Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП _> >, ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ _> >-ПОДГРУПП, ИНДЕКСЫ КОТОРЫХ НЕ ДЕЛЯТСЯ НА НЕКОТОРОЕ ПРОСТОЕ ЧИСЛО

Исполнитель:

Студентка группы М-53 Вакрилова Л.М.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

_{>1 Описание 010009000003a400000002001c0000000000030000001e000500000009020000000005000000020101000000050000000102ffffff00050000002e0118000000050000000c02a0018001050000000b02000000001200000026060f001a00ffffffff000010000000c0ffffff2600000040010000c60100000b00000026060f000c004d61746854797065000050001c000000fb0280fe0000000000009001010000cc0402001054696d6573204e657720526f6d616e00b8aef377c1aef3772040f5776140660b040000002d01000008000000320a00016a000100000070010a00000026060f000a00ffffffff0100000000001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d000070140a1f48e31100b8aef377c1aef3772040f5776140660b040000002d01010004000000f0010000040000002701ffff030000000000-формаций Шеметкова}>

_{>2 Описание 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-формаций Шеметкова}>

3 Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

_>> --- множество всех натуральных чисел;

_>> --- множество всех простых чисел;

_>> --- некоторое множество простых чисел, т. е. _> >;

_>>

--- дополнение к _> > во множестве всех простых чисел; в частности, _> >;

примарное число --- любое число вида _> >.

Буквами _> > обозначаются простые числа.

Пусть _> > --- группа. Тогда:

_>> --- порядок группы _> >;

_>>

--- множество всех простых делителей порядка группы _> >;

_>>-группа --- группа _> >, для которой _> >;

_>>-группа --- группа _> >, для которой _> >;

_>> --- коммутант группы _> >, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы _> >;

_>> --- подгруппа Фиттинга группы _> >, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы _> >;

_>> --- наибольшая нормальная _> >-нильпотентная подгруппа группы _> >;

_>> --- подгруппа Фраттини группы _> >, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы _> >;

_>> --- наибольшая нормальная _> >-подгруппа группы _> >;

_>> --- _> >-холлова подгруппа группы _> >;

_>> --- силовская _> >-подгруппа группы _> >;

_>> --- дополнение к силовской _> >-подгруппе в группе _> >, т. е. _> >-холлова подгруппа группы _> >;

_>> --- нильпотентная длина группы _> >;

_>> --- _> >-длина группы _> >;

_>> --- минимальное число порождающих элементов группы _> >;

_>> --- цоколь группы _> >, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы _> >;

_>> --- циклическая группа порядка _> >.

Если _> > и _> > --- подгруппы группы _> >, то :

_>> --- _> > является подгруппой группы _> >;

_>> --- _> > является собственной подгруппой группы _> >;

_>> --- _> > является нормальной подгруппой группы _> >;

_>>

--- ядро подгруппы _> > в группе _> >, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с _> > в _> >;

_>> --- нормальное замыкание подгруппы _> > в группе _> >, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с _> > подгруппами группы _> >;

_>> --- индекс подгруппы _> > в группе _> >;

_>>;

_>> --- нормализатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> --- централизатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> --- взаимный коммутант подгрупп _> > и _> >;

_>> --- подгруппа, порожденная подгруппами _> > и _> >.

Минимальная нормальная подгруппа группы _> > --- неединичная нормальная подгруппа группы _> >, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы _> >;

_>> --- _> > является максимальной подгруппой группы _> >.

Если _> > и _> > --- подгруппы группы _> >, то:

_>> --- прямое произведение подгрупп _> > и _> >;

_>> --- полупрямое произведение нормальной подгруппы _> > и подгруппы _> >;

_>> --- _> > и _> > изоморфны;

_>> --- регулярное сплетение подгрупп _> > и _> >.

Подгруппы _> > и _> > группы _> > называются перестановочными, если _> >.

