Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Контрольная работа
по высшей математике
по теме:
Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Выполнила:
Студентка II курса
Экономического факультета
Очного отделения
2007г
I. у″ - 4y′ + 4y = соs4х
у = U + у - общ. реш. н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2 - 4k + 4 = 0
k>1; 2> = 2
1) U =?
U = C>1>e2x + С>2>е2х ∙ х
2) у =? у = Acos4x + Bsin4xy′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x
y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x
16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =
= cos4x + 0 ∙ sin4x
12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x
12A + 16A = 016B - 12B = 0
4A = 04B = 0
A = 4 B = 4
y = 4cos4x + 4sin4x
y = C>1>e2x + C>2>e2x · x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С>1>e2x + 2C>2>e2x · x - 16sin4x + 16cos4x
1 = C>1> + C>2> + 4С>1> + С>2> = 3 С>1> + 13 = 3
0 = 2C>1> + 2C>2> + 162С>1 >+ 2С>2> = 16
С>1> + С>2> = 13
С>1> = - 10С>2> = 13
у = - 10е2х + 13е2х> >· x + 4cos4x + 4sin4x - частное решение при заданных условиях
II. у″ - 4y′ + 4y = 5х2 + 3х + 1
у = U + у - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2 - 4k + 4 = 0
k>1; 2> = 2
1) U =?
U = C>1>e2x + С>2>е2х ∙ х
2) у =? у = Ах2 + Вх + Сy′ = 2Ах + В
у″ = 2А
2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х2 + 3х + 1
4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4
8А + 4В = 3
2А - 4В + 4С = 1
у = 5/4х2 + 3 + 1/4
у = C>1>e2x + С>2>е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С>1>e2x + 2C>2>e2x + 5/2х - 1/8
1 = C>1> + C>2> + 5/4 C>1> + C>2 >= 1/4
0 = 2C>1> + 2C>2> + 5/22C>1> + 2C>2> = 5/2
C>1> + С>2 >= 9/4
C>1 >= - 2С>2 >= 9/4
у = - 2e2x + 9/4е2х ∙ х + 5/4х2 + 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.
III. у″ - 4у′ + 4у = 2е5х
у = U + у - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2 - 4k + 4 = 0
k>1; 2> = 2
1) U =?
U = C>1>e2x + С>2>е2х ∙ х
2) у =? у = Ае5х y′ = 5А5х
у″ = 25Ае5х
25Ае5х - 20Ае5х + 4А5х = 2е5х
9А5х = 2е5х
А = 2/9 у = 2/9е5х
у = C>1>e2x + С>2>е2х ∙ х + 2/9е5х - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2C>1>e2x + 2С>2>е2х ∙ х + 10/9е5х
1 = C>1> + С>2 >+ 2/9C>1> + С>2 >= 7/9
0 = 2C>1>+ 2С>2>+ 10/92C>1>+ 2С>2 >= 10/9
C>1> + С>2 >= 1/3
C>1> + 1/3 = 7/9
С>1> = 4/9 С>2> = 1/3
у = 4/9e2x + 1/3е2х ∙ х + 2/9е5х - частное решение при заданных условиях.
