Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

Курсовая работа

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-31

Зелюткина В.И.

Научный руководитель: профессор,

доктор физико-математических наук,

профессор кафедры алгебры и геометрии

Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

_{>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.
Конечные группы со сверхразрешимыми
подгруппами четного индекса}>

_{>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.
Конечные группы со сверхразрешимыми
подгруппами непримарного индекса}>

_{>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.
О неразрешимых группах с заданными
подгруппами непримарного индекса}>

Заключение

Список литературы

_{>Введение}>

Данная курсовая работа представлена в виде трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Здесь представлены:

A. Пусть _>> - конечная группа и _>>. Тогда и только тогда в группе _>> все подгруппы четного индекса сверхразрешимы, когда выполняется одно из следующих утверждений:

1) _>> - 2-группа;

2) _>> - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка _>>, где _>> - показатель 2 по каждому простому нечетному делителю порядка группы;

3) _>>.

1. _>> - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы _>> также принадлежит _>>.

2. _>>, то _>>---_>>-свободна.

3. _>> и _>> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в _>> элементарная абелева или типа _>>.

4. _>> - разрешимая группа и _>>, то 2-длина группы _>> не превосходит 1.

5. _>> - разрешимая группа и _>>. Если _>> и силовская 2-подгруппа _>> из _>> неабелева, то центр _>> совпадает с центром _>>.

6. _>> - разрешимая группа и _>>. Тогда и только тогда _>>, когда _>> - группа Фробениуса, ядро которой - минимальная нормальная подгруппа порядка _>>, где _>> - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка группы _>>.

Лемма 7. _>> и _>> - простая неабелева группа, то _>>.

8. _>> и _>>, то _>>.

9. _>> для _>>.

Во второй - конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

B. неразрешимая группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы, изоморфна одной из следующих групп:

1) _>> или _>>, где _>> - 5-группа;

2) _>>, где _>> - 3-группа.

C. _>> - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. Тогда _>> бипримарна, и _>> - дисперсивная группа порядка _>>, где _>>.

1. _>> конечная группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда в любой подгруппе и в любой фактор-группе группы _>> каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима.

2. _>> - конечная группа и _>> - простое число, делящее порядок _>>. Если в _>> нет _>>-замкнутых подгрупп Шмидта, то _>> _>>-нильпотентна.

3. _>> - сверхразрешимая группа Шмидта с нормальной силовской _>>-подгруппой _>> и циклической силовской _>>-подгруппой _>>, то _>>.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

6. группа порядка _>>, где _>> и _>> - простые числа, _>> и _>> не делит _>>, нильпотентна.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

8. _>> - подгруппа примарного индекса _>> конечной группы _>>, то _>>.

9. _>> - группа порядка _>>, где _>> и _>> - простые числа, _>> и _>>. Пpeдnoлoжим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда _>> либо _>>-группа, либо группа Шмидта _>>, где _>> - элементарная абелева, или группа кватернионов.

10. _>> - группа порядка _>>, где _>> и _>> - простые числа, _>> и _>>. Предположим, что каждая подгруппа непримарного индекса сверхразрешима. Тогда факторгруппа _>> либо _>>-группа, либо изоморфна _>> и _>> делит _>>.

Третий посвящен неразрешимым группам с заданными подгруппами непримарного индекса. Здесь представлены:

D. класс _>> замкнут относительно прямых произведений и _>> разрешим. Если в конечной неразрешимой группе _>> нет неединичных нормальных _>>-подгрупп, то _>> изоморфна одной из следующих групп: _>> и _>> - простое число или 9; _>> или _>> и _>>.

1. конечная неразрешимая группа _>> принадлежит _>>, то _>>, где _>>, а _>> и _>>.

2. класс _>> замкнут относительно прямых произведений, и _>> - неразрешимая группа, принадлежащая _>>. Если _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа, то либо _>>, либо _>> - простая неабелева группа, _>> и _>>, где _>>.

3. класс _>> разрешим и _>> - простая неабелева группа из _>>, то:

1) _>>, _>>, _>> и _>> или _>> - простое число;

2) _>>, _>> и _>> - простое число;

3) _>>, _>>, _>>;

4) _>>, _>> или _>>, _>> или _>> соответственно.

В каждом параграфе подробно изучена соответствующая тема с теоремами леммами и доказательствами последних.

_{>1.
Конечные группы со сверхразрешимыми
подгруппами четного индекса}>

Строение конечных минимальных несверхразрешимых групп хорошо известно. В частности, они дисперсивны и их порядки делятся не более чем на три различных простых числа. Если условие сверхразрешимости накладывать не на все подгруппы, а только на некоторые, то возникают недисперсивные и даже неразрешимые группы. В описаны конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. В настоящей заметке исследуется строение конечных групп со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса. Доказывается следующая

1) _>> - 2-группа;

3) _>>.

Здесь _>> - центр группы _>>, _>> - наибольшая нормальная в _>> подгруппа нечетного порядка. Через _>> обозначим класс конечных групп, у которых все подгруппы четного индекса сверхразрешимы.

