Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
СУМСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
кафедра інформатики
КОНТРОЛЬНА РОБОТА
ПО КУРСУ: Чисельні методи
на тему: «Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці»
Зміст
Постановка задачі
Вступ
1 Теоретична частина
2 Програмна реалізація
Список використаної літератури
Постановка задачі
Використовуючи метод кінцевих різниць , розв’язати крайову задачу для звичайного диференціального рівняння
Вступ
Нехай
потрібно
чисельно
розв’язати
задачу
Коші
для
звича-йного
диференціального
рівняння
першого
порядку,
тобто
знайти
наближений
розв’язок
диференціального
рівняння
y=F(x,y),
що
задовольняє
початковій
умові
y(x
)=y
.Чисельне
розв’язання
задачі
полягає
в
побудові
таблиці
наближених
значень
y
,y
,y
,...,y
-розв’язку
рівняння
y=
(x
) у
точках
x
,x
,x
,...,x
- вузлах
сітки
.
y
y>n >*
y>3 > *
y>2 >*
y>1 >*
y>0 >*
O x>0> x>1> x>2> x>3> x>n> x
На рисунку * позначені
точки, що відповідають наближено-му
розв’язку
задачі Коші. Треба зазначити, що частіше
використо-вують систему рівновіддалених
вузлів x
=x
+ ih
(i=1,2,..,n)
, де h
- крок сітки
( h > 0 ) .
1 Теоретична частина
Методи Рунге-Кутта
Різні представники цієї категорії методів потребують більшого чи меншого об’єму обчислень і відповідно забезпечують більшу чи меншу точність. При розв’язанні конкретної задачі виникають питання, якою із формул Рунге-Кутта доцільно скористатися і як вибрати крок сітки.
Якщо
неперервна й обмежена разом із своїми
четвертими похідними, то гарні результати
дає метод четвертого порядку. Він
описується системою наступних п'яти
співвідношень:
(
);
Якщо функція не має зазначених похідних, порядок точності вищенаведеного методу не може бути реалізований. Тоді необхідно користуватися методами меншого порядку точності, що відповідає порядку наявних похідних.
Одним з найбільш простих і досить ефективних методів
оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці х>i >подається у вигляді
.
За формулою Рунге
Таким чином, із точністю
до
(величина
більш високого порядку малості) при h→0
похибка методу має вигляд:
де y>i
> – наближене
значення, отримане в точці
з
кроком h; y>2i >–
із кроком h/2; p - порядок методу; y(x>2i>)
- точний розв’язок
задачі.
Метод прогнозу і корекції
Підправивши схему Эйлера , одержимо схему прогнозу
,
де
наближене
значення
.
Цю формулу використовувати не можна
,оскільки
схема прогнозу нестійка . Тому
використовує-мо схему корекції
Оцінюючи похибки прогнозу і корекції, одержимо
- похибка корекції,
- похибка прогнозу .
Істинне
значення лежить між прогнозом і корекцією
.На будь-якому кроці можна оцінити
точність рішення . При заданому
=0,0000001,
наприклад,
.
Віднімаючи
з
співвідношення
, маємо
.
Уточнюємо розв’язання,
виходячи з формули
:
Ця формула завершає схеми прогнозу і корекції .
Метод кінцевих різниць для розв’язання лінійних крайових задач
Маємо відрізок [a,b]. Потрібно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння другого порядку
,
що задовольняє такі крайові умови:
Виберемо рівномірну
сітку: x
= a
+ ih,
i
= 0,1,2,…,n...
Нехай
Апроксимуємо
і
у кожному внутрішньому вузлі (i = 1, 2, …,
n-1) центральними різницями
,
і на кінцях відрізка – односторонніми
скінченнорізницевими апроксимаціями
,
.
Використовуючи ці формули, одержуємо різницеву апроксимацію вихідного крайового завдання:
Коефіцієнти різницевих рівнянь залежать від кроку сітки.
Введемо позначення:
Перепишемо систему з урахуванням введених позначень:
Маємо різницеву схему крайового завдання. Запишемо систему рівнянь у розгорнутій матричній формі:
Таким чином, завдання зводиться до розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що можна записати у вигляді Ay=d.
2 Програмна реалізація
Реалізація пакетом Maple
> ss:=diff(diff(y(x),x),x)+diff(y(x),x)/x+2*y(x)-x;
dsolve[interactive]( ss );
Список використаної літератури
Б. П. Демидович и И. А. Марон. “Основы вычислительной математики”, Москва, 1963г.
Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. “Численные методы”, Москва, 1987г.
Мусіяка В. Г. Основи чисельних методів механіки: підручник. – К.: Вища освіта, 2004. – 240 с.: іл.
Л. Д. Назаренко Чисельні методи. Дистанційний курс.