Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ
КОНЕЧНЫХ ГРУПП
,
ЗАМКНУТЫЕ
ОТНОСИТЕЛЬНО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО
СУБНОРМАЛЬНЫХ
-ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
---
множество всех натуральных чисел;
---
множество всех простых чисел;
---
некоторое множество простых чисел, т.
е.
;
---
дополнение
к
во множестве всех простых чисел; в
частности,
;
примарное
число --- любое число вида
.
Буквами
обозначаются простые числа.
Пусть
--- группа. Тогда:
---
порядок группы
;
---
множество
всех простых делителей порядка группы
;
-группа
--- группа
,
для которой
;
-группа
--- группа
,
для которой
;
---
коммутант группы
,
т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами
всех элементов группы
;
---
подгруппа Фиттинга группы
,
т. е. произведение всех нормальных
нильпотентных подгрупп группы
;
---
наибольшая нормальная
-нильпотентная
подгруппа группы
;
---
подгруппа Фраттини группы
,
т. е. пересечение всех максимальных
подгрупп группы
;
---
наибольшая нормальная
-подгруппа
группы
;
---
-холлова
подгруппа группы
;
---
силовская
-подгруппа
группы
;
---
дополнение к силовской
-подгруппе
в группе
,
т. е.
-холлова
подгруппа группы
;
---
нильпотентная длина группы
;
---
-длина
группы
;
---
минимальное число порождающих элементов
группы
;
---
цоколь группы
,
т. е. подгруппа, порожденная всеми
минимальными нормальными подгруппами
группы
;
---
циклическая группа порядка
.
Если
и
--- подгруппы группы
,
то :
---
является подгруппой группы
;
---
является собственной подгруппой группы
;
---
является нормальной подгруппой группы
;
--
- ядро
подгруппы
в группе
,
т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных
с
в
;
---
нормальное замыкание подгруппы
в группе
,
т. е. подгруппа, порожденная всеми
сопряженными с
подгруппами группы
;
---
индекс подгруппы
в группе
;
;
---
нормализатор подгруппы
в группе
;
---
централизатор подгруппы
в группе
;
---
взаимный коммутант подгрупп
и
;
---
подгруппа, порожденная подгруппами
и
.
Минимальная
нормальная подгруппа группы
--- неединичная нормальная подгруппа
группы
,
не содержащая собственных неединичных
нормальных подгрупп группы
;
---
является максимальной подгруппой группы
.
Если
и
--- подгруппы группы
,
то:
---
прямое произведение подгрупп
и
;
---
полупрямое произведение нормальной
подгруппы
и подгруппы
;
---
и
изоморфны;
---
регулярное сплетение подгрупп
и
.
Подгруппы
и
группы
называются перестановочными, если
.
Группу
называют:
-замкнутой,
если силовская
-подгруппа
группы
нормальна в
;
-нильпотентной,
если
-холлова
подгруппа группы
нормальна в
;
-разрешимой,
если существует нормальный ряд, факторы
которого либо
-группы,
либо
-группы;
-сверхразрешимой,
если каждый ее главный фактор является
либо
-группой,
либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой,
если существует номер
такой, что
;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая
группа --- группа, обладающая нормальной
холловской
-подгруппой.
-специальная
группа --- группа, обладающая нильпотентной
нормальной холловской
-подгруппой.
-разложимая
группа --- группа, являющаяся одновременно
-специальной
и
-замкнутой.
Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением
к подгруппе
группы
называется такая подгруппа
из
,
что
.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд
подгрупп
называется:
субнормальным,
если
для любого
;
нормальным,
если
для любого
;
главным,
если
является минимальной нормальной
подгруппой в
для всех
.
Класс
групп --- совокупность групп, содержащая
с каждой своей группой
и все ей изоморфные группы.
-группа
--- группа, принадлежащая классу групп
.
Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если
--- класс групп, то:
---
множество всех простых делителей
порядков всех групп из
;
---
множество всех тех простых чисел
,
для которых
;
---
формация, порожденная классом
;
---
насыщенная формация, порожденная классом
;
---
класс всех групп
,
представимых в виде
где
,
;
;
---
класс всех минимальных не
-групп,
т. е. групп не принадлежащих
,
но все собственные подгруппы которых
принадлежат
;
---
класс всех
-групп
из
;
---
класс всех конечных групп;
---
класс всех разрешимых конечных групп;
---
класс всех
-групп;
---
класс всех разрешимых
-групп;
---
класс всех разрешимых
-групп;
---
класс всех нильпотентных групп;
---
класс всех разрешимых групп с нильпотентной
длиной
.
Если
и
--- классы групп, то:
.
Если
--- класс групп и
--- группа, то:
---
пересечение всех нормальных подгрупп
из
таких, что
;
---
произведение всех нормальных
-подгрупп
группы
.
Если
и
--- формации, то:
---
произведение формаций;
---
пересечение всех
-абнормальных
максимальных подгрупп группы
.
Если
--- насыщенная формация, то:
---
существенная характеристика формации
.
-абнормальной
называется максимальная подгруппа
группы
,
если
,
где
--- некоторая непустая формация.
-гиперцентральной
подгруппой в
называется разрешимая нормальная
подгруппа
группы
,
если
обладает субнормальным рядом
таким, что
(1)
каждый фактор
является главным фактором группы
;
(2)
если порядок фактора
есть степень простого числа
,
то
.
---
-гиперцентр
группы
,
т. е. произведение всех
-гиперцентральных
подгрупп группы
.