Группу _> > называют:

_>>-замкнутой, если силовская _> >-подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-нильпотентной, если _> >-холлова подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо _> >-группы, либо _> >-группы;

_>>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо _> >-группой, либо циклической группой; нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны; разрешимой, если существует номер _> > такой, что _> >; сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

_>>-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской _> >-подгруппой.

_>>-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской _> >-подгруппой.

_>>-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно _> >-специальной и _> >-замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе _> > группы _> > называется такая подгруппа _> > из _> >, что

_>>.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп

_>> называется:

субнормальным, если _> > для любого _> >;

нормальным, если _> > для любого _> >;

главным, если _> > является минимальной нормальной подгруппой в _> > для всех _> >.

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой _> > и все ей изоморфные группы.

_>>-группа --- группа, принадлежащая классу групп _> >.

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если _> > --- класс групп, то:

_>> --- множество всех простых делителей порядков всех групп из _> >;

_>> --- множество всех тех простых чисел _> >, для которых _> >;

_>> --- формация, порожденная классом _> >;

_>> --- насыщенная формация, порожденная классом _> >;

_>> --- класс всех групп _> >, представимых в виде

_>>

где _> >, _> >;

_>>;

_>> --- класс всех минимальных не _> >-групп, т. е. групп не принадлежащих _> >, но все собственные подгруппы которых принадлежат _> >;

_>> --- класс всех _> >-групп из _> >;

_>> --- класс всех конечных групп;

_>> --- класс всех разрешимых конечных групп;

_>> --- класс всех _> >-групп;

_>> --- класс всех разрешимых _> >-групп;

_>> --- класс всех разрешимых _> >-групп;

_>> --- класс всех нильпотентных групп;

_>> --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной _> >.

Если _> > и _> > --- классы групп, то:

_>>.

Если _> > --- класс групп и _> > --- группа, то:

_>> --- пересечение всех нормальных подгрупп _> > из _> > таких, что _> >;

_>> --- произведение всех нормальных _> >-подгрупп группы _> >.

Если _> > и _> > --- формации, то:

_>> --- произведение формаций;

_>> --- пересечение всех _> >-абнормальных максимальных подгрупп группы _> >.

Если _> > --- насыщенная формация, то:

_>> --- существенная характеристика формации _> >.

_>>-абнормальной называется максимальная подгруппа _> > группы _> >, если _> >, где _> > --- некоторая непустая формация.

_>>-гиперцентральной подгруппой в _> > называется разрешимая нормальная подгруппа _> > группы _> >, если _> > обладает субнормальным рядом _> > таким, что

(1) каждый фактор _> > является главным фактором группы _> >;

(2) если порядок фактора _> > есть степень простого числа _> >, то _> >.

_>> --- _> >-гиперцентр группы _> >,

Введение

Известно, что любая конечная группа вида _> >, где _> > и _> > --- _> >-замкнутые подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое простое число _> >, является _> >-замкнутой.

В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида _> >, где _> > и _> > --- _> >-нильпотентные подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое простое число _> >, является _> >-нильпотентной группой.

В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации _> >, содержащие любую группу _> >, где _> > и _> > принадлежат _> > и _> > содержит некоторую силовскую подгруппу группы _> >.

В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга _> > данная проблема решена полностью.

1. Описание _> >-формаций Шеметкова

Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации _> >, у которых любая минимальная не _> >-группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.

Определение. Формация _> > называется _> >-формацией Шеметкова, если любая минимальная не _> >-группа --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой.

Приведем пример _> >-формаций Шеметкова.

1.1 Пример. Если _> > --- формация всех _> >-нильпотентных групп, то _> > --- _> >-формация Шеметкова.

Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Известно, что группа _> > является разрешимой. Покажем, что _> > является группой Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой. Так как _> > не _> >-нильпотентная группа, то _> >. Пусть _> >. Согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа, _> > --- примарная _> >-группа, _> >, где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Покажем, что _> >. Действительно, если _> >, то из того факта, что _> > _> >-нильпотентна, а значит и _> > так же _> >-нильпотентна, следует, что _> > _> >-нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию _> > можно представить в виде _> >. Согласно лемме 2.2.20, _> >. Очевидно, что любая минимальная не _> >-группа есть группа простого порядка _> >. Итак, _> > --- группа Шмидта. Пусть _> >. Выше показано, что _> > --- группа Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1, _> > является группой Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой. А это значит, что _> > --- _> >-формация Шеметкова.

