Кольца и полукольца частных
Содержание
Введение
Глава 1.Построение классического полукольца частных
Глава 2.Построение полного полукольца частных
Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных
Библиографический список
Введение
В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.
В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.
Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.
Непустое множество
с определёнными на нём бинарными
операциями
и
называется
коммутативным полукольцом, если
выполняется следующие аксиомы:
A1.
- коммутативная полугруппа с нейтральным
элементом
,
т.е.
1)
;
2)
3)
А2.
- коммутативная полугруппа с нейтральным
элементом 1, т.е.
1)
;
2)
3)
А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
,
.
А4.
.
Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.
Глава 1.
Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:
Рассмотрим пары неотрицательных
целых чисел
.
Будем считать пары
и
эквивалентными, если
,
получим разбиение множества пар на
классы эквивалентности.
Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.
Определение>1>.
Элемент
назовём мультипликативно сокращаемым,
если для
из
равенства
следует,
что
.
Обозначим через
множество всех мультипликативно
сокращаемых элементов.
Утверждение>1>.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.
Пусть
-
делитель нуля, т.е.
для некоторого
.
Тогда
,
но
не
является мультипликативно сокращаемым.
▲
Пусть
- коммутативное полукольцо с возможностью
сокращения на элементы из
.
Рассмотрим множество упорядоченных
пар
.
Введём отношение
на
:
для всех
и
.
Предложение>1>.
Отношение
является отношением эквивалентности
на
.
Покажем, что является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу
коммутативности полукольца
;
2. Симметричность:
;
3.Транзитивность:
Таким
образом, отношение
является отношением эквивалентности
на
.
Полукольцо
разбивается на классы эквивалентности;
в каждом классе находятся те элементы,
которые находятся в отношении .
Обозначим
класс эквивалентности пары
.
Введём операции на множестве
всех классов эквивалентности:
т.к. для
,
,
выполнено
отсюда т.к.
получаем
и поскольку
то
следовательно
.
Покажем корректность введённых операций:
Пусть
,
,
тогда
▲
Теорема>1>.
- коммутативное полукольцо с 1.
.
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество
всех классов эквивалентности является
коммутативным полукольцом с 1, нужно
показать замкнутость на нём операций:
сложение: для
и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для
.
Так как
Класс
является нейтральным по +:
Из равенства
тогда
.
Для
составляет отдельный класс, играющий
в
роль нуля.
умножение: для
и
1.
2.
Из равенства правых частей
следует, что
3. покажем, что для
.
Пусть
Класс
является нейтральным по умножению
(единицей полукольца), т.к.
,
поскольку из равенства
тогда
.
4. умножение дистрибутивно относительно сложения:
Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:
Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.
Таким образом, доказано, что
является коммутативным полукольцом с
1.
Полукольцо
называется классическим полукольцом
частных полукольца
.▲
Глава 2
Для построения полного полукольца
частных можно воспользоваться следующим
методом. Рассмотрим дробь
как частичный эндоморфизм аддитивной
полугруппы
неотрицательных целых чисел. Его область
определения – идеал
,
и он переводит
в
,
где
.
Аналогично, дробь
определена на идеале
и переводит
в
.
Эти две дроби эквивалентны, т.е. они
согласованы на пересечении своих
областей определений, равном идеалу
,
поскольку та и другая дробь переводят
в
.
Отношения определяются как классы
эквивалентных дробей. Варьируя этот
метод, можно выбрать в каждом классе
эквивалентности одну «несократимую»
дробь. Рассмотренный выше класс содержит
несократимую дробь
.
Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.
Определение>2>.>
>Идеал
коммутативного полукольца
называется плотным, если для
и
выполняется равенство
тогда и только тогда, когда
.
Свойства плотных идеалов
полукольца
:
10
- плотный идеал.
Доказательство:
Пусть для
выполнено
.
Положим
,
тогда
.
Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
20
Если
- плотный идеал и
,
то идеал
плотный.
Доказательство:
Если
-
плотный идеал, то для
из равенства
следует
.
Пусть для
выполнено
.
Так как по условию
возьмём
.
