Коллизии в рассуждениях
Коллизии в рассуждениях
Анализ логических ошибок с помощью E-структур основан на том, что в рассуждении допускаются все возможные (порой составленные явно не по правилам Аристотелевой силлогистики) сочетания суждений. При этом из исходных посылок получаются все возможные следствия. Среди них могут оказаться и такие, которые говорят о том, что в посылках содержатся какие-то неприятности. Эти неприятности мы будем называть коллизиями.
Коллизиями E-структуры называются следующие ситуации, появляющиеся при построении CT-замыкания:
коллизия парадокса: появление
в CT-замыкании по крайней мере одного из
суждений типа X
или
X;
коллизия цикла: появление в CT-замыкании по крайней мере одного цикла.
Вспомним, что циклом в графе называется путь, который начинается и заканчивается одной и той же вершиной. Но вначале мы рассмотрим коллизию парадокса.
Коллизия парадокса. Что
означает отношение X
в алгебре множеств (например, "Все
мои друзья - не мои друзья")? Вспомним
закон непротиворечия: X
=
. Из него явно
следует, что отношение X
может быть справедливым только в
единственном случае, когда множество
X равно пустому множеству. А из другого
закона следует, что
в этом случае должно быть равно универсуму.
С точки зрения алгебры множеств такую
ситуацию нельзя назвать катастрофической,
но в обычном рассуждении это означает,
что некоторый объект X, в существовании
которого мы изначально не сомневались,
оказывается несуществующим. Например,
из суждения "Все мои друзья - не мои
друзья" следует, что друзей у меня
нет.
Простейшим случаем коллизии
парадокса является соединение в одной
E структуре двух контрарных суждений,
например, AB и A.
Посмотрим, что получится, если построить
для этой пары суждений E-структуру
(рис.1). Примером такой контрарной пары
могут быть, в частности, такие суждения:
"Все жирафы живут в Африке" и "Все
жирафы не живут в Африке". Если мы
построим контрапозиции исходных посылок,
то увидим, что между терминами A и
появились два пути, которые приводят к
следствию A
(рис.2). Содержательно такое суждение
говорит о том, что все жирафы не являются
жирафами. Причем получить это следствие
можно двумя путями: AB
и A
.
Рис.1 Рис.2
Другой простой случай коллизии
парадокса для пары разных терминов и
их отрицаний мы получим, если соединим
в одной E-структуре два суждения AB
и
B.
Сделав аналогичные построения, получим
уже другую коллизию парадокса
A.
Здесь пустым оказывается базовый термин
,
а роль универсума берет на себя термин
A.
Попробуем смоделировать
коллизию парадокса в примере, добавив
в число посылок суждение S
("Все разумные люди не укрощают
крокодилов"). Может быть, для кого-то
это суждение само по себе не кажется
парадоксальным, но в нашей системе оно
вызывает катастрофу. Если не поленимся
и построим CT-замыкание для нашей новой
системы, то убедимся, что в нем появилась
коллизия парадокса T
(на схеме она будет представлена
вертикальной стрелкой). Если мы считаем
правильным суждение S
и заодно все остальные посылки нашего
примера, то мы тем самым должны признать,
что людей, укрощающих крокодилов, не
существует.
Но коллизия парадокса не всегда означает катастрофу. Иногда ее появление позволяет распознать в рассуждении явно лишние термины. В качестве примера такого рассуждения возьмем сорит Л. Кэрролла о парламенте, который был приведен в конце предыдущего раздела в качестве самостоятельного упражнения. Те, кто справился с этой задачей, наверное, смогли убедиться в том, что в этом сорите отсутствуют коллизии, но некоторые следствия кажутся несколько странными для членов парламента (например, "Все, кто не в здравом рассудке, являются членами палаты лордов" или "Все, кто принимает участие в скачках на мулах, являются членами палаты общин").
Предположим, что некто решил с помощью хитроумных тестов проверить умственные способности всех членов палаты лордов и в результате исследований получил следующий результат: "Все члены палаты лордов находятся в здравом рассудке". Этот результат по форме является суждением (кстати, многие факты также можно выразить в форме суждений), и мы можем ввести его в качестве дополнительной посылки в нашу систему.