1. _>> - наследственный гомоморф, т.е. каждая подгруппа и каждая факторгруппа группы _>> также принадлежит _>> осуществляется проверкой.

Отметим, что знакопеременная группа_>>, но _>> не содержится в _>>. Поэтому _>> не является формацией и не является классом Фиттинга.

Через _>> обозначается симметрическая группа степени 4. Конечная группа _>> называется _>>-свободной, если в ней нет подгрупп _>> и _>> таких, что _>> нормальна в _>> и _>> изоморфна _>>.

2. _>>, то _>>---_>>-свободна.

. Допустим противное, т.е. предположим, что существует секция _>>, изоморфная _>>. Тогда существует подгруппа _>> индекса 2 в _>> и _>> изоморфна _>>. Так как _>> несверхразрешима, то _>> - несверхразрешимая подгруппа четного в _>> индекса. Противоречие. Лемма доказана.

Конечная группа называется 2-нильпотентной, если в ней существует нормальное дополнение к силовской 2-подгруппе. Полупрямое произведение нормальной подгруппы _>> и подгруппы _>> обозначается через _>>.

3. _>> и _>> не 2-нильпотентна, то силовская 2-подгруппа в _>> элементарная абелева или типа _>>.

Если _>> не 2-нильпотентна, то в _>> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>, см. Error: Reference source not found, с. 192. Так как _>> несверхразрешима, то индекс _>> в группе _>> нечетен, и _>> - силовская 2-подгруппа из _>>. Из свойств подгрупп Шмидта следует, что _>> элементарная абелева или типа _>>.

4. _>> - разрешимая группа и _>>, то 2-длина группы _>> не превосходит 1.

следует из леммы 3 и леммы 3.4 из Error: Reference source not found.

Если G - 2-группа, то лемма справедлива.

Пусть _>> не 2-группа. По лемме 4 подгруппа _>> нормальна в _>>. Через _>> обозначим _>>-холловскую подгруппу из _>>. Так как _>> имеет четный индекс, то _>> сверхразрешима и _>>. Теперь _>> содержится в центре _>>, а поскольку _>>, то _>> - 2-группа. Группа _>> не является 2-нильпотентной, поэтому существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. Поскольку _>> не 2-нильпотентна, то индекс _>> нечетен и _>> - силовская 2-подгруппа из _>>. Следовательно, _>> содержится в _>> и по лемме 2.2 Error: Reference source not found получаем, что _>> содержится в _>>. Лемма доказана.

Пусть _>> - разрешимая группа, _>> и _>>. Из лемм 3,4 и 5 получаем, что силовская 2-подгруппа _>> нормальна в _>> и является элементарной абелевой подгруппой. Так как _>> - не 2-группа, то в _>> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>, где _>> - силовская 2-подгруппа из _>>. Подгруппа _>> несверхразрешима, поэтому ее индекс нечетен и _>> силовская в _>>. Из свойств групп Шмидта следует, что _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа порядка _>>, и _>> - показатель 2 по модулю _>>, где _>> делит _>>. Поэтому _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа.

Централизатор _>> содержит _>> и нормален в _>>, поэтому _>> и _>>. Значит _>> самоцентрализуема.

Пусть _>> - _>>-холловская подгруппа в _>>. Тогда _>> - максимальная в _>> подгруппа и _>> совпадает со своим нормализатором. Предположим, что существует неединичный элемент _>> в _>> такой, что _>> не содержится в _>>. Так как _>> и _>> содержится в _>>, то _>> и _>>. Пусть _>>. Тогда _>>, а по теореме Машке в _>> существует подгруппа _>> такая, что _>> и _>> допустима относительно _>>, т.е. _>>. Но индекс подгруппы _>> четен поэтому эта подгруппа сверхразрешима и _>>. Теперь _>> централизует всю силовскую подгруппу _>>, противоречие.

Следовательно, _>> содержится в _>> для всех неединичных элементов _>> из _>> и _>> - группа Фробениуса с ядром _>>, см. Error: Reference source not found, с.630.

Пусть _>> - произвольный нечетный делитель порядка группы _>>, и пусть _>> - _>>-холловская подгруппа из _>>. Так как _>> самоцентрализуема, то _>> не 2-нильпотентна и в _>> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. Поскольку _>> не 2-нильпотентна, то ее индекс нечетен и _>> - элементарная абелева подгруппа порядка _>>. Из свойств групп Шмидта следует, что _>> - показатель 2 по модулю _>>. Необходимость доказана.

Обратно, пусть _>> - группа Фробениуса, ядро которой _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа порядка _>> где _>> - показатель 2 по каждому нечетному простому делителю порядка _>>. Пусть _>> - произвольная подгруппа из _>>. Тогда либо _>>, либо _>>, либо _>>, либо _>> - группа Фробениуса с ядром _>>. Если _>>, то индекс _>> нечетен. Если _>> или _>>, то _>> 2-нильпотентна. Пусть _>> - группа Фробениуса и _>> не содержится в _>>. Поскольку _>> не 2-нильпотентна, то в _>> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>, где _>> - нормальная в _>> силовская подгруппа порядка _>>, а _>> - циклическая _>>-подгруппа. Так как _>> - элементарная абелева, то из свойств группы Шмидта вытекает, что _>> - показатель 2 по модулю _>>, значит _>> и _>>, т.е. _>>. Лемма доказана полностью.