Тогда т.к.
-
плотный идеал получаем
отсюда
.
Таким образом
- плотный идеал по определению. ▲
30
Если
и
- плотные идеалы, то
и
- так же плотные идеалы.
Доказательство:
Положим для
выполняется
.
Пусть
,
где
,
.
Элемент
т.к.
,
тогда верно равенство
отсюда
,
т.к.
- плотный идеал имеем
,
,
и
-
плотный,
.
Таким образом
- плотный идеал.
Пусть
,
тогда
по определению идеала:
.
С другой стороны
значит
.
Тогда по 20
- плотный идеал. ▲
40
Если
,
то 0 не является плотным идеалом.
Доказательство.
Пусть
.
Для
и
выполнено
отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲
Определение>3>.>
> Дробью
назовём элемент
,
где
- некоторый плотный идеал. (
- сокращение
от
- гомоморфизм, в данном случае:
-
гомоморфизм
)
Таким образом,
- гомоморфизм аддитивных полугрупп, для
которого
для
и
.
Введём так же дроби
,
положив
и
для
.
Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:
пусть
и
тогда
,
,
.
Покажем, что
является идеалом, где
т.е. сохраняются операции:
1. Если
,
то
.
Пусть
,
,
тогда
.
2. Если
и
,
то
.
По условию
.
Так как
- коммутативное полукольцо, то
.
.
Таким образом,
- идеал.
Покажем, что идеал
является плотным: надо доказать, что
плотный идеал -
,
т.е.
.
По определению сложения и
умножения
,
т.е.
содержит плотный идеал
значит, по свойству 20
идеал
является плотным.
Дроби образуют аддитивную
коммутативную полугруппу
с нулём и полугруппу
с единицей. То есть образуют полукольцо.
Доказательство:
1. По определению сложения и умножения:
,
.
,
2. Коммутативность:
3. Ассоциативность:
4.
Нейтральный элемент.
5. Дистрибутивность:
Правосторонняя дистрибутивность аналогично.
Таким образом, дроби образуют полукольцо.
Определение>4>.
Будем писать
если
и
согласованы на пересечении своих
областей определений, т.е.
для
.
Лемма 1.
тогда и только тогда, когда
и
согласованы на некотором плотном идеале.
Доказательство.
Если
то
и
согласованы на
.
По свойству 30
идеал
является плотным. Следовательно,
и
согласованы на плотном идеале.
Обратно, пусть
и
согласованы на плотном идеале
.
Тогда если
и
,
то
отсюда в силу плотности идеала
,
для
,
но это равенство выполняется тогда,
когда пересечением областей определений
и
является
отсюда следует, что
.▲
Лемма 2.
Отношение
является конгруэнцией на системе
.
Доказательство.
Для того чтобы доказать, что
- конгруэнция, нужно показать:
1. отношение
- рефлексивно, симметрично, транзитивно.
Рефлективность:
и
согласованы на плотном идеале
.
Симметричность: пусть
,
т.е.
и
согласованы на
.
Транзитивность: пусть
и
,
т.е.
и
согласованы на плотном идеале
и
согласованы на плотном идеале
.
Значит
и
согласованы на идеале
,
являющемся плотным , и
согласована с
на
,
тогда
согласована с
на плотном идеале
по Лемме 1
Таким образом,
- отношение эквивалентности.
2. отношение
сохраняет полукольцевые операции.
Пусть
и
,
т.е.
для
и
для
.
Тогда
и
определены и согласованы на плотном
идеале
отсюда по Лемме 1
.
Пусть
и
,
т.е.
для
и
для
.
Тогда
и
определены и согласованы на плотном
идеале
отсюда по Лемме 1
.▲
Теорема>2>.Если
- коммутативное полукольцо то система
так же является коммутативным полукольцом.
.
(Будем называть
полным полукольцом частных полукольца
)
Доказательство.
- разбивает множество дробей
на
непересекающихся классов эквивалентности.
По Лемме 2
все тождества выполняющиеся в
справедливы и в
.
Чтобы убедится, что
коммутативное полукольцо остаётся
проверить справедливость законов
дистрибутивности и коммутативности.
1. Дистрибутивность.
Отображения:
и
согласованы на идеале
покажем, что образы отображений
и
совпадают на этом идеале:
пусть
,
где
.
Тогда
.
Областью определения
является
.
По определению идеала:
то
для
,
а идеал
(свойство 30)
то:
.
Тогда по определению сложения
отсюда следует
.
Покажем
.
По определению
Аналогично
.
Тогда:
Таким
образом,
где
.
По свойству 30
-
плотный идеал значит
и
согласованы на плотном идеале
.
2. Коммутативность.
Отображения
и
согласованы на плотном идеале
докажем что их образы совпадают на этом
идеале:
.
Доказано ранее, что
пусть элементы
тогда
Отсюда следует, что
и
согласованы на плотном идеале
.
Таким образом,
по Лемме 1.
Наконец
сопоставим дробь:
с областью определения
при которой
переходит в
.
Предложение>2>.
Отображение
является гомоморфизмом т.е. сохраняет
операции:
Доказательство:
1. Пусть
,
и
где
и
.
Нужно показать, что
.
Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь
,
такую что
для
. (1)
С другой стороны рассмотрим
дроби
и
,
такие что
для
. (2)
Из (1) и (2) следует, что
.
По свойству сложения смежных классов:
для
2. Пусть
,
и
где
и
.
Нужно показать, что
.
Покажем равенство образов
и
.
Рассмотрим дробь
,
такую что
для
. (3)
С другой стороны рассмотрим
дроби
и
,
такие что
для
. (4)
Из (3) и (4) следует, что
.
По свойству умножения смежных классов:
для
.
Таким образом
гомоморфизм.
Пусть
,
тогда
т.е.
и
согласованы на некотором плотном идеале
значит
для
,
так как
-
плотный идеал, то
отсюда
- инъективно.
Поэтому, гомоморфизм
является мономорфизмом и
вкладывается в полное полукольцо
частных.
Гомоморфизм
будем называть каноническим мономорфизмом
в
.▲
Глава 3.
Определение>5>.Любому
мультипликативно сокращаемому элементу
сопоставим плотный идеал
.
Если
,
то элемент
назовём классической дробью, полагая
для
.
Теорема>3>.
Множество дробей
образует подполукольцо полного полукольца
частных, изоморфное классическому
полукольцу частных
полукольца
.
Доказательство:
Рассмотрим отображение
,
т.е.
.
1. Докажем, что
- отображение: если
и
,
,
где
,
,
то
.
Имеем
Возьмём элемент
из пересечения плотных идеалов
,
т.е.
и
Тогда
,
домножим
на
получим
.
Так как
и на
выполняется коммутативность по умножению,
то
,
отсюда
для
.
2. Докажем, что
является полукольцевым гомоморфизмом,
т.е. сохраняются полукольцевые операции.
2.1
.
Покажем, что дробь
согласована с
на плотном идеале
.
Пусть
,
.
для
.
Следовательно
.
2.2
.
Идеал
содержит
,
покажем, что
и
согласованы на плотном идеале
.
Пусть
,
.
Тогда
для
.
Значит
.
Таким образом
- полукольцевой гомоморфизм классического
полукольца частных
в полное полукольцо частных
.
3. Докажем, что
- инъективный гомоморфизм.
Пусть для
.
Предположим, что дроби
и
согласованы на некотором плотном идеале
,
т.е. для
выполнено
.
Но
,
.
Тогда
.
Домножим обе части равенства на
получим:
т.к.
-
плотный идеал
,
что противоречит условию.
Значит,
является инъективным гомоморфизмом
или мономорфизмом
в
.
Так как
,
то
,
где
- элемент подполукольца полного полукольца
частных
,
т.е.
и
.
Поскольку
- инъективный гомоморфизм, то по теореме
о гомоморфизме существует изоморфизм
отсюда следует
.
Мономорфизм
называется вложением классического
полукольца частных
в полное полукольцо частных
полукольца
.▲
Библиографический список
Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.
Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.
Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.