Введение
Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).
Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля --- Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.
Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.
Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.
Известно,
что класс нильпотентных групп
замкнут относительно произведения
нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом
была поставлена задача об описании
наследственных разрешимых формаций
Фиттинга, т. е. формаций
,
замкнутых относительно произведения
нормальных
-подгрупп.
Брайс и Косси в работе [53] доказали, что
любая разрешимая наследственная формация
Фиттинга является насыщенной. Полное
решение проблемы Хоукса было получено
В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].
Развивая
подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил
изучать формации
,
замкнутые относительно произведения
-подгрупп,
обладающих некоторыми заданными
свойствами. В настоящее время данная
тематика активно развивается математиками
Испании, Китая, Беларуси.
В
теории классов конечных групп естественным
обобщением понятия субнормальности
является понятие
-субнормальности
и
-достижимости.
В дальнейшем такие подгруппы будем
нызывать обобщенно
субнормальными.
Одной
из первых классификационных проблем
данного направления является проблема
Л.А. Шеметкова об описании наследственных
насыщенных сверхрадикальных формаций,
т. е. формаций
с тем свойством, что любая группа
,
где
и
--
-субнормальные
-подгруппы,
принадлежит
.
Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.
Известно,
что формация всех сверхразрешимых групп
не замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп,
но замкнута относительно произведения
нормальных сверхразрешимых подгрупп
взаимно простых индексов. В связи с этим
возникает задача об описании наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
обобщенно субнормальных (
-субнормальных,
-достижимых)
-подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
Классифицировать
наследственные насыщенные формации
с тем свойством, что любая группа
,
где
и
---
-субнормальные
-подгруппы
взаимно простых индексов, принадлежит
.
В
1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал,
что любая конечная группа вида
,
где
и
---
-нильпотентные
подгруппы и индексы
,
не делятся на некоторое простое число
,
является
-нильпотентной
группой.
Естественно
возникает задача об описании наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
-подгрупп,
индексы которых не делятся на некоторое
фиксированное простое число.
В
попытках решения этих и других
классификационных проблем выявилась
особая роль критических
групп
формации
(
минимальных не
-групп),
т. е. групп, не принадлежащих некоторому
классу групп
,
но все собственные подгруппы которых
принадлежат
.
Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил
задачу изучения строения группы, в
зависимости от свойств ее критических
подгрупп. Развивая данную идею С.А.
Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы,
1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных
симпозиумах по теории групп отметил
особую роль критических групп при
изучении не только отдельной группы,
но и при описании классов групп.
Таким
образом, задача классификации
наследственных насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
-подгрупп,
обладающих заданными свойствами,
занимает важное место в современной
теории классов групп. На реализацию
этой актуальной задачи и направлено
данное диссертационное исследование.
1. Некоторые базисные леммы
В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним,
что подгруппа
называется субнормальной
подгруппой группы
,
если существует цепь подгрупп
такая,
что для любого
подгруппа
нормальна в
.
Естественным
обобщением понятия субнормальности
является понятие
-субнормальности,
которое для произвольных конечных групп
впервые введено Л.А. Шеметковым в
монографии [44].
Пусть
--- непустая формация. Подгруппу
группы
называют
-субнормальной,
если либо
,
либо существует максимальная цепь
такая,
что
для всех
.
Несколько
другое понятие
-субнормальности
введено Кегелем в работе [69]. Фактически
оно объединяет понятие субнормальности
и
-субнормальности
в смысле Шеметкова.
Подгруппу
называют
-субнормальной
в смысле Кегеля
или
-достижимой,
если существует цепь подгрупп
такая,
что для любого
либо подгруппа
нормальна в
,
либо
.
Для
любой непустой формации
множество всех
-достижимых
подгрупп произвольной группы
содержит множество всех субнормальных
подгрупп группы
и множество всех
-субнормальных
подгрупп группы
.
Если же
--- непустая нильпотентная формация, то
множество всех
-достижимых
подгрупп в точности совпадает с множеством
всех субнормальных подгрупп для любой
группы
.
В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.
Напомним,
что формация
называется сверхрадикальной,
если она удовлетворяет следующим
требованиям:
1)
--- нормально наследственная формация;
2)
любая группа
,
где
и
---
-субнормальные
-подгруппы
из
,
принадлежит
.
В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.
В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В
данном разделе приводятся некоторые
свойства критических групп (минимальных
не
-групп)
и обобщенно субнормальных (
-субнормальных
и
-достижимых)
подгрупп, которые будут использоваться
при доказательстве основных результатов
диссертации.
Напомним,
что критической
группой
формации
(
минимальной не
-группой)
называется группа, не принадлежащая
,
все собственные подгруппы которой
принадлежат
.
Множество всех таких групп обозначают
.
Через
обозначают множество всех разрешимых
групп, а через
--- множество всех групп, у которых
-корадикал
разрешим.
1.1
Лемма.
Пусть
--- насыщенная формация,
--- наследственная насыщенная формация.
Если
и
,
где
,
то
.
Доказательство.
Пусть
.
По теореме 2.2.1,
---
-группа.
Очевидно, что
.
По лемме 2.2.2,
,
где
---
-группа,
---
-группа
и
.
Так как
и
,
то
.
Следовательно,
---
-группа.
Пусть
---
-главный
фактор
.
Если
---
-группа,
то
-централен.
Пусть
---
-группа.
По теореме 2.2.3,
.
