Редуцированные полукольца
Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
Работу выполнил студент
математического факультета
\Подпись\ ____________
Научный руководитель:
К.физ.-мат. наук
.
\Подпись\ ____________
Рецензент:
Д. физ.-мат. наук, профессор
.
\Подпись\ ____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров, 2003.
План.
Введение.
Основные понятия, леммы и предложения.
Доказательство основной теоремы.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
(S, +) коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
(S, ) полугруппа с нейтральным элементом 1;
умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
для любых a, b, c S;
0a = 0 = a0 для любого a S.
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо
S
называется редуцированным,
если для любых a,
bS
выполняется a
= b,
как только a
+
b=
ab
+ ba.
Целью данной работы является
доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
S слабо риккартово;
a, bS
(D(a)D(b)=
=);
все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;
каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);
Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).
2.Основные понятия, леммы и предложения
Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.
Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a, b, b, c S выполняется
abc = abc acb = acb.
Определение 4.
Элемент aS
называется нильпотентным,
если в последовательности a,
a,
a
,…,
a
,
… встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов.
Доказательство: Пусть ab = ab. Тогда
baba = baba и baba = baba,
откуда
baba + baba = baba + baba
или иначе
(ba)+
(ba)=
baba
+ baba.
В силу редуцированности ba = ba, т.е.
ab = ab ba = ba. (1)
Аналогично доказывается ba = ba ab = ab.
Пусть ab = ab. Тогда с помощью (1) ba = ba, откуда bac = bac и acb = acb. Значит, имеем:
ab = ab acb = acb, ba = ba bca = bca. (2)
Пусть сейчас abc = abc. Тогда
abc = abc acbc = acbc acbac = acbac acbacb = acbacb и
acbacb
= acbacb
(acb)+
(acb)=
acbacb
+ acbacb
acb
= acb.
Таким же образом доказывается другая импликация.
Пусть
a+
b=
ab
+ ba
влечёт
a
= b.
При
b
= 0 получаем
a=
0
a
= 0. Если с=
0 для некоторого натурального n
2, то c
=
0 для k
с условием n
2
.
Получаем, что c
=
0, и так далее. На некотором шаге получим
c=
0, откуда с =
0. Предложение доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b, 1}, операции в котором заданы следующим образом:
|
+ |
a b 1 |
||||
|
a b 1 |
a b 1 b b b 1 b 1 |
||||
|
|
a b 1 |
|
a b 1 |
a a a b b b a b 1 |
Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.
Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB P влечёт A P или B P для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.
Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a P или b P для a, b S.
Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a, b S \ P найдётся элемент s S такой, что asb P. Если S коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a, b P влечёт ab P.
Доказательство:
Пусть P
первичен и элементы a,
b
P.
Тогда главные идеалы (a)
и (b)
не лежат в P,
как и их произведение. Значит, некоторый
элемент t
aSb
не принадлежит P,
поскольку t
=
для некоторых u
,v,w
S,
то хотя бы для одного i
{1,…,k}
a
vb
P,
ибо в противном случае каждое слагаемое
uavbw
лежит в P,
и следовательно, t
P.
Обратно. Пусть произведение
идеалов A
и B
лежит в P,
но A
P.
Тогда найдётся a
A
\ P.
Предположим, что B
P.
Получим, что некоторый элемент b
B
\ P
и по условию asb
P
для подходящего s
S.
Но тогда и AB
P,
и следовательно, P
первичный идеал.
Утверждение для коммутативного случая очевидно.
Определение 7. Подмножество T полукольца называется mсистемой, если 0 T, 1 T и для любых a, b T найдётся такой s S, что asb T.
Пример. Рассмотрим
множество T
= {a
,a,
a,
… , a},
где n
и a
0. Оно является подмножеством
полукольца R
неотрицательных
действительных чисел с обычными
операциями сложения и умножения.
0
T,
1
T
и для a
,a
T
с
= 1S
: aсa=
a
T.
Таким образом, T
является mсистемой.
Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m-системой. И хотя дополнение до mсистемы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.
