Классы конечных групп F, замкнутые о взаимно простых индексов относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП _> >, ЗАМКНУТЫЕ О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ИНДЕКСОВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ _> >-ПОДГРУПП

Курсовая работа

Исполнитель:

Студентка группы М-53 МОКЕЕВА О. А.

Научный руководитель:

доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.

Гомель 2009

Оглавление

ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Введение

1 Некоторые базисные леммы

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых _{>обобщенно субнормальными 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-подгруппами, индексы которых}> взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

Заключение

Список использованных источников

Перечень условных обозначений

Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].

_>> --- множество всех натуральных чисел;

_>> --- множество всех простых чисел;

_>> --- некоторое множество простых чисел, т. е. _> >;

_>>

--- дополнение к _> > во множестве всех простых чисел; в частности, _> >;

примарное число --- любое число вида _> >.

Буквами _> > обозначаются простые числа.

Пусть _> > --- группа. Тогда:

_>> --- порядок группы _> >;

_>>

--- множество всех простых делителей порядка группы _> >;

_>>-группа --- группа _> >, для которой _> >;

_>>-группа --- группа _> >, для которой _> >;

_>> --- коммутант группы _> >, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы _> >;

_>> --- подгруппа Фиттинга группы _> >, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы _> >;

_>> --- наибольшая нормальная _> >-нильпотентная подгруппа группы _> >;

_>> --- подгруппа Фраттини группы _> >, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы _> >;

_>> --- наибольшая нормальная _> >-подгруппа группы _> >;

_>> --- _> >-холлова подгруппа группы _> >;

_>> --- силовская _> >-подгруппа группы _> >;

_>> --- дополнение к силовской _> >-подгруппе в группе _> >, т. е. _> >-холлова подгруппа группы _> >;

_>> --- нильпотентная длина группы _> >;

_>> --- _> >-длина группы _> >;

_>> --- минимальное число порождающих элементов группы _> >;

_>> --- цоколь группы _> >, т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы _> >;

_>> --- циклическая группа порядка _> >.

Если _> > и _> > --- подгруппы группы _> >, то :

_>> --- _> > является подгруппой группы _> >;

_>> --- _> > является собственной подгруппой группы _> >;

_>> --- _> > является нормальной подгруппой группы _> >;

_>>

--- ядро подгруппы _> > в группе _> >, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с _> > в _> >;

_>> --- нормальное замыкание подгруппы _> > в группе _> >, т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с _> > подгруппами группы _> >;

_>> --- индекс подгруппы _> > в группе _> >;

_>>;

_>> --- нормализатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> --- централизатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> --- взаимный коммутант подгрупп _> > и _> >;

_>> --- подгруппа, порожденная подгруппами _> > и _> >.

Минимальная нормальная подгруппа группы _> > --- неединичная нормальная подгруппа группы _> >, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы _> >;

_>> --- _> > является максимальной подгруппой группы _> >.

Если _> > и _> > --- подгруппы группы _> >, то:

_>> --- прямое произведение подгрупп _> > и _> >;

_>> --- полупрямое произведение нормальной подгруппы _> > и подгруппы _> >;

_>> --- _> > и _> > изоморфны;

_>> --- регулярное сплетение подгрупп _> > и _> >.

Подгруппы _> > и _> > группы _> > называются перестановочными, если _> >.

Группу _> > называют:

_>>-замкнутой, если силовская _> >-подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-нильпотентной, если _> >-холлова подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо _> >-группы, либо _> >-группы;

_>>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо _> >-группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

разрешимой, если существует номер _> > такой, что _> >;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Монолитическая группа --- неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.

_>>-замкнутая группа --- группа, обладающая нормальной холловской _> >-подгруппой.

_>>-специальная группа --- группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской _> >-подгруппой.

_>>-разложимая группа --- группа, являющаяся одновременно _> >-специальной и _> >-замкнутой.

Группа Шмидта --- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе _> > группы _> > называется такая подгруппа _> > из _> >, что _> >.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.

Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп _> > называется:

субнормальным, если _> > для любого _> >;

нормальным, если _> > для любого _> >;

главным, если _> > является минимальной нормальной подгруппой в _> > для всех _> >.

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой _> > и все ей изоморфные группы.

_>>-группа --- группа, принадлежащая классу групп _> >.