Следствие. Пусть _>> - разрешимая группа и _>>. Тогда и только тогда _>>, когда каждая подгруппа из _>> четного индекса является 2-подгруппой или группой нечетного порядка.

1. Пусть _>> - элементарная абелева группа порядка _>>. В группе ее автоморфизмов _>> существует самоцентрализуемая циклическая подгруппа _>> порядка _>> см. Error: Reference source not found, с.187. Число 11 является показателем 2 по модулю 23 и по модулю 89. Поэтому в классе _>> существует группа Фробениуса, удовлетворяющая заключению леммы, и не являющаяся группой Шмидта.

Лемма 7. _>> и _>> - простая неабелева группа, то _>>.

Если силовская 2-подгруппа в _>> типа _>> то _>> по теореме из Error: Reference source not found. Но в этой группе есть несверхразрешимая подгруппа четного индекса в нормализаторе силовской 2-подгруппы. По лемме 3 силовская 2-подгруппа в _>> элементарная абелева. В группах Янко и Ри есть неразрешимые подгруппы четного индекса в централизаторах инволюций.

Рассмотрим группу _>>, где _>> и _>>. Если _>>, то _>> - несверхразрешимая подгруппа четного индекса. Следовательно, _>>. В _>> силовская 2-подгруппа имеет порядок 4 и несверхразрешимые подгруппы изоморфны знакопеременным группам _>> и _>>.

Рассмотрим _>>. Если _>> не простое, то _>> содержит подгруппу _>>, _>>, четного индекса, которая несверхразрешима. Значит, _>> - простое. Несверхразрешимыми в _>> являются только нормализаторы силовских 2-подгрупп.

Из теоремы Уолтера Error: Reference source not found следует, что других простых групп, кроме рассмотренных, нет.

Через _>> обозначим разрешимый радикал группы _>>.

8. _>> и _>>, то _>>.

Пусть _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа. Тогда _>>. Если _>>, то индекс _>> в _>> четен и _>> должна быть сверхразрешимой. Противоречие. Поэтому _>> - простая подгруппа и _>> изоморфна _>> или _>>. Теперь _>> нечетен, _>> и _>> - подгруппа из _>>.

Если _>>, то _>>, поэтому _>>.

Пусть _>>, _>> - простое. Так как _>> - циклическая группа порядка _>>, то _>> либо совпадает с _>>, либо G совпадает с _>>. Пусть _>> и _>> - подгруппа из N порожденная инволюцией. Так как внешний автоморфизм _>> группы _>> централизует _>>, см. Error: Reference source not found, с.317, то по теореме Машке в силовской 2-подгруппе _>> группы _>> есть подгруппа _>> индекса 2 в _>>, допустимая относительно _>>. Теперь _>>- - не 2-нильпотентная подгруппа четного индекса в _>> и _>> не принадлежит _>>.

9. _>> для _>>.

Пусть _>> - подгруппа четного индекса в группе _>>, где _>>, и пусть _>> - центральная инволюция в _>>. Если _>>, то _>> - подгруппа в _>> четного индекса. Так как _>>, то _>> сверхразрешима, поэтому и _>> сверхразрешима.

Пусть _>> не принадлежит _>>. Тогда _>>. Допустим, что _>> несверхразрешима. Так как _>> - подгруппа из _>>, то из доказательства леммы 7 следует, что _>> изоморфна _>> или _>>. Но теперь силовская 2-подгруппа в _>> элементарная абелева, противоречие.

теоремы. Достаточность вытекает из лемм 6-9. Докажем необходимость. Пусть вначале _>> - разрешимая группа, _>> и _>>. Если _>> - не 2-группа, то легко проверить, что _>> и по лемме 6 группа _>> из пункта 2 теоремы.

Пусть _>> неразрешима. Если _>>, то по лемме 8 теорема верна. Пусть _>>. Если _>> разрешима, то разрешима и группа _>>, противоречие. Следовательно, подгруппа _>> имеет четный индекс в группе _>>. Так как _>> сверхразрешима и _>>, то _>> - 2-группа, отличная от силовской 2-подгруппы. Пусть _>> - централизатор подгруппы _>> в группе _>>.

Для каждого нечетного простого _>> подгруппа _>> имеет четный индекс, поэтому сверхразрешима и 2-нильпотентна. Поэтому _>> для всех нечетных _>> и индекс _>> в группе _>> четен или равен 1. Если _>>, то в _>> есть нормальная подгруппа нечетного порядка, противоречие. Значит, _>> и _>> содержится в центре _>>.

Если _>>, то _>> - квазипростая группа и _>> не изоморфна _>>. Так как _>>, то по лемме 8 группа _>> изоморфна _>> или _>>. Теперь по теореме из Error: Reference source not found, с.646 группа _>> изоморфна _>> или _>>.

