Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Исполнитель:

Студентка группы М-32 Лапухова А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент Скиба М.Т.

Гомель 2005

Содержание

Перечень условных обозначений

Введение

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

_{>2. Группы с 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-перестановочными 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-максимальными подгруппами}>

_{>3. Группы, в которых 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-максимальные подгруппы перестановочны с 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-максимальными подгруппами}>

_{>4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с 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-максимальными подгруппами}>

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами _> > обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств _> > и знак строгого включения _> >;

_>> и _> > - соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

_>> - пустое множество;

_>> - множество всех _> > для которых выполняется условие _> >;

_>> - множество всех натуральных чисел;

_>> - множество всех простых чисел;

_>> - некоторое множество простых чисел, т.е. _> >;

_>> - дополнение к _> > во множестве всех простых чисел; в частности, _> >;

примарное число - любое число вида _> >;

Пусть _> > - группа. Тогда:

_>> - порядок группы _> >;

_>> - порядок элемента _> > группы _> >;

_>> - единичный элемент и единичная подгруппа группы _> >;

_>> - множество всех простых делителей порядка группы _> >;

_>> - множество всех различных простых делителей натурального числа _> >;

_>>-группа - группа _> >, для которой _> >;

_>>-группа - группа _> >, для которой _> >;

_>> - подгруппа Фраттини группы _> >, т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы _> >;

_>> - подгруппа Фиттинга группы _> >, т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы _> >;

_>> - наибольшая нормальная _> >-нильпотентная подгруппа группы _> >;

_>> - коммутант группы _> >, т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы _> >;

_>> - _> >-ый коммутант группы _> >;

_>> - наибольшая нормальная _> >-подгруппа группы _> >;

_>> - _> >-холловская подгруппа группы _> >;

_>> - силовская _> >-подгруппа группы _> >;

_>> - дополнение к силовской _> >-подгруппе в группе _> >, т.е. _> >-холловская подгруппа группы _> >;

_>> - группа всех автоморфизмов группы _> >;

_>> - _> > является подгруппой группы _> >;

_>> - _> > является собственной подгруппой группы _> >;

_>> - _> > является максимальной подгруппой группы _> >;

нетривиальная подгруппа - неединичная собственная подгруппа;

_>> - _> > является нормальной подгруппой группы _> >;

_>> - подгруппа _> > характеристична в группе _> >, т.е. _> > для любого автоморфизма _> >;

_>> - индекс подгруппы _> > в группе _> >;

_>>;

_>> - централизатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> - нормализатор подгруппы _> > в группе _> >;

_>> - центр группы _> >;

_>> - циклическая группа порядка _> >;

_>> - ядро подгруппы _> > в группе _> >, т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с _> > в _> >.

Если _> > и _> > - подгруппы группы _> >, то:

_>> - прямое произведение подгрупп _> > и _> >;

_>> - полупрямое произведение нормальной подгруппы _> > и подгруппы _> >;

_>> - _> > и _> > изоморфны.

Группа _> > называется:

примарной, если _> >;

бипримарной, если _> >.

Скобки _> > применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

_>> - подгруппа, порожденная всеми _> >, для которых выполняется _> >.

_>>, где _> >.

Группу _> > называют:

_>>-замкнутой, если силовская _> >-подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-нильпотентной, если _> >-холловская подгруппа группы _> > нормальна в _> >;

_>>-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо _> >-группы, либо _> >-группы;

_>>-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо _> >-группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа _> > группы _> > такая, что _> > нильпотентна.

разрешимой, если существует номер _> > такой, что _> >;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе _> > группы _> > называется такая подгруппа _> > из _> >, что _> >.

Минимальная нормальная подгруппа группы _> > - неединичная нормальная подгруппа группы _> >, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы _> >.

Цоколь группы _> > - произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы _> >.

_>> - цоколь группы _> >.

Экспонента группы _> > - это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп _> > называется:

субнормальным, если _> > для любого _> >;

нормальным, если _> > для любого _> >;

главным, если _> > является минимальной нормальной подгруппой в _> > для всех _> >.

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

_>> - класс всех групп;

_>> - класс всех абелевых групп;

_>> - класс всех нильпотентных групп;

_>> - класс всех разрешимых групп;

_>> - класс всех _> >-групп;

_>> - класс всех сверхразрешимых групп;

_>> - класс всех абелевых групп экспоненты, делящей _> >.

Формации - это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть _> > - некоторый класс групп и _> > - группа, тогда:

_>> - _> >-корадикал группы _> >, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп _> > из _> >, для которых _> >. Если _> > - формация, то _> > является наименьшей нормальной подгруппой группы _> >, факторгруппа по которой принадлежит _> >. Если _> > - формация всех сверхразрешимых групп, то _> > называется сверхразрешимым корадикалом группы _> >.

Формация _> > называется насыщенной, если всегда из _> > следует, что и _> >.

Класс групп _> > называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что _> > следует, что и каждая подгруппа группы _> > также принадлежит _> >.

Произведение формаций _> > и _> > состоит из всех групп _> >, для которых _> >, т.е. _> >.

Пусть _> > - некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа _> > группы _> > называется _> >-абнормальной, если _> >.

Подгруппы _> > и _> > группы _> > называются перестановочными, если _> >.

Пусть _> >, _> > -подгруппы группы _> > и _> >. Тогда _> > называется:

(1) _> >-перестановочной с _> >, если в _> > имеется такой элемент _> >, что _> >;

(2) наследственно _> >-перестановочной с _> >, если в _> > имеется такой элемент _> >, что _> >.

Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Нормальным индексом подгруппы _> > называют порядок главного фактора _> >, где _> > и _> >, и обозначают символом _> >.

Подгруппа _> > группы _> > называется _> >-максимальной подгруппой или иначе второй максимальной подгруппой в _> >, если в _> > найдется такая максимальная подгруппа _> >, в которой _> > является максимальной подгруппой. Аналогично определяют _> >-максимальные (третьи максимальные) подгруппы, _> >-максимальные подгруппы и т.д.

Введение

Подгруппы _> > и _> > группы _> > называются перестановочными, если _> >. Подгруппа _> > группы _> > называется перестановочной или квазинормальной в _> >, если _> > перестановочна с каждой подгруппой группы _> >.

Перестановочные подгруппы обладают рядом интересных свойств, чем был и вызван широкий интерес к анализу перестановочных и частично перестановочных подгрупп в целом. Изучение перестановочных подгрупп было начато в классической работе Оре, где было доказано, что любая перестановочная подгруппа является субнормальной. Подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, впервые изучались в работе С.А. Чунихина . Отметим, что подгруппы такого типа были названы позднее в работе Кегеля _> >-квазинормальными. В 60-70-х годах прошлого столетия появились ряд ключевых работ по теории перестановочных подгрупп, которые предопределили основные направления развития теории перестановочных подгрупп в последующие годы. Уточняя отмеченный выше результат Оре, Ито и Сеп в работе доказали, что для каждой перестановочной подгруппы _> > группы _> > факторгруппа _> > нильпотентна. В другом направлении этот результат Оре получил развитие в работах Кегеля и Дескинса. Кегель доказал, что любая _> >-квазинормальная подгруппа является субнормальной и показал, что подгруппы, перестановочные с силовскими подгруппами, образуют решетку. Первый из этих двух результатов Дескинс обобщил следующим образом, если _> > порождается своими _> >-элементами и _> >-подгруппа _> > группы _> > _> >-квазинормальна в _> >, то факторгруппа _> > нильпотентна. В этой работе Дескинс высказал предположение о том, что для квазинормальной в _> > подгруппы _> > факторгруппа _> > абелева. Отрицательное решение этой задачи было получено Томпсоном в работе.

Отметим, что после выхода работ, частично перестановочные подгруппы стали активно использоваться в исследованиях многих авторов. В частности, в работе Э.М. Пальчик исследовал свойства _> >-квазинормальных подгрупп, т. е. подгрупп перестановочных со всеми бипримарными подгруппами группы _> >. Существенно усиливая результат работы, Майер и Шмид доказали, что если _> > - квазинормальная подгруппа конечной группы _> >, то факторгруппа _> > содержится в гиперцентре факторгруппы _> >, где _> > - ядро подгруппы _> >. Отметим, что аналогичный результат для подгрупп, перестановочных с силовскими подгруппами, был получен лишь в недавней работе П. Шмидта. Стоунхьюер в работе обобщил результат Оре на случай бесконечных групп. Он доказал, что каждая перестановочная подгруппа конечно порожденной группы субнормальна.

Значительные успехи, достигнутые в изучении перестановочных подгрупп, в 1960-1980 годах послужили основой для дальнейшего изучения групп по наличию в них тех или иных систем перестановочных подгрупп. В частности, Хупперт доказал, что разрешимая группа _> > сверхразрешима, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из _> > перестановочны с силовскими подгруппами из _> >, и группа _> > разрешима, если в ней имеется такая силовская подгруппа _> > и такое ее дополнение _> >, что _> > перестановочна со всеми максимальными подгруппами из _> >. Эти два результата Хупперта дали толчок большому числу публикаций, cвязанных с исследованием влияния на строение основой группы максимальных подгрупп силовских подгрупп и, в частности, с исследованием перестановочности таких подгрупп. Другой результат, давший значительный импульс к исследованию групп с заданными системами перестановочных подгрупп был получен Асаадом и Шаланом в их совместной работе, где была доказана сверхразрешимость конечной группы _> > при условии, что _> >, где все подгруппы из _> > перестановочны со всеми подгруппами из _> >. Идеи этой работы и, в частности, отмеченный здесь результат этой работы были развиты во многих направлениях в исследованиях многих авторов, где на основе перестановочности были описаны многие важные классы конечных и бесконечных групп .

В работе Го Вэньбиня, Шама и А.Н. Скибы было рассмотрено новое обобщение понятия перестановочной подгруппы. Согласно, погруппы _> > и _> > называются _> >-перестановочными, где _> >, если в _> > имеется такой элемент _> >, что _> >. Используя понятие _> >-перестановочности можно охарактеризовать многие важные классы групп по наличию в них тех или иных _> >-перестановочных подгрупп для подходящих _> >. Согласно, группа _> > является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы _> >-перестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминах _> >-перестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах.

Таким образом, задача изучения групп с заданной системой перестановочных и обобщенно перестановочных подгрупп вполне актуальна, и дальнейшей ее реализации посвящена данная работа.

1. Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами

Результаты, связанные с изучением максимальных подгрупп, составили одно из самых содержательных направлений в теории конечных групп. Это связано прежде всего с тем, что многие известные классы групп допускают описания на основе свойств максимальных подгрупп. Отметим, например, что группа _> > нильпотентна тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы нормальны; сверхразрешима тогда и только тогда, когда индексы всех ее максимальных подгрупп просты ; разрешима тогда и только тогда, когда у любой ее максимальной подгруппы нормальный индекс совпадает с обычным индексом . Отметим также, что максимальные подгруппы лежат в основе многих важных признаков принадлежности группы выделенному классу групп. Наиболее известными результатами в этом направлении являются теорема Дескинса-Томпсона-Янко о том, что группа разрешима, если она обладает максимальной нильпотентной подгруппой, у которой класс нильпотентности силовских _> >-подгрупп не превосходит 2 и теорема О.Ю. Шмидта о разрешимости группы, у которой все максимальные подгруппы нильпотентны. Отметим, что разрешимость групп, у которых все максимальные подгруппы сверхразрешимы, была установлена Хуппертом.

По мере развития теории максимальных подгрупп многими авторами предпринимались также попытки изучения и применения _> >-максимальных, _> >-максимальных и т.д. подгрупп. При этом, как и для максимальных подгрупп, с одной стороны рассматривались группы с различными ограничениями на способ вложения обобщенно максимальных подгрупп в эти группы, с другой стороны исследовались свойства основной группы в зависимости от условий, накладываемых на внутреннее строение _> >-максимальных, _> >-максимальных и т.д. подгрупп. Пожалуй, наиболее ранний результат, относящийся к этому направлению, был получен Хуппертом, установившим сверхразрешимость группы, у которой все вторые максимальные подгруппы нормальны. В дальнейшем этот результат был развит в нескольких направлениях. В частности, сверхразрешимость разрешимых групп, у которых все вторые максимальные подгруппы перестановочны со всеми силовскими подгруппами было установлена Агровалем , а в работе Л.А. Поляков доказал, что группа сверхразрешима, если любая ее _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми максимальными подгруппами этой группы .

Оказалось, что группы, у которых все _> >-максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все _> >-максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их _> >-максимальные подгруппы сверхразрешимы.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов о _> >-максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке _> >-максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа _> > группы _> > обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора _> > группы _> > выполняется одно из двух условий _> > или _> >. В работе доказано, что группа _> > разрешима тогда и только тогда, когда в _> > имеется такая _> >-максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от _> >-максимальных подгрупп их силовских подгрупп.

Пусть _> > и _> > - подгруппы группы _> >. Тогда подгруппа _> > называется _> >-перестановочной с _> >, если в _> > найдется такой элемент _> >, что _> >. В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия _> > -перестановочности для _> >-максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа _> > нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой _> >-максимальной подгруппы _> > группы _> >, имеющей непримарный индекс, в _> > найдется такая нильпотентная подгруппа _> >, что _> > и _> > _> >-перестановочна со всеми подгруппами из _> >.

Пусть _> > - набор всех _> >-максимальных подгрупп группы _> >.

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из _> >, существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа _> > разрешима, если любая подгруппа из _> > перестановочна со всеми подгруппами из _> > для всех _> >, где _> >. В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы с _> >-перестановочными _> >-максимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть _> > - группа, _> > - ее подгруппа Фиттинга. Если любая _> >-максимальная подгруппа группы _> > _> >-перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы _> >, то группа _> > метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть _> > - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в _> > подгруппы _> > факторгруппа _> > метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная в _> > подгруппа и _> > - произвольная _> >-максимальная _> > подгруппа. Тогда _> > максимальна в _> > и _> > _> >-максимальна в _> >, а значит, по условию подгруппа _> > _> >-перестановочна с подгруппой _> >. Но тогда, согласно лемме Error: Reference source not found, подгруппа _> > _> >-перестановочна с подгруппой _> >. Итак, условие теоремы выполняется в _> >. Но _> > и поэтому согласно выбора группы _> >, мы имеем (1).

(2) _> > - разрешимая группа.

Если в группе _> > существует единичная _> >-максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе _> > все _> >-максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы _> > группы _> >, _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда по условию для каждого _> >, мы имеем _> >. Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > и, следовательно, _> >. Значит, _> >. Поскольку _> >, то _> > и поэтому по выбору группы _> > мы заключаем, что _> > - разрешимая группа. Это означает, что _> > разрешима, и следовательно, _> > - разрешимая группа.

(3) Группа _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> > и _> >, где _> > и _> > - максимальная в _> > подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть _> > - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы _> >. Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму Error: Reference source not found), то _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа в _> >, причем _> >. В силу (2), _> > является элементарной абелевой _> >-группой для некоторого простого _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа в _> > такая, что _> >. Пусть _> >. Ясно, что _> >. Так как _> >, мы видим, что _> >. Это показывает, что _> > и, следовательно, _> >. Ясно, что _> > и поэтому по выбору группы _> >, _> > не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе _> > имеется максимальная подгруппа _> >, которая не является нормальной подгруппой в _> >. Поскольку для любого _> >, _> > - максимальная в _> > подгруппа и _> > - максимальная подгруппа в _> >, то _> > - _> >-максимальная в _> > подгруппа. Если _> > - нормальная подгруппа в _> >, то _> >. Значит, _> > не является нормальной подгруппой в _> >. Покажем, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> >. Пусть _> > - такая максимальная подгруппа группы _> >, что _> >. Тогда _> >. Значит, _> > или _> >. Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, _> >. Так как _> >, то _> > - максимальная в _> > подгруппа. Тогда для любого _> >, _> > _> >-перестановочна с _> >. Поскольку _> >, то ввиду леммы Error: Reference source not found(6), _> > перестановочна с _> >. Из максимальности подгруппы _> > следует, что _> > или _> >. Если _> >, то ввиду леммы Error: Reference source not found, _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. Тогда _> > для любого _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> >. Это означает, что _> > - нормальная подгруппа в _> >, противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна с любой максимальной подгруппой в _> > тогда и только тогда, когда либо _> > нильпотентна, либо _> > - такая ненильпотентная группа с _> >, что циклическая силовская _> >-подгруппа _> > группы _> > не нормальна в _> >, а максимальная подгруппа группы _> > нормальна в _> >.

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы _> > следует из теоремы Error: Reference source not found. Предположим теперь, что _> > не является нильпотентной группой. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, которая не является нормальной в _> >. Пусть _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Рассуждая как выше видим, что _> >. Следовательно, _> >, и _> > - циклическая примарная группа. Пусть _> >. Покажем, что _> >. Допустим, что _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и, следовательно, по условию _> > - подгруппа группы _> >, что противоречит максимальности подгруппы _> >. Отсюда следует, что _> >.

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе _> > любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > и _> >, то _> > - нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть _> > - группа, _> > - ее подгруппа Фиттинга. Если любая _> >-максимальная подгруппа группы _> > _> >-перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >, то группа _> > разрешима и _> > для каждого простого _> >.

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть _> > - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) _> > - разрешимая группа.

Действительно, если _> >, то каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы _> >. Тогда по следствию Error: Reference source not found, каждая максимальная подгруппа группы _> > сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта Error: Reference source not found о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, _> > - разрешимая группа.

Пусть теперь _> >. Так как условие теоремы справедливо для группы _> >, то группа _> > разрешима и поэтому _> > - разрешимая группа.

(2) Группа _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

_>> и _> >,

где _> > - такая максимальная в _> > подгруппа, что _> >, _> > и _> >.

Так как класс всех разрешимых групп _> > с _> > образует насыщенную формацию , то ввиду (1), _> > и поэтому в группе _> > существует единственная минимальная нормальная подгруппа _> >. Из леммы Error: Reference source not found вытекает, что _> >, где _> > - такая максимальная в _> > подгруппа, что _> > и _> >. Покажем, что _> > делит _> >. Если _> > не делит _> >, то _> > - _> >-группа, и поэтому _> >, что противоречит выбору группы _> >. Итак, _> > делит _> >. Допустим, что _> >. Тогда факторгруппа _> > изоморфна подгруппе группы автоморфизмов _> >. Так как группа _> > абелева, то _> > - сверхразрешимая группа, и поэтому _> >. Полученное противоречие с выбором группы _> > показывает, что _> >.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > и _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> > является максимальной подгруппой группы _> >. Покажем, что _> > - максимальная подгруппы группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Так как _> >, то _> > - собственная подгруппа группы _> >. Предположим, что в _> > существует подгруппа _> > такая, что _> >. Тогда из того, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >, следует, что либо _> >, либо _> >. Если _> >, то _> >, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что _> >. Следовательно, _> > - максимальная подгруппа в _> >. Рассуждая как выше, мы видим, что _> > и _> > - максимальные подгруппы группы _> >. Отсюда следует, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. По условию существует элемент _> > такой, что _> >. Следовательно,