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если _> > --- класс групп, то:

_>> --- множество всех простых делителей порядков всех групп из _> >;

_>> --- множество всех тех простых чисел _> >, для которых _> >;

_>> --- формация, порожденная классом _> >;

_>> --- насыщенная формация, порожденная классом _> >;

_>> --- класс всех групп _> >, представимых в виде

_>>

где _> >, _> >;

_>>;

_>> --- класс всех минимальных не _> >-групп, т. е. групп не принадлежащих _> >, но все собственные подгруппы которых принадлежат _> >;

_>> --- класс всех _> >-групп из _> >;

_>> --- класс всех конечных групп;

_>> --- класс всех разрешимых конечных групп;

_>> --- класс всех _> >-групп;

_>> --- класс всех разрешимых _> >-групп;

_>> --- класс всех разрешимых _> >-групп;

_>> --- класс всех нильпотентных групп;

_>> --- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной _> >.

Если _> > и _> > --- классы групп, то:

_>>.

Если _> > --- класс групп и _> > --- группа, то:

_>> --- пересечение всех нормальных подгрупп _> > из _> > таких, что _> >;

_>> --- произведение всех нормальных _> >-подгрупп группы _> >.

Если _> > и _> > --- формации, то:

_>> --- произведение формаций;

_>> --- пересечение всех _> >-абнормальных максимальных подгрупп группы _> >.

Если _> > --- насыщенная формация, то:

_>> --- существенная характеристика формации _> >.

_>>-абнормальной называется максимальная подгруппа _> > группы _> >, если

_>>, где _> >

--- некоторая непустая формация.

_>>-гиперцентральной подгруппой в _> > называется разрешимая нормальная подгруппа _> > группы _> >, если _> > обладает субнормальным рядом _> > таким, что

(1) каждый фактор _> > является главным фактором группы _> >;

(2) если порядок фактора _> > есть степень простого числа _> >, то _> >.

_>> --- _> >-гиперцентр группы _> >, т. е. произведение всех _> >-гиперцентральных подгрупп группы _> >.

Введение

Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации _> > с тем свойством, что любая группа _> >, где _> > и _> > --- _> >-субнормальные _> >-подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит _> >.

Именно изучению таких формаций посвящена данная работа. В частности, в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы.

1 Некоторые базисные леммы

В данном разделе доказаны леммы, которые существенным образом используются при доказательстве основного раздела данной главы.

1.1 Лемма [18-A]. Пусть _> > --- насыщенная формация, _> > принадлежит _> > и имеет нормальную силовскую _> >-подгруппу _> > для некоторого простого числа _> >. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) _> >;

2) _> >, где _> > --- любое дополнение к _> > в _> >.

Доказательство. Так как _> >, то _> >, а значит, _> >. Так как _> > и формация _> > насыщенная, то _> > не содержится в _> >. Так как _> > --- элементарная группа, то по теореме 2.2.16, _> > обладает _> >-допустимым дополнением _> > в _> >. Тогда _> >, _> >. Если _> >, то _> > отлична от _> > и, значит, принадлежит _> >. Но тогда, ввиду равенства _> >, имеем

_>>

отсюда следует _> > и _> >. Тем самым доказано, что _> >.

Докажем утверждение 2). Очевидно, что _> > является _> >-корадикалом и единственной минимальной нормальной подгруппой группы _> >, причем _> >. Поэтому, ввиду теоремы 2.2.17,

_>>

Очевидно,

_>>. Если _> >, то

_>>

отсюда _> >. Значит, _> >. Лемма доказана.

Пусть _> > и _> > --- произвольные классы групп. Следуя [55], обозначим через _> > --- множество всех групп, у которых все _> >-подгруппы принадлежат _> >.

Если _> > --- локальный экран, то через _> > обозначим локальную функцию, обладающую равенством _> > для любого простого числа _> >.

1.2 Лемма [18-A]. Пусть _> > и _> > --- некоторые классы групп. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) _> > --- наследственный класс;

2) _> >;

3) если _> >, то _> >;

4) если _> >, то _> > --- класс всех групп;

5) если _> > --- формация, а _> > --- насыщенный гомоморф, то _> > --- формация;

6) если _> >, _> >, _> > --- некоторые классы групп и _> > --- наследственный класс, то _> > в том и только в том случае, когда _> >;

7) если _> > и _> > --- гомоморфы и _> >, то _> >.