Пусть _>> - собственная в _>> подгруппа. Тогда _>> имеет нечетный индекс и _>>. Так как _>> - собственная в _>> подгруппа, то из леммы 8 получаем, что _>> изоморфна _>>, a _>> изоморфна _>>. Противоречие. Теорема доказана полностью.

_{>2.
Конечные группы со сверхразрешимыми
подгруппами непримарного индекса}>

Задача С.Н. Черникова об описании конечных групп, у которых подгруппы непримарного индекса нильпотентны, решена в 1975 г. С.С. Левищенко. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов рассматривались А.В. Сидоровым.

В настоящей статье изучаются конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. Доказаны следующие две теоремы.

1) _>> или _>>, где _>> - 5-группа;

2) _>>, где _>> - 3-группа.

Далее, если _>>, то

_>>

и _>> делит _>>. Если _>>, то

_>>

группа Шмидта, и Q - элементарная абелева группа или группа кватернионов.

Здесь _>> - наибольшая нормальная в _>> _>>-подгруппа; _>> - подгруппа Фиттинга группы _>>; _>> - циклическая группа порядка _>>.

Осуществляется непосредственной проверкой.

Группа _>> называется _>>-замкнутой, если в ней силовская _>>-подгруппа нормальна, и _>>-нильпотентной, если в ней имеется нормальное дополнение к силовской _>>-подгруппе. Свойства групп Шмидта хорошо известны.

Если _>> - собственная подгруппа в группе _>>, то _>> удовлетворяет условию леммы, по индукции подгруппа _>> _>>-нильпотентна. Теперь группа _>> либо _>>-нильпотентна, либо _>>-замкнутая группа Шмидта (см. Error: Reference source not found, с. 192). Последнее исключается условием леммы.

Все главные факторы сверхразрешимой группы имеют простые порядки. Так как _>> - главный фактор, то

_>>

Определения дисперсивных групп см. в Error: Reference source not found, с.251. Конечная группа называется трипримарной, если ее порядок делится точно на три различных простых числа.

4. группа дисперсивна по Оре, если в ней все подгруппы Шмидта сверхразрешимы.

Пусть в конечной группе _>> все подгруппы Шмидта сверхразрешимы и _>> - наименьшее простое число, делящее порядок _>>. По лемме 3 в группе _>> нет _>>-замкнутых подгрупп Шмидта, поэтому _>> _>>-нильпотентна по лемме 2. По индукции нормальное _>>-дополнение в _>> дисперсивно по Оре, поэтому и вся группа дисперсивна по Оре.

5. конечная группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса не более чем трипримарна.

Пусть _>> - недисперсивная группа. По лемме 4 в ней имеется несверхразрешимая подгруппа _>>, которая является группой Шмидта. Так как _>> бипримарна, а индекс _>> в группе _>> по условию леммы примарен, то группа _>> либо бипримарна, либо трипримарна.

6. группа порядка _>>, где _>> и _>> - простые числа, _>> и _>> не делит _>>, нильпотентна.

Пусть _>> - рассматриваемая группа. Так как _>> сверхразрешима и _>>, то в _>> имеется нормальная подгруппа _>> порядка _>>. Теперь _>> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов группы _>>, которая является циклической порядка _>>. Поскольку _>> не делит _>>, то силовская _>>-подгруппа _>> из _>> содержится в _>>. Теперь _>> лежит в центре _>>. Факторгруппа _>> нильпотентна по индукции, значит, нильпотентна и _>>.

теоремы B. Пусть _>> - конечная неразрешимая группа, в которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По лемме 2 в группе _>> существует 2-замкнутая подгруппа Шмидта _>>, где _>> - нормальная силовская 2-подгруппа из _>>; подгруппа _>> - циклическая. Поскольку _>> не является сверхразрешимой группой, то ее индекс примарен, т.е. _>>, где _>> - простое число. Теперь _>> для силовской _>>-подгруппы из _>> и _>> является холловской подгруппой в _>>.

По теореме 2.1 Error: Reference source not found подгруппа _>> содержит нормальную в группе _>> подгруппу _>> такую, что факторгруппа _>> изоморфна

_>>

В факторгруппе _>> по лемме 1 несверхразрешимыми могут быть только подгруппы примарных индексов. В _>> и _>> имеется несверхразрешимая подгруппа, изоморфная знакопеременной группе _>> степени 4, индекса 14 и 24 соответственно. Поэтому эти группы исключаются.

В _>> внешний автоморфизм нормализует силовскую 2-подгруппу, но не централизует ее. Поэтому в _>> имеется несверхразрешимая подгруппа порядка 24 и индекса _>>, в связи с чем данная группа также исключается.

Пусть _>> изоморфна _>>. Группа _>> допускает единственную факторизацию в виде группы Шмидта и примарной группы, а именно: _>> (см. Error: Reference source not found, с.73). Поэтому _>> - 5-группа, _>> изоморфна _>> и _>> имеет порядок 5.

