Математика (работа 4)

Канашский филиал

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

«____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х_>1>;у_>1>) ,В(х_>2>;у_>2>), С(х_>3>;у_>3>) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла_>> ;

7)угол _>> в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

_>> _>>;

2)Длина стороны АВ:

_>> ;

Скалярное произведение векторов _>>и_>>

_>>

Угол _>> :

_>>cos _>>=_>> ; _>>=arcos 0,2462=75,75_>>;

3) Уравнение стороны ВС:

_>>

_>>; _>>; _>>; _>>; _>>;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

_>>; _>>;

Условие перпендикулярности двух прямых:

_>>; _>>;

_>>; _>>; _>>; _>>;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

_>>

6) _>>

_>> _>>

_>>

Уравнение прямой АС:

_>>

_>> _>>

Уравнение биссектрисы внутреннего угла _>>:

_>>

7) Угол _>> в радианах с точностью до 0,01:

_>>

8) Уравнение стороны ВС:

_>>

Уравнение стороны АС:

_>>

Уравнение стороны АВ:

_>>

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

_>>

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

_>>Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

_>>

По условию задачи _>>

_>>

Искомые прямые:

_>>

Задание 23.

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

Решение:

_>>

По условию задачи: _>>

_>>

_>> - уравнение гиперболы с центром в точке _>> и полуосями _>>

_>>

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой _>> с окружностью _>>и ось _>>является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

_>>

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

_>>

Координаты точек пересечения окружности и прямой _>>т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид _>> учитывая что _>> найдем параметр p

_>>

Таким образом, уравнение параболы _>>

Уравнение директрисы параболы: _>>

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO_>1>Y уравнение параболы приняло вид X²=aY или Y²=aX. Построить обе системы координат и параболу.

_>>

Решение:

_>>

Задание 53

Даны вершины А_>1>(Х_>1>;Y_>1>;Z_>1>),. А_>2>(Х_>2>;Y_>2>;Z_>2>), А_>3>(Х_>3>;Y_>3>;Z_>3>), А_>4>(Х_>4>;Y_>4>;Z_>4>)

пирамиды. Требуется найти: 1) длину ребра А_>1>А_>2>; 2)Угол между ребрами А_>1>А_>2>и А_>1>А_>4>; 3)угол между ребром А_>1>А_>2> и гранью А_>1>А_>2> А_>3>; 4) площадь грани А_>1>А_>2> А_>3>; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты, опущенной из вершины А_>4> на грань А_>1>А_>2> А_>3>; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А_>4> на грань А_>1>А_>2> А_>3>, и вершину А_>1> пирамиды.

A_>1>_>>(3;5;4), А_>2>(5;8;3),_>> А_>3>(1;9;9), A_>4>(6;4;8);

Решение:

1) _>>

_>>

Длина ребра А_>1>А_>2>;

_>>

2) _>>

_>>

Длина ребра А_>1>А_>4>;

_>>

Скалярное произведение векторов А_>1>А_>2>и А_>1>А_>4>:

_>>

Угол между ребрами А_>1>А_>2>и А_>1>А_>4>:

_>>

3) Уравнение грани А_>1>А_>2> А_>3>:

_>>

Угол между ребром А_>1>А_>2> и гранью А_>1>А_>2> А_>3>:

_>>

4)Площадь грани А_>1>А_>2>А_>3>:

_>> кв. ед.

5) Объем пирамиды:

_>> куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А_>4> на грань А_>1>А_>2> А_>3>:

_>>

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А_>4> на грань А_>1>А_>2> А_>3>, и вершину А_>1> пирамиды.

_>>

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

_>>

Решение:

_>>

Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси _>> по оси _>>

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

_>>

Решение:

2	-9	-4	-3	3	-83	= > = >	0	-47	-28	-13	7	-459
2	-7	-2	-1	-4	-57		0	-45	-26	-11	0	-433
7	-6	2	-2	0	-35		0	-139	-82	-37	-14	-1351
1	19	12	5	-2	188		1	19	12	5	-2	188

0	-47/7	-4	-13/7	1	-459/7		0	68/77	30/77	0	1	980/77
0	-45	-26	-11	0	-433		0	45/11	26/11	1	0	433/11
0	-233	-138	-63	0	-2269		0	272/11	120/11	0	0	2320/11
1	39/7	4	3/7	0	398/7		1	94/77	-190/77	0	0	481/77


0	0	0	0	1	-2900/77
0	-19/15	0	1	0	-2583/11
0	13,6	1	0	0	116
1	1574/231	0	0	0	22521/77

Общее решение системы:

_>>

Задание 83.

Даны векторы _>>и _>>. Показать, что векторы _>>образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора _>>в этом базисе.

_>>

Решение:

Составим определитель из координат векторов _>> и вычислим его:

_>>

Так как _>>,то векторы _>>составляют базис. Найдем координаты вектора _>> в этом базисе:

_>>

2	-10	0	-4	-42	= >	0	-20	4	-4	-88	= >	0	48	-12	252
4	-9	10	3	-43		0	-29	18	3	-135		0	-80	30	-350
2	-7	0	-1	-39		0	-17	4	-1	-85		0	17	-4	85
1	5	-2	0	23		1	5	-2	0	23		1	5	-2	23

0	-4	1	0	-21	= >	0	0	1	0	3
0	40	0	0	240		0	1	0	0	6
0	1	0	1	1		0	0	0	1	-5
1	-3	0	0	-19		1	0	0	0	-1

Итак _>>

Проверка:

2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;

2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;

-1+5*6-2*3 =23; 23=23.