Доказательство. Доказательство утверждений 1), 2), 3) и 4) следует непосредственно из определения класса групп _> >.

Пусть _> >, _> > --- нормальная подгруппа группы _> > и _> > --- _> >-подгруппа из _> >. Пусть _> > --- добавление к _> > в _> >. Покажем, что _> >. Предположим противное. Пусть _> > не входит в _> >. Тогда _> > обладает максимальной подгруппой _> >, не содержащей _> >. Поэтому _> >, а значит, _> >, что противоречит определению добавления.

Так как _> > --- насыщенный гомоморф, то _> >. Но тогда _> > и _> >. Значит, класс _> > замкнут относительно гомоморфных образов.

Пусть _> >. Пусть _> > --- _> >-подгруппа из _> >. Тогда _> >, а значит ввиду определения класса _> >, имеем

_>>

Так как _> > --- формация и _> >, то отсюда получаем, что _> >. Таким образом, _> >.

Докажем утверждение 6). Пусть _> >, _> >. Если _> > не входит в _> >, то получается, что каждая _> >-подгруппа из _> > принадлежит _> >, а значит, _> >. Получили противоречие. Поэтому _> >.

Покажем, что _> >. Предположим, что множество _> > непусто, и выберем в нем группу _> > наименьшего порядка. Тогда _> > не входит в _> >. Пусть _> > --- собственная подгруппа из _> >. Так как классы _> > и _> > --- наследственные классы, то _> >. Ввиду минимальности _> > имеем _> >. Значит, _> >. Получили противоречие. Поэтому _> >.

Докажем утверждение 7). Пусть _> > и _> > --- _> >-подгруппа из группы _> >. Отсюда следует, что _> >, _> >. А это значит, что _> >. Отсюда нетрудно заметить, что _> >. Следовательно, _> >. Итак, _> >. Лемма доказана.

1.3 Лемма [18-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация, _> > --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда _> >-корадикал любой минимальной не _> >-группы является силовской подгруппой, когда:

1) _> >;

2) формация _> > имеет полный локальный экран _> > такой _> >, что _> > для любого _> > из _> >.

Доказательство. Необходимость. Пусть _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Пусть _> > --- произвольное простое число из _> >. Так как _> > --- насыщенный гомоморф, то по лемме 4.1.2, _> > --- формация.

Пусть _> > --- формация, имеющая локальный экран _> > такой, что _> > для любого _> > из _> >. Покажем , что _> >. Согласно теореме 2.2.13, _> > --- наследственная формация для любого _> > из _> >. Отсюда нетрудно заметить, что _> > для любого _> > из _> >. А это значит, что _> >.

Пусть _> > --- группа минимального порядка из _> >. Так как _> >--- наследственная формация, то очевидно, что _> > --- наследственная формация. А это значит, что _> > и _> >. Покажем, что _> > --- полный локальный экран, т. е. _> > для любого _> > из _> >. Действительно. Пусть _> > --- произвольная группа из _> >. Отсюда _> >. Пусть _> > --- произвольная _> >-группа из _> >. Так как _> >, то _> >. Отсюда _> >. Так как _> > --- полный экран, то _> >. А это значит, что _> >. Следовательно, _> >. Отсюда нетрудно заметить, что _> >. Теперь, согласно теореме 2.2.5, _> >, где _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> >, _> > --- _> >-группа и _> >. Так как _> > и _> >, то _> >. Отсюда _> >. Противоречие. Итак, _> >. Покажем, что _> > для любого _> > из _> >. Пусть _> > и _> > --- _> >-группа. Пусть _> > --- произвольная _> >-подгруппа из _> >. Тогда _> >. Отсюда _> >. А это значит, что _> >. Противоречие.

Достаточность. Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Так как _> > разрешима, то по теореме 2.2.5,

_>>

где _> > --- _> >-группа, _> >. Согласно условию, _> > --- _> >-группа. А это значит, что _> > --- _> >-замкнутая группа. Но тогда, _> > --- _> >-замкнутая группа. Согласно лемме 4.1.1, _> > --- силовская подгруппа группы _> >. Лемма доказана.

1.4 Лемма [18-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация, _> > --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда и только тогда любая минимальная не _> >-группа бипримарна и _> >-замкнута, где _> >, когда:

1) _> >;

2) формация _> > имеет полный локальный экран _> > такой, что _> > и любая группа из _> > является примарной _> >-группой для любого простого _> > из _> >.