Предположим вначале, что _>> - неабелева группа. Через _>> обозначим центр _>>. По индукции факторгруппа _>> изоморфна

_>>

Где

_>>

Поскольку _>> - собственная в _>> подгруппа, то по индукции

_>>

Теперь _>>. Подгруппа _>> характеристична в _>>, a _>> нормальна в _>>. Поэтому _>> нормальна в _>>. Из простоты _>> следует, что _>>. Значит, _>>, где _>>. Л Пусть теперь _>> - абелева группа. Так как подгруппа _>> имеет индекс 20 в группе _>>, то _>> - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому _>> и _>>, т.е. _>> лежит в центре _>>.

Если _>>, то группа _>> квазипроста, и _>> или _>> по Error: Reference source not found, c.646. Но в этом случае _>>. Значит, коммутант _>> - собственная в _>> подгруппа. По индукции

_>>

Так как

_>>

то _>>. По свойству коммутантов _>>. Следовательно,

_>>

Случай _>> рассмотрен полностью.

Пусть _>> изоморфна _>>. Группа _>> допускает единственную факторизацию в виде групп Шмидта, и примарной группы, а именно: _>>. Поэтому _>> - 5-группа, _>> изоморфна _>>, и _>> имеет порядок 5.

Предположим вначале, что _>> - неабелева группа, и пусть _>> - центр _>>. По индукции фактор-группа _>> изоморфна

_>>

Поскольку _>> - собственная в _>> подгруппа, то по индукции

_>>

Теперь

_>>

Подгруппа _>> характеристична в _>>, а подгруппа _>> нормальна в _>>, поэтому _>> нормальна в _>>. Кроме того,

_>>

Следовательно, _>>, где _>>.

Пусть теперь _>> - абелева группа. Так как _>> имеет индекс 40 в группе _>>, то _>> - сверхразрешимая группа, и по лемме 6 она нильпотентна. Поэтому _>> и _>> нормальная в _>> подгруппа порядка, делящегося на 3. Значит, _>> и _>> лежит в центре _>>. Теперь

_>>

и для инволюции _>> подгруппа _>> нормальна в _>>. Следовательно,

_>>

и факторгруппа _>> проста.

Если _>>, то группа _>> квазипроста, и _>> по Error: Reference source not found, с.646. Но в этом случае _>>.

Пусть коммутант _>> - собственная в _>> подгруппа. По индукции _>>, где _>> изоморфна _>> или _>>, а

_>>

Так как

_>>

то _>>. По свойству коммутантов _>>, значит,

_>>

Так как _>>, то подгруппа _>> изоморфна _>> и не изоморфна _>>.

Осталось рассмотреть случай _>>. Группа _>> допускает единственную факторизацию в виде подгруппы Шмидта и примарной подгруппы, а именно: _>>. Поэтому _>> - 3-группа, _>> изоморфна _>> и _>> - циклическая группа порядка 9.

Предположим вначале, что _>> - неабелева группа. Через _>> обозначим центр _>>. По индукции факторгруппа _>> изоморфна _>>, где

_>>

Поскольку _>> - собственная в _>> подгруппа, то по индукции

_>>

Теперь

_>>

Подгруппа _>> характеристична, в _>> а подгруппа _>> нормальна в _>>. Поэтому _>> нормальна в _>>. Из простоты _>> следует, что _>>. Следовательно, _>>, где _>>.

Пусть теперь _>> - абелева группа. Так как подгруппа _>> имеет индекс 72, то она сверхразрешима. Но _>>, где _>> - подгруппа порядка 7, а _>> - 3-группа. Отсюда следует, что _>> нильпотентна и абелева, а поэтому _>>, т.е. _>> лежит в центре _>>.

Если _>>, то группа _>> квазипроста, и _>> по Error: Reference source not found, с.646. В этом случае _>>.

Значит, коммутант _>> - собственная в _>> подгруппа. По индукции

_>>

Где

_>>

Так как

_>>

По свойству коммутантов _>>. Следовательно,

_>>

где _>>.

Теорема 1 доказана.

Перейдем теперь к изучению разрешимых групп, у которых несверхразрешимые подгруппы имеют примарные индексы. В силу леммы 5 такие недисперсивные группы не более чем трипримарны.

7. разрешимая группа со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса дисперсивна.

Пусть _>> - разрешимая группа порядка _>>, где _>> - различные простые числа, и пусть каждая подгруппа непримарного индекса из _>> сверхразрешима. Предположим, что _>> _>>-нильпотентна. Тогда холловская _>>-подгруппа _>> нормальна в _>>. Если _>> сверхразрешима, то _>> дисперсивна. Если _>> несверхразрешима, то все собственные подгруппы из _>> имеют в группе _>> непримарные индексы. Поэтому _>> - минимальная несверхразрешимая группа. Теперь _>> дисперсивна, поэтому дисперсивна и _>>.

Если группа _>> содержит нормальную силовскую _>>-подгруппу _>>, то _>>, где _>> - холловская _>>-подгруппа. Так как _>> дисперсивна, то дисперсивна и _>>. Противоречие.