Пусть
и
--- произвольная
-абнормальная
максимальная подгруппа группы
.
Тогда
.
Так как
,
то, по теореме 2.2.4,
.
Следовательно,
.
Поскольку
то
.
Учитывая, что
,
по теореме 2.2.5, имеем
где
--- максимальные внутренние локальные
экраны, соответственно
и
.
Если
,
то
.
Отсюда и из того, что
следует
.
А это значит, что
-централен.
Пусть
.
Так как
--- насыщенная формация и
,
то
.
Следовательно,
---
-нормализатор
группы
.
В силу того, что
покрывает
,
то
-централен.
Следовательно,
.
По теореме 2.2.4,
.
Лемма доказана.
1.2
Лемма.
Пусть
--- непустая наследственная формация.
Если
---
-субнормальная
подгруппа, то
--- субнормальная подгруппа.
Доказательство.
Пусть
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Если
,
то лемма очевидна. Пусть
.
Тогда
содержится в максимальной
-нормальной
подгруппе
группы
.
По индукции,
--- субнормальная подгруппа из
.
Так как
и
--- наследственная формация, то
.
Следовательно,
,
значит,
.
Поскольку
--- нормальная подгруппа группы
,
то
--- субнормальная подгруппа
.
Лемма доказана.
1.3
Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная формация,
---
-субнормальная
подгруппа группы
такая, что
.
Тогда
.
Доказательство.
Пусть
.
Очевидно,
Так
как
,
то по индукции
.
Следовательно,
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
Пусть
.
Тогда
--- цоколь группы
.
По лемме 3.1.2,
--- субнормальная подгруппа группы
.
По теореме 2.2.7,
.
Следовательно,
--- нормальная подгруппа группы
.
Тогда
По
теореме 2.2.8,
.
Отсюда следует, что
.
Так как
и
--- наследственная формация, то
.
Получаем
,
т. е.
.
Лемма доказана.
В
следующих леммах приводятся основные
свойства
-субнормальных
подгрупп.
1.4
Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация.
Тогда справедливы следующие утверждения:
1)
если
--- подгруппа группы
и
,
то
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
;
2)
если
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
,
то
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа
для любой подгруппы
группы
;
3)
если
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа
и
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
,
то
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
;
4)
если
и
---
-субнормальные
(
-достижимые)
подгруппы группы
,
то
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
;
5)
если все композиционные факторы группы
принадлежат формации
,
то каждая субнормальная подгруппа
группы
-субнормальна
в
;
6)
если
---
-субнормальная
(
-достижимая)
подгруппа группы
,
то
-субнормальна
(
-достижима)
в
для любых
.
Доказательство.
1) Пусть
--- подгруппа группы
и
.
Так как
и
--- наследственная формация, то подгруппа
является
-субнормальной
подгруппой группы
.
Отсюда, согласно определению
-субнормальной
подгруппы, существует максимальная
цепь
такая,
что
для всех
.
Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что
в группе
существует максимальная цепь
такая,
что
для всех
.
А это
значит, что
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Пусть
--- подгруппа группы
,
содержащая
,
тогда
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
А так как любая
-субнормальная
подгруппа группы
является
-достижимой
в
,
то
---
-достижимая
подгруппа группы
.
2)
Пусть
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Тогда, по определению, существует
максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
.
Рассмотрим цепь подгрупп
Так
как
и формация
наследственна, то из
следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
Итак,
.
Отсюда, по определению,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Пусть
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Тогда, по определению, существует цепь
подгрупп
такая,
что для любого
либо подгруппа
нормальна в
,
либо
.
Пусть
--- некоторая подгруппа из
.
Рассмотрим цепь подгрупп:
Если
подгруппа
нормальна в
,
то подгруппа
нормальна в
.
Пусть
.
Так как формация
наследственна, то из
следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем
.
Значит,
.
Так как
,
то
.
Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
,
либо
.
Отсюда, по определению,
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Утверждение
3) следует непосредственно из определения
-субнормальной
(
-достижимой)
подгруппы.
Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5)
Пусть все композиционные факторы группы
принадлежат формации
,
и пусть
--- субнормальная подгруппа группы
.
Тогда в группе
существует цепь подгрупп
такая,
что для любого
подгруппа
нормальна в
.
Согласно
условию,
,
отсюда следует, что
.
А это значит, что подгруппа
-субнормальна
в группе
.
Утверждение
6) следует непосредственно из определения
-субнормальной
(
-достижимой)
подгруппы. Лемма доказана.
1.5
Лемма.
Пусть
--- непустая формация,
и
--- подгруппы группы
,
причем
нормальна в
.
Тогда:
1)
если
-субнормальна
(
-достижима)
в
,
то
-субнормальна
(
-достижима)
в
и
-субнормальна
(
-достижима)
в
;
2)
если
,
то
-субнормальна
(
-достижима)
в
тогда и только тогда, когда
-субнормальна
(
-достижима)
в
.
Доказательство.
Пусть
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Тогда, по определению, существует
максимальная цепь подгрупп
такая,
что для любого
.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Так
как
,
то ввиду леммы 2.2.6,
.
Отсюда следует, что
Итак,
для каждого
.
Отсюда, по определению,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Ввиду леммы 2.2.6,
Поэтому
для любого
.
Значит,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Пусть
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Тогда, по опрeделению, существует цепь
подгрупп
такая,
что для любого
либо
нормальна в
,
либо
.