Нетрудно убедиться, что в результате такого нововведения появляется коллизия парадокса: "Все, кто не в здравом рассудке, находятся в здравом рассудке". Отсюда ясно, что тех, кто не в здравом рассудке в нашем универсуме (т.е. среди членов парламента) нет, и мы можем теперь исключить из рассмотрения термин "те, кто не в здравом рассудке" и заодно альтернативный ему термин "те, кто в здравом рассудке". Заодно вместе с этим изъятием (или элиминацией) нужно исключить все связи, которые соединяют эти термины с другими терминами нашего рассуждения.
Удаление термина из рассуждения из-за коллизии парадокса не означает, что он исчезает бесследно. Просто один из терминов (в нашем примере - это термин "те, кто в здравом рассудке") становится необходимым свойством всего универсума.
Рассмотрим еще один пример, с помощью которого можно показать явное неравенство друг другу суждения и его обращения. Если дано некоторое суждение, то обратным суждением называется суждение, в котором правая и левая части переставлены. Например, суждением, обратным суждению AB, будет суждение BA.
Пример. Даны посылки:
Все мои друзья хвастуны и не скандалисты;
Все, кто хвастается, не уверен в себе.
А теперь предположим, что у нас имеются две гипотезы, которые нам необходимо проверить на совместимость с исходными посылками:
Г1: Все уверенные в себе не скандалисты;
Г2: Все, кто не скандалит, уверены в себе.
Ясно, что обе гипотезы содержат одни и те же термины, но каждая из них является обращением другой. Сначала запишем исходные суждения в математической форме, для чего введем следующие обозначения: D - мои друзья, H - хвастуны, S - скандалисты, Y - уверенные в себе. Тогда получим:
D (H,
);
H.
Строим граф (рисунок 3), при
этом надо учитывать, что суждения типа
D (H,
),
в которых один субъект и несколько
предикатов, на графе надо отображать в
виде нескольких дуг, которые направлены
от субъекта к каждому из предикатов
суждения. Затем для каждого элементарного
суждения (т.е. суждения, представленного
на графе только одной дугой) строим
следствие по правилу контрапозиции
(рисунок 4). Нетрудно убедиться, что в
данном рассуждении коллизии отсутствуют.
Рис.3 Рис.4
Надо построить две системы
рассуждений, в одной из которых в состав
исходных посылок добавлена гипотеза
Г1, а в другой - гипотеза Г2. И тогда
окажется, что гипотеза Г1 (Y)
не приводит ни к каким коллизиям, в то
время как гипотеза Г2 (
Y)
после соответствующих построений
оказывается противоречивой. Одним из
ее следствий оказывается суждение D
(все мои друзья - не мои друзья). Поскольку
есть основание предполагать, что
множество "моих друзей" не является
пустым, то мы принимаем первую гипотезу
и отвергаем вторую.
Предложенные методы анализа
рассуждений можно использовать не
только для терминов, которые обозначают
какие-либо конечные перечисляемые
множества, но и для терминов, которые
обозначают бесконечные множества с
заданными свойствами. Рассмотрим
бесконечные множества положительных
целых чисел со свойствами делимости.
Среди них имеются множества четных
чисел, нечетных чисел, чисел, кратных
трем, семи и т.д. Ясно, что каждое из этих
множеств является потенциально
бесконечным множеством. Обозначим эти
множества соответственно N>2> (четные
числа), N>3> (кратные трем), N>5>
(кратные пяти), N>7> (кратные семи).
Существуют соответственно и дополнения
этих множеств, которые тоже являются
потенциально бесконечными множествами:
(нечетные числа),
(не делящиеся на три),
(не делящиеся на пять),
(не делящиеся на семь).
Пример. Пусть имеется некоторое, возможно, бесконечное множество положительных целых чисел, в котором соблюдаются следующие соотношения:
N>2>
(N>3> )
(все четные числа делятся на 3 и не делятся
на 5);
N>3>
(все числа, кратные 3, не делятся на 7);
N>7> (все числа не делящиеся на 5,
кратны 7).