Доказательство. Необходимость. Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Согласно условию, _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа, где _> >. По лемме 4.1.1, _> >. Согласно лемме 4.1.3, формация _> > имеет полный локальный экран _> > такой, что _> > и _> > для любого простого _> > из _> >. Покажем, что любая группа из _> > примарна. Предположим противное. Тогда существует группа _> > и _> >. Пусть _> > --- группа наименьшего порядка такая, что _> >. Очевидно, что _> > и _> >. Нетрудно заметить, что _> > и _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу. Значит, по лемме 2.2.18, существует точный неприводимый _> >-модуль _> >, где _> > --- поле из _> > элементов.

Пусть _> >. Покажем, что _> >. Поскольку _> > и _> >, то _> >.

Пусть _> > --- собственная подгруппа из _> >. Покажем, что _> >. Пусть _> >. Если _> >, то _> >. Следовательно, _> >. Пусть _> >. Тогда _> > --- собственная подгруппа из _> >. А это значит, что _> > и _> >. Так как _> > и _> > --- наследственная формация, то _> >. Но тогда и _> >, а значит и _> >.

Пусть теперь _> >. Так как _> >, то _> > и _> >. Отсюда следует, что _> >. Итак, _> >. Cогласно условию, _> > бипримарна, что невозможно, т. к. _> >.

Достаточность. Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Согласно условию, _> > разрешима. По теореме 2.2.5,

_>>

где _> > --- _> >-группа, _> >.

Согласно условию, _> > --- примарная _> >-группа. А это значит, что _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа. Но тогда _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа. Лемма доказана.

2 Критерий принадлежности групп, факторизуемых обобщенно субнормальными _> >-подгруппами, индексы которых взаимно просты, наследственно насыщенным формациям

В данном разделе в классе конечных разрешимых групп получена классификация наследственных насыщенных формаций _> >, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных _> >-подгрупп, индексы которых взаимно просты.

2.1 Теорема [18-A]. Пусть _> > --- наследственная насыщенная формация, _> >--- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация _> > содержит любую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-субнормальные _> >-подгруппы и индексы _> >, _> > взаимно просты;

2) любая минимальная не _> >-группа _> > либо бипримарная _> >-замкнутая группа _> >, либо группа простого порядка;

3) формация _> > имеет полный локальный экран _> > такой, что _> > и любая группа из _> > является примарной _> >-группой для любого простого _> > из _> >.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Предположим, что _> >, где _> > --- характеристика формации _> >. Покажем, что _> > --- группа простого порядка. Пусть _> >. Тогда существует простое число _> >, _> >. Так как _> >, то _> >, что невозможно. Итак, _> > --- примарная _> >-группа. Так как _> >, то, очевидно, что _> >.

Пусть теперь _> >. Рассмотрим случай, когда _> >.

Покажем, что _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> >. Предположим противное. Тогда _> > содержит, по крайней мере, две минимальные нормальные подгруппы _> > и _> >. Так как _> >, то в группе _> > найдутся максимальные подгруппы _> > и _> > такие, что _> >, _> >. Так как _> > и _> > принадлежат _> >, _> >, _> >, то _> >, _> >. Так как _> > --- формация, то _> >. Получили противоречие. Итак, _> >, где _> > --- единственная минимальная нормальная _> >-подгруппа группы _> >.

Покажем, что _> > --- примарная _> >-группа, где _> >. Предположим, что существуют простые числа _> >, где _> >. Тогда в _> > найдутся максимальные подгруппы _> > и _> > такие, что _> > --- _> >-число, _> > --- _> >-число. Рассмотрим подгруппы _> > и _> >. Очевидно, что индексы _> > и _> > взаимно просты. Так как _> > и _> >, то _> >. Согласно лемме 3.1.4, подгруппы _> > и _> > _> >-субнормальны в _> >. Так как _> > --- минимальная не _> >-группа, _> > и _> > --- собственные подгруппы группы _> >, то _> > и _> >. Так как _> >, то согласно условию, _> >. Получили противоречие.

