Решение задач по курсу теории вероятности и математической статистики

Вариант 1

№ 1

Три стрелка делают по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятности поражения целей равны соответственно р_>1>= 0,9, р_>2>= 0,8, р_>3>= 0,7.

Найти вероятности того, что:

а) все три стрелка попадают в цель;

б) только один из них попадает в цель;

в) хотя бы один стрелок попадает в цель.

Обозначим события: А – все 3 стрелка попадают в цель; В – только один стрелок попадает в цель; С – хотя бы один стрелок попадает в цель.

Вероятности промахов равны соответственно: q_>1> = 0,1, q_>2> = 0,2, q_>3> = 0,3.

а) Р(А) = р_>1>р_>2>р_>3> = 0,9∙0,8∙0,7 = 0,504.

б) Р(В) = p_>1>q_>2>q_>3> + q_>1>p_>2>q_>3> + q_>1>q_>2>p_>3> = 0,9∙0,2∙0,3 + 0,1∙0,8∙0,3 + 0,1∙0,2∙0,7 = 0,092.

в) Событие – все три стрелка промахиваются. Тогда

Р(С) = 1 – Р() = 1 – 0,1∙0,2∙0,3 = 1 – 0,006 = 0,994.

№ 11

Вероятность наступления события в каждом из одинаковых независимых испытаний равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит ровно 5 раз

У нас n достаточно великó, р малó, λ = np = 150 ∙ 0,02 = 3 < 9, k = 5. Справедливо равенство Пуассона: . Таким образом,

№ 21

По данному закону распределения дискретной случайной величины Х определить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и среднее квадратическое отклонение σ(Х).

х_>і>	1	2	3	4	5
р_>і>	0,05	0,18	0,23	0,41	0,13

Последовательно получаем:

_>5>

М(Х) = ∑ х_>і>р_>і> = 0,05 + 2∙0,18 + 3∙0,23 + 4∙0,41 + 5∙0,13 = 3,39.

i=1

_>5>

D(X) = ∑ x_>i>²p_>i> – M² = 0,05 + 2²∙0,18 + 3²∙0,23 + 4²∙0,41 + 5²∙0,13 – 3,39² = i=1

1,1579.

σ(Х) = √D(X) = √1,1579 = 1,076.

№ 31

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F= – 0 = .

Графики функций поданы далее.

№ 41

Определить вероятность того, что нормально распределённая величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (α; β) если известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Данные: α = 2; β = 13; а = 10; σ = 4.

Используем формулу Р(α < x < β) =

Имеем: Р(2 < x < 13) == Ф– Ф(–2).

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

Ф– Ф(–2) = Ф+ Ф(2) = 0,2734 + 0,4772 = 0,7506.

№ 51

По данному статистическому распределению выборки

х_>і>	4	5,8	7,6	9,4	11,2	13	14,8	16,6
m_>і>	5	8	12	25	30	20	18	6

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

, где С – одно из значений х_>і>, как правило, соответствующее наибольшему значению m_>і>, а h – это шаг (у нас h = 1,8).

Пусть С = 11,2. Тогда .

Заполним таблицу:

x_>i>	m_>i>	x_>i>´	x_>i>m_>i>	(x_>i>´)²m_>i>
4	5	– 4	– 20	80
5,8	8	– 3	– 24	72
7,6	12	– 2	– 24	48
9,4	25	– 1	– 25	25
11,2	30	0	0	0
13	20	1	20	20
14,8	18	2	36	72
16,6	6	3	18	54
	∑ = 124		∑ = – 19	∑ = 371

Используя таблицу, найдём ;

D(x´) = ∑(x_>i>´)²m_>i> – (x_>i>´)² = – (– 0,1532)² = 2,9685.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = x´h + C = – 0,1532∙1,8 + 11,2 = 10,9242; D(x) = D(x´)∙h² = 2,9685∙1,8² = 9,6178;

σ(x) = √D(x) = √9,6178 = 3,1013.

№ 61

По данной корреляционной таблице найти выборочное уравнение регрессии.

у х	6	9	12	15	18	21	n_>y>
5	4	2					6
15		5	23				28
25			18	44	5		67
35			1	8	4		13
45					4	2	6
n_>x>	4	7	42	52	13	2	n = 120

Для упрощения расчетов введем условные переменные

u = , v = . Составим таблицу:

v u	– 3	– 2	– 1	0	1	2	n_>v>	n_>uv>uv
– 2	4 ⁶	2 ⁴					6	32
– 1		5 ²	23 ¹				28	33
0			18 ⁰	44 ⁰	5 ⁰		67	0
1			1 ^–1	8 ⁰	4 ¹		13	3
2					4 ²	2 ⁴	6	16
n_>u>	4	7	42	52	13	2	n = 120	∑ = 84

Последовательно получаем:

;

σ_>u>² = – (u)² = 1,058 – (– 0,425)² = 0,878; σ_>u> = √0,878 = 0,937;

σ_>v>² = – (v)² = 0,742 – (– 0,125)² = 0,726; σ_>v> = √0,726 = 0,8521;

По таблице, приведённой выше, получаем ∑n_>uv>uv = 84.

Находим выборочный коэффициент корреляции:

Далее последовательно находим:

x = u∙h_>1> + C_>1> = – 0,425∙3 + 15 = 13,725; y = v∙h_>2> + C_>2> = – 0,125∙10 + 25 = 23,75;

σ_>x> = σ_>u>∙h_>1> = 0,937∙3 = 2,811; σ_>y> = σ_>v>∙h_>2> = 0,8521∙10 = 8,521.