1.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть _> >, _> >, _> > --- непустые формации. Тогда _> >.

Доказательство. Пусть _> > --- произвольная группа из _> >. Тогда _> >. Отсюда следует, что _> > и _> >. А это значит, что _> >.

Пусть _> > --- произвольная группа из _> >. Отсюда следует, что _> > и _> >. Тогда _> > и _> >. Итак, _> >. А это значит, что _> >. Лемма доказана.

Пусть _> > --- насыщенная формация, а _> > --- ее максимальный внутренний локальный экран, _> > --- характеристика формации _> >. Обозначим через _> > --- множество простых чисел из _> > таких, что _> >, где _> > --- простое число из _> >.

1.3 Лемма. Пусть _> > --- насыщенная формация, _> > --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда

_>>

Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации _> > справедливо следующее равенство

_>>

Отсюда следует, что

_>>

По лемме 5.1.2,

_>>

Лемма доказана.

1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) _> > --- _> >-формация Шеметкова;

2) _> >, где _> > и _> >.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде

_>>

где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Покажем, что если _> > --- _> >-формация Шеметкова, то

_>>

Действительно, очевидно, что

_>>

Покажем обратное включение. Пусть _> > --- группа наименьшего порядка из

_>>

Так как _> > --- наследственная формация, то _> >.

Так как _> > --- насыщенная формация, то _> >. Нетрудно показать, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> > и _> >. Согласно условию, _> > либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой.

Пусть _> >. Так как _> >, то _> >. Отсюда следует, что _> >. Противоречие.

Пусть _> > --- группа Шмидта и _> >, где _> >. Очевидно, что _> >. Тогда из _> > следует, что _> >. А это значит, что _> >. Так как _> >, то _> >. Но тогда _> >. Так как _> > --- полный экран, то _> >. Так как _> > --- внутренний экран, то _> >. Получили противоречие.

Покажем, что из 2) следует 1).

Пусть _> >. Согласно условию, _> > --- разрешимая группа. Пусть _> >. Очевидно, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> >, причем _> > --- _> >-группа и _> >. Согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> >, _> > --- полный локальный экран формации _> >. Согласно лемме 2.2.20, _> >. А это значит, что _> >, где _> >. Отсюда нетрудно заметить, что _> > --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, _> > --- либо группа Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.

1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная _> >-формация Шеметкова. Тогда _> > содержит любую _> >-разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на _> >.

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> >, причем _> > и _> >. Так как _> > --- _> >-разрешимая группа, то либо _> > --- _> >-группа, либо _> >-группа. Если _> > --- _> >-группа, то из того, что _> > следует, что _> >. Противоречие.

Пусть _> > --- _> >-группа. Согласно условию, _> > и _> >. Так как _> > и _> >, то _> >. Отсюда следует, что _> >. Аналогичным образом получаем, что _> >. Отсюда и группа _> >. А это значит, что _> >. Получили противоречие. Теорема доказана.

В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова _> > замкнута относительно произведения _> >-субнормальных _> >-подгрупп. Для наследственных насыщенных _> >-формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.

1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная _> >-формация Шеметкова. Тогда _> > содержит любую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы, индексы _> >, _> > не делятся на _> > и либо _> >, либо _> > _> >-субнормальны в _> >.

Доказательство. Пусть _> > --- наследственная насыщенная _> >-формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:

_>>

где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число _> >.

Пусть _> > --- группа наименьшего порядка, не принадлежащая _> >, такая, что _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы, индексы _> >, _> > не делятся на _> > и _> > _> >-субнормальна в _> >.