Покажем, что _> > --- _> >-группа, где _> >. Предположим, что _> >. Так как _> >, то согласно лемме 3.1.4, _> > --- _> >-субнормальная подгуппа группы _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > --- собственная подгруппа _> > и _> >, то _> >. Согласно лемме 3.1.4, _> > --- _> >-субнормальная подгруппа _> >. Очевидно, что _> > --- _> >-субнормальная подгруппа _> >. По лемме 3.1.4, _> > --- _> >-субнормальная подгруппа группы _> >. Так как _> >, то из _> > и условия теоремы следует, что _> >. Получили противоречие. Итак, _> > --- _> >-группа. Тогда _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа, где _> >.

Пусть _> >. Рассмотрим фактор-группу _> >. Так как _> >, то, как показано выше, _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа. Отсюда следует, что _> > --- бипримарная _> >-замкнутая группа.

Из леммы 4.1.4 следует, что утверждение 3) следует из 2).

Покажем, что из 3) следует 1).

Пусть _> > --- группа наименьшего порядка такая, что _> >, где _> > и _> > --- _> >-субнормальные _> >-подгруппы группы _> > взаимно простых индексов, то _> >. Так как _> > --- разрешимая группа и _> >, где _> >, то нетрудно заметить, что _> >, где _> > и _> > --- холловские подгруппы группы _> >, _> > и _> >, _> >, где _> >, _> > --- некоторые элементы группы _> >.

Пусть _> > --- собственная подгруппа группы _> >. Покажем, что _> >. Так как _> > --- разрешимая группа, то согласно теореме Ф. Холла [63], _> >, где _> >, _> >, где _> >, _> > --- некоторые элементы из _> >. Согласно лемме 3.1.4, _> > и _> > --- _> >-субнормальные подгруппы группы _> >. Так как _> > и _> >, а _> > --- наследственная формация, то _> > и _> > --- _> >-субнормальные подгруппы _> > и _> > соответственно. Согласно лемме 3.1.4, нетрудно показать, что _> > и _> > --- _> >-субнормальные подгруппы группы _> >, а значит, согласно лемме 3.1.4 и в _> >. Так как _> >, то по индукции, получаем, что _> >. А это значит, что _> > --- минимальная не _> >-группа.

Если _> > --- группа простого порядка, то ее нельзя представить в виде произведения собственных подгрупп взаимно простых индексов.

Пусть _> > --- бипримарная группа. Тогда согласно лемме 4.1.4, _> >. Согласно лемме 4.1.1, _> >. А это значит, что все подгруппы группы _> >, содержащие _> > _> >-абнормальны, т. е. группа _> > не представима в виде произведения собственных _> >-субнормальных _> >-подгрупп взаимно простых индексов. Получили противоречие. Теорема доказана.

Напомним, что формация _> > называется 2-кратно насыщенной, если она имеет локальный экран _> > такой, что _> > --- насыщенная формация для любого простого числа _> > из _> >.

Следующая теорема доказана в классе конечных разрешимых групп.

2.2 Теорема [18-A]. Пусть _> > --- наследственная 2-кратно насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация _> > содержит любую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-субнормальные _> >-подгруппы из _> > взаимно простых индексов;

2) _> > --- формация Шеметкова;

3) формация _> > содержит любую группу _> >, где _> > и _> > --- _> >-субнормальные _> >-подгруппы из _> >;

4) _> >.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть _> > --- произвольная минимальная не _> >-группа. Рассмотрим случай, когда _> >. Как и в теореме 4.2.1 можно показать, что либо _> > --- группа простого порядка _> >, где _> >, либо _> >, где _> > и _> > из _> >. А также нетрудно показать, что _> > --- единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> >. А это значит, что _> >. Пусть _> > --- максимальный внутренний локальный экран формации _> >. Если _> >, то из полноты экрана _> > следует, что _> >. Так как _> > --- внутренний экран, то _> >. А это значит, что _> >. Противоречие. Итак, _> >.

Покажем, что _> >. Предположим, что это не так. Тогда в _> > найдется неединичная собственная подгруппа _> >. Рассмотрим подгруппу _> >. Так как _> > --- минимальная не _> >-группа и _> > --- собственная подгруппа _> >, то _> >. Покажем, что _> >. Если это не так, то в _> > существует неединичная нормальная _> >-подгруппа _> >. Тогда _> >. Так как _> >, то _> >, что невозможно. Согласно лемме 2.2.12, _> >. Отсюда _> >. Так как _> >, то _> >. А это значит, что _> >. Так как _> > --- насыщенная формация, то _> >. Следовательно, _> >, что невозможно. Итак, _> >, значит, _> > --- группа Шмидта. Итак, _> > --- группа Шмидта. По лемме 3.1.1, _> > --- группа Шмидта.