_>>

и поэтому _> >. Таким образом, каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы _> >. Ввиду (2) и следствия Error: Reference source not found, получаем, что _> >, где силовская _> >-подгруппа нормальна в группе _> >. Значит, _> >, где _> > и _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа и _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Пусть _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> >. Так как _> >, то _> > - неединичная подгруппа. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Следовательно, по условию подгруппа _> > _> >-перестановочна с _> >, и поэтому для некоторого _> > мы имеем _> > - подгруппа группы _> >. Поскольку _> >, то _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Так как _> >, то _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Получили противоречие с тем, что _> > - минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

Если все максимальные подгруппы группы _> > имеют простые порядки, то _> > сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе _> > все _> >-максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия Error: Reference source not found группа _> > либо нильпотентна, либо _> >, где _> > - подгруппа простого порядка _> > и _> > - циклическая _> >-подгруппа, которая не является нормальной в _> > подгруппой (_>> - различные простые числа). Предположим, что _> > не является нильпотентной группой. Тогда _> >. Поскольку _> >, то _> > - максимальная подгруппа группы _> > и поэтому _> >. Так как группа порядка _> > разрешима, то группа _> > разрешима. Значит, _> > - нормальная в _> > подгруппа и поэтому главные факторы группы _> > имеют простые порядки. Следовательно, _> > - сверхразрешимая группа. Лемма доказана.

Если в группе _> > каждая максимальная подгруппа _> >, индекс _> > которой является степенью числа _> >, нормальна в _> >, то _> > - _> >-нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть _> > - контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы _> > группы _> > факторгруппа _> > _> >-нильпотентна.

Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> > явяется степенью числа _> >. Тогда _> > - максимальная в _> > подгруппа и _> > является степенью числа _> >. По условию, _> > нормальна в _> >, и поэтому _> > нормальна в _> >. Так как _> >, то _> > - _> >-нильпотентная группа.

(2) Группа _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> > и _> > - _> >-подгруппа.

Пусть _> > - минимальная нормальная подгруппа группы _> >. Так как класс всех _> >-нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), _> > и _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> >. Предположим, что _> > - _> >-подгруппа. Тогда _> > для некоторой _> >-холловой подруппы _> > группы _> >. Поскольку ввиду (1), _> > нормальна в _> >, то _> > - нормальная подгруппа в группе _> >, противоречие. Следовательно, _> > - элементарная абелева _> >-подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, не содержащая _> >. Поскольку _> > абелева, то _> > и поэтому _> >. Это влечет _> >. Следовательно, _> > для некоторого _> >. Значит, _> > - нормальная в _> > подгруппа и поэтому _> >, противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть _> > - группа, _> > - ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы _> > _> >-перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >, то группа _> > разрешима и _> > для каждого простого _> >.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть _> > - контрпример минимального порядка.

(1) _> > - непростая группа. Допустим, что _> >. Поскольку ввиду леммы Error: Reference source not found(3), условие теоремы выполняется для факторгруппы _> >, то по выбору группы _> >, _> > разрешима и поэтому _> > - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что _> > и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами в _> >.

Предположим, что все _> >-максимальные подгруппы группы _> > единичны. Тогда порядок каждой _> >-максимальной подгруппа группы _> > является делителем простого числа. Следовательно, любая максимальная подгруппа группы _> > либо нильпотентна (порядка _> > или _> >), либо является ненильпотентной подгруппой и имеет порядок _> >. Значит, все максимальные подгруппы сверхразрешимы. Но ввиду теоремы Error: Reference source not found, мы получаем, что _> > разрешима. Это противоречие показывает, что в группе _> > существует неединичная _> >-максимальная подгруппа _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, содержащая _> >. Тогда для любого _> >, _> >. Если _> >, то ввиду леммы Error: Reference source not found, _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. Тогда _> >, что влечет _> >. Следовательно, _> > - неединичная нормальная подгруппа в _> > и поэтому группа _> > непроста.

(2) Для любой неединичной нормальной в _> > подгруппы _> > факторгруппа _> > разрешима (это прямо вытекает из леммы Error: Reference source not found(3)).

(3) Группа _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> > и _> >, где _> > - такая максимальная в _> > подгруппа, что _> >.

Пусть _> > - произвольная минимальная нормальная подгруппа группы _> >. Так как ввиду леммы Error: Reference source not found, класс всех разрешимых групп c _> >-длиной _> > образует насыщенную формацию, то _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа в _> >, причем _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> >. Ясно, что _> >. Поскольку _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа в _> >, то _> >.

(4) _> > - разрешимая группа.