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Если
подгруппа
нормальна в
,
то подгруппа
нормальна в
.
Пусть
.
Тогда ввиду леммы 2.2.6,
.
Отсюда следует, что
.
Итак, для каждого
либо подгруппа
нормальна в
,
либо
.
Отсюда, по определению,
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Ввиду
леммы 2.2.6,
.
Поэтому для любого
либо подгруппа
нормальна в
,
либо
.
Значит,
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп
В
работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена
задача об описании наследственных
насыщенных формаций, замкнутых
относительно произведения подгрупп
и
,
у которых любая силовская подгруппа
-субнормальна
в
.
В этой же работе было получено описание
таких формаций в классе конечных
разрешимых групп. Развитию данного
направления были посвящены работы [4,
16].
В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В
теории классов групп важную роль играет
класс всех
-групп
(
--- некоторое множество простых чисел),
который обозначается через
.
Большинство важнейших классов групп
можно построить из классов вида
с помощью операций пересечения и
произведения классов.
Напомним,
что произведением
классов групп
и
называется класс групп
,
который состоит из всех групп
,
таких, что в
найдется нормальная
-подгруппа
с условием
.
Пусть
--- множество всех натуральных чисел.
Обозначим через
некоторое подмножество из
.
Пусть
,
--- некоторые множества простых чисел,
а
,
--- классы всех
-групп
и
-групп
соответственно. В дальнейшем рассматриваем
формации вида:
Напомним,
что группа
называется
-замкнутой
(
-нильпотентной),
если ее силовская
-подгруппа
(силовское
-дополнение)
нормальна в
.
Группа
называется
-разложимой,
если она одновременно
-замкнута
и
-нильпотентна.
Через
обозначим дополнение к
во множестве всех простых чисел, если
,
то вместо
будем просто писать
.
Тогда
--- класс всех
-нильпотентных
групп,
--- класс всех
-замкнутых
групп,
--- класс всех
-разложимых
групп,
--- класс всех нильпотентных групп, где
пробегает все простые числа.
Группа
называется
-нильпотентной
(
-разложимой),
если она
-нильпотентна
(
-разложима)
для любого простого числа
из
.
Классы всех
-нильпотентных
(
-разложимых)
групп можно записать в виде
Группа
называется
-замкнутой,
если она имеет нормальную
-холлову
подгруппу. Тогда
--- класс всех
-замкнутых
групп.
2.1
Лемма.
Пусть
--- наследственная формация. Если
---
-субнормальная
-подгруппа
группы
,
то композиционные факторы группы
содержатся среди композиционных факторов
групп из
.
Доказательство.
Если
,
то лемма верна. Пусть
.
Тогда
содержится в
-нормальной
максимальной подгруппе
группы
.
По индукции,
.
Так как
,
то
.
Отсюда, и из
,
получаем
.
Лемма доказана.
2.2
Лемма.
Пусть
--- наследственная формация,
--- класс всех групп. Тогда формация
совпадает с формацией
.
Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3
Теорема
[10-A, 13-A]. Пусть
--- наследственная формация. Тогда всякая
формация
,
представимая в виде
,
содержит любую группу
,
у которой
и силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
.
Доказательство.
Пусть
--- формация указанного вида и
--- такая группа, что
,
где
и любая силовская подгруппа из
и
-субнормальна
в
.
Индукцией по порядку
докажем, что
.
Рассмотрим сначала случай, когда
--- класс всех групп.
Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа из
.
Ясно, что любая силовская подгруппа из
и
имеет вид
,
,
где
и
--- силовские подгруппы из
и
соответственно. Согласно лемме 3.1.5,
и
---
-субнормальные
подгруппы фактор-группы
.
По индукции,
.
Так как
--- формация, то отсюда следует, что
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу
.
Очевидно, что
.
Так как
--- насыщенная формация, то нетрудно
показать, что
.
Пусть
--- силовская подгруппа из
.
Покажем, что
.
Пусть
--- абелева группа. Так как
---
-субнормальная
подгруппа группы
,
то, согласно теореме 2.2.8,
.
Пусть
--- неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных
неабелевых простых групп и
.
Рассмотрим
подгруппу
.
Согласно лемме 3.1.5,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Пусть
.
Так как
и
--- собственная
-субнормальная
подгруппа группы
,
то равенство
невозможно. Итак,
.
Так
как
и
--- насыщенная формация, то
.
Отсюда следует, что
А это
значит, что
.
Если
,
то
.
Последнее равенство невозможно, так
как
согласно лемме 3.1.4 --- собственная
-субнормальная
подгруппа
.
Итак,
--- собственная подгруппа
.
Если
,
то
Так
как
и
--- наследственная формация, то
.
Но тогда нетрудно заметить, что
.
Так
как
,
то согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная
подгруппа. Так как
и
--- наследственная формация, то любая
силовская подгруппа
-субнормальна
в
.
Согласно лемме 3.1.4,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
По индукции,
.
Отсюда следует, что
для любой
.
Аналогичным
образом доказывается, что
для любой
,
где
--- любая силовская подгруппа из
.
Из того, что
,
следует
.
Рассмотрим
два случая:
и
.
Пусть
.
Покажем, что
.
Если
--- абелева, то
--- примарная
-группа,
где
.
Отсюда следует, что
.
Если
--- неабелева, то
есть прямое произведение изоморфных
неабелевых простых групп.
Так
как
--- нормальная подгруппа из
,
то
Так
как
,
то очевидно, что
.
