Математические уравнения и функции

Варивант №2

Задание 1

Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:

Длину стороны АВ;

Внутренний угол А с точностью до градуса;

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;

Точку пересечения высот;

Уравнение медианы, опущенной из вершины С;

Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;

Сделать чертеж;

Решение:

Найдем координаты вектора АВ:

Длина стороны АВ равна:

Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)

Тогда

Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор .

По формуле получим уравнение высоты:

Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:

Координаты основания медианы будут:

;

Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М

Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0

Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору

Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:

х=11 у=23

Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор .

Теперь воспользовавшись формулой

Подставляя в нее координаты точки С(0,3)

Задание 2

Даны векторы _> >Доказать, что образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.

Решение:

Докажем, что подсистема линейно независима:

Из четвертого уравнения имеем , что , тогда из первого, второго и третьего следует, что . Линейная независимость доказана.

Докажем, что векторы можно представить в виде линейных комбинации векторов .

Очевидно,

Найдем представление через .

Из четвертого уравнения находим и подставляем в первые три

Получили , что данная система векторов не может называться базисом!

Задание 3

Найти производные функций:

Задание 4.

Исследовать функцию и построить ее график

Область определения:

, то есть

2. Кривая_> > имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как

Находим наклонные асимптоты. а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.

Функция общего вида, так как и

Функция периодичностью не обладает

Находим производную функции

Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.

Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы

х			1		5
y’	-	-	0	+	0	-
y	убывает	убывыает	0 min	возрастает	0,074	убывает

Находим вторую производную функции

Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11

Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.

х			0.22		6.11
y”	-	+	0	+	0	-
y	выпукла	вогнута	0,335 перегиб	вогнута	0,072	выпукла

Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу

получаем точку (0;1); получаем точку (1;0)

При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166

Строим график в соответствии с результатами исследований:

Задание 5

Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.

а) ; б) ; в) ; г)

Решение:

а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:

Проверка:

б) сделаем подстановку

Проверка:

в) Воспользуемся способом интегрирования по частям

Проверка:

_{>г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей}>

_{>Проверка:}>

Задание 6

Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение:

находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:

_{>приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение}>

корни этого квадратного уравнения_> >

следовательно : , и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем:

т.к получаем: