Кольцо целых чисел Гаусса
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет
Математический факультет
Кафедра
математического анализа и методики
преподавания математики
Выпускная квалификационная работа
на тему: Кольцо целых чисел Гаусса.
Выполнил:
студент V курса
математического факультета
Гнусов В.В.
___________________________
Научный руководитель:
старший преподаватель кафедры
алгебры и геометрии
Семенов А.Н..
___________________________
Рецензент:
кандидат физ.-мат. наук, доцент
кафедры алгебры и геометрии
Ковязина Е.М.
___________________________
Допущена к защите в ГАК
Зав. кафедрой________________ Вечтомов Е.М.
« »________________
Декан факультета___________________ Варанкина В.И.
« »________________
Киров 2005
Содержание.
Введение. 2
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 3
1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. 4
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. 5
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА. 6
1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ. 9
ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА. 12
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА. 17
Заключение. 23
Введение.
Кольцо целых комплексных чисел
было открыто Карлом Гауссом и названо
в его честь гауссовым.
К. Гаусс пришел к мысли о
возможности и необходимости расширения
понятия целого числа в связи с поиском
алгоритмов решения сравнений второй
степени. Он перенес понятие целого числа
на числа вида
,
где
— произвольные целые числа, а
— является корнем уравнения
На данном множестве К. Гаусс впервые
построил теорию делимости, аналогичную
теории делимости целых чисел. Он
обосновал справедливость основных
свойств делимости; показал, что в кольце
комплексных чисел существует только
четыре обратимых элемента:
;
доказал справедливость теоремы о делении
с остатком, теоремы о единственности
разложения на простые множители; показал
какие простые натуральные числа останутся
простыми и в кольце
;
выяснил природу простых целых комплексных
чисел.
Развитая К. Гауссом теория, описанная в его труде «Арифметические исследования», явилась фундаментальным открытием для теории чисел и алгебры.
В выпускной работе были поставлены следующие цели:
1. Развить теорию делимости в кольце чисел Гаусса.
2. Выяснить природу простых гауссовых чисел.
3. Показать применение гауссовых чисел при решении обычных диофантовых задач.
ГЛАВА 1. ДЕЛИМОСТЬ В КОЛЬЦЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Рассмотрим множество комплексных
чисел. По аналогии с множеством
действительных чисел в нем можно выделить
некоторое подмножество целых чисел.
Множество чисел вида
,
где
назовем целыми комплексными
числами или гауссовыми числами. Нетрудно
проверить, что для этого множества
выполняются аксиомы кольца. Таким
образом, это множество комплексных
чисел является кольцом и называется
кольцом целых чисел
Гаусса. Обозначим его
как
,
так как оно является расширением кольца
элементом:
.
Поскольку кольцо гауссовых чисел
является подмножеством комплексных
чисел, то для него справедливы некоторые
определения и свойства комплексных
чисел. Так, например, каждому гауссовому
числу
соответствует вектор с началом в точке
и с концом в
.
Следовательно, модуль
гауссова числа
есть
.
Заметим, что в рассматриваемом множестве,
подмодульное выражение всегда есть
число неотрицательное целое. Поэтому
в некоторых случаях удобнее пользоваться
нормой,
то есть квадратом модуля. Таким образом
.
Можно выделить следующие свойства
нормы. Для любых гауссовых чисел
справедливо:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Здесь и далее
— множество натуральных чисел, то есть
целых положительных чисел.
Справедливость данных свойств тривиальным образом проверяется с помощью модуля. Попутно заметим, что (2), (3), (5) справедливы и для любых комплексных чисел.
Кольцо гауссовых чисел — это
коммутативное кольцо без делителей 0,
так как оно является подкольцом поля
комплексных чисел. Отсюда следует
мультипликативная сократимость кольца
,
то есть
(6)
1.1 ОБРАТИМЫЕ И СОЮЗНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ.
Посмотрим, какие гауссовы числа
будут обратимыми. Нейтральным по
умножению является
.
Если гауссово число
обратимо,
то, по определению, существует
такое, что
.