Тот факт, что из 2) _> > 3) следует из теоремы 2.2.19; 3) _> > 4) следует из теоремы 2.2.10; 4) _> > 1) следует из теоремы 2.2.10. Теорема доказана.

Очевидно, что любая сверхрадикальная формация _> > содержит любую группу _> >, где _> > и _> > _> >-субнормальны в _> > и принадлежат _> > и имеют взаимно простые индексы в _> >.

Следующий пример показывает, что существует несверхрадикальная наследственная насыщенная формация _> >, содержащая любую группу _> >, где _> > и _> > _> >-субнормальны в _> > и принадлежат _> > и имеют взаимно простые индексы в _> >.

2.3 Пример. Пусть _> > --- формация всех сверхразрешимых групп, а _> > --- формация всех _> >-групп, где _> >, _> > и _> > --- различные простые числа. Рассмотрим формацию _> >. Так как существуют минимальные не _> >-группы, которые не являются либо группой Шмидта, либо группой простого порядка, то _> > не является формацией Шеметкова. Так как _> >, то согласно теореме 3.3.9, формация _> > не является сверхрадикальной формацией.

С другой стороны хорошо известно, что любая минимальная несверхразрешимая группа _> > _> >-замкнута, где _> >. Очевидно, что любая минимальная не _> >-группа _> > является либо группой простого порядка, либо бипримарной _> >-замкнутой группой, где _> >. Теперь из теоремы 4.2.1 следует, что _> > содержит любую группу _> >, где _> >, _> > и _> > принадлежат _> > и _> > и _> > --- субнормальны в _> >.

Заключение

В главе 1 доказаны леммы, которые используются для доказательства основных результатов главы 2.

В главе 2 важную роль сыграл метод экстремальных классов, разработанный в работе Картера, Фишера, Хоукса [55] и метод критических групп, разработанный В.Н. Семенчуком в работе [19]. С помощью этих методов в классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций _> >, содержащих любую группу _> >, где _> >, _> > и _> > принадлежат _> > и _> > и _> > --- _> >-субнормальны в _> >, теорема 2.1 .

Доказано, что любая разрешимая _> > --- наследственная 2-кратно насыщенная формация, обладающая отмеченным выше свойством, является сверхрадикальной, теорема 2.2 .

Список использованных источников

1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1990. -- Вып. 5. -- С. 39--45.

2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. -- Киев, 1993. -- С. 27--54.

3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных _> >-субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Гомель, 1995. -- Вып. 8. -- С. 31--39.

4. Васильева, Т.И. О конечных группах с _> >-достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. -- Гомель, 2006. -- 18 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).

5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. -- 1989. -- Т. 46, № 3. -- С. 32--37.

6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. -- 1980. -- Т. 44, № 2. -- С. 288--308.

7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. -- 1983. -- Т. 269, № 3. -- С. 528--531.

8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. -- 1993. -- Т. 53, № 2. -- С. 71--77.

9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. -- 1994. -- Т. 35, № 4. -- С. 801--812.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. -- Новосибирск, 1992. -- 172 с.

11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. -- Новосибирск, 1999. -- 146 с.

12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. -- 2007. -- Т. 51, № 1. -- С. 27--33.

13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. -- 1975. -- С. 70--100.

14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. -- Минск: Университетское, 1985. -- Вып. 1. -- С. 54--57.

15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными _> >-субнормальными (_>>-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. -- Гомель, 2003. -- 25 с. -- (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).

16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с _> >-достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2004. -- № 6 (27). -- С. 101--103.

17. Семенчук, В.Н. О минимальных не _> >-группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1978. -- № 7. -- С. 596--599.

18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. -- 1979. -- № 1. -- С. 11--15.

19. Семенчук, В.Н. Минимальные не _> >-группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. -- 1979. -- Т. 18, № 3. -- С. 348--382.

20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не _> >-подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1981. -- С. 138--149.

21. Семенчук, В.Н. Минимальные не _> >-группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 170--175.

22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций _> > по заданным свойствам минимальных не _> >-групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. -- Минск: Наука и техника, 1984. -- С. 175--181.

23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не _> >-групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1988. -- Т. 43, № 4. -- С. 251--260.

24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не _> >-группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- Минск: Университетское, 1987. -- Вып. 3. -- С. 16--21.