Предложение
3.
Пусть T
mсистема,
а J
произвольный идеал полукольца S,
не пересекающийся с T.
Тогда любой максимальный идеал среди
содержащих J
и не пересекающихся с T
первичен.
Доказательство: Пусть P J, P T = и P максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb P для некоторых a, b P. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T. Пусть m (P + SaS) T, r (P + SbS) T и msr T для некоторого sS. Но, с другой стороны,
msr (P + SaS) (P + SbS) P +SaSbS P.
Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb P неверно, и P первичный идеал. Предложение доказано.
Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M A влечёт M = A или A = S для каждого идеала A.
Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.
Доказательство: Рассмотрим нулевой идеал J и не пересекающуюся с ним mсистему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.
Определение 9. Для любого a S множество
Ann aS = {t S: (s S) ast=0} называется аннулятором элемента a.
Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S.
Ann a ={s S: as = 0} правый идеал и Ann aS Ann a.
Определение 10. Для
любого идеала P
множество Op
= {s
S:
(tP)
sSt
= 0} = {s
S:
Ann
sS
P}
называется Oкомпонентой
идеала P.
Лемма 1. Op является идеалом для любого первичного идеала P.
Доказательство: Пусть a, b Op. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t, u P. В силу первичности P tsu P для подходящего s S. Для любого v S
(a + b)vtsu = (avt)su + b(vts)u = 0.
Далее, (as)vt = a(sv)t = 0, (sa)vt = s(avt) = s0 = 0, поэтому a + b, sa, as Op, и Op идеал.
Лемма 2. Пусть P M первичные идеалы полукольца.
Тогда OM Op P.
Доказательство: Пусть a OM, тогда aSt = 0 для некоторого t M. Поскольку t P, то a Op, и значит, OM Op. Для любого s S 0 = ast P. Поскольку P первичен, то a P или t P, отсюда a P, и следовательно, Op P.
Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P симметрического полукольца S верна импликация:
P
P
не содержит первичных идеалов
Op
P.
Доказательство:
Предположим, что Op
P.
Полагая A
= S
\ P
и B
= S
\ P,
рассмотрим множество AB
всевозможных конечных произведений
элементов из A
B.
Покажем, что AB
Op
= .
В самом деле, если s
AB
Op,
то sb
= 0 для некоторого b
A,
т.е. {0}
AB.
Поскольку s
является произведением
элементов из A
B,
то в силу первичности идеалов P
и P
и свойства симметрических полуколец
uv
= 0 для подходящих u
B,
v
A.
Откуда u
Op
P
противоречие.
Таким образом, AB
является mсистемой,
и значит, существует первичный идеал
Q,
не пересекающийся с AB
и содержащий Op.
А так как A
B
AB,
то P
P
Q.
Получили противоречие с условием, значит
наше предположение неверно, и Op
P.
Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P в симметрическом полукольце, если Op P , то пересечение P и P содержит хотя бы один первичный идеал.
Определим множество (a,
b)
= {s
S:
xS
(axs
= bxs)}
идеал полукольца S
для a,
b
S.Очевидно,
(a,
0)
= Ann
aS.
Для произвольного идеала A
обозначим
пересечение первичных идеалов полукольца
S,
содержащие идеал A.
Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a, b S выполняется
= (a,
b).
Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S.
Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.
Предложение 5.
Полукольцо S
полупервично тогда и только тогда,
когда
=
Ann
aS
для всех a
S.
Доказательство:
При a
= 1 rad
S
=
= Ann
S
= 0, т.е. S
полупервично.
Пусть S
полупервичное полукольцо и b
.
Для каждого первичного идеала P,
либо P
содержит Ann
aS,
либо Ann
aS
не содержится в P.
В первом случае b
P,
во втором случае a
Op
P.
Тогда aSb
rad
S
= 0, откуда b
Ann
aS.
Следовательно,
Ann
aS.
Другое включение справедливо всегда.
Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.
Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.
Доказательство:
Пусть c
(a,
b)
для a,
b
S.