Переходя к нормам, согласно свойству
3, получим
.
Но эти нормы натуральны, следовательно
.
Значит, по свойству 4,
.
Обратно, все элементы данного множества
обратимы, поскольку
.
Следовательно, обратимыми будут числа
с нормой равной единице, то есть
,
.
Как видно не все гауссовы числа
будут обратимы. Поэтому интересно
рассмотреть вопрос делимости. Как
обычно, мы говорим, что
делится
на
,
если существует
такое, что
.Для
любых гауссовых чисел
,
а также обратимых
справедливы свойства.
(7)
(8)
(9)
(10)
,
где
(11)
(12)
Легко проверяются (8), (9), (11), (12).
Справедливость (7) следует из (2), а (10)
следует из (6). В силу свойства (9), элементы
множества
ведут себя по отношению к делимости
точно так же как и
,
и называются союзными
с
.
Поэтому естественно рассматривать
делимость гауссовых чисел с точностью
до союзности. Геометрически на комплексной
плоскости союзные числа будут отличаться
друг от друга поворотом на угол кратный
.
1.2 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ.
Пусть надо поделить
на
,
но невозможно произвести деление нацело.
Мы должны получить
,
и при этом
должно быть «мало». Тогда покажем, чтó
брать в качестве неполного частного
при делении с остатком во множестве
гауссовых чисел.
Лемма 1. О делении с остатком.
В кольце
возможно деление с остатком, при котором
остаток меньше делителя по норме. Точнее,
для любых
и
найдется
такое, что
.
В качестве
можно взять ближайшее к комплексному
числу
гауссово число.
Доказательство.
Разделим
на
во множестве комплексных чисел. Это
возможно, так как множество комплексных
чисел является полем. Пусть
.
Округлим действительные числа
и
до целых, получим соответственно
и
.
Положим
.
Тогда
.
Умножая сейчас обе части
неравенства на
получим, в силу мультипликативности
нормы комплексных чисел, что
.
Таким образом, в качестве неполного
частного можно взять гауссово число
,
которое как нетрудно видеть, является
ближайшим к
.
Ч.Т.Д.
1.3 НОД. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА.
Мы пользуемся обычным для колец
определением наибольшего общего
делителя. НОД’ом двух
гауссовых чисел
называется такой их общий делитель,
который делится на любой другой их общий
делитель.
Как и во множестве целых чисел, во множестве гауссовых чисел для нахождения НОД пользуются алгоритмом Евклида.
Пусть
и
данные гауссовы числа, причем
.
Разделим с остатком
на
.
Если остаток будет отличен от 0, то
разделим
на этот остаток, и будем продолжать
последовательное деление остатков до
тех пор, пока оно будет возможно. Получим
цепочку равенств:
,
где
,
где
,
где
……………………….
,
где
Эта цепочка не может продолжаться бесконечно, так как имеем убывающую последовательность норм, а нормы — неотрицательные целые числа.
Теорема 2. О существовании НОД.
В алгоритме Евклида, примененному
к числам Гаусса
и
последний ненулевой остаток есть НОД(
).
Доказательство.
Докажем, что в алгоритме Евклида действительно получаем НОД.
1.Рассмотрим равенства снизу вверх.
Из последнего равенства видно,
что
.Следовательно,
как сумма чисел делящихся на
.
Так как
и
,
то следующая строчка даст
.
И так далее. Таким образом, видно, что
и
.
То есть
это общий делитель чисел
и
.
Покажем, что это наибольший общий
делитель, то есть
делится на любой другой их общий делитель.
2. Рассмотрим равенства сверху вниз.
Пусть
— произвольный общий делитель чисел
и
.
Тогда
,
как разность чисел делящихся на
,
действительно из первого равенства
.
Из второго равенства получим, что
.
Таким образом, представляя в каждом
равенстве остаток как разность чисел
делящихся на
,
мы из предпоследнего равенства получим,
что
делится на
.
Ч.Т.Д.
Лемма 3. О представлении НОД.
Если НОД(,
)=
,
то существуют такие целые гауссовы
числа
и
,
что
.