Нетрудно показать, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> >.

Так как _> > --- насыщенная формация, то _> >.

Пусть _> > --- абелева группа и _> > --- _> >-группа. Если _> >, то из того факта, что _> >, следует, что _> >. Противоречие.

Если _> > --- _> >-группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что _> >. Противоречие.

Пусть _> > --- неабелева группа. В этом случае

_>>

z\ неабелевых простых групп и _> >.

Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > --- собственная _> >-субнормальная подгруппа группы _> > и _> >, то нетрудно показать, что _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. По тождеству Дедекинда

_>>

Очевидно, что _> > --- _> >-субнормальная подгруппа _> >. Так как _> > --- наследственная формация и _> >, то _> >. Очевидно, что индексы _> >, _> > не делятся на _> >. Тогда по индукции, _> >. Если _> >, то _> >. Получили противоречие. Значит, _> >. Так как _> > --- нормальная подгруппа из _> >, то _> > --- нормальная подгруппа из _> >. Но тогда

_>>

где _> > --- изоморфные неабелевы простые группы, _> >. Так как _> > и _> > --- наследственная формация, то _> >. Отсюда нетрудно показать, что _> >. Если _> > делится на _> >, то из того, что _> >, _> > следует, что _> > --- нормальная подгруппа группы _> >. Противоречие. Если _> > --- _> >-группа, то ясно, что _> >. Противоречие. Теорема доказана.

2. Описание _> >-формаций Шеметкова

Введем следующее определение.

Определение. Формация _> > называется _> >-формацией Шеметкова, если любая минимальная не _> >-группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической _> >-силовской подгруппой, либо группа простого порядка.

Приведем пример _> >-формаций Шеметкова.

2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех _> >-замкнутых групп _> > является _> >-формацией Шеметкова.

Действительно. Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Так как _> > не _> >-замкнута, то _> >. Пусть _> >. Согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа из _> >, _> > --- _> >-группа, _> >, где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Покажем, что _> >. Действительно, в противном случае, из того факта, что _> > _> >-замкнута и _> > _> >-замкнута, следует, что _> > _> >-замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию _> > можно представить в виде _> >. Согласно лемме 2.2.20, формация _> > имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что _> >. Очевидно, что любая минимальная не _> >-группа есть группа простого порядка _> >. Итак, _> > --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка _> >. Пусть _> >. Выше показано, что _> > --- группа Шмидта с ненормальной циклической _> >-силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1, _> > --- группа Шмидта с ненормальной циклической _> >-силовской подгруппой. Итак, _> > --- _> >-формация Шеметкова.

2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) _> > --- _> >-формация Шеметкова;

2) _> >, где _> > и _> >.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Ясно, что формация _> > является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:

_>>

где _> > --- максимальный внутренний локальный экран _> >. Вначале докажем, что _> >, где _> > --- любое простое число из _> >. Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число _> >, но _> >. Обозначим через _> > группу простого порядка _> >. Очевидно, что _> > и _> >. Так как _> >, то существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов. Пусть _> >. Покажем, что _> >. Так как _> > точен, то _> >. Так как _> >, то, очевидно, что _> >. Пусть _> > --- произвольная максимальная подгруппа из _> >. Так как _> > и _> >, то нетрудно заметить, что _> >. Итак, _> >. Так как _> >, то это невозможно ввиду того, что _> > --- _> >-формация Шеметкова. Итак, _> > для любого _> > из _> >. Отсюда, в частности, следует, что _> >. Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:

_>>

Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:

_>>

где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее число _> >.

Покажем, что из 2) следует 1).

Действительно, что _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Согласно условию, _> > разрешима. Пусть _> >. Согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа, _> > --- _> >-группа и _> >, где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Если _> >, то из того факта, что _> >, следует, что _> >. Получили противоречие. Тогда _> >. Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация _> > имеет полный локальный экран _> > такой, что _> >. Очевидно, что _> >. Так как _> >, то очевидно, что _> >. Итак, любая минимальная не _> >-группа _> > с _> > либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной _> >-силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда _> >. Итак, _> > --- _> >-формация Шеметкова. Теорема доказана.