Допустим, что _> > - неразрешимая группа. Тогда _> > и по выбору группы _> > мы заключаем, что _> > - прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп. Кроме того, и единичная подгруппа не содержится среди _> >-максимальных подгрупп группы _> >.

Пусть _> > - произвольная _> >-максимальная подгруппа, содержащаяся в _> >. Используя приведенные выше рассуждения, видим, что _> >. Следовательно, порядок любой _> >-максимальной подгруппы группы _> >, содержащейся в _> >, равен простому числу. Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > - разрешимая группа. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, содержащая _> >. Так _> > - простое число, то либо _> >, либо _> >. Пусть имеет место первый случай. Тогда _> >, и поскольку _> > - простое число, то _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Из того, что индекс _> > равен простому числу, следует, что _> > - максимальная подгруппа группы _> > и поэтому _> > - _> >-максимальная подгруппа в _> >. Так как _> > - неабелевая подгруппа, то в ней существует неединичная максимальная подгруппа _> >. Понятно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа в _> > и поэтому по условию перестановочна с _> >. В таком случае, _> >. Но _> > - собственная подгруппа в _> > и поэтому _> >. Это противоречие показывает, что _> >. Следовательно, _> >. Поскольку _> > - простое число, то _> > - максимальная подгруппа в _> >. Из того, что группа _> > есть прямое произведение изоморфных простых неабелевых групп, следует, что в _> > имеется неединичная _> >-максимальная подгруппа _> >. Тогда _> > _> >-максимальна в _> > и следовательно, _> >. Таким образом _> >. Это влечет _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > - разрешимая группа.

(5) Заключительное противоречие.

Из (3) и (4) следует, что _> > - элементарная абелева _> >-группа для некоторого простого числа _> > и поэтому _> >. Покажем, что _> > делит _> >. Если _> > не делит _> >, то _> > - _> >-группа, и поэтому _> >, что противоречит выбору группы _> >. Итак, _> > делит _> >. Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> >.

Пусть _> > - произвольная максимальная в _> > подгруппа с индексом _> >, где _> > и _> >. Тогда _> >, где _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >.

Предположим, что _> > не является нормальной в _> > подгруппой. Ясно, что _> > - максимальная в _> > подгруппа. Если _> > - нормальная подгруппа в _> >, то _> >. Значит, _> > не является нормальной подгруппой в _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная в _> > подгруппа и поэтому _> > - _> >-максимальная в _> > подгруппа для любого _> >. Поскольку по условию _> > _> >-перестановочна с подгруппой _> > и _> >, то _> > перестановочна с подгруппой _> > и поэтому _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная в _> > подгруппа. Так как _> > и _> > не является нормальной подгруппой в _> >, то _> > и поэтому _> > - нормальная погруппа в _> >. Следовательно, _> > - нормальная в _> > подгруппа. Это влечет, что _> >. Ввиду произвольного выбора _> >, получаем, что каждая максимальная подгруппа группы _> > нормальна в _> >. Значит, _> > - нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в _> > нормальна в _> >. Предположим, что _> >. Поскольку _> > и _> > разрешима, то в группе _> > существует минимальная нормальная _> >-подгруппа _> >, где _> >. Так как _> > - максимальная в _> > подгруппа, то _> >. Это влечет, что _> >. Следовательно, группа _> > обладает главным рядом

_>>

и поэтому _> >. Полученное противоречие с выбором группы _> > показывает, что _> >. Пусть _> > - такая максимальная подгруппа группы _> >, что _> >. Тогда _> >. Это влечет _> >, что противоречие тому, что _> >.

Следовательно, _> > - нормальная подгруппа в _> >. Согласно лемме Error: Reference source not found, _> > - _> >-нильпотентная группа и поэтому _> >. Ввиду произвольного выбора _> >, получаем, что _> > для любого _> > и _> >. Ясно, что _> >, что противоречит _> >. Теорема доказана.

3. Группы, в которых _> >-максимальные подгруппы перестановочны с _> >-максимальными подгруппами

Целью данного раздела является описание ненильпотентных групп, у которых каждая _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобится следующая лемма.

[3.1]. Пусть _> > - группа Шмидта. Тогда в том и только том случае каждая 2-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы _> >, когда группа _> > имеет вид:

(1) _> > - группа Миллера-Морено;

(2) _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> >, _> > - группа порядка _> >.

Доказательство. Необходимость. Предположим, что _> > - группа Шмидта, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы _> >. Докажем, что в этом случае, либо _> > - группа Миллера-Морено, либо _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >. Предположим, что это не так и пусть _> > - контрпример минимального порядка.

Так как _> > - группа Шмидта, то ввиду леммы Error: Reference source not found(I), _> >, где _> > - силовская _> >-подгруппа в _> >, _> > - циклическая _> >-подгруппа.