_>> или _>>

Задание 93.

Дана матрица А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

_>>

Решение:

-1	-2	12	1	0	0	1	2	-12	-1	0	0
0	4	3	0	1	0	0	4	3	0	1	0
0	5	6	0	0	1	0	5	6	0	0	1

1	0	-13,5	-1	-0,5	0	1	0	0	-1	-8	6
0	1	0,75	0	0,25	0	0	1	0	0	6/9	-3/9
0	0	2,29	0	-1,25	1	0	0	1	0	-5/9	4/9

Обратная матрица:

_>>

Корни характеристического уравнения:

_>>

_>>- собственные значения матрицы А .

При _>>

_>>

Собственный вектор:

_>>

Задание 103.

Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.

_>>

Решение:

Задание 113.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

_>> _>>

_>>

Решение:

_>>_>>

_>>_>>_>>

_>>

Подстановка: _>>

_>>_>>

Задание 123.

Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x_>1>,x_>2>,x_>3>. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

_>>

Решение:

_>>

_>> _>>

Так как _>>,то функция в точке Х_>1>=-1 непрерывна.

_>>_>>_>>_>>

Так как _>>,то функция в точке х=3 разрывная.

_>> _>>

Так как _>>,то функция в точке х=7 непрерывна.

Задание 133.

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

_>>

Решение:

_>>

Так как _>>, то функция в точке х=-1 разрывна.

_>>

Так как _>>, то функция в точке _>> непрерывна.

Задание 143.

Найти производные _>>

_>>a) _>> б) _>> в) _>>

г) _>> д) _>>

Решение.

а) _>>

_>>

б) _>>

_>>

в) _>>

_>>

г) _>>

_>>

д) _>>

_>>

Задание 153.

Найти _>> для функции, заданной параметрическим.

_>>

Решение.

_>>

Задание 163.

На линии _>> найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой _>>

_>>

Решение.

Угловой коэффициент прямой:

_>> или _>> _>>

_>>

Угловой коэффициент касательной к линии:

_>>

Так как касательная к линии и прямая параллельны, то _>>

тогда:

_>>

Таким образом получаются две точки:

_>>

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

_>>

Задание 183.

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

_>> _>>_>>

Решение.

_>>

1. область определения функции: _>>

_>>_>>

так как _>> то функция нечетная.

2. Точки пересечения с осями координат:

При _>>при _>>

_>>_>>

3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

_>>

При _>> функция возрастает.

При _>> функция убывает.

При _>> функция возрастает

_>>

Точка _>>точка максимума.

Точка _>>точка минимума.

4. Область выпуклости (вогнутости) функции, точки перегибов.

_>>

При _>> функция выпукла;

При _>> функция вогнута;

При _>> функция выпукла;

При _>>_>> функция вогнута.

_>>

Точки _>> - точки перегибов.

5. Асимптот нет

_>>_>>

1. область определения функции: _>>

2. точки пересечения с осями координат:

При _>>

_>>так как _>> то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания) функции; точки экстремумов.

_>>_>>

Точек экстремумов нет.

Так как _>> то функция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости) функции; точки экстремумов.

_>>

При _>> функция вогнута;

При _>> функция выпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

_>>

_>> асимптота._>>

Задание 193.

Определить количество действительных корней уравнения _>>;

отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

_>>

Решение.

Исследуем график функции.

_>>

Количество корней К=1.

_>>

Таким образом, функция принимает значения на отрезке _>>,в качестве начального приближения возьмем _>>

метод касательных:

составим таблицу:

_>>

_>>_>>

_>>

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882

Искомый корень х=-03882

Задание 203.

Найти частные производные функции _>>

_>>

Решение.

Частные производные:

_>>

Задание 213.

Дана функция _>> и две точки _>>. Требуется:

1) вычислить приближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 2) вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

_>>

Решение.

_>>

Вычислим частные производные в точке А.

_>>_>>

_>>

Приближенное значение:

_>>

Вычислим точки значения функции:

_>>

Относительная погрешность вычисления:

_>>

Задание 223.

Даны функция _>> точка _>> и вектор а. Требуется найти:

1) grad z в точке А; 2)производную по направлению вектора в точке А.

_>>

Решение.

1) вектором градиентом функции двух переменных _>> является вектор:

_>>_>>

Найдем частные производные в точке А:

_>>

2) производная по направлению вектора _>>вычисляется по формуле.

_>>

_>> _>>

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшее значение функции _>> в замкнутой области, ограниченной заданными линиями.

_>>

Решение.

Частные производные:

_>>

На прямой АВ: _>>\

_>>_>>

На прямой АС: _>>

_>>

На прямой ВС: _>>

_>> _>>_>>

_>>

Z наибольшее =5; z наименьшее =-117.

Использованная литература:

1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М:МЦНМО,2002 г.

2 Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М: Оникс 21 век, 2005 г.

3 Мельников И.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание, переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М:УНЦДО, 2004 г.