2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная _> >-формация Шеметкова. Формация _> > содержит любую разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на _> >, только в том случае, когда _> > --- формация _> >-замкнутых групп.

Доказательство. Пусть _> > --- _> >-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

_>>

где _> >. Если _> >, то _> > --- формация _> >-замкнутых групп. Так как индексы _> >, _> > не делятся на _> >, то _> > и _> > содержат силовскую _> >-подгруппу группы _> >. По условию, _> > и _> > _> >-замкнуты. Отсюда следует, что _> > _> >-замкнута. Пусть множество _> > содержит простое число _> >. Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть _> > --- группа порядка _> >. Пусть _> > --- простое число, отличное от _> > и _> >. Так как _> >, то существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов. Пусть _> >. Так как _> > и _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов. Пусть _> >. Так как _> >, то, как и выше, существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов. Пусть _> >.

Рассмотрим следующие две подгруппы: _> > и _> >. Ясно, что _> >. Подгруппы _> > и _> > _> >-замкнуты, причем индексы _> >, _> > не делятся на _> >. Если бы группа _> > была бы _> >-замкнута, то тогда _> > была бы нормальной подгруппой в группе _> >, что невозможно. Итак, утверждение леммы верно только тогда, когда _> >. Лемма доказана.

2.4 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- _> >-разрешимая группа, _> >, где _> >, _> >, индексы _> >, _> > не делятся на _> >. Тогда _> >.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по порядку _> >. Пусть _> > --- минимальная нормальная подгруппа _> >. Так как _> > --- _> >-разрешимая группа, то _> > либо _> >-группа, либо _> >-группа. Если _> > --- _> >-группа, то _> >. Согласно индукции, _> >. Получили противоречие.

Пусть _> > --- _> >-группа. Так как _> >, _> > не делятся на _> >, то _> >. Так как _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> > и _> >, то _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> >, _> > --- _> >-группа, _> >, то нетрудно показать, что _> > --- _> >-группа. Так как _> >, то _> > --- _> >-замкнутая группа. Аналогичным образом можно доказать, что _> > --- _> >-замкнутая группа. Отсюда следует, что _> > --- _> >-замкнутая группа. А это значит, что _> >. Получим противоречие. Лемма доказана.

3. Критерий принадлежности групп, факторизуемых подгруппами, индексы которых не делятся на некоторое простое число, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга _> >, содержащих любую разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое фиксированное простое число _> >.

3.1 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое фиксированное простое число _> >. Тогда любая разрешимая минимальная не _> >-группа _> > принадлежит одному из следующих типов:

1) _> > --- группа простого порядка _> >, где _> >;

2) _> > --- группа Шмидта;

3) _> >, где _> >, где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >, _> > --- простое число отличное от _> >;

4) _> >, _> >, _> >, где _> > --- _> >-замкнутая группа, _> >, где _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >, _> > --- простое число отличное от _> >.

Доказательство. Пусть _> > --- произвольная разрешимая минимальная не _> >-группа. Если _> >, то нетрудно показать, что _> > --- группа простого порядка _> >, причем _> >.

Пусть _> >. Покажем, что _> > --- бипримарная _> >-подгруппа. Действительно, если _> > --- примарная группа, то из насыщенности формации _> > следует, что _> >. Противоречие. Пусть _> >. Так как _> > --- разрешимая группа, то нетрудно показать, что _> >, где _> >, индексы _> >, _> > не делятся на _> >. Согласно условию, _> >. Получили противоречие. Итак, _> >.

