подгрупп
из
.
Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что
удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы
1.13.
Следствие.
Для любой субнормальной подгруппы
группы
справедливы следующие утверждения:
1)
если
–
-группа,
то
;
2)
если
нильпотентна, то
;
3)
если
-нильпотентна,
то
;
4)
если
разрешима, то
.
2.
Минимальные не
-группы
Лемма
[3]. Пусть
,
где
– локальная формация. Тогда справедливы
следующие утверждения:
1)
группа
монолитична с монолитом
2)
–
-группа
для некоторого простого
;
3)
–
-эксцентральный
главный фактор
;
4)
;
5)
если группа
неабелева, то ее центр, коммутант и
подгруппы Фраттини совпадают и имеют
экспоненту
;
6)
если
абелева, то она элементарна;
7)
если
,
то
– экспонента
;
при
экспонента
не превышает 4;
8)
для любой
-абнормальной
максимальной подгруппы
из
имеет место
9)
любые две
-абнормальные
максимальные подгруппы группы
сопряжены в
;
10)
если
и подгруппа
содержит
,
то
для любого полного локального экрана
формации
;
11)
если
–
-абнормальная
максимальная подгруппа группы
и
– некоторый полный локальный экран
,
то
– минимальная не
-группа
и либо
,
либо
.
Доказательство.
1) Пусть
– минимальная нормальная подгруппа из
такая, что
.
Очевидно, что
.
Противоречие. Итак,
– минимальная нормальная подгруппа
.
Так как
– формация, то, нетрудно заметить, что
– единственная минимальная нормальная
подгруппа из
.
А это значит, что
Отсюда следует, что
2)
Выше мы показали, что
– главный
-фактор.
Покажем, что
–
-группа.
Предположим противное. Пусть простое
число
делит
,
но не делит
.
По лемме 4.4 из [5]
,
где
– содержащаяся в
силовская
-подгруппа
из
.
Тогда
Отсюда
и из насыщенности
получим
.
Но тогда
,
что невозможно.
Пусть
– главный фактор группы
.
Ввиду 2)
является
-группой
и
.
Следовательно, каждая
-абнормальная
масимальная подгруппа группы
является
-нормализатором
группы
.
Так как
-нормализатор
группы
покрывает только
-центральные
главные факторы, то мы получаем, что
-гиперцентральна
в
.
Согласно следствию 9.3.1 из [5]
.
Отсюда следует, что
,
т.е.
.
Обозначим
через
коммутант группы
.
Так как
–
-корадикал
группы
,
то по теореме 11.6 из [5] каждый главный
фактор группы
на участке от
до
-эксцентрален.
Отсюда и из
-гиперцентральности
заключаем, что
.
Так как
то
мы получаем тaкже рaвенство
.
Таким образом, утверждения 2) – 6), 9)
доказаны.
Докажем
7). Предположим, что
неабелева. Пусть
– произвольный элемент из
.
Ввиду 4)
,
причем
.
Следовательно,
для
всех элементов
,
из
.
Это означает, что
имеет экспоненту
.
Учитывая это и то, что
содержится в
,
получаем для любых
,
из
при
:
Значит,
отображение
является
-эндоморфизмом
группы
.
Так как
то
-гиперцентральна
в
.
Вспоминая, что
–
-эксцентральный
главный фактор, получаем равенство
.
Так как
имеет экспоненту
,
то утверждение 7) при
доказано.
Пусть
.
Тогда
где
.
Рассматривая отображение
как и выше получаем, что
.
Значит
имеет экспоненту не больше 4.
Докажем
8). Выше мы доказали, что
.
Пусть
.
Тогда в
найдется такая максимальная подгруппа
,
что
.
Так как
,
то
.
Отсюда
.
Противоречие. Итак,
.
По теореме 9.4 из [5] имеем
для любой
-абнормальной
максимальной подгруппы
группы
.
Нетрудно показать, что
.