Уравнение регрессии в общем виде: Таким образом,

упрощая, окончательно получим искомое уравнение регрессии:

Необходимо произвести проверку полученного уравнения регрессии при, по крайней мере, двух значениях х.

1) при х = 12 по таблице имеем

по уравнению:

у_>х=12> = 2,457∙12 – 9,968 = 19,516; ε_>1> = 19,762 – 19,516 = 0,246;

2) при х = 18 по таблице имеем

по уравнению:

у_>х=18> = 2,457∙18 – 9,968 = 34,258; ε_>2> = 34,258 – 34,231 = 0,027.

Отмечаем хорошее совпадение эмпирических и теоретических данных.

Вариант 2

№ 2

Для сигнализации об аварии установлены 3 независимо работающие устройства. Вероятности их срабатывания равны соответственно р_>1> = 0,9, р_>2> = 0,95, р_>3> = 0,85. Найти вероятности срабатывания при аварии:

а) только одного устройства;

б только двух устройств;

в) всех трёх устройств.

Обозначим события: А – срабатывает только одно устройство; В – срабатывают 2 устройства; С – срабатывают все 3 устройства. Вероятности противоположных событий (не срабатывания) соответственно равны q_>1> = 0,1, q_>2> = 0,05, q_>3> = 0,15. Тогда

а) Р(А) = p_>1>q_>2>q_>3> + q_>1>p_>2>q_>3> + q_>1>q_>2>p_>3> = 0,9∙0,05 ∙0,15 + 0,1∙0,95∙0,15 + 0,1∙0,05∙0,85 = 0,02525.

б) Р(В) = p_>1>p_>2>q_>3> + p_>1>q_>2>p_>3> + q_>1>p_>2>p_>3> = 0,9∙0,95∙0,15 + 0,9∙0,05∙0,85 + 0,1∙0,95∙0,85 = 0,24725.

в) Р(С) = р_>1>р_>2>р_>3> = 0,9∙0,95∙0,85 = 0,72675.

№ 12

В партии из 1000 изделий имеется 10 дефектных. Найти вероятность того, что из взятых наудачу из этой партии 50 изделий ровно 3 окажутся дефектными.

По условию n = 50, k = 3. Поскольку р малó, n достаточно большое, в то же время nр = 0,5 < 9, справедлива формула Пуассона: .

Таким образом,

№ 22

х_>і>	2	3	4	5	8
р_>і>	0,25	0,15	0,27	0,08	0,25

Последовательно получаем:

М(Х) = ∑ х_>і>р_>і> = 2∙0,25 + 3∙0,15 + 4∙0,27 + 5∙0,08 + 8∙0,25 = 4,43.

i=1

D(X) = ∑ x_>i>²p_>i> – M² = 2²∙0,25 + 3²∙0,15 + 4²∙0,27 +5²∙0,08 + 8²∙0,25 – 4,43² і=1

= 5,0451.

σ(Х) = √D(X) = √5,0451 = 2,246.

№ 32

Случайная величина Х задана интегральной функцией

а) дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности);

б) математическое ожидание и дисперсию величины х;

в) вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу

;

г) построить графики функций F(x) и f(x).

Последовательно получаем:

а) ;

в) Р(a < x < b) = F(b) – F(a)  P= F(1) – F=

Графики функций приводятся далее.

№ 42

Используя формулу имеем

Поскольку функция Лапласа есть нечетная, можем записать:

№ 52

По данному статистическому распределению выборки

х_>і>	7,6	8	8,4	8,8	9,2	9,6	10	10,4
m_>і>	6	8	16	50	30	15	7	5

Определить: а) выборочную среднюю; б) выборочную дисперсию; в) выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для решения задачи введём условную переменную

где С – одно из значений х_>і>, как правило, соответствующее наибольшему значению m_>і>, а h – это шаг (у нас h = 0,4).

Пусть С = 8,8. Тогда

Заполним таблицу:

x_>i>	m_>i>	x_>i>´	x_>i>m_>i>	(x_>i>´)²m_>i>
7,6	6	– 3	– 18	54
8	8	– 2	– 16	32
8,4	16	– 1	– 16	16
8,8	50	0	0	0
9,2	30	1	30	30
9,6	15	2	30	60
10	7	3	21	63
10,4	5	4	20	80
	∑ = 137		∑ = 51	∑ = 335

Используя таблицу, найдём

;

D(x´) = ∑(x_>i>´)²m_>i> – (x_>i>´)² = – 0,3723² = 2,3067.

Теперь перейдем к фактическим значениям х и D(x):

x = x´h + C = 0,3723∙0,4 + 8,8 = 8,9489; D(x) = D(x´)∙h² = 2,3067∙0,4² = 0,3961;

σ(x) = √D(x) = √0,3961 = 0,6075.

№ 62

По данной корреляционной таблице

у х	4	8	12	16	20	24	n_>y>
10	2	5					7
20		6	8	4			18
30		8	46	10			64
40			5	20	4		29
50			3	14	2	5	22
n_>x>	2	19	62	48	6	3	n = 140

найти выборочное уравнение регрессии.

Для упрощения расчетов введём условные переменные

Составим таблицу.

v u	– 2	– 1	0	1	2	3	n_>v>	n_>uv>uv
– 2	2 ⁴	5 ²					7	18
– 1		6 ¹	8 ⁰	4 ^–1			18	2
0		8 ⁰	46 ⁰	10 ⁰			64	0
1			5 ⁰	20 ¹	4 ²		29	28
2			3 ⁰	14 ²	2 ⁴	5 ⁶	22	66
n_>u>	2	19	62	48	6	3	n = 140	∑ = 114