Комплексные числа
- 1 = i - мнимое число
(
- 1) 2 = i 2 i
2 = - 1
i 3 = i 2 ∙ i = - 1 ∙ i = - i
i 4 = i 2 ∙ i 2 = ( - 1) ∙ ( - 1) = 1
а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R
Геометрический смысл комплексного числа:
в
. (а; в)
ρ в ρ = а 2 + в 2 = а + вi
) d а
а d = arctg в/а –
аргумент комплексного числа
(находится с учетом четверти)
tg
нет
|
d |
0 0 |
П/6 |
П/4 |
П/3 |
П/2 |
|
tg |
0 |
3/ 3 |
1 |
3 |
--- |
0
0
+ -
нет
cosd = a / ρ a = ρcosd
sind = в / ρ в = ρsind
а + вi = ρcosd + i ρsind
а + вi = ρ (cosd + i sind) –
комплексное число в тригонометрической форме
Действия с комплексными числами:
Сложение:
а>1> + в>1>i + а>2> + в>2>i = а>1> + а>2 >+ (в>1> + в>2>) i
Умножение:
(а>1> + в>1>i) (а>2> + в>2>i) = а>1>а>2 >+в>1>в>2>i 2 + а>1>в>2>i
а>1>а>2 - >в>1>в>2 >+ (в>1>а>2 >+ а>2>в>2>) i
Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:
е iу = cosу + isinу z = ρе i φ
Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:
1) (7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i
(7 + 3i) = 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln 58 е arctg 3/7 = е ln 58 + i arctg 3/7
ρ>1> = 58
φ>1> = arctg 3/ 7
(3 + 7i) = 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln 58 е arctg 7/ 3 = е ln 58 + i arctg 7/ 3
ρ>2> = 58
φ>2> = arctg 7/ 3
58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =
= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =
= е ln 58 е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
При решении примера использовали формулу:
ρ>1> (cosφ>1> + isinφ>1>) ρ>2> (cosφ>2> + isinφ>2>) = ρ>1> ρ>2> (cos (φ>1 >+ φ>2>) + i (sin (φ>1 >+> >φ>2>))
Проверка:
е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -
sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)
c
os
(arctg 3/ 7) = 1/ (
1 + tg2
(arctg 3/ 7)) = 1/
1 + (9/49) = 7/
58
cos (arctg 7/ 3) = 3/ 58
s
in
(arctg 3/ 7) =
1 - cos2arctg
3/ 7 =
1 - (7/
58) 2
= 9/
58 = 3/
58 sin (arctg 7/3) =
1 - cos2arctg
7/ 3 = 7/
58
cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/ 58 3/ 58 - 3/ 58 7/ 58 = 0
sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/ 58 3/ 58 3/ 58 3/ 58 = 0
Возведение в степень:
(7 + 3i) (3 + 7i) = 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln 58 + i arctg 3/7
(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i2 = 40 + 42i
(
58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 =
58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =
= е ln 58 + i arctg 3/7
Проверка:
е ln 58 + i arctg 3/7 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)
cos2arctg 3/ 7 = 2cos2arctg 3/7 - 1 = 2 (7/ 58) 2 - 1 = 40/58
sin2arctg 3/ 7 = 2sin2arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/ 58) ∙ (7/ 58) = 42/58
58 (40/58 + 42/58 i) = 40 + 42i
При решении примера применяли следующие формулы:
(ρ (cosd + i sind)) п = ρ п (cosпd + i sinпd) п є N
е х + iу = е х (cosу + isinу)
2) (3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i
(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5 е arctg 4/ 3 = е ln 5 + i arctg 4/ 3
ρ>1> = 25 = 5
φ>1> = arctg 4/ 3
(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5 е arctg 3/ 4 = е ln 5 + i arctg 3/ 4
ρ>2> = 5
φ>2> = arctg 3/ 4
5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =
= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =
= е ln 25 е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
При решении примера использовали формулу:
ρ>1> (cosφ>1> + isinφ>1>) ρ>2> (cosφ>2> + isinφ>2>) = ρ>1> ρ>2> (cos (φ>1 >+ φ>2>) + i (sin (φ>1 >+> >φ>2>))
Проверка:
е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = 25 (cos (arctg 4/ 3 +
+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))
cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -
sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)
cos
(arctg 4/ 3) = 1/ (
1 + tg2
(arctg 4/ 3)) = 1/
1 + (16/ 9) = 3/ 5
cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5
s
in
(arctg 4/ 3) =
1 - cos2arctg
4/ 3 =
1 - 9/ 5 = 4/5
sin
(arctg 3/ 4) =
1 - cos2arctg
3/ 4 = 3/ 5
cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 4/5 - 3/ 5 4/5 = 0
sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 3/5 - 4/ 5 3/5 = 0
Извлечение корня третий степени из комплексного числа:
Применяем формулу:
п
ρ (cosd + i
sind) = п
ρ (cos d
+ 2Пк / п + i sin
d + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)
3 3 +4i = 3 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)
z>1> = 6 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0
z>2 >= 6 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1
z>3 >= 6 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2