Математическая система информации

Курс: "Теория информации и кодирования"

Тема: "МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНФОРМАЦИИ"

1. КОЛИЧЕСТВО ИНФОРМАЦИИ, И ЕЕ МЕРА

На вход системы передачи информации (СПИ) от источника информации подается совокупность сообщений, выбранных из ансамбля сообщений (рис.1).

Помехи

x_>1 >y_>1>

x_>2 >y_>2>

…_> >…

x_>n> y_>n>

Рис.1. Система передачи информации

Ансамбль сообщений - множество возможных сообщений с их вероятностными характеристиками - {Х, р (х) }. При этом: Х={х_>1>, х_>2>,…, х_>m> } - множество возможных сообщений источника; i = 1, 2,..., m, где m - объем алфавита; p (x_>i>) - вероятности появления сообщений, причем p (x_>i>)  0 и поскольку вероятности сообщений представляют собой полную группу событий, то их суммарная вероятность равна единице

.

Каждое сообщение несет в себе определенное количество информации. Определим количество информации, содержащееся в сообщении x_>i>, выбранном из ансамбля сообщений источника {Х, р (х) }. Одним из параметров, характеризующих данное сообщение, является вероятность его появления - p (x_>i>), поэтому естественно предположить, что количество информации I (x_>i>) в сообщении x_>i> является функцией p (x_>i>). Вероятность появления двух независимых сообщений x_>1>_> >и x_>2>_> >равна произведению вероятностей p (x_>1>, x_>2>) = p (x_>1>). p (x_>2>), а содержащаяся в них информация должна обладать свойством аддитивности, т.е.:

I (x_>1>, x_>2>) = I (x_>1>) +I (x_>2>). (1)

Поэтому для оценки количества информации предложена логарифмическая мера:

. (2)

При этом, наибольшее количество информации содержат наименее вероятные сообщения, а количество информации в сообщении о достоверном событии равно нулю. Т.к. все логарифмы пропорциональны, то выбор основания определяет единицу информации:

log_>a>x = log_>b>x/log_>b>a.

В зависимости от основания логарифма используют следующие единицы информации:

2 - [бит] (bynary digit - двоичная единица), используется при анализе ин-формационных процессов в ЭВМ и др. устройствах, функционирующих на основе двоичной системы счисления;

e - [нит] (natural digit - натуральная единица), используется в математических методах теории связи;

10 - [дит] (decimal digit - десятичная единица), используется при анализе процессов в приборах работающих с десятичной системой счисления.

Битом (двоичной единицей информации) - называется количество информации, которое снимает неопределенность в отношении наступления одного из двух равновероятных, независимых событий.

Среднее количество информации для всей совокупности сообщений можно получить путем усреднения по всем событиям:

. (3)

Количество информации, в сообщении, состоящем из n не равновероятных его элементов равно (эта мера предложена в 1948 г.К. Шенноном):

. (4)

Для случая независимых равновероятных событий количество инфор-мации определяется (эта мера предложена в 1928 г.Р. Хартли):

. (5)

2. СВОЙСТВА КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ

1. Количество информации в сообщении обратно-пропорционально вероятности появления данного сообщения.

2. Свойство аддитивности - суммарное количество информации двух источников равно сумме информации источников.

3. Для события с одним исходом количество информации равно нулю.

4. Количество информации в дискретном сообщении растет в зависимости от увеличения объема алфавита - m.

Пример 1. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны: p_>i0 >= p_>i1>_> >= 1/2.

Количество информации равно:

I = n log m = 8 log_>2> 2 = 8 бит.

Пример 2. Определить количество информации в сообщении из 8 двоичных символов (n = 8, m = 2), если вероятности равны:

p_>i0 >= 3/4; p_>i1>_> >= 1/4.

Количество информации равно:

3. ЭНТРОПИЯ ИНФОРМАЦИИ

Энтропия - содержательность, мера неопределенности информации.

Энтропия - математическое ожидание H (x) случайной величины I (x) определенной на ансамбле {Х, р (х) }, т.е. она характеризует среднее значение количества информации, приходящееся на один символ.