Так как
,
то
для любой
.
Следовательно,
.
Пусть
теперь
.
Если
--- неабелева, то
.
Тогда
.
Отсюда следует, что
.
А это значит, что
.
Отсюда следует, что
,
где
--- любое простое число из
.
Рассмотрим
подгруппу
,
где
--- любая силовская подгруппа из
.
Если
,
то, как и выше, получаем, что
.
Если
,
то, как и выше, получаем, что
.
Отсюда следует, что
,
где
--- любое простое число из
.
Согласно лемме 2.2.9, любая силовская
подгруппа
группы
есть
,
где
--- силовские подгруппы из
и
соответственно. Отсюда следует, что
любое простое число
из
принадлежит
.
Следовательно,
.
А это значит, что
.
Пусть
--- абелева группа, то
.
Но тогда
.
Ввиду
,
получаем, что
для любой
.
А это значит, что
.
Пусть
теперь
--- произвольная наследственная формация
и
.
По лемме 3.2.1, композиционные факторы
группы
содержатся среди композиционных факторов
групп из
.
Это значит, что
принадлежит
.
Пусть
.
Так как
,
то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы
из
и
-субнормальны
в
.
По доказанному,
.
Так как
,
то, по лемме 3.2.2,
.
Теорема доказана.
2.4
Следствие
(В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть
--- наследственная формация. Тогда всякая
формация вида
является сверхрадикальной.
Доказательство.
Пусть
,
где
и
---
-субнормальные
-подгруппы
группы
.
Так как
--- наследственная формация, то согласно
лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из
(из
)
-субнормальна
в
(соответственно в
).
Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская
подгруппа из
и из
-субнормальна
в
.
Теперь требуемый результат следует из
теоремы 3.2.3.
2.5
Следствие
(В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация
вида
является сверхрадикальной.
2.6
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-нильпотентных
групп. Тогда
содержит любую группу
,
где
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
принадлежащие
.
2.7
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-замкнутых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
где
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
принадлежащие
.
2.8
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
где
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
принадлежащие
.
2.9
Следствие
[10-A, 13-A]. Пусть
.
Тогда формация
содержит любую группу
,
у которой
и силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
.
2.10
Следствие
[10-A, 13-A]. Пусть
--- формация всех
-нильпо-
тентных групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
.
2.11
Следствие
[10-A, 13-A]. Пусть
--- формация всех
-замкнутых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
.
2.12
Следствие
[10-A, 13-A]. Пусть
--- формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
.
2.13
Лемма.
Пусть
--- непустая наследственная формация.
Пусть все композиционные факторы группы
принадлежат
.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
---
-субнормальная
подгруппа группы
;
2)
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Доказательство.
Пусть
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Тогда, по определению,
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Пусть
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Тогда существует цепь
в
которой для любого
либо
нормальна в
,
либо
.
Пусть
.
Уплотним участок от
до
цепи
до максимальной
-цепи.
Ввиду
утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы
,
содержащие
,
-субнормальны
в
.
Пусть теперь
нормальна в
.
Можно считать, что
--- максимальная нормальная подгруппа
(в противном случае уплотняем участок
от
до
до композиционной
-цепи).
Ввиду условия леммы
,
т. е.
.
Пришли к рассматриваемому выше случаю.
Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4,
подгруппа
-субнормальна
в
.
Лемма доказана.
2.14
Лемма.
Пусть
--- наследственная насыщенная формация.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
любая группа
,
где
и любые силовские подгруппы из подгрупп
и
-субнормальны
в
,
принадлежит
;
2)
любая группа
,
где
и любые силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
,
принадлежит
.
Доказательство.
Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство
проведем индукцией по порядку группы
.
Пусть
--- минимальная нормальная подгруппа
группы
.
Очевидно, что
.
Пусть
--- произвольная
-силовская
подгруппа из
.
Ясно, что
---
-силовская
подгруппа из
.
По лемме 3.1.5,
---
-достижимая
подгруппа группы
.
Аналогичным образом доказыватся, что
любая силовская подгруппа из
-достижима
в
.
Так как
,
то по индукции,
.
Предположим, что
и
--- две различные минимальные нормальные
подгруппы группы
.
Выше показано, что
,
.
Так как
--- формация, то
.
Итак,
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу
.
Покажем,
что
.
Предположим противное. Тогда, как и
выше, с учетом индукции можно показать,
что
.
Так как
--- наследственная формация, то
.
Итак,
.
Рассмотрим следующие два случая.
1)
Пусть
--- абелева, тогда
--- примарная группа. Так как
--- насыщенная формация и
,
то
.
Как и выше, с учетом индукции можно
показать, что
.
Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия
следует, что
.
2)
Пусть
--- неабелева группа. В этом случае
есть
прямое произведение изоморфных неабелевых
простых групп и
.
Рассмотрим
подгруппу
.
Согласно лемме 3.1.5,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Пусть
.
Так как
и
--- собственная
-субнормальная
подгруппа группы
,
то равенство
невозможно. Итак,
.
Так
как
и
--- насыщенная формация, то
.
Отсюда следует, что
А это
значит, что
.
Если
,
то
.
Последнее равенство невозможно, так
как
,
согласно лемме 3.1.4, собственная
-субнормальная
подгруппа
.
Итак,
--- собственная подгруппа
.
Если
,
то
Так
как
и
--- наследственная формация, то
.
Но тогда нетрудно заметить, что
.
Согласно
индукции, группа
принадлежит формации
.