По теореме 7.11 из [5],
Так
как
,
то
Ввиду
того, что
и
– главный фактор
,
имеем
.
Итак,
.
Пусть
– любая
-абнормальная
максимальная подгруппа группы
.
Тогда
.
Ясно, что
Не
ограничивая общности, положим
.
Тогда
– единственная минимальная нормальная
подгруппа
.
Легко видеть, что
и
.
Но
–
-группа.
Значит,
.
По условию
.
Следовательно, ввиду полноты экрана
имеет место
то
.
Таким образом, всякая собственная
подгруппа группы
принадлежит
.
Допустим, что
.
Тогда
и
поэтому
.
Полученное противоречие показывает,
что
,
т.е.
– минимальная не
-группа.
Предположим
теперь, что
.
Покажем, что
.
Не теряя общности, можно положить, что
.
Тогда
,
.
Пусть
,
где
и
,
где
.
Для всякого
через
обозначим подгруппу
.
Предположим, что все
отличны от
.
Так как
,
то
– дополнение к
в
.
Если
для всех различных
и
,
то
и
поэтому
.
Противоречие. Значит
для некоторых различных
и
.
Из последнего вытекает
что
невозможно. Полученное противоречие
показывает, что
для некоторого
и, следовательно,
.
Лемма доказана.
Лемма
[4].
Пусть
– наследственная локальная формация,
– такая нормальная подгруппа группы
,
что
.
Тогда
равносильно
.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда
,
и если
– произвольная максимальная подгруппа
,
то
,
а значит, и
принадлежит
.
Следовательно,
.
Предположим
теперь, что
.
Понятно, что
.Пусть
– произвольная максимальная подгруппа
,
тогда
.
Пусть
– произвольный
-главный
фактор из
.
Обозначим
.
Пусть
– максимальный внутренний локальный
экран формации
,
и пусть
.
Так как
,
то
.
Покажем, что
.
По лемме 8.7 из [6] формация
наследственна. Следовательно, если
,
то сразу получим
.
Если же
,
то
вытекает из изоморфизма
.
Итак, всякий
-главный
фактор из
,
-централен
в
.
Значит,
.
Таким образом,
.
Лемма доказана.
Лемма
[3].
Пусть
– локальная наследственная формация,
– некоторый ее полный экран. Группа
принадлежит
тогда и только тогда, когда выполняются
следующие два условия:
1)
;
2)
,
где
– главный
-фактор
группы
,
– минимальная не
-группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность.
Пусть
и
– произвольные максимальные подгруппы
.
Покажем, что
.
Если
-абнормальна,
то ввиду леммы 2.1 имеем
.
Значит,
.
Пусть
.
По условию
Следовательно,
и по лемме 2.1
–
-группа.
Значит по лемме 8.2 из [6]
.
Итак,
.
Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что
.
Лемма доказана.
Лемма
[3].
Пусть
– локальная формация, имеющая постоянный
наследственный локальный экран
.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
для любого
из
;
2)
тогда и только тогда, когда
для любого
из
,
– главный
фактор
,
.
Доказательство.
1) Пусть
– произвольная группа из
.
Покажем, что
.
Предположим противное. Пусть
– подгруппа наименьшего порядка из
,
не принадлежащая
.
Очевидно, что
.
Так как
– постоянный экран, то ввиду леммы 4.5
из [5]
для любого
из
.
Если
,
то из того, что
следует
.
Получили противоречие. Итак,
– собственная подгруппа из
.
Но тогда
,
что невозможно.
2)
Пусть
.
Покажем, что
.
Так как
то,
не ограничивая общности, можно считать,
что
.
Пусть
– произвольная
-абнормальная
максимальная подгруппа группы
.
Тогда по лемме 2.1
,
где
.
Очевидно, что
.
Отсюда следует, что
–
-группа.
Так как
и
– постоянный экран, то
.
Пусть
– произвольная собственная подгруппа
из
.
Так как формация
наследственна, то
.
Кроме того,
.
Отсюда
.
Следовательно,
Если
теперь
,
то
.
Отсюда нетрудно заметить, что
.
Противоречие. Итак,
.
Из леммы 2.1 следует, что
есть
главный
-фактор
группы
.
Пусть
теперь
.
Очевидно, что
.
Пусть
– собственная подгруппа из
.Рассмотрим
подгруппу
.
Если
,
то тогда
Согласно
пункту 1
.
Пусть
.
Тогда
– собственная подгруппа группы
.
Тогда
Отсюда
.
А это значит, что
.
Итак,
.
Так как
,
то по лемме 2.1
.
Лемма доказана.
Лемма.
Пусть
– непустая наследственная формация.
Тогда:
1)
если
– подгруппа группы
и
,
то
-субнормальна
в
;
2)
если
-субнормальна
в
,
– подгруппа группы
,
то
-субнормальна
в
;
3)
если
и
-субнормальные
подгруппы
,
то
–
-субнормальная
подгруппа
;
4)
если
-субнормальна
в
,
а
-субнормальна
в
,
то
-субнормальна
в
;
5)
если все композиционные факторы группы
принадлежат формации
,
то каждая субнормальная подгруппа
группы
является
-субнормальной;
6)
если
–
-субнормальная
подгруппа группы
,
то
-субнормальна
в
для любых
.
Лемма.
Пусть
– непустая формация,
– подгруппа группы
,
– нормальная подгруппа из
.
Тогда:
1)
если
-субнормальна
в
,
то
-субнормальна
в
и
-субнормальна
в
;
2)
если
,
то
-субнормальна
в
тогда и только тогда, когда
-субнормальна
в
.
3. Формации с решеточным свойством
Лемма
[1].
Пусть
– наследственная формация. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
1)
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп;
2)
группа
принадлежит
,
если
,
–
-субнормальные
-подгруппы
группы
;
3)
– формация Фиттинга и всякая
-субнормальная
-подгруппа
группы
содержится в
-радикале
этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть
– контрпример минимального порядка. В
этом случае
,
где
-субнормальная
-подгруппа
группы
,
,
и
не принадлежит
.
Пусть
– минимальная нормальная подгруппа
группы
.
Все условия леммы для фактор-групп
выполняются, поэтому в силу выбора
имеем, что
.
В виду теоремы 4.3 из [7] формация
является насыщенной. Поэтому группа
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу
и
.
Если
,
то
– простая группа. Так как
и
–
-субнормальная
подгруппа группы
,
,
то либо
,
либо
.
Значит,
.
Противоречие с выбором группы
.
Пусть
.
Рассмотрим подгруппы
и
.
Так как
– собственная
-субнормальная
подгруппа
и
,
то нетрудно видеть, что
– собственная подгруппа
,
.
Покажем, что
.
Рассмотрим два случая.
1.
Пусть
– абелева группа. Тогда
–
-группа,
– простое число. Так как
и подгруппа
-субнормальна
в
,
то по лемме 2.6 получаем
,
.
2.
Пусть
– неабелева группа. В этом случае
есть
прямое произведение изоморфных неабелевых
простых групп и
.
Рассмотрим
подгруппу
.
Так как подгруппа
-субнормальна
в
,
то ввиду леммы 2.4 и подгруппа
-субнормальна
в группе
.
Пусть
Ввиду
леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна
в
для любого
из
.
Так как формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп, то
–
-субнормальная
подгруппа
.
Кроме того, из
следует, что
.
Если
,
то
.
Получили противоречие с
.
Значит,
.
Так как
нормальна в
,
то
нормальна в
.
Но
где
– неабелева простая группа и
для всех
.
Поэтому
Из
и наследственности формации
следует, что
.
Но тогда
.
Далее, так как
,
то по лемме 2.5 подгруппа
-субнормальна
в
.
Значит, она
-субнормальна
и в
,
.
Тогда из
получаем что
Пусть
– добавление к подгруппе
в группе
.
Так как
,
то
.