. (6)

Определим максимальное значение энтропии H_>max> (x). Воспользуемся методом неопределенного множителя Лагранжа -  для отыскания условного экстремума функции [6]. Находим вспомогательную функцию:

(7)

Представим вспомогательную функцию F в виде:

. (8)

Найдем максимум этой функции

т.к .

Как видно из выражения, величина вероятности p_>i> не зависит от i, а это может быть в случае, если все p_>i>_> >равны, т.е. p_>1> =p_>2> =... =p_>m> =1/m.

При этом, выражение для энтропии равновероятных, независимых элементов равно:

. (9)

Рис.2. График энтропии для двух альтернативных событий

H(x_>i>)

H_>max>

1

0 0,5 1,0 P(x_>i>)

Найдем энтропию системы двух альтернативных событий с вероятностями p_>1 >и p_>2>. Энтропия равна

При m = 2 для равновероятных событий p_>i>_> >= 1/2 энтропия равна 1. Изменение энтропии в зависимость от вероятности события приведено на рис. 2. Как видно, максимум энтропии соответствует равновероятным событиям.

4. СВОЙСТВА ЭНТРОПИИ СООБЩЕНИЙ

1. Энтропия есть величина вещественная, ограниченная, не отрицательная, непрерывная на интервале 0  p  1.

2. Энтропия максимальна для равновероятных событий.

3. Энтропия для детерминированных событий равна нулю.

4. Энтропия системы двух альтернативных событий изменяется от 0 до 1.

Энтропия численно совпадает со средним количеством информации но принципиально различны, так как:

H (x) - выражает среднюю неопределенность состояния источника и является его объективной характеристикой, она может быть вычислена априорно, т.е. до получения сообщения при наличии статистики сообщений.

I (x) - определяется апостериорно, т.е. после получения сообщения. С по-лучением информации о состоянии системы энтропия снижается.

5. ИЗБЫТОЧНОСТЬ СООБЩЕНИЙ

Одной из информационных характеристик источника дискретных сообщений является избыточность, которая определяет, какая доля максимально-возможной энтропии не используется источником

, (10)

где ? - коэффициент сжатия.

Избыточность приводит к увеличению времени передачи сообщений, уменьшению скорости передачи информации, излишней загрузки канала, вместе с тем, избыточность необходима для обеспечения достоверности передаваемых данных, т.е. надежности СПД, повышения помехоустойчивости. При этом, применяя специальные коды, использующие избыточность в передаваемых сообщениях, можно обнаружить и исправить ошибки.

Пример 1. Вычислить энтропию источника, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями p (0) = p (1) = 1/m и определить его избыточность.

Решение: Энтропия для случая независимых, равновероятных элементов равна:

H (x) = log_>2>m = log_>2>2 = 1 [дв. ед/симв.]

При этом H (x) = H_>max> (x) и избыточность равна R = 0.

Пример 2. Вычислить энтропию источника независимых сообщений, выдающего два символа 0 и 1 с вероятностями

p (0) = 3/4, p (1) = 1/4.

Решение: Энтропия для случая независимых, не равновероятных элементов равна:

При этом избыточность равна

R = 1-0,815=0,18

Пример 3. Определить количество информации и энтропию сообщения из пяти букв, если число букв в алфавите равно 32 и все сообщения равновероятные.

Решение: Общее число пятибуквенных сообщений равно: N = mⁿ = 32

Энтропия для равновероятных сообщений равна:

H = I = - log_>2 >1/N = log_>2>32⁵ = 5 log_>2>32 = 25 бит. /симв.

Литература

Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. - Харьков: ХПУ, 2000.

Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. - М.: Высш. шк., 1986.

Кловский Д.Д. Теория передачи сигналов. - М.: Связь, 1984.

Кудряшов Б.Д. Теория информации. Учебник для вузов Изд-во ПИТЕР, 2008. - 320с.

Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. - М.: Высш. шк., 1986.

Асанов М.О., Баранский В.А., Расин В.В. Дискретная математика: графы матроиды, алгоритмы. - Ижевск: НИЦ "РХД", 2001, 288 стр.