Доказательство.
Рассмотрим снизу вверх цепочку
равенств, полученную в алгоритме Евклида.
Последовательно подставляя вместо
остатков их выражения через предыдущие
остатки, мы выразим
через
и
.
Ч.Т.Д.
Гауссово число называется простым, если его нельзя представить в виде произведения двух необратимых сомножителей. Следующее утверждение очевидно.
Утверждение 4.
При умножении простого гауссова числа на обратимое снова получается простое гауссово число.
Утверждение 5.
Если у гауссова числа взять необратимый делитель с наименьшей нормой, то он будет простым гауссовым.
Доказательство.
Пусть такой делитель
является составным числом. Тогда
,
где
и
необратимые гауссовы числа. Перейдем
к нормам, и согласно (3) получим, что
.
Так как эти нормы натуральны, то имеем,
что
,
а в силу (12),
является необратимым делителем данного
числа Гаусса, что противоречит выбору
.
Ч.Т.Д.
Утверждение 6.
Если
не делится на простое гауссово число
,
то НОД(,)=1.
Доказательство.
Действительно, простое число
делится только на числа
союзные с 1 или с.
А так как
не делится на
,
то на союзные с
тоже не делится. Значит, их общими
делителями будут только обратимые
числа.
Ч.Т.Д.
Лемма 7. Лемма Евклида.
Если произведение гауссовых
чисел делится на простое гауссово число
,
то хотя бы один из множителей делится
на
.
Доказательство.
Для доказательства достаточно
рассмотреть случай, когда произведение
содержит только два множителя. То есть
покажем, что если
делится на
,
то либо
делится на
,
либо
делится на
.
Пусть
не делится на,
тогда НОД(,)=1.
Следовательно, существуют такие гауссовы
числа
и
,
что
.
Умножим обе части равенства на
,
получим, что
,
отсюда следует, что
,
как сумма чисел делящихся на
.
Ч.Т.Д.
1.4 ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АРИФМЕТИКИ.
Любое ненулевое гауссово число можно представить в виде произведения простых гауссовых чисел, причем это представление единственно с точностью до союзности и порядка сомножителей.
Замечание 1.
Обратимое число имеет в своем разложении нуль простых множителей, то есть представляется самим собой.
Замечание 2.
Более точно единственность
формулируется следующим образом. Если
имеются два разложения на простые
гауссовы множители, то есть
,
то
и можно так перенумеровать числа
,
что
будет
союзно с
,
при всех
от 1 до
включительно.
Доказательство.
Доказательство проведем индукцией по норме.
База. Для числа с единичной нормой утверждение очевидно.
Пусть сейчас
— ненулевое необратимое гауссово число,
и для всех чисел Гаусса с нормой меньшей
утверждение доказано.
Покажем возможность разложения
на простые множители. Для этого обозначим
через
необратимый делитель
,
имеющий наименьшую норму. Этот делитель
должен быть простым числом по утверждению
5. Тогда
.
Таким образом, мы имеем
и по индуктивному предположению
представимо в виде произведения простых
чисел. Значит,
раскладывается в произведение этих
простых и
.
Покажем единственность разложения на простые множители. Для этого возьмем два произвольных таких разложения:
.
По лемме Евклида в произведении
один из множителей должен делиться на
.
Можно считать, что
делится на
,
иначе перенумеруем. Так как они простые,
то
,
где
обратимо. Сокращая обе части нашего
равенства на
,
получим разложение на простые множители
числа
,
по норме меньшего, чем
.
.
По индуктивному предположению
и можно перенумеровать числа
так, что
будет союзно с
,
с
,
…,
с
.
Тогда
и при этой нумерации
союзно с
при всех
от 1 до
включительно. Значит, разложение
на простые множители единственно.
Ч.Т.Д.
Пример однопорожденного кольца
над
без ОТА.
Рассмотрим
.
Элементами этого кольца являются числа
вида
,
где
и
произвольные целые числа. Покажем, что
в нем не выполняется основная теорема
арифметики. Определим в этом кольце
норму числа
следующим образом:
.