Тогда ac
bc
и из редуцированности S
вытекает, что acac
+ bcbc
acbc
+ bcac.
Элементы cac
и cbc
отличны друг от друга, и значит, ac
bc
в силу симметричности редуцированного
полукольца. Аналогично ac
bc,
и следовательно, ac
bc.
По индукции ac
bc.
Значит, T
= {1, c,
c,…}
mсистема,
не пересекающаяся с (a,
b),
и поэтому найдётся первичный идеал P,
содержащий (a,
b),
при этом c
S
\ P.
Значит, c
,
откуда
(a,
b).
Другое включение справедливо всегда.
Получили
= (a,
b)
по определению 12 S
строго полупервично, что и требовалось
доказать.
Обозначим через Spec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим
D(A)
= {P
Spec
S:
A
P}.
Множество
D({0})
= {P
Spec
S:
{0}P}
= ,
а
Spec
S
= D(S).
D(A)
D(B)
= { P
Spec
S:
A
P
B
P}
= { P
Spec
S
: AB
P}
= D(AB).
Spec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств вида D(A).
Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S
=
{P
Spec S:
Ann A
P}.
Доказательство:
Обозначим через Y
правую часть доказываемого равенства.
Если P
D(A),
т.е. A
P,
то Ann
A
P,
т.е. P
Y.
Откуда
Y,
ибо Y
замкнуто.
Обратно, пусть P
.
Тогда P
лежит в некоторой окрестности D(B),
где B
некоторый идеал в S,
не пересекающийся с.
D(A) D(B) = , тогда AB rad S = 0, т.е. B Ann A.
Тогда P
не содержит Ann
A
, иначе P
содержал бы B
. Следовательно, P
Y
. Получили Y
.
Лемма 5. Пусть P первичный идеал редуцированного полукольца S. Тогда P = Op P минимальный первичный идеал.
Доказательство: Пусть P = Op , P Spec S и P P. Тогда Op OP P . Поэтому P = P, и P минимален.
Обратно, пусть дан минимальный
первичный идеал P
редуцированного полукольца S.
Предположим, что существует a
P
\ Op.
Степени элемента a
образуют mсистему
(0 {a},
1{a}
и для a,a{
a}
с
= 1S
: aсa=
a{
a}),не
пересекающуюся с Op.
Действительно, если a
Op
, n
,
то ab
= 0 для некоторого b
S
\ P.
Но тогда (ab)=
0, так как редуцированное полукольцо
симметрическое без нильпотентов, и
значит ab
= 0, то есть a
Op
;противоречие.
Из предложения 3 видно, что найдётся
идеал P
Op,
не содержащий a,
который будет первичным. Из следствия
1 вытекает, что в S
существует первичный идеал, лежащий в
P
P
,что
противоречит минимальности P.
Значит, P
Op.
Также Op
P
(Лемма 2). Тогда P
= Op.
Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.
Доказательство: В самом деле, если a, b S \ P, то asb P для подходящего s S, откуда asb 0 и ab 0.
Определение 14. S – слабо риккартово a S b Ann aS
Ann
aS + Ann
b = S
Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 N. Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N . Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.
3. Доказательство основной теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
S слабо риккартово;
a, bS
(D(a)D(b)=
=);
все идеалы Op, PSpec S, первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
все идеалы OM, M Max S, первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P M Op=OM для P Spec S и M Max S;
каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
a, b S (ab = 0 Ann a + Ann b = S);
Доказательство: Пусть S редуцированное полукольцо. Такое S симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)3)4)5)6)1) и 2)6).
1)3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал Op вполне первичен. Пусть P Spec S и ab Op при a, b S.
Тогда сS \ P: abSc = 0,т.е. absc = 0 для s S.
Возьмём s = 1 abc = 0 bc Ann aS (по определению Ann aS). Но Ann aS Ann a . Тогда bc Ann a. По условию 1) S слабо риккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S для a S, bc Ann aS.
e Ann aS, f Ann bc: e + f = 1 (1S).
Предположим, что a Op Ann aS P (по определению Ann aS) e P.