Согласно лемме 3.2.13, любая
-достижимая
подгруппа является
-субнормальной
подгруппой. Согласно условию получаем,
что группа
принадлежит
.
Непосредственно
из определения
-субнормальности
и
-достижимости
из 2) следует 1). Лемма доказана.
Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15
Теорема.
Пусть
--- наследственная формация. Тогда всякая
формация
,
представимая в виде
,
содержит любую группу
,
у которой
и силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
.
2.16
Следствие.
Пусть
.
Тогда формация
содержит любую группу
,
у которой
и силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
.
2.17
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-нильпотентных
групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
.
2.18
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-замкнутых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
.
2.19
Следствие.
Пусть
--- формация всех
-разложимых
групп. Тогда
содержит любую группу
,
у которой силовские подгруппы из подгрупп
и
-достижимы
в
.
3. Сверхрадикальные формации
В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н.
Семенчуком в работе [28] получено полное
решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе
конечных разрешимых групп. Оказалось,
что все такие формации имеют следующее
строение:
,
где
--- некоторые множества простых чисел,
а
--- множество всех разрешимых
-групп.
В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.
Приведем примеры сверхрадикальных формаций.
3.1
Пример.
Формация
всех
-групп
,
где
--- некоторое множество простых чисел
является сверхрадикальной формацией.
Действительно.
Пусть
,
где
и
---
-группы,
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
.
Так как формация
замкнута относительно расширений, то,
очевидно, что
---
-группа.
3.2
Пример.
Формации
,
--- сверхрадикальные формации.
Действительно,
если
---
-субнормальная
подгруппа группы
,
то
--- субнормальная подгруппа из
.
Очевидно, что любая группа
,
где
и
--- нильпотентные субнормальные подгруппы
из
,
нильпотентна.
Если
--- разрешимая
-субнормальная
подгруппа из
,
то
разрешима. Следовательно,
--- сверхрадикальная формация.
Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.
Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.
Напомним,
что формациями
Фиттинга
называются формации, которые замкнуты
относительно взятия субнормальных
подгрупп и произведения нормальных
-подгрупп.
3.3
Лемма.
Пусть
--- наследственная сверхрадикальная
формация, тогда
--- формация Фиттинга.
Доказательство.
Пусть
,
где
и
--- нормальные
-подгруппы
группы
.
Так как
то
.
Аналогичным образом,
.
Согласно лемме 3.1.4,
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
.
Так как
--- сверхрадикальная формация, то
.
Итак,
--- формация Фиттинга. Лемма доказана.
3.4
Лемма. Пусть
--- непустая наследственная формация.
Если
содержит любую группу
,
где для любого
из
силовские
-подгруппы
и
принадлежат
и
-субнормальные
подгруппы в
,
то
--- сверхрадикальная формация.
Доказательство.
Пусть
--- непустая наследственная формация,
удовлетворяющая условию леммы. Покажем,
что
--- сверхрадикальная формация. Пусть
,
где
и
---
-субнормальные
-подгруппы
группы
.
Пусть
--- произвольное простое число из
,
а
и
--- силовские
-подгруппы
из
и
соответственно. Так как
и
принадлежат
и
--- наследственная формация, то
и
принадлежат
и,
и
-субнормальны
в
и
соответственно. Так как
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
то согласно лемме 3.1.4,
и
-субнормальны
в группе
.
Согласно условию леммы,
принадлежит
.
А это значит, что
--- сверхрадикальная формация. Лемма
доказана.
3.5
Лемма. Пусть
--- наследственная насыщенная разрешимая
формация. Тогда следующие утверждения
эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная формация;
2)
--- содержит любую группу
,
где
и для любого простого числа
из
силовские
-подгруппы
и
-субнормальны
в
.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- сверхрадикальная формация и пусть
,
где
и для любого простого числа
из
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
.
Так как
--- насыщенная формация и
,
то
и
принадлежат
.
Так как
--- разрешимая формация и
---
-субнормальная
подгруппа группы
,
то отсюда нетрудно показать, что
--- разрешимая группа. А это значит, что
и
разрешимы.
Согласно
теореме Ф. Холла [63],
,
где
.
Так как
--- сверхрадикальная формация, то
принадлежит
.
Так как
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
то согласно теореме 2.2.10,
---
-субнормальная
подгруппа группы
.
Так как
принадлежит
и
--- сверхрадикальная формация, то подгруппа
принадлежит
.
Продолжая в аналогичном порядке получаем,
что
принадлежит
.
Аналогичным образом можем доказать,
что
принадлежит
.
Так как
--- сверхрадикальная формация, то
.
Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.
3.6
Теорема
[20-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация
такая, что
.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- сверхрадикальная формация;
2)
,
где
--- некоторые множества простых чисел.
Доказательство.
Пусть
--- сверхрадикальная формация. Вначале
докажем, что любая минимальная не
-группа
является либо группой простого порядка,
либо группой Шмидта.
Пусть
--- произвольная минимальная не
-группа.
Согласно условию теоремы,
разрешима. Если
,
то нетрудно заметить, что
--- группа простого порядка
,
где
.
Рассмотрим
случай, когда
.
Согласно теореме 2.2.5,
,
где
--- единственная минимальная нормальная
подгруппа из
,
---
-группа,
,
--- максимальный внутренний локальный
экран формации
.
Очевидно, что
.
Покажем,
что
является примарной циклической
подгруппой. Предположим противное.