Это действительно является нормой, так
как нетрудно проверить, что
.
Пусть
и
.
Тогда
.
Заметим, что
.
Покажем, что в рассматриваемом
кольце числа
являются простыми. Действительно, пусть
— одно из них и
.
Тогда имеем:
Так как в этом кольце нет чисел с нормой
2, то
или
.
Обратимыми элементами будут числа с
единичной нормой и только они. Значит,
в произвольном разложении
на множители найдется обратимый
множитель, следовательно,
просто.
ГЛАВА 2. ПРОСТЫЕ ЧИСЛА ГАУССА.
Чтобы понять какие гауссовы числа являются простыми, рассмотрим ряд утверждений.
Теорема 8.
Каждое простое гауссово является делителем ровно одного простого натурального.
Доказательство.
Пусть
— простое гауссово, тогда
.
По основной теореме арифметики натуральных
чисел
раскладывается в произведение простых
натуральных. А по лемме Евклида хотя бы
один из них делится на
.
Покажем сейчас, что простое
Гауссово не может делить два различных
простых натуральных. Действительно,
пусть
и
различные простые натуральные, делящиеся
на
.
Поскольку НОД(
)=1,
то по теореме о представлении НОД в
целых числах существуют
и
— целые числа такие, что
.
Отсюда
,
что противоречит простоте
.
Ч.Т.Д.
Таким образом, раскладывая каждое простое натуральное на простые гауссовы, мы переберем все простые гауссовы, причем без повторений.
Следующая теорема показывает, что каждого простого натурального «получается» не более двух простых гауссовых.
Теорема 9.
Если простое натуральное разложено в произведение трех простых гауссовых, то хотя бы один из множителей обратим.
Доказательство.
Пусть
— простое натуральное такое, что
.
Перейдя к нормам, получим:
.
Из
этого равенства в натуральных числах
следует, что хотя бы одна из норм равна
1. Следовательно, хотя бы одно из чисел
— обратимо.
Ч.Т.Д.
Лемма 10.
Если гауссово число
делится на простое натуральное
,
то
и
.
Доказательство.
Пусть
,
то есть
.
Тогда
,
,
то есть
,
.
Ч.Т.Д.
Лемма 11.
Для простого натурального
числа вида
,
существует натуральное
такое, что
.
Доказательство.
Теорема Вильсона гласит, что
целое число
является простым тогда и только тогда,
когда
.
Но
,
отсюда
.
Раскроем и преобразуем факториал:
.
Отсюда получаем, что
,
т.е.
.
Таким
образом, мы получили, что
,
где
=
.
Ч.Т.Д.
Сейчас мы готовы описать все простые гауссовы числа.
Теорема 12.
Все простые гауссовы можно разбить на три группы:
1). Простые натуральные вида
,
являются простыми гауссовыми;
2). Двойка союзна с квадратом
простого гауссова числа
;
3). Простые натуральные вида
,
раскладываются в произведение двух
простых сопряженных гауссовых.
Доказательство.
1). Предположим,
что простое натуральное
вида
не является простым гауссовым. Тогда
,
причем
и
.
Перейдем к нормам:
.
Учитывая указанные неравенства, получим
,
то есть
— сумма квадратов двух целых чисел. Но
сумма квадратов целых чисел не может
давать остаток 3 при делении на 4.
2). Заметим, что
.
Число
— простое гауссово, так как иначе двойка
разложилась бы на три необратимых
множителя, что противоречит теореме 9.
3). Пусть
простое натуральное вида
,
тогда по лемме 11 существует целое число
такое, что
.
Пусть
— простое гауссово. Так как
,
то по лемме Евклида на
делится хотя бы один из множителей.
Пусть
,
тогда существует гауссово число
такое, что
.
Приравнивая коэффициенты мнимых частей
получим, что
.
Следовательно,
,
что противоречит нашему предположению
о простоте
.
Значит
— составное гауссово, представимое в
виде произведения двух простых сопряженных
гауссовых.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссово число, сопряженное к простому, само является простым.