Пусть _> > --- минимальная нормальная подгруппа _> >. Если _> > --- _> >-группа, то _> >. Рассмотрим случай, когда _> >. Покажем, что в этом случае _> > --- группа Шмидта. Вначале докажем, что _> > --- циклическая группа. Действительно, в противном случае _> >, где _> > и _> > --- максимальные подгруппы _> >. Тогда _> >. Так как _> >, _> > не делятся на _> >, _> >, то _> >. Противоречие. Итак, _> > --- циклическая группа, _> >. Пусть _> >. Покажем, что _> >. Предположим противное. Пусть _> >, где _> >. Пусть _> > и _> > --- циклические группы соответственно порядков _> > и _> >. Обозначим через _> > регулярное сплетение _> >. И пусть _> > --- база сплетения, т. е. _> >. Так как некоторая подгруппа группы _> > изоморфна _> >, то _> >. Очевидно, что подгруппы _> >, _> > принадлежат формации _> >.

Пусть _> >, где _> >. Обозначим через _> > базу сплетения _> >. Тогда

_>>

Легко видеть, что _> >.

Так как индексы _> > и _> > не делятся на _> >, то _> >. Но _> >, и поэтому

_>>

Полученное противоречие показывает, что _> >. Итак, доказали, что _> > --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, _> > --- группа Шмидта. Следовательно, _> > --- группа типа 2).

Пусть _> > --- _> >-группа и _> >. Пусть _> >. Тогда, согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> >, _> >, _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Так как _> >, то _> > --- _> >-группа. Пусть _> >. Тогда рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > --- собственная подгруппа _> >, то _> >. Так как _> >, то _> > не делится на _> >. Так как _> > --- разрешимая группа, то _> >. Но тогда в _> > существует максимальная подгруппа _> > такая, что _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > --- собственная подгруппа _> >, то _> >. Нетрудно заметить, что _> > не делится на _> > и _> >. Теперь, согласно условию, _> >. Получили противоречие. Итак, доказали, что _> >, то есть _> > --- _> >-замкнутая группа. Итак, _> > -- группа типа 4).

Пусть теперь _> > --- _> >-группа. Тогда _> >. Покажем, что _> >. Предположим, что _> >. Пусть _> >. Тогда в _> > найдется максимальная подгруппа _> > такая, что _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > и _> > --- собственные подгруппы _> >, то они принадлежат _> >. Очевидно, что _> >, _> > не делятся на _> > и _> >. Тогда, согласно условию, _> >. Противоречие. Отсюда следует, что _> > --- _> >-замкнутая, но тогда _> > --- _> >-замкнута. Тот факт, что _> > (_>> --- максимальный внутренний локальный экран _> >) следует из теоремы 2.2.5. Итак, _> > --- группа типа 3). Лемма доказана.

3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое фиксированное простое число _> >. Тогда любая разрешимая минимальная не _> >-группа _> > принадлежит одному из следующих типов:

1) _> > --- группа простого порядка _> >, где _> >;

2) _> > --- группа Шмидта;

3) _> > --- группа Шмидта;

4) _> >, где _> > и _> >, где _> > --- группа Шмидта с нормальной _> >-силовской подгруппой, _> > --- простое число отличное от _> >.

Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не _> >-группа _> > есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.

Пусть _> > --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда _> >. Пусть _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Так как _> > --- тотально насыщенная формация, то _> > --- насыщенная формация. Согласно лемме _> >. Пусть _> >. Так как _> > --- насыщенная формация, то _> >, что невозможно. Итак, _> >. А это значит, что _> > --- группа простого порядка _> >. Но тогда нетрудно заметить, что _> > --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, _> > --- группа Шмидта.

Пусть _> > --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда

_>>

где _> >. Покажем, что _> > --- группа Шмидта. Так как _> > --- тотально насыщенная формация, то _> > --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что _> >. Пусть _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Согласно теореме 2.2.5,

_>>

где _> >.

Так как _> > --- тотально насыщенная формация, то _> > является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что _> >. Отсюда следует, что _> > --- группа Шмидта. Лемма доказана.