Поскольку
--- разрешимая группа, то в
существуют максимальные подгруппы
и
такие, что
.
Так как
,
то очевидно, что
и
---
-нормальные
максимальные
-подгруппы
группы
.
Но тогда
.
Так как
--- сверхрадикальная формация, то
.
Противоречие. Итак,
имеет единственный класс максимальных
сопряженных подгрупп. Следовательно,
--- циклическая
-подгруппа.
Поскольку
--- насыщенная формация и
,
имеем
.
Покажем,
что
.
Предположим противное. Пусть
,
где
.
Пусть
и
--- циклические группы соответственно
порядков
и
.
Обозначим через
регулярное сплетение
.
Пусть
--- база сплетения, т. е.
.
Так как некоторая подгруппа группы
изоморфна
,
то
.
Очевидно, подгруппы
,
принадлежат формации
.
Пусть
,
где
.
Обозначим через
базу сплетения
.
Тогда
.
Так
как
,
то
,
значит, что подгруппы
и
-субнормальны
в
.
Легко видеть, что
,
.
Так
как
--- сверхрадикальная формация, то
.
Но
,
и поэтому
.
Полученное
противоречие показывает, что
.
Итак,
--- группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1
следует, что
--- группа Шмидта.
Пусть
--- максимальный внутренний локальный
экран формации
.
Покажем, что формация
имеет полный локальный экран
такой, что
,
для любого
из
.
Действительно, пусть
--- такая формация, у которой есть локальный
экран
.
Покажем, что
.
С
учетом того, что
для любого простого
из
,
получим
.
Покажем
обратное включение. Пусть
--- группа наименьшего порядка из
.
Так как
--- наследственная формация, то формация
также является наследственной, значит,
.
Так как
--- насыщенная формация, то нетрудно
показать, что
.
Выше
показано, что
--- либо группа простого порядка, либо
группа Шмидта. Пусть
--- группа простого порядка и
.
Нетрудно показать, что
.
Так как
,
имеем
.
Отсюда следует, что
.
Противоречие.
Пусть
теперь
--- группа Шмидта. Поскольку
,
то из свойств группы Шмидта следует
,
где
и
.
Так как
,
то
.
Из того, что
,
следует
.
Так как
и
--- наследственная формация, то
.
Теперь из того, что
,
где
--- единственная минимальная нормальная
подгруппа группы
и
,
следует что
.
Получили противоречие. Итак,
,
значит,
.
Так
как
--- локальный экран формации
,
имеем
следовательно,
--- формация из 2).
Пусть
.
Тогда из следствия 3.2.5 следует, что
--- сверхрадикальная формация. Теорема
доказана.
Покажем,
что в теореме 3.3.6 условие наследственной
насыщенной формации
можно отбросить, в случае, когда
--- разрешимая формация.
3.7
Лемма.
Пусть
--- разрешимая нормально наследственная
формация. Если
и
,
то
.
Доказательство.
Пусть
и
.
Если
,
то утверждение леммы очевидно. Пусть
.
Пусть
--- нормальная максимальная подгруппа
группы
.
Если
,
то
.
Пусть
.
Ясно, что
.
Так как
и
--- нормально наследственная формация,
то
.
Индукцией по порядку группы
получаем, что
.
Лемма доказана.
Если
--- произвольный класс групп, то через
обозначим наибольший по включению
наследственный подкласс класса
.
Более точно
3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство.
Пусть
--- разрешимая сверхрадикальная формация.
Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать,
что любая разрешимая минимальная не
-группа
является группой Шмидта, либо группой
простого порядка.
Покажем,
что
,
где
--- максимальная наследственная подформация
из
.
Допустим, что множество
непусто и выберем в нем группу
наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11,
формация
является насыщенной. Поэтому
.
Очевидно, что группа
имеет единственную минимальную нормальную
подгруппу
и
.
Так как
,
то в
найдется минимальная не
-группа
.
Из нормальной наследственности формации
следует, что
.
Ясно, что
является также минимальной не
-группой.
По
условию,
--- группа Шмидта. В этом случае
,
где
--- нормальная силовская
-подгруппа,
а
--- циклическая
-подгруппа
группы
,
и
--- различные простые числа.
Если
,
то
Получили
противоречие с выбором
.
Остается принять, что
.
Отсюда и из
получаем, что
,
а значит,
---
-группа.
Рассмотрим
.
Тогда группу
можно представить в виде
где
--- элементарная абелева
-группа,
а
.
Так как
не входит в
,
то по лемме 2.2.12
,
где
--- максимальный внутренний локальный
экран формации
.
Так как
и
,
то
является
-группой.
Отсюда следует, что
.
Из нормальной наследственности формации
,
по теореме 2.2.13, следует, что
является нормально наследственной
формацией. Тогда, по лемме 3.3.7,
.
Получили противоречие. Таким образом,
.
Лемма доказана.
Напомним,
что формация
называется формацией
Шеметкова,
если любая минимальная не
-группа
является либо группой Шмидта, либо
группой простого порядка.
3.9
Теорема
[16-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
--- формация Шеметкова;
2)
формация
содержит любую группу
,
где
и
---
-достижимые
-подгруппы
из
и
;
3)
--- сверхрадикальная формация и
;
4)
формация
такая, что для любой группы
и для любых ее перестановочных
-субнормальных
подгрупп
и
подгруппа
-субнормальна
в
и
;
5)
формация
такая, что для любой группы
и для любых ее перестановочных
-достижимых
подгрупп
и
подгруппа
-достижима
в
и
;
6)
,
где
--- некоторые множества простых чисел и
.
Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10
Теорема [3-A,
5-A]. Пусть
--- наследственная насыщенная формация
такая, что
.
Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1)
формация
содержит любую группу
,
где
и
---
-субнормальны
в G и
;
2)
,
где
--- некоторые множества простых чисел.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть
--- формация, удовлетворяющая утверждению
1). Покажем, что она является сверхрадикальной
формацией. Пусть
--- любая группа такая, что
,
где
и
---
-субнормальные
подгруппы группы
,
принадлежащие
.
Пусть
и
произвольные
-силовские
подгруппы из
и
соответственно. Так как
,
и
--- наследственная формация, то
и
-субнормальны
соответственно в
и
.
Так как
и
-субнормальны
в
,
то по лемме 3.1.4,
и
-субнормальны
в группе
.
Отсюда следует, что
.
Следовательно,
--- сверхрадикальная формация.
Теперь,
согласно теореме 3.3.6, получаем, что
.
Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Из
леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных
разрешимых групп класс всех наследственных
насыщенных сверхрадикальных формаций
совпадает с классом всех наследственных
насыщенных формаций, замкнутых
относительно произведения подгрупп
и
,
силовские подгруппы которых обобщенно
субнормальны в
.
Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.
Заключение
В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.
В
главе 2 найдены серии наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
подгрупп
и
,
у которых любая силовская подгруппа
-субнормальна
в
,
теорема 2.3 [10-A,13-A].
В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основные научные результаты работы
В
данной работе проведено изучение
строения наследственных насыщенных
формаций
,
замкнутых относительно произведения
-подгрупп,
обладающих заданными свойствами.
1.
Найдены серии произвольных наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
подгрупп
и
,
у которых любая силовская подгруппа
-субнормальна
в
[10-A, 13-A].
2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].
3. В
классе конечных разрешимых групп
получено описание наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведения
обобщенно субнормальных
-подгрупп
взаимно простых индексов [18-A].
4.
Доказано, что любая разрешимая 2-кратно
насыщенная формация
,
замкнутая относительно произведения
обобщенно субнормальных
-подгрупп,
индексы которых взаимно просты является
сверхрадикальной [18-A].
5.
Получено описание наследственных
насыщенных
-формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
6.
Получено описание наследственных
насыщенных
-формаций
Шеметкова [14-A, 21-A].
7. В
классе конечных разрешимых групп
получено описание наследственных
формаций Фиттинга
,
замкнутых относительно произведения
-подгрупп,
индексы которых не делятся на некоторое
фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.
Решенные
в диссертации задачи позволяют подойти
к ещё нерешенным проблемам: задаче об
описании наследственных сверхрадикальных
формаций; задаче об описании наследственных
насыщенных формаций
,
замкнутых относительно произведений
обобщенно субнормальных
-подгрупп,
индексы которых взаимно просты.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.
3.
Васильев, А.Ф. О влиянии примарных
-субнормальных
подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев
// Вопросы алгебры: межведомств. сб. /
Мин-во обр. и науки Республики Беларусь,
Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины;
редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель,
1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.
4.
Васильева, Т.И. О конечных группах с
-достижимыми
силовскими подгруппами / Т.И. Васильева,
А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. --
(Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф.
Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.
15.
Мокеева, С.А. Конечные группы с
перестановочными
-субнормальными
(
-достижимыми)
подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель,
2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос.
ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16.
Прокопенко, А.И. О конечных группах с
-достижимыми
силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко
// Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.
Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.
17.
Семенчук, В.Н. О минимальных не
-группах
/ В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. --
С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.
19.
Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы
/ В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979.
-- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.
20.
Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой
минимальных не
-подгрупп
/ В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение
конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН
БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С.
138--149.
21.
Семенчук, В.Н. Минимальные не
-группы
/ В.Н. Семенчук // Исследование нормального
и подгруппового строения конечных
групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. --
Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.
22.
Семенчук, В.Н. Характеризация локальных
формаций
по заданным свойствам минимальных не
-групп
/ В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование
нормального и подгруппового строения
конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН
БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С.
175--181.
23.
Семенчук, В.Н. Описание разрешимых
минимальных не
-групп
для произвольной тотально локальной
формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки.
-- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.
24.
Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных
не
-группах
/ В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск:
Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.
25.
Семенчук, В.Н. Роль минимальных не
-групп
в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем.
заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.
26.
Семенчук, В.Н. Конечные группы с
-абнормальными
или
-субнормальными
подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем.
заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.
28.
Семенчук, В.Н. Разрешимые
-радикальные
формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки.
-- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.
31.
Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация
минимальных не
-групп
/ В.Н. Семенчук // Известия высших учебных
заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.
34.
Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые
-достижимыми
подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева
// Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф.
Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.
38.
Тютянов, В.Н. Факторизации
-нильпотентными
сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб.
-- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.
49.
Ballester-Bolinches, A. On the lattice of
-sub>normal
sub>groups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J.
Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.
50.
Ballester-Bolinches, A. On
-critical
groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. --
1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.
54.
Carter, R.O. The
-normalizers
of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. --
1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable sub>groups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable sub>groups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die sub>normalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every sub>group is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.
71.
Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable
-sub>normal
and
-accessible
sub>groups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International
Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. --
P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local sub>groups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der sub>normalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.