Решение линейной системы уравнений с тремя неизвестными
Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
Решение:
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы не равен нулю. Найдем вспомогательные определители >1>, >2>, >3>, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ:
получили решение: >
>
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
>
>
Примем первую строку за направляющую, а элемент а>11> = 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.
>
>
Матрице
>
>
соответствует множество решений системы
линейных уравнений >
>
Ответ:
получили решение: >
>
Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х>1>; у>1>) и В(х>2>; у>2>) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х>1>; у>1>) и В(х>2>; у>2>) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент k>АВ> прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У
нас
,
то есть
откуда
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент k>ВС> прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у = kx - b.
У
нас
,
то есть
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения k>ВС> и k>АВ> в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х>0>; у>0>) с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением k>AB>k>CD> = -1, откуда k>CD> = -1/k>AB> = - 3/4
Подставив в (4) вместо k значение k>С>>D> = -3/4, а вместо x>0>, y>0> ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х>0>; у>0>) до заданной прямой с уравнением Ax + By + С = 0 , которая имеет вид:
Подставив в (5) вместо х>0>; у>0> координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то k>EF> = k>AB> = 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х>0>; у>0> координаты точки Е, а вместо k значение k>EF> получаем уравнение прямой EF'.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.
Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М>0>(х>0>; у>0>) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1.
Рис. 1
Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Решение
Пусть М (x, у) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Pиc. 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 5
Найти производные dy/dx, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Решение:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
в)
Ответ:
Задача 6
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а)
;
б)
Решение
а)
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: х}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х>1> = 1, х>2> = 2.
Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:
|
х |
(-; 1) |
1 |
(1; 2) |
2 |
(2; ) |
|
f ’(x) |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
max |
|
min |
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
|
х |
(-; 1,5) |
1,5 |
(1,5; ) |
|
f ‘’(x) |
- |
0 |
+ |
|
f(x) |
|
т. п. |
|
Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:
4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции
б)
1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х
D(y) = х0 0, .
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.
Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает во всей области определения
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:
|
х |
(-; 0) |
0 |
(0; ) |
|
f ‘’(x) |
- |
не существует |
+ |
|
f(x) |
|
не существует |
|
5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами
Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота
y = 0*x + 1 = 1.
6) построим график функции