Доказательство.
Пусть
простое число гаусса. Если предположить,
что
составное, то есть
.
Тогда рассмотрим сопряженное:
,
то есть представили
в виде произведения двух необратимых
сомножителей, чего не может быть.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Гауссово число, норма которого есть простое натуральное число, является простым гауссовым числом.
Доказательство.
Пусть
составное число, тогда
.
Рассмотрим нормы.
То есть получили, что норма
составное число, а по условию есть
простое число. Следовательно, наше
предположение не верно, и
есть простое число.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Если простое натуральное число не является простым гауссовым, то оно представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство.
Пусть
простое натуральное число и не является
простым гауссовым. Тогда
.
Так как равны числа, то равны и их нормы.
То есть
,
отсюда получаем
.
Возможно два случая:
1).
,
то есть представили
в виде суммы двух квадратов.
2).
,
то есть
,
значит
обратимое число, чего не может быть,
значит этот случай нас не удовлетворяет.
Ч.Т.Д.
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЕЛ ГАУССА.
Утверждение.
Произведение чисел представимых в виде суммы двух квадратов также представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство.
Докажем этот факт двумя способами, с помощью чисел Гаусса, и не используя гауссовы числа.
1. Пусть
,
— натуральные числа представимые в
виде суммы двух квадратов. Тогда
,
и
.
Рассмотрим произведение
,
то есть представили в виде произведения
двух сопряженных гауссовых чисел,
которое представляется в виде суммы
двух квадратов натуральных чисел.
2. Пусть
,
.
Тогда
.
Ч.Т.Д.
Утверждение.
Если
,
где
— простое натуральное вида
,
то
и
.
Доказательство.
Из условия следует, что
и при этом
— простое гауссово. Тогда по лемме
Евклида на
делится один из множителей. Пусть
,
тогда по лемме 10 имеем, что
и
.
Ч.Т.Д.
Опишем общий вид натуральных чисел представимых в виде суммы двух квадратов.
Рождественская теорема Ферма или теорема Ферма — Эйлера.
Ненулевое натуральное число
представимо в виде суммы двух квадратов
тогда, и только тогда, когда в каноническом
разложении все простые множители вида
входят в четных степенях.
Доказательство.
Заметим, что 2 и все простые числа
вида
представимы в виде суммы двух квадратов.
Пусть в каноническом разложении числа
есть простые множители вида
,
входящие в нечетной степени. Занесем в
скобки все множители представимые в
виде суммы двух квадратов, тогда останутся
множители вида
,
причем все в первой степени. Покажем,
что произведение таких множителей не
представимо в виде суммы двух квадратов.
Действительно, если допустить, что
,
то имеем, что
должен делить один из множителей
или
,
но если
делит одно из этих гауссовых чисел, то
оно обязано и делить другое, как
сопряженное к нему. То есть
и
,
но тогда
должно быть во второй степени, а оно в
первой. Следовательно, произведение
любого числа простых множителей вида
первой степени не представимо в виде
суммы двух квадратов. Значит наше
предположение не верно и все простые
множители вида
в каноническом разложении числа входят
в четных степенях.
Ч.Т.Д.
Задача 1.
Посмотрим применение данной теории на примере решения диафантова уравнения.
Решить в целых числах
.
Заметим, что правая часть представима в виде произведения сопряженных гауссовых чисел.
То есть
.
Пусть
делится на некоторое простое гауссово
число
,
и на него делится и сопряженное, то есть
.
Если рассмотреть разность этих гауссовых
чисел, которая должна делиться на
,
то получим, что
должно делить 4. Но
,
то есть
союзно с
.
Все простые множители в разложении
числа
входят в степени кратной трем, а множители
вида
,
в степени кратной шести, так как простое
гауссово число
получается из разложения на простые
гауссовы 2, но
,
поэтому
.
Сколько раз
встречается в разложении на простые
множители числа
,
столько же раз и встречается в разложении
на простые множители числа
.
В силу того, что
делится на
тогда и только тогда, когда
делится на
.