Покажем, что _> > - группа простого порядка. Предположим, что это не так. Тогда в группе _> > имеется собственная подгруппа _> > простого порядка. Ввиду леммы Error: Reference source not found(IV), _> > и, следовательно, _> > - нормальная подгруппа в группе _> > и _> > - группа Шмидта.

Понятно, что в группе _> > каждая 2-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы _> >.

Поскольку _> >, то _> > и поэтому по выбору группы _> > мы заключаем, что либо _> > - группа Миллера-Морено, либо _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >.

В первом случае _> > - абелева подгруппа и, следовательно, _> > - группа Миллера-Морено. Полученное противоречие с выбором группы _> > показывает, что _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >. Тогда _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - циклическая группа порядка _> >. Пусть _> > - такая максимальная подгруппа группы _> >, что _> >. Если _> >, то _> >. Поскольку _> > - группа Шмидта, то _> > нильпотентна, и поэтому _> >. Это означает, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. Следовательно, _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Понятно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - подгруппа группы _> > с индексом _> >. Ясно, что _> > - _> >-макимальная подгруппа группы _> >. Так как по условию _> > и _> > перестановочны, то _> > - подгруппа группы _> >, индекс которой равен _> >. Рассуждая как выше, видим, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > - группа простого порядка.

Пусть _> > - произвольная максимальная подгрупа в _> > и _> > - максимальная подгруппа в _> >. Так как _> > неабелева, то _> > - неединичная подгруппа. Из того, что _> > - максимальная подгруппа в _> >, следует, что _> > - 3-максимальная подгруппа в _> >.

Ввиду леммы (II), _> > - максимальная подгруппа в _> >. Рассмотрим максимальную в _> > подгруппу _> >, такую что _> >. Тогда

_>>

и _> > - 2-максимальная подгруппа в _> >. По условию подгруппы _> > и _> > перестановочны. Если _> >, то используя лемму (V), имеем

_>>

Из того, что _> > получаем, что порядок _> > делит _> >. Поскольку _> >, то полученное противоречие показывает, что _> > - собственная подгруппа группы _> >. Следовательно, _> > нильпотентна, и поэтому

_>>

Значит, либо _> > - максимальная подгруппа в _> >, либо _> >. В первом случае получаем, что _> > является единственной максимальной подгруппой в _> >. Это означает, что _> > - циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы _> >. Следовательно, первый случай невозможен. Итак, _> >. Ввиду произвольного выбора _> > получаем, что _> > - единственная _> >-максимальная подгруппа в группе _> >. Из теоремы Error: Reference source not found следует, что _> > - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка _> >. Так как первый случай очевидно невозможен, то _> > - группа кватернионов порядка _> >. Поскольку подгруппа _> > изоморфна погруппе группы автоморфизмов _> >, то _> >. Полученное противоречие с выбором группы _> > доказывает, что либо _> > - группа Миллера-Морена, либо _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >.

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Error: Reference source not found. В ненильпотентной группе _> > каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > тогда и только тогда, когда группа _> > имеет вид:

(1) _> > - группа Миллера-Морена;

(2) _> > - группа Шмидта, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >;

(3) _> > и _> >,

где _> > - группа простого порядка _> >, _> > - нециклическая _> >-группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от _> >, цикличны;

(4) _> >,

где _> > - группа порядка _> >, _> > - группа простого порядка _> >, отличного от _> >;

(5) _> >,

где _> > - группа порядка _> >, каждая подгруппа которой нормальна в группе _> >, _> > - циклическая _> >-группа и _> >;

(6) _> >,

где _> > - примарная циклическая группа порядка _> >, _> > - группа простого порядка _> >, где _> > и _> >;

(7) _> >,

где _> > и _> > - группы простых порядков _> > и _> > (_>>), _> > - циклическая _> >-подгруппа в _> > (_>>), которая не является нормальной в _> >, но максимальная подгруппа которой нормальна в _> >.

Доказательство. Необходимость. Пусть _> > - ненильпотентная группа, у которой каждая 2-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы _> >.

Если в группе _> > все максимальные подгруппы нильпотентны, то группа _> > является группой Шмидта. Ввиду леммы, группа _> > оказывается группой типа (1) или типа (2).

Итак, мы можем предположить, что в группе _> > существует ненильпотентная максимальная подгруппа.

Из теоремы следует, что группа _> > разрешима. Так как в разрешимой группе индекс любой максимальной подгруппы является степенью простого числа, то _> >.

I. _> >.

Пусть _> > - некоторая силовская _> >-подгруппа в _> > и _> > - некоторая силовская _> >-подгруппа в _> >, где _> >.

Предположим, что в группе _> > нет нормальных силовских подгрупп. Так как группа _> > разрешима, то в _> > существует нормальная подгруппа _> > простого индекса, скажем индекса _> >, и она не является нильпотентной группой. Действительно, если _> > нильпотентна, то в ней нормальна силовская _> >-подгруппа _> >. Так как _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Из того, что _> > следует, что _> > - нормальная силовская _> >-подгруппа в _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > не является нильпотентной подгруппой.