Спрашивается, имеются ли в этом множестве четные числа?
Чтобы ответить на вопрос
задачи, выполним уже знакомые нам
построения. Соотношения включения
обозначим, используя стрелки (например,
вместо N>2> (N>3
>)
запишем N>2>
(N>3>,
)),
и построим граф исходных посылок (рисунок
5), а затем для каждого элементарного
суждения построим его контрапозицию
(рисунок 6, новые следствия показаны
пунктирными дугами).
Рис.5 Рис.6
Выберем минимальный литерал (т.е. тот, в который не входит ни одна дуга). Им оказался литерал N>2> (четные числа), т.е. тот, который нам и нужен для ответа на вопрос задачи. Построим из этого литерала возможные пути:
1-й путь: N>2>
N>3 >
N>5 >
;
2-й путь: N>2>
N>7 >
.
В обоих случаях получена коллизия парадокса, из чего следует, что при данных условиях задачи четных чисел в этом множестве не должно быть.
Распознавать коллизию парадокса в E-структурах непосредственно по схеме далеко не всегда удобно, особенно когда в структуре много литералов. Если использовать верхние конусы, то можно сформулировать необходимое и достаточное условие существования этой коллизии. Для этого выполняем следующие действия:
выбрать верхние конусы всех минимальных элементов структуры (верхние конусы минимальных элементов называются максимальными верхними конусами);
в каждом из выбранных конусов
проверить наличие или отсутствие пар
альтернативных литералов (например, A
и
).
использовать следующий критерий распознавания коллизии парадокса: если хотя бы в одном из максимальных верхних конусов встречается пара альтернативных литералов, то в структуре имеется коллизия парадокса, в противном случае коллизия парадокса отсутствует.
Например, в E-структуре из примера существует только один минимальный элемент, следовательно, имеется только один максимальный верхний конус
(N>2>, { N>2>,
N>3>,
,
N>5>,
,
,
N>7>,
}),
в котором содержится 4 пары альтернативных литералов. Это говорит о том, что в структуре имеется коллизия парадокса.
Перейдем к рассмотрению другой коллизии - коллизии цикла. Рассмотрим сначала простой цикл между двумя терминами: ABA. Если сопоставить этот цикл с отношением включения между множествами, то окажется, что в данном случае этот цикл означает, что справедливы два отношения включения AB и BA. А это в свою очередь означает, что наши множества A и B равны друг другу, и соответственно термины, которые обозначают эти множества, имеют одно и то же содержание. Рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть заданы три посылки:
1) Все, что существует, подтверждается экспериментом.
2) Все неизвестное не подтверждается экспериментом.
3) Все известное существует.
Попробуем принять эти три
посылки как аксиомы и построим для них
соответствующую E-структуру. Обозначим:
E - все, что существует, C - все, что
подтверждается экспериментом, K - все,
что известно. Соответственно
обозначает то, что не существует,
- то, что не подтверждается экспериментом,
- то, что неизвестно. Теперь представим
эти посылки в виде формальных суждений:
E C;
;
K E.
Если теперь построить граф
этого рассуждения и применить к трем
посылкам правило контрапозиции, то на
рисунке четко обозначатся два цикла:
ECKE
и
.
Из законов алгебры множеств следует (строгое доказательство этого утверждения мы опустим), что для любой последовательности включений множеств, образующих цикл типа ABC … A, справедливо равенство всех множеств, содержащихся в цикле. В нашем примере это означает, что все существующие, подтвержденные в эксперименте и известные явления полностью совпадают друг с другом. Если взять другой полученный в этой задаче цикл, то окажется, что все неизвестные, несуществующие и не подтвержденные в эксперименте явления также эквивалентны друг другу.
В традиционной логике такая ситуация определяется как логическая ошибка "круг в обосновании" (или "порочный круг"). Как тут не вспомнить крылатую фразу из рассказа Чехова: "Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда"! Или менее известное в России шуточное высказывание Л. Кэрролла: "Как хорошо, что я не люблю спаржу, - сказала маленькая девочка своему заботливому другу, - ведь если бы я ее любила, то мне пришлось бы ее есть, а я ее терпеть не могу". Все это примеры "порочного круга".
