Решение уравнений с параметрами
Городская открытая научно – практическая конференция
Тема: Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями
Автор:
Научный руководитель:
2007 г.
Содержание
1. Введение
2. Решение уравнений с параметрами
3. Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями
4. Заключение
5. Используемая литература
Введение
Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.
Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
дать определения понятиям уравнение с параметрами;
показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;
показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.
Для выполнения поставленной цели были использованы следующие методы: использование литературы разного типа, работа в группах на уроках алгебры и занятиях элективного курса по математике, участие проектной группы в городской конференции по данной теме в 2006 году.
Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.
Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.
Решение уравнений с параметрами
Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.
Большинство пособий адресовано абитуриентам, однако начинать знакомиться с подобными задачами нужно намного раньше – параллельно с соответствующими разделами школьной программы по математике.
Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, - степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.
Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, - это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.
Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.
Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.
Решить уравнение - значит:
найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.
При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих – два корня.
При решении таких уравнений надо:
1) найти множество всех доступных значений параметров;
2) перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;
3) привести подобные слагаемые;
4) решать уравнение ax = b.
Возможно три случая.
1. а
0,
b –
любое действительное число. Уравнение
имеет единственное решение х =
.
2. а = 0, b
= 0. Уравнение принимает вид: 0х = 0, решениями
являются все хR.
3
.
а = 0, b
0. Уравнение 0х = b
решений не имеет.
Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.
Ответ:
х =
при а
0, b
– любое действительное число;
х – любое число при а = 0, b = 0;
решений нет при а = 0, b ≠ 0.
Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями
1. Найдем значения параметра n, при которых уравнение 15·10 х – 20 = n – n · 10х + 1 не имеет корней?
Решение: преобразуем
заданное уравнение: 15·10
х – 20 = n
– n
· 10х + 1; 15·10
х + n·
10х + 1 = n
+ 20; 10 х ·(15
+ 10n)
= n
+ 20; 10 х =
.
Уравнение не будет иметь решений
при
≤ 0, поскольку 10 х
всегда положительно.
Решая указанное неравенство
методом интервалов, имеем:
≤ 0; (n
+ 20)·(15 + 10n)
≤ 0; - 20 ≤ n
≤ - 1,5.
Ответ:
.
2. Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg2 (1 + х2) + (3а – 2)· lg(1 + х2) + а2 = 0 не имеет решений.
Решение: обозначим lg(1 + х2) = z, z > 0, тогда исходное уравнение примет вид: z2 + (3а – 2) · z + а2 = 0. Это уравнение – квадратное с дискриминантом, равным (3а – 2)2 – 4а2 = 5а2 – 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2 – 12а + 4 < 0 выполняется при 0,4 < а <2.
Ответ: (0,4; 2).
3. Найдем наибольшее целое значение параметра а, при котором уравнение cos2x + asinx = 2a – 7 имеет решение.
Решение: преобразуем заданное уравнение:
cos2x
+ asinx
= 2a
– 7; 1 – 2sin2х
– asinx
= 2a
– 7; sin2х
-
asinx
+ a
– 4 = 0;
(sinх
– 2) ·
= 0.
Решение уравнения (sinх
– 2) ·
= 0 дает:
(sinх – 2) = 0; х принадлежит пустому множеству.
sinх -
= 0; х = (-1)n
arcsin
+ πn,
n
Z
при
≤ 1. Неравенство
≤
1 имеет решение 2 ≤ а
≤ 6, откуда следует, что наибольшее целое
значение параметра а равно 6.
Ответ: 6.
4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х2 - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).
Решение: корни
заданного уравнения равны: х>1>
=> >
>
>(1+
)
х>2 >=>
>
,
при этом а ≤
.
По условию -1 <
(1+
)
< 1
<
<
3,
- 1 <
<
1
>
> - 3.
Решением, удовлетворяющим
указанным двойным неравенствам, будет
решение двойного неравенства: - 3 <
< 3.
Неравенство - 3 <
выполняется при всех а ≤
,
неравенство
<
3 – при - 2 < а
≤
.
Таким образом, допустимые значения
параметра а
лежат в интервале (-2;
.
Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0.
Ответ: 0.
5. При каких значениях параметра а число корней уравнения
2
-
х
= 0 равно а?