Тогда f P, т.к. в противном случае 1P. Но P первичный идеал P собственный 1P.
f Ann bc bcf = 0. Т.к. S симметрическое bScf = 0. Но cf P (т.к. c P, f P , а P первичный идеал) b Op .
Таким образом, получили, что все идеалы Op , P Spec S, вполне первичны.
3)4). По условию 3 все идеалы Op , где P Spec S, первичны. Но M Max S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M Spec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы OM , где M Spec S и M Max S, первичны.
Пусть P M. Тогда OM Op (лемма 2).
Если a Op , т.е. ab = 0 при некотором b S \ P и s = 1S, то a OM , ибо b OM P, а ab = 0 OM и OM псевдопрост (доказано выше). Значит и Op OM . Тогда Op = OM .
4)5). Пусть P – первичный идеал из S и P M. По условию 4) данной теоремы OM – первичный идеал и так как P M Op = OM . Также Op P (Лемма 2). Докажем, что OM – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q M OM OQ Q. По условию 4) данной теоремы OM = OQ. . Так как Q – минимальный первичный идеал OQ = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что Op = OM =Q.
Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда OP = OM (по условию 4)). Также OP = P .
Тогда получили равенство Q = OQ = OM = OP = P . Единственность доказана.
Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M Max S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5)6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b S для некоторых a, b S.
Тогда Ann a + Ann b M для подходящего M Max S.
Рассмотрим единственный
минимальный первичный идеал P,
содержащийся в M.
Тогда OM
P
(Лемма 2). Предположим, что a
P
\ OM
. Степени
элемента a
образуют
mсистему
(0 {a},
1{a}
и для a,a{
a}
с
= 1S:
aсa=
a{
a}),не
пересекающуюся с OM.
Действительно, если
a
OM,
n
,
то ab
= 0 для некоторого b
S
\ M.
Но тогда (ab)=
0, так как редуцированное полукольцо
симметрическое и значит ab
= 0, то есть a
OM
; противоречие.
Из предложения 3 видно, что найдётся
идеал P
OM,
не содержащий a,
который будет первичным.
Пусть
q, w
S \ P
и
q, w
S \ P
.
Тогда s
S:
qsw
P
qsw
P
P
P
P
первичный
идеал, что противоречит минимальности
P.
Значит P
OM
и P
= OM.
Первичный идеал
OM
псевдопрост, поэтому aOM
или b
OM.
Откуда по определению нулькомпонент
Ann
a
M
Ann
bM
Ann
a
+ Ann
b
M
противоречие
Ann
a
+ Ann
b
= S.
6)1). Возьмём a, b S: ab = 0 b Ann aS.
Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:
Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо Sслабо риккартово, что и требовалось доказать.
2)6). Пусть a, b S и ab = 0. D(a) D(b) = {PSpec S: aP bP} = { PSpec S: ab P} (в силу первичности) = D(ab) = D(0) = .
Обратно, D(a) D(b) ={PSpec S: aP bP} ={PSpec S: ab P}=D(ab) = ab = 0, так как D(x) = x = 0.
Таким образом, ab = 0 D(a) D(b) = .
Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы
= {SSpec
S:
Ann aP
Ann bP}
= .
Тогда Ann
a + Ann
b
M
для
M
Max S
Spec
S
Ann a
+ Ann b
= S.
В
другую
сторону,
пусть
Ann a
+ Ann b
= S
Ann aM
Ann bM
для
подходящего
M
Max S
Spec
S.
Тогда
= {S
Spec
S:
Ann a P
Ann b P}
= .
Таким образом, условия
2) и 6) равносильны.
Теорема доказана полностью.
Cвойство:
Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a, b полукольца S выполняется импликация:
ab = 0 и a + b A a A.
Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + b A. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c Ann a и k Ann b.
c Ann a ac = 0 (по определению аннулятора).
k Ann b bk = 0.
a = a1 + 0 = a(c + k) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b)k = (a + b)k A.
Получили a A, что и нужно было доказать.
Литература.
Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.
В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. 131 с.