Пусть теперь группа _>> не обладает нормальным дополнением ни к одной силовской подгруппе и ни одна силовская подгруппа из _>> не нормальна в _>>. Предположим, что _>>. Так как _>> не _>>-нильпотентна, то в _>> имеется _>>-замкнутая подгруппа Шмидта _>>, где _>> - некоторая _>>-группа, и _>> или _>>. Из минимальности _>> по лемме 3 получаем, что _>> несверхразрешима, поэтому ее индекс примарен, и _>>, где _>> - примарная подгруппа. Ввиду леммы VI.4.7 Error: Reference source not found подгруппу _>> можно выбрать так, что _>> - холловская _>>-подгруппа в группе _>>. Если _>> нормальна в _>>, то _>> - нормальная в _>> холловская подгруппа. Так как _>> либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, то _>> - дисперсивна, поэтому дисперсивна и _>>. Противоречие.

Следовательно, _>> не нормальна в _>> и подгруппа _>> не _>>-нильпотентна. Так как _>> дисперсивна, то _>> нормальна в _>>. По лемме 2 в группе _>> имеется _>>-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. Но _>> циклическая, поэтому _>> - простое число и по лемме 3 подгруппа _>> сверхразрешима и _>> есть _>>-группа. Значит, _>>, где _>> - силовская _>>-подгруппа в _>>, a _>> - силовская _>>-подгруппа.

Рассмотрим подгруппу _>>. Она дисперсивна. Если _>> нормальна в _>>, то _>> дисперсивна. Противоречие. Значит, _>> нормальна в _>>.

Итак, в группе _>> холловские подгруппы имеют строение: _>> сверхразрешима с циклической силовской _>>-подгруппой _>>; _>> с силовской _>>-подгруппой шмидтовского типа; _>> - подгруппа Шмидта.

В разрешимой группе _>> имеется нормальная подгруппа _>> простого индекса. Пусть _>>. Если _>> бипримарна или примарна, то _>> дисперсивна. Пусть _>> трипримарна. По индукции _>> дисперсивна, а так как в _>> нет нормальных силовских подгрупп, то _>>.

Если _>> и _>>, то _>> нильпотентна как подгруппа группы Шмидта _>> и _>> нормальна в _>>. Если _>> и _>>, то

_>>

также нильпотентна, и _>> нормальна в _>>.

Итак, при _>> в _>> имеется нормальная силовская подгруппа. Противоречие.

Пусть _>>. Если _>>, то

_>>

нильпотентна и _>> нормальна в _>>. Пусть _>>. Тогда

_>>

Теперь _>> нормальна, в _>>. Если _>>, то _>> и _>> нормальна в _>>. Если _>>, то _>> - собственная подгруппа в группе Шмидта _>>. Поэтому _>> нильпотентна, и

_>>

т.е. _>> нормальна в _>>. Противоречие.

Осталось рассмотреть случай _>>. Так как _>> нормальна в _>>, и _>> циклическая, то в _>> имеется нормальная подгруппа _>> порядка _>>. Теперь _>> - абелева группа порядка, делящего _>>. и в случае _>> в группе _>> имеется нормальная подгруппа простого индекса, отличного от _>>. Но эта ситуация уже рассмотрена. Если _>>, то к фактор-группе _>> применима индукция, по которой _>> дисперсивна. Так как _>> - подгруппа из центра _>>, то и вся группа _>> дисперсивна.

Лемма 7 доказана полностью.

8. _>> - подгруппа примарного индекса _>> конечной группы _>>, то _>>.

Пусть _>> - силовская _>>-подгруппа группы _>>, содержащая _>>-подгруппу _>>. Так как _>>, то _>>. Теперь для любого элемента _>>, где _>>, _>>, получаем

_>>

и _>> - _>>-группа.

Пусть _>> не является силовской в _>> подгруппой и _>> - силовская в _>> _>>-подгруппа. Тогда _>> - подгруппа непримарного индекса для каждой максимальной в _>> подгруппы _>>. По условию _>> сверхразрешима, поэтому ее коммутант нильпотентен и

_>>

т.е. _>> и _>> абелева. Итак, в силовской _>>-подгруппе из _>> все собственные подгруппы абелевы.

Так как _>> не _>>-нильпотентна, то в ней имеется _>>-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. Эта подгруппа несверхразрешима по лемме 3, поэтому ее индекс примарен. Если _>>, то силовская _>>-подгруппа _>> в _>> циклическая, а так как _>>, то _>> нормальна в _>>. Противоречие.

Следовательно,

_>>

По лемме 8 подгруппа _>> максимальна в _>>.

Если _>> - абелева, то _>> - элементарная абелева группа порядка _>> и _>> - показатель числа _>> по модулю _>>.

Пусть _>> - неабелева группа. Так как _>> сопряжена _>>, то все собственные в _>> подгруппы абелевы, т.е. _>> - группа Миллера-Морено. Если _>> - неабелева группа, порядка _>> и экспоненты _>>, то из свойств групп Шмидта следует, что _>> делит _>>. Так как _>>, то _>>, _>>. Но группы экспоненты 2 абелевы, противоречие. Следовательно, _>> - группа кватернионов порядка 8 и _>>.