Так как _> > является максимальной подгруппой в _> >, то по условию все 2-максимальные подгруппы группы _> > перестановочны с каждой максимальной подгруппой группы _> >. Ввиду следствия Error: Reference source not found, группа _> > имеет вид _> >, где _> > - группа простого порядка _> > и _> > - циклическая _> >-подгруппа.

Так как

_>>

и факторгруппа _> > изоморфна подгруппе из _> >, то _> > больше _> >.

Если _> > - нильпотентная группа, то _> > и поэтому согласно теореме Бернсайда Error: Reference source not found, группа _> > _> >-нильпотентна. Но тогда _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > является ненильпотентной группой. Так как _> > - нормальная подгруппа в _> >, то ввиду следствия Error: Reference source not found, подгруппа _> > имеет вид _> >, где _> > - циклическая _> >-подгруппа, и, следовательно, _> >. Полученное противоречие показывает, что в группе _> > существует нормальная силовская подгруппа.

Пусть, например, такой является силовская _> >-подгруппа _> > группы _> >. Пусть _> >. Ясно, что _> >.

Если в группе _> > существует подгруппа Шмидта _> >, индекс которой равен _> >, то _> >. Ввиду следствия Error: Reference source not found, _> > - группа порядка _> >.

Пусь _> >. Допустим, что _> > - циклическая подгруппа. В этом случае, группа _> > является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы _> > показывает, что _> > - нециклическая подгруппа. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Если _> > - нильпотентная подгруппа, то группа _> > нильпотентна, противоречие. Следовательно, _> > - группа Шмидта, и поэтому _> > - циклическая подгруппа. Таким образом, группа _> > относится к типу (3).

Пусть _> >. Тогда _> >. Следовательно, _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >. Если _> > - нильпотентная подгруппа, то _> >, и поэтому _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > - группа Шмидта. Значит, _> > - циклическая подгруппа. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Так как _> >, то _> > - единственная _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Следовательно, _> >. Факторгруппа _> >, где _> > - элементарная абелева подгруппа порядка _> > и _> >. Так как _> > - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы _> >, то _> > - циклическая группа, и поэтому подгруппа _> > циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе _> > является степенью числа _> >.

Так как в группе _> > существуют собственные подгруппы Шмидта, то _> >. Пусть _> > - подгруппа Шмидта группы _> >. Тогда _> > для некоторого _> >. Понятно, что для некоторого _> > имеет место _> > и поэтому не теряя общности мы может полагать, что _> >. Поскольку _> >, то _> >. Из того, что _> >, следует, что _> >.

Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то по условию 2-максимальные подгруппы группы _> > перестановочны со всеми максимальными подгруппами в _> >. Используя следствие, мы видим, что _> > - группа простого порядка и _> > - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы _> > нормальны в _> >. Следовательно, _> > является максимальной подгруппой группы _> >.

Предположим, что _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> >. Из того, что _> >, следует, что _> > - нильпотентная максимальная подгруппа в _> >. Значит, _> > - нормальная подгруппа в _> >. Поскольку _> > нормальна в _> >, то _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Так как _> >, то в группе _> > существует 2-максимальная подгруппа _> > такая, что _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа в _> >, и следовательно, _> > - _> >-максимальная подгруппа в _> >. Поскольку по условию _> > перестановочна с _> >, то

_>>

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы _> >. Следовательно, _> >.

Предположим теперь, что _> >. Допустим, что _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> > и _> > - произвольная _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Рассуждая как выше видим, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> > и поэтому _> > - подгруппа группы _> >. Используя приведенные выше рассуждения видим, что _> >. Полученное противоречие с максимальностью подгруппы _> > показывает, что _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, такая что _> >. Так как _> >, то _> > - абелева и поэтому _> >. Следовательно, _> >. Так как _> >, то _> >. Из того, что

_>>

получаем, что _> >, и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >.

Предположим, что в группе _> > существует подгруппа _> > порядка _> >, отличная от _> >. Из того, что порядок _> > следует, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Отсюда следует, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Так как по условию подгруппы _> > и _> > перестановочны, то мы имеем

_>>

Следовательно, _> > - подгруппа группы _> >, и поэтому

_>>

Это противоречие показывает, что в группе _> > существует единственная подгруппа порядка _> >. Ввиду теоремы Error: Reference source not found, группа _> > является либо группой кватернионов порядка _> >, либо является циклической группой порядка _> >. В первом случае, подгруппа _> > порядка _> > группы _> > содержится в центре _> > группы _> >, и поэтому подгруппа _> > не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит, _> > - циклическая подгруппа порядка _> >. Понятно, что _> >. Если _> >, то подгруппа _> > нормальна в группе _> >, и поэтому _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. Таким образом, _> > - группа