Решение: построим
эскиз графика функции, у =
2
-х
при этом учтем, что функция у – четная
и ее график – симметричен относительно
оси ординат, в силу чего можно ограничиться
построением только его правой части (
х ≥ 0). Также учтем, что трехчлен х2
- 8х + 7 имеет корни х = 1 и х
= 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 – минимум,
равный – 9. На рисунке: пунктирными
прямыми изображена парабола
у = х2 - 8х + 7 с минимумом у>мин >равным - 9 при х >мин >= 4, и корнями х>1> = 1 и х>2> = 7;
сплошными линиями изображена
часть параболы у =
2
– 8х +
(1 < х < 7), полученная зеркальным
отражением относительно оси 0х части
параболы
х2 - 8х + 7 при 1 < х < 7.
(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси 0у).
Проводя горизонтали у = а,
а
N,
получаем k
точек ее пересечение с линиями эскиза
графика. Имеем:
|
а |
0 |
[1; 6] |
7 |
8 |
9 |
|
|
к |
4 |
8 |
7 |
6 |
4 |
2 |
Таким образом, а = k при а = 7.
Ответ: 7.
6. Указать значение параметра а, при котором уравнение
х4 + (1 – 2а)х2 + а2 – 4 = 0 имеет три различных корня.
Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.
Корни заданного уравнения равны:
х =
Одна из пар корней будет равна
0, если (2а-1) =
. Решая это уравнение при условии 2а-1 >
0
>
,
имеем: (2а – 1) =
(2а
– 1)2 = 17 –
4а
4а2
– 4а +1 = 17 – 4а
а
= 2.
Ответ: 2.
Указать целое значение параметра p, при котором уравнение
cosx
– 2sinx
=
+
имеет решение.
Решение: р
≥ 0; 2 – р ≥ 0
р ≤ 2; объединяя
допустимые значения параметра р,
имеем:
0 ≤ р ≤ 2.
При р
= 0 исходное уравнение принимает вид –
2sinх
= 2
х
принадлежит пустому множеству ( в силу
ограниченности синуса).
При р = 1 исходное уравнение принимает вид:
cosx-2sinx
=
+1.
Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет
= (- sinx
– 2cosx)
= 0
tgx
= -2, при этом sinx
=
sin
(arctg(-2))
=
,
cosx
– 2sinx
=
,
что меньше
+1.
Следовательно, при р = 1 уравнение решений не имеет.
При р = 2 исходное уравнение принимает вид
.
Максимальное значение разности
составляет
при х = arctg(-)
(при этом sinx
=
, cosx
=
).
Поскольку
>
+1, то уравнение
=
будет иметь решение.
Ответ: 2.
8. Определить число натуральных
n,
при которых уравнение
не имеет решения.
Решение: х ≠ 0, n ≠ 10.
Уравнение х2
– 8х – n(n
– 10) = 0 не имеет решения, если его
дискриминант меньше 0, т.е. 16 + n(n-10)
< 0
n2
-10n
+16 < 0
(n-2)
(n-8)
<0
2 < n
< 8.
В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие n ≠ 10, находим, что общее число натуральных n, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.
Ответ: 6.
9. Найти наименьшее целое значение
параметра а, при котором уравнение
(0
< х <
)
имеет решение.
Решение: по условию
1 > sinx
> 0
1
<
<
+
,
1 > cosx
> 01
<
<
+
,
Следовательно, 2 < а < +
.
Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:
= а2
= а2
= а2.
Введем переменную z
=
.
Тогда исходное уравнение примет вид:
z2 + 2z – а2 = 0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его дискриминант
D = 1 + а2 положителен при любом а.
Учитывая, что 2 < а
< +
,
заключаем, что наименьшее целое значение
параметра а,
при котором заданное уравнение имеет
решение равно 3.
О
твет:
3.
Заключение
Во время создания данного проекта мы усовершенствовали свои старые знания по теме «Уравнения с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями » и в какой-то мере получили новые.
По завершению работы мы пришли к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся (студентам) знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.
Используемая литература.
П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир «Задачи с параметрами», 2002г.
Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.
В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.
В.В.Ткачук «Математика – абитуриенту», 1994г.
Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.
А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.
В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.
«Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.
М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.
А.П. Карп «Даю уроки математики…», 1992 г.
В.В. Ткачук «Математика – абитуриенту», 1996 г.