В то же время приведенный пример трудно отнести к разряду удачных шуток. Скорее всего, это образец бессодержательной демагогии.
Однако коллизия цикла в E-структуре, так же как и коллизия парадокса, не всегда означает ошибку в рассуждении. Здесь многое зависит от конкретных примеров. Рассмотрим пример, в котором коллизия цикла позволяет уточнить свойства объектов, содержащихся в рассуждении.
Пусть известно, что система
содержит какие-то объекты с независимыми
свойствами E, C и K, и для каждого из этих
свойств существует его альтернатива:
,
,
.
Например, нам известно, что в каком-то
закрытом ящике содержатся предметы с
различным сочетанием следующих свойств:
они могут быть деревянными (E), либо
пластмассовыми (
);
иметь форму шара (C), либо куба (
);
быть красного (K), либо зеленого (
)
цвета. Нам не известно число предметов
(их может быть сколь угодно много), но
известны некоторые соотношения, которые
можно выразить в форме суждений. Примером
таких соотношений могут быть следующие:
Все деревянные предметы имеют
форму куба (E);
Все предметы зеленого цвета
- шары (C);
Все предметы красного цвета - деревянные (KE).
Требуется определить, какие сочетания свойств невозможны для предметов, находящихся в этом ящике. Нарисуем схему для исходных суждений (рис.7) и добавим к ним контрапозиции исходных суждений (рис.8).
Рис.7 Рис.8
На рисунке 8 отчетливо видны
два цикла: EKE
и
C
.
Отсюда понятно, что свойства E,
,
K присущи одному и тому же множеству и
не присущи по отдельности другим
множествам нашей системы. То же самое
можно сказать и относительно свойств
,
,
C. Из этого следует, что в ящике могут
находиться только деревянные красные
кубы и пластмассовые зеленые шары, а
все остальные сочетания свойств
исключаются. Например, в ящике не должно
быть деревянных предметов зеленого
цвета.
Для распознавания коллизии цикла алгоритмическим способом нужно использовать соответствие "CT-замыкание". При этом используется следующий критерий:
Если в CT-замыкании E-структуры существуют пары (E, M), у которых литерал E является элементом множества M, то в E-структуре имеется коллизия цикла, в противном случае коллизия цикла отсутствует.
Анализ коллизий позволяет нам разделить все типы E-структур на два класса: корректные и некорректные E-структуры. Закрепим эту классификацию с помощью строгих определений.
E-структура называется корректной, если в ней не содержится никаких коллизий, в противном случае такая E-структура называется некорректной.
Некорректная E-структура называется парадоксальной, если в ней содержится коллизия парадокса, и непарадоксальной в противном случае.
Рассмотренные ранее коллизии можно считать чисто формальными коллизиями, так как они выявляются только на основе сведений, которые содержатся в исходных посылках. Представим теперь ситуацию, когда мы из исходных посылок вывели какие-то следствия и оказалось, что коллизии отсутствуют. Надо бы радоваться, но мы вдруг почему-то решили проверить, насколько наши следствия соответствуют действительности. И вполне возможно, что в следствиях содержатся сведения, которые вступают в конфликт с нашими знаниями. Если у нас есть строгие основания для того, чтобы считать наши знания истинными, то в этом случае можно для данной E структуры установить еще один тип коллизии, который мы назовем коллизией неадекватности.
Примеры коллизий неадекватности нередко встречаются в процессе исторического развития научного знания. На определенном историческом этапе в научной картине мира имеется некоторая теория, с помощью которой объясняются многие известные факты или результаты экспериментов. Но наука не стоит на месте: появляются некоторые новые факты, многие из которых соответствуют существующей теории (т.е. являются следствиями ее исходных положений). Вместе с тем иногда появляются факты (или экспериментальные данные), которые противоречат следствиям существующей теории. И эти противоречия как раз и есть то, что мы назвали коллизией неадекватности. И тогда в науке наступает этап споров и дискуссий, который предшествует рождению новой теории. В данном случае коллизию неадекватности можно считать инициатором новых научных открытий.