В силу насыщенности формации
из
и
получаем,
что
.
Итак,
,
и
.
Используя тождество Дедекинда, имеем
Если
предположить, что
,
то
.
В этом случае
Так
как
,
то
не может быть
-субнормальной
подгруппой в
.
Следовательно, можно считать, что
,
.
Так
как подгруппа
-субнормальна
в группе
и
,
то из наследственности формации
следует, что подгруппа
-субнормальна
в
.
Так
как формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп, то
–
-субнормальная
подгруппа группы
.
Кроме того, из
и наследственности формации
имеем
.
Обозначим
,
,
и рассмотрим подгруппу
.
Если
,
то
,
что невозможно ввиду
-субнормальности
в
подгруппы
.
Пусть
.
Из
,
нормальности
в
и нормальности
в
следует, что
нормальна в
.
Так как
то
Таким образом получаем
Так
как
,
то
– подгруппа из
.
Тогда из
-субнормальности
в
подгрупп
и
следует, что подгруппа
-субнормальна
в
.
Это невозможно ввиду равенства
.
Значит,
.
Противоречие.
Докажем,
что из 2) следует 3). Пусть
,
где
– нормальная
-подгруппа
группы
,
.
Так как
и
,
то
.
Из наследственности формации
получаем, что подгруппа
-субнормальна
в
.
Ввиду леммы 2.6 подгруппа
теперь
-субнормальна
в
,
.
Так как выполняется условие 2) леммы, то
Следовательно,
– формация Фиттинга.
Пусть
–
-субнормальная
-подгруппа
группы
.
Ввиду леммы 2.5 подгруппа
-субнормальна
в
для всех
.
Так как выполняются условия 2) леммы, то
Отсюда следует, что
Наконец
установим, что из 3) следует 1). Доказательство
проведем индукцией по порядку группы
.
Пусть
и
–
-субнормальные
подгруппы группы
и
.
Если
– минимальная нормальная подгруппа
группы
,
то можно считать, что
.
Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем,
что
–
-субнормальная
подгруппа группы
.
На основании леммы 2.6 тогда подгруппа
-субнормальна
в
.
Если
,
то по индукции подгруппа
-субнормальна
в
,
и значит, ввиду леммы 2.5 она
-субнормальна.
Будем
далее считать, что
для любой минимальной нормальной
подгруппы группы
.
Ясно, что
.
Если
,
то в силу леммы 3.1.3
субнормальна в
.
Но тогда ввиду [8]
Это
означает, что
.
Противоречие. Значит
и
.
Аналогично доказывается, что
.
Итак,
и
.
По
условию леммы
– формация Фиттинга и
,
.
Следовательно,
Пусть
– минимальная нормальная подгруппа
группы
,
содержащейся в
.
Тогда
Из
наследственности формации
следует, что
–
-субнормальная
подгруппа группы
.
Итак,
порождение двух
-субнормальных
подгрупп
и
группы
-субнормальна
в
.
Ввиду леммы 2.5
– также
-субнормальная
подгруппа группы
.
Значит, формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма
[1].
Пусть
– наследственная локальная формация.
Если
замкнута относительно расширений, то
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп.
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим,
что из леммы 3.2 следует, что формации
и
обладают решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп.
Пусть
обозначают некоторое подмножество
множества натуральных чисел. Пусть
– некоторое семейство классов групп.
Обозначим через
класс всех групп
,
представимых в виде
где
и
,
.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1)
пусть
– наследственная локальная формация,
обладающая решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп,
.
Тогда и формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп;
2)
пусть
– некоторое семейство наследственных
локальных формаций и
для любых
.
Тогда и только тогда формация
обладает
решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп, когда для каждого
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп.
Пусть
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп,
.
Ввиду леммы 3.1
и
– формации Фиттинга поэтому из леммы
2.1.3 следует, что
также является формацией Фиттинга.
Пусть
–
-субнормальная
подгруппа группы
и
.
Ясно, что подгруппа
-субнормальна
в
для любого
.