Факторгруппа _>> - q-замкнута по лемме 3.2 Error: Reference source not found, поэтому в _>> каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Поскольку _>>, то из Error: Reference source not found следует, что _>> имеет простой порядок, а так как _>> не входит в _>>, то

_>>

есть группа Шмидта.

Так как _>>, то группа _>> не _>>-нильпотентна, поэтому в ней существует _>>-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. По лемме 3 подгруппа _>> несверхразрешима а по условию леммы ее индекс примарен.

Если _>>, то _>> - силовская _>>-подгруппа группы _>>, и _>> нормальна в _>> по лемме 3.2 Error: Reference source not found. Поэтому _>> и _>> - _>>-группа.

Пусть _>>. Тогда _>> - циклическая силовская _>>-подгруппа группы _>>. Будем считать, что _>> не _>>-замкнута, т.е. _>> не является силовской в _>> подгруппой. Для максимальной в _>> подгруппы _>> индекс подгруппы _>>, бипримарен, поэтому _>> сверхразрешима. Так как _>>, то _>> нормальна в _>> и

_>>

Таким образом, _>> и _>> группа порядка, _>>.

Теперь факторгруппа _>> обладает нормальной силовской _>>-подгруппой _>> порядка _>>. Итак, _>>, где _>> - силовская _>>-подгруппа в _>>. Так как _>> нормальна в _>>, а в _>> нет неединичных нормальных _>>-подгрупп, то _>> и _>> изоморфна подгруппе группы автоморфизмов циклической группы _>> порядка _>>. Поэтому _>> - циклическая группа порядка _>> и _>> делит _>>.

теоремы C. Пусть _>> - разрешимая недисперсивная группа, у которой все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы. По леммам 5 и 8 группа _>> бипримарна. Пусть _>>, где _>> и _>> - простые числа и _>>. Если _>> - примарная группа, то из лемм 9 и 10 следует, что _>> - дисперсивная группа порядка _>>.

Пусть _>> - бипримарная группа. Так как группа _>> не _>>-нильпотентна, то в _>> существует _>>-замкнутая подгруппа Шмидта _>>. Поскольку _>>, то подгруппа _>> несверхразрешима по лемме 3, поэтому имеет в _>> примарный индекс. Если _>>, то _>> - циклическая силовская _>>-подгруппа группы _>>, и группа _>> имеет единичную _>>-длину. Поэтому _>> _>>-замкнута, а значит _>>-замкнута и _>>. Для максимальной подгруппы _>> из _>> подгруппа _>> имеет в _>> непримарный индекс, поэтому _>> сверхразрешима, а поскольку _>>, то _>> нормальна в

_>>

Из _>>-замкнутости _>> следует, что _>> нормальна в _>>, поскольку _>> - циклическая подгруппа, то _>> нормальна в _>>. Так как _>> не нормальна в _>>, то _>>, и _>> имеет порядок _>>.

Пусть теперь _>>. Тогда _>> - силовская _>>-подгруппа группы _>>, и группа _>> имеет единичную _>>-длину по лемме 3.2 Error: Reference source not found. Поэтому _>> _>>-замкнута, а по лемме 8 максимальная подгруппа _>> из _>> содержится в _>>. Так как _>>, то по свойствам групп Шмидта

_>>

Первое исключается тем, что _>> недисперсивна. Теперь _>> - _>>-замкнутая группа, в которой каждая подгруппа непримарного индекса нильпотентна. Пусть _>>. Так как в _>> имеется группа Шмидта _>>, то _>> ненильпотентна, и _>> не является силовской в _>>. Значит, подгруппа _>> имеет в _>> непримарный индекс, и по условию теоремы _>> сверхразрешима. Так как _>> нормальна в _>>, то _>> нормальна в _>>, поэтому _>> содержится в _>>. Следовательно, _>> и в _>>. Теперь из Error: Reference source not found следует, что силовская _>>-подгруппа в _>> имеет простой порядок.

Итак, в любом случае _>> - дисперсивная группа порядка _>>. Последние два утверждения теоремы 2 вытекают из лемм 9 и 10.

Теорема доказана.

_{>3.
О неразрешимых группах с заданными
подгруппами непримарного индекса}>

Пусть _>> - некоторый класс конечных групп. Через _>> обозначается совокупность минимальных не _>>-групп, а через _>> - множество всех тех конечных групп, у которых каждая подгруппа непримарного индекса принадлежит _>>. Ясно, что _>> наследственный класс и _>>. В настоящей заметке доказывается следующая

Формации _>> и _>> нильпотентных и сверхразрешимых групп удовлетворяют условиям теоремы. Но класс _>> разрешим Error: Reference source not found, а для класса _>> теоремы получается описание конечных неразрешимых групп, у которых все подгруппы непримарного индекса сверхразрешимы Error: Reference source not found.

Все обозначения и определения общепринятые, их можно найти в Error: Reference source not found.

1. конечная неразрешимая группа _>> принадлежит _>>, то _>>, где _>>, а _>> и _>>.