25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не _> >-групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1991. -- Т. 98, № 1. -- С. 110--115.

26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с _> >-абнормальными или _> >-субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1994. -- Т. 56, № 6. -- С. 111--115.

27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. -- 1995. -- Т. 36, № 4. -- С. 861--872.

28. Семенчук, В.Н. Разрешимые _> >-радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. -- 1996. -- Т. 59, № 2. -- С. 261--266.

29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. -- 1996. -- № 3. -- С. 25--29.

30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. -- 1997. -- № 11. -- С. 109--115.

31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не _> >-групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. -- 1998. -- № 4 (431). -- С. 1--4.

32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 1999. -- № 1 (15). -- С. 153--162.

33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. -- 2000. -- Т. 44, № 5. -- С. 24--26.

34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые _> >-достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. -- 2002. -- № 5 (14). -- С. 47--49.

35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. -- 1990. -- Т. 34, № 11. -- С. 382--385.

36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. -- Минск: Беларуская навука, 1997. -- 240 с.

37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. -- 1968. -- Т. 3, № 1. -- С. 33--37.

38. Тютянов, В.Н. Факторизации _> >-нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. -- 1996. -- Т. 187, № 9. -- С. 97--102.

39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1929. -- Т. 36, № 2. -- С. 135--137.

40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1933. -- Т. 40, № 1. -- С. 39--41.

41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. -- 1938. -- Т. 4 (46), № 3. -- С. 521--530.

42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. -- ГОНТИ, М.--Л. -- 1938. -- С. 106--125.

43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. -- Минск: Наука и техника, 1964. -- 158 с.

44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. -- М.: Наука, 1978. -- 272 с.

45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1981. -- Т. 25, № 8. -- С. 677--680.

46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. -- 1984. -- Т. 28, № 2. -- С. 101--103.

47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. -- М.: Наука, 1989. -- 256 с.

48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. -- 1924. -- Т. 31, № 3. -- С. 366--372.

49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of _> >-sub>normal sub>groups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1992. -- Vol. 148, № 2. -- P. 42--52.

50. Ballester-Bolinches, A. On _> >-critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1995. -- Vol. 174. -- P. 948--958.

51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. -- 1996. -- Vol. 179. -- P. 905--917.

52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. -- Springer, 2006. -- 385 p.

53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. -- 1972. -- Bd. 127, № 3. -- S. 217--233.

54. Carter, R.O. The _> >-normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1967. -- Vol. 5, № 2. -- Р. 175--202.

55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. -- 1968. -- Vol. 9, № 3. -- P. 285--313.

56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. -- 1966. -- Vol. 91. -- P. 198--205.

57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. -- Berlin -- New York: Walter de Gruyter, 1992. -- 891 p.

58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. -- 1983. -- Vol. 80, № 2. -- P. 517--536.

59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. -- 1963. -- Vol. 80, № 4. -- P. 300--305.

60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. -- Dordrecht -- Boston -- London: Kluwer Academic Publishers, 2000. -- 257 p.

61. Guo, W. X-semipermutable sub>groups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. -- 2007. -- Vol. 315. -- P. 31--41.

62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1928. -- Vol. 3. -- P. 98--105.

63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. -- 1937. -- Vol. 43. -- P. 316--323.

64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. -- 1970. -- Vol. 117. -- P. 177--182.

65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. -- 1954. -- Vol. 60. -- P. 409--434.

66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. -- 1951. -- Vol. 1--2. -- P. 1--6.

67. Kazarin, L.S. Product of two solvable sub>groups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. -- 1986. -- Vol. 14, № 6. -- P. 1001--1066.

68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. -- 1961. -- Vol. 12, № 2. -- P. 90--93.

69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die sub>normalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. -- 1978. -- Bd. 30, № 3. -- S. 225--228.

70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every sub>group is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. -- 1903. -- Vol. 4. -- P. 398--404.

71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable _> >-sub>normal and _> >-accessible sub>groups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. -- 2003. -- P. 153--154.

72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local sub>groups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. -- 1968. -- Vol. 74. -- P. 383--437.

73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1939. -- Bd. 45. -- S. 209--244.

74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der sub>normalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. -- 1958. -- Bd. 69, № 8. -- S. 463--465.

75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. -- 1958. -- Vol. 2, № 4B. -- P. 611--618.