Так как
и
,
то ввиду леммы 3.1 получаем, что
и
.
Следовательно,
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
обладает
решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп. Отметим, что
.
Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей
леммы и леммы 3.2 следует, что формация
обладает решеточным свойством для
-
субнормальных подгрупп.
Обратно,
пусть для любого
формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп. Пусть
Индукцией
по порядку группы
покажем, что любая группа
,
где
,
–
-субнормальные
-подгруппы
группы
принадлежат
.
Пусть
– минимальная нормальная подгруппа
группы
.
Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции
получаем, что
.
Так как
– насыщенная формация, то
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу
и
.
Ясно, что
Отметим также, что
где
– изоморфные простые группы для
.
Докажем,
что
.
Рассмотрим группу
.
Так как подгруппа
-субнормальна
в
,
то
.
Тогда по индукции
Рассмотрим
пересечение
.
Если
то
Отсюда
и из того факта, что
– нормальная подгруппа
и
следует, что
.
Пусть
.
Так как
– нормальная подгруппа из
,
то
– нормальная подгруппа из
.
А это значит, что
Из
наследственности формации
и
получаем, что
.
Но тогда
.
Из
строения
и
для
любых
,
следует, что
для некоторого
.
Так как
то
нетрудно видеть, что группа
имеeт
-холловскую
подгруппу
.
Так
как
,
то
–
-субнормальная
подгруппа группы
.
Так как
,
и
,
–
-субнормальные
подгруппы, то по индукции имеем, что
Отсюда
и из
ввиду
получаем
.
Аналогично доказывается, что
.
Таким образом,
Отсюда
и из
-субнормальности
и
в
нетрудно заметить, что
,
–
-субнормальные
подгруппы группы
.
Из
и
ввиду наследственности
следует, что
и
.
Так как по условию формация
обладает решеточным свойством для
-
субнормальных подгрупп, то ввиду леммы
3.1
Итак,
содержит некоторую группу
,
где
,
–
-субнормальные
-подгруппы
группы
.
Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация
обладает решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп. Лемма доказана.
Лемма
[1].
Пусть
– нормально наследственная разрешимая
формация. Тогда справедливы следующие
утверждения:
1)
если в каждой разрешимой группе все
-субнормальные
подгруппы образуют решетку, то
имеет вид
где
для любых
из
;
2)
если
– формация из пункта 1), то она обладает
решеточным свойством для
-субнормальных
подгрупп.
1)
Покажем, что
является либо группой Шмидта, либо
группой простого порядка. Очевидно, что
и
.
Пусть
– максимальный внутренний локальный
экран формации
.
Согласно лемме 2.3
где
– единственная минимальная нормальная
подгруппа группы
,
(
– простое число), а
– максимальная подгруппа группы
,
являющейся минимальной не
-группой.
Докажем,
что
– циклическая
-группа
для некоторого простого числа
.
Допустим противное. Тогда в
найдутся по крайней мере две несопряженные
максимальные подгруппы
и
.
Рассмотрим в
подгруппу
,
.
Ясно, что
-субнормальна
в
,
.
Из
,
и
по лемме 3.1 получаем, что
.
Получили противоречие с выбором
.
Следовательно,
– циклическая группа порядка
,
где
– некоторое простое число,
,
– натуральное число. Допустим, что
.
Обозначим через
– регулярное сплетение циклических
групп
и
соответственно порядков
и
.
По
теореме 6.2.8 из [2]
изоморфна некоторой подгруппе группы
.
Так как
и
,
то ввиду теоремы 2.4 из [5]
.
Рассмотрим
регулярное сплетение
,
где
.
Тогда
,
где
– элементарная абелева
-группа.
Так как
,
то
.
Из
следует
что
.
Рассмотрим
в
подгруппы
и
,
где
– база сплетения
.
Ясно, что
-субнормальна
в
,
.
Кроме того,
.