Если _>>, то в качестве подгруппы _>> можно выбрать всю группу _>>, а подгруппа _>> будет единичной. Пусть _>> и пусть _>> - собственная в _>> подгруппа, которая является минимальной не _>>-группой. По условию _>>, _>> - простое число. Теперь для силовской _>>-подгруппы _>> из _>> получаем, что _>>. Из неразрешимости _>> следует, что _>> непримарна и _>>.

Пусть минимальная нормальная в _>> подгруппа _>> не принадлежит _>>. Так как _>>, то индекс _>>, _>> - простое число. Теперь _>> неразрешима и является прямым произведением изоморфных простых неабелевых групп: _>> Поскольку _>> замкнут относительно прямых произведений, то _>> не принадлежит _>> и индекс _>> в группе _>> должен быть примарным. Поэтому _>> - простая неабелева группа.

Централизатор _>> нормален в _>> и _>>. Поэтому _>>, а так как индекс _>> непримарен, то _>>.

3. класс _>> разрешим и _>> - простая неабелева группа из _>>, то:

1) _>>, _>>, _>> и _>> или _>> - простое число;

2) _>>, _>> и _>> - простое число;

3) _>>, _>>, _>>;

4) _>>, _>> или _>>, _>> или _>> соответственно.

Здесь _>> и _>> - подгруппы, зафиксированные в лемме 1. _>>, _>>, _>> - циклическая, элементарная абелева, диэдральная группы порядка _>>, _>> - симметрическая груша степени 4.

По лемме 1 простая группа _>>, где _>>, а _>>. Опираясь на классификацию конечных простых групп, Гуральник Error: Reference source not found перечислил все простые группы с подгруппой примарного индекса. Учитывая разрешимость подгруппы _>> из этого списка, получаем утверждение нашей леммы.

Теоремы D. Пусть _>> - минимальная нормальная в _>> подгруппа. По лемме 2 подгруппа _>> простая, _>> и _>>

Так как _>> не принадлежит _>>, то существует подгруппа _>>, _>>. Теперь _>>, где _>>, _>> и _>>. Так как _>> разрешима, то по лемме 3 подгруппа _>> изоморфна одной из четырех серий групп.

Пусть _>> и _>> простое число или 9. Предположим, что _>> - собственная в _>> подгруппа. Так как _>> - циклическая группа порядка _>>, то _>> делит _>>. Кроме того, индекс _>> в _>> должен быть примарным, а поскольку

_>>,

то при _>> простое число _>> должно делить _>>, что невозможно. Для _>> числа _>> и _>> взаимно просты. При _>> группа _>> удовлетворяет условию теоремы. Следовательно, если _>>, то либо _>>, либо _>>, a _>>.

Пусть _>> и _>> - простое число, где _>>. Так как _>>, то индекс _>> в _>> равен _>> и _>> или _>>.

Пусть _>>, где _>>. Поскольку _>>, то подгруппа _>> имеет в _>> непримарный индекс. Поэтому в этом случае _>>.

Поскольку случай _>> рассмотрен при _>>, где _>>, то теорема доказана полностью.

_{>Заключение}>

В данной курсовой работе изучены три темы:

1. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами четного индекса.

2. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса.

3. О неразрешимых группах с заданными подгруппами непримарного индекса.

Подробно рассмотрены теоремы и леммы, а также их доказательства.

_{>Список литературы}>

1. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 272 С.

2. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса. // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев 1993.С. 195-209.

3. Мазуров В.Д., Сыскин С.А. О конечных группах со специальными силовскими 2-подгруппами. // Матем. заметки. - 1973. - Т.14, N 2. - С.217-222.

4. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких и нильпотентных. // В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника. - 1975. - С.70-100.

5. Старостин А.И. О группах Фробениуса. // Украинский матем. ж. - 1971. - Т.23, N 5. - С.629-639.

6. Huppert В. Endliche Gruppen I. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1967. - 793 P.

7. Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. - М.: Мир,-1985. - 352 С.

8. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // Некоторые вопросы теории групп. - Киев, 1975. - С.173-196.

9. Сидоров А.В. Конечные группы с формационными подгруппами непримарных индексов // Вопросы алгебры. - Минск. - 19S7. - Вып.3. - С.48-56.

10. Huppert B. Endliche Gruppen.I. - Berlin: Springer, 19 (37. - 795 S.

11. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. - М.: Наука, 1978. - 267 с.

12. Монахов B. C. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным // Конечные группы. - Минск: Наука и техника, 1975. - С.70-100.

13. Левищенко С.С. Конечные группы с нильпотентными подгруппами непримарного индекса // В кн.: Некоторые вопросы теории групп. Киев, 1975. - С. 197-217.

14. Монахов B. C. Конечные группы со сверхразрешимыми подгруппами непримарного индекса // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев. 1993. - С. 195-209.

15. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука, 1978, 272 с.

16. Guralnick R. sub>groups of prime power index in a simple group. J. Algebra. 1983. - Vol.81. - P.304-311.