Но
союзно с
.
То есть они распределятся поровну,
значит, будут входить в разложения этих
чисел в степенях кратной трем. Все
остальные простые множители, входящие
в разложение числа
,
будут входить только либо в разложение
числа
,
либо числа
.
Значит, в разложении на простые гауссовы
множители числа
все множители будут входить в степени
кратной трем. Следовательно число
есть куб. Таким образом имеем, что
.
Отсюда получаем, что
,
то есть
должно быть делителем 2. Значит
,
или
.
Откуда получаем четыре удовлетворяющие
нам варианта.
1.
,
.
Откуда находим, что
,
.
2.
,
.
Отсюда
,
.
3.
,
.
Отсюда
,
.
4.
,
.
Отсюда
,
.
Ответ:
,
,
,
.
Задача 2.
Решить в целых числах
.
Представим левую часть как
произведению двух гауссовых чисел, то
есть
.
Разложим каждое из чисел
на простые гауссовы множители. Среди
простых будут такие, которые есть в
разложении
и
.
Сгруппируем все такие множители и
обозначим полученное произведение
.
Тогда в разложении
останутся только те множители, которых
нет в разложении
.
Все простые гауссовы множители, входящие
в разложение
,
входят в четной степени. Те которые не
вошли в
будут присутствовать либо только в
,
либо в
.
Таким образом, число
является квадратом. То есть
.
Приравнивая действительные и мнимые
части, получим, что
,
,
.
Ответ:
,
,
.
Задача 3.
Количество представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов.
Задача равносильна задаче о
представлении данного натурального
числа в виде нормы некоторого числа
Гаусса. Пусть
— число Гаусса, норма которого равна
.
Разложим
на простые натуральные множители.
,
где
— простые числа вида
,
а
— простые числа вида
.
Тогда, чтобы
было представимо в виде суммы двух
квадратов, необходимо, чтобы все
были четными. Разложим на простые
гауссовы множители число
,
тогда
,
где
— простые гауссовы числа, на которые
раскладываются
.
Сравнение нормы
с числом
приводит к следующим соотношениям,
необходимым и достаточным для того,
чтобы
:
.
Число представлений подсчитывается
из общего числа возможностей для выбора
показателей
.
Для показателей
имеется
возможность, так как число
можно разбить на два неотрицательных
слагаемых
способом:
Для пары показателей
имеется
возможность и так далее. Комбинируя
всевозможными способами допустимые
значения для показателей
мы получим всего
различных значений для произведения
простых гауссовых чисел, с нормой вида
или 2. Показатели
выбираются однозначно. Наконец, обратимому
можно придавать четыре значения:
.Таким
образом, для числа
имеется всего
возможностей, и следовательно, число
в виде нормы гауссова числа
,
то есть в виде
может быть представлено
способами.
При этом подсчете различными
считаются все решения уравнения
.
Однако некоторые решения можно
рассматривать, как определяющие одно
и то же представление
в виде суммы двух квадратов. Так, если
— решения уравнения
,
то можно указать еще семь решений,
определяющих то же самое представление
числа
в виде суммы двух квадратов:
.
Очевидно, что из восьми решений,
соответствующих одному представлению,
может остаться только четыре различных
в том и только в том случае, если
или
,
или
.
Подобные представления возможны, если
полный квадрат или удвоенный полный
квадрат, и при том такое представление
может быть только одно:
.
Таким образом, имеем следующие формулы:
,
если не все
четные и
,
если все четные.
Заключение.
В данной работе была изучена теория делимости в кольце целых чисел Гаусса, а также природа простых гауссовых чисел. Эти вопросы изложены в первых двух главах.
В третей главе рассмотрены применения чисел Гаусса к решению известных классических задач, таких как:
Вопрос о возможности представления натурального числа в виде суммы двух квадратов;
Задача нахождения количества представлений натурального числа в виде суммы двух квадратов;
Нахождение общих решений неопределенного уравнения Пифагора;
а также к решению диафантова уравнения.
Также отмечу, что работа была выполнена без использования дополнительной литературы.
1