Отсюда
Так
как
,
то
по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно,
и
– группа Шмидта. Если
и
,
то по лемме 1.1.6
также является группой Шмидта. Таким
образом, любая разрешимая минимальная
не
-группа
является либо группой Шмидта, либо имеет
простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12
является наследственной формацией.
Покажем,
что формация
имеет такой локальный экран
,
что
p(F)
p'(F)
p(F)
Действительно. Пусть
– локальный экран формации
.
Так как
для любого простого числа
из
,
то
.
Покажем обратное.
Пусть
– группа минимального порядка из
.
Так как
– наследственная формация и
– насыщенная формация, то
– минимальная не
-группа
и
.
Теперь, согласно лемме 2.3
где
– единственная минимальная нормальная
подгруппа группы
,
причем
–
-группа,
,
а
– минимальная не
-группа.
Как показано выше
является либо группой простого порядка,
либо группой Шмидта.
Пусть
– группа простого порядка. Так как
,
то очевидно, что
.
Противоречие.
Пусть
– группа Шмидта. Тогда
– группа простого порядка, причем
,
.
Так как
,
то очевидно, что
Отсюда
следует, что
.
Получили противоречие. Следовательно
.
Итак,
и
– полный локальный экран формации
.
Покажем,
что
либо
для любых простых
,
.
Вначале
докажем, что из
следует
.
Допустим противное. Пусть
.
Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем
,
который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем
группу
.
Так как
и
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6]
существует точный неприводимый
-модуль
над полем
.
Рассмотрим группу
Так как
то
.
Ясно, что
.
Так как
,
то найдется
такой, что
.
Заметим, что
.
Тогда
Так
как
,
то
-субнормальна
в
и
-субнормальна
в
.
По лемме 3.1
.
Получили противоречие. Таким образом,
если
,
то
.
Пусть
теперь
.
Тогда
.
Предположим, что найдется такое простое
число
,
которое не принадлежит
.
Рассмотрим точный неприводимый
-модуль
над полем
.
Группа
принадлежит
ввиду
и
.
Теперь рассмотрим точный неприводимый
-модуль
.
Группа
формации
не принадлежит, так как
.
Ясно, что
.
Рассуждая как и выше, можно показать,
что
для некоторого
,
причем подгруппы
,
-субнормальны
в
,
причем
,
принадлежат
.
Отсюда по лемме 3.1
.
Получили противоречие.
Следовательно,
если
,
то
,
а значит
.
Более того, если
где
и
,
то
и
,
а значит,
.
Таким
образом, множество
можно разбить в объединение непересекающихся
подмножеств, т.е. представить в виде
,
где
для любых
из
и
для
.
Покажем, что
Обозначим
Так
как для любого
имеет место
,
то включение
очевидно.
Допустим,
что множество
непусто, и выберем в нем группу
наименьшего порядка. Так как
– наследственная формация, то
.
Группа
непримарна в силу равенства
и локальности формации
.
Из строения
и
нетрудно показать, что
– группа Шмидта. Ясно, что
.
Тогда по теореме 26.1 из [5]
,
где
– элементарная абелева
-группа,
– некоторые простые числа. Так как
,
то
Как
показано выше,
для некоторого номера
.
Но тогда
.
Получили противоречие с выбором
.
Следовательно,
где
для всех
.
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из
доказанной леммы следует, что разрешимая
наследственная локальная формация
тогда и только тогда обладает решеточным
свойством для
-субнормальных
подгрупп, когда
Заключение
В
курсовой работе рассмотрены решетки
субнормальных и
-субнормальных
подгрупп. Для построения теории решеток
-субнормальных
подгруп, аналогичной теории решеток
субнормальных подгрупп, разработанной
Виландтом, используются свойства
минимальных не
-групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3.
Семенчук В.Н. Минимальные не
-группы //
Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. –
С. 348–382.
4.
Семенчук В.Н. Конечные группы с
системой минимальных не
-подгрупп //
Подгрупповое строение конечных групп:
Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск:
Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die sub>normalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.