3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть _> > --- наследственная разрешимая формация Фиттинга, _> > --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда _> > содержит любую разрешимую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > не делятся на некоторое простое число _> >, когда _> > есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:

1) класс всех разрешимых _> >-замкнутых групп;

2) класс всех разрешимых групп с _> >-длиной _> >;

3) класс всех разрешимых групп _> > таких, что _> > --- _> >-группа, где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число _> >.

Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33] _> > является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.

Пусть любая минимальная не _> >-группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда _> > является _> >-формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 _> >, где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число _> >.

Пусть любая минимальная не _> >-группа является группой типа 1), 3). Тогда _> > --- _> >-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

_>>

где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число _> >. Согласно лемме 5.2.3, _> >. А это значит, что _> >.

Пусть любая минимальная не _> >-группа --- группа типа 1), 4). Пусть _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >.

Известно, что

_>>

Покажем, что для любого простого числа _> > из _> >, отличного от _> >, _> >. Предположим противное. Пусть _> > --- группа наименьшего порядка из _> >. Так как _> > --- наследственная формация, то _> >. Так как _> > --- тотально насыщенная формация, то _> > --- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что _> >. Очевидно, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> >, причем _> >. Так как _> > --- полный экран, то _> >. А значит, _> > --- _> >-группа, где _> >.

Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов. Пусть _> >. Покажем, что _> >. Так как _> > точен, то _> >. Так как _> >, то очевидно, что _> >. Пусть _> > --- произвольная максимальная подгруппа из _> >. Если _> >, то _> >. Отсюда следует, что _> >. А значит, _> >. Пусть _> >. Тогда _> >, где _> > --- некоторая максимальная подгруппа из _> >. Так как _> >, то _> >. Так как _> >, то из полноты экрана _> > следует, что _> >. Так как _> > --- внутренний экран, то _> >. Итак, _> >. Последнее противоречит тому, что _> > --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.

Итак, _> > для любого _> > из _> >. Тогда

_>>

Отсюда нетрудно заметить, что

_>>

Рассмотрим насыщенную формацию _> >. Так как любая минимальная не _> >-группа либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной циклической _> >-силовской подгруппой, то _> > --- _> >-формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2,

_>>

где _> > --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число _> >. Следовательно,

_>>

Как и в лемме 5.2.3 можно показать, что _> >. Итак, _> > --- формация из пункта 3).

Нетрудно показать, что формация _> >, у которой любая минимальная не _> >-группа есть группа одного из типов 1), 2), 3), 4) леммы 5.3.2, есть пересечение некоторых формаций из пунктов 1), 2), 3) данной теоремы.

Достаточность следует из теоремы 5.1.5 и леммы 5.2.4. Теорема доказана.

Заключение

В главе 1 получено описание наследственных насыщенных _> >-формаций Шеметкова, теорема 1.4 , и найден ряд свойств таких формаций, теорема 1.6 .

В главе 2 получено описание наследственных насыщенных _> >-формаций Шеметкова, теорема 2.2 .

В главе 3 в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга _> >, замкнутых относительно произведения _> >-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число, теорема 3.3 .

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных _> >-субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с _> >-достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными _> >-субнормальными (_>>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с _> >-достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не _> >-группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В.Н. Минимальные не _> >-группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не _> >-подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В.Н. Минимальные не _> >-группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций _> > по заданным свойствам минимальных не _> >-групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не _> >-групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не _> >-группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.

25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не _> >-групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.

26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с _> >-абнормальными или _> >-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.

27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.

28. Семенчук, В.Н. Разрешимые _> >-радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.

29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не _> >-групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.

32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.

33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.

34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые _> >-достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.

35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.

36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.

38. Тютянов, В.Н. Факторизации _> >-нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.

43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.

44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.

45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.

47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.

48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of _> >-sub>normal sub>groups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.

50. Ballester-Bolinches, A. On _> >-critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.

54. Carter, R.O. The _> >-normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable sub>groups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.

66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable sub>groups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die sub>normalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every sub>group is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable _> >-sub>normal and _> >-accessible sub>groups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local sub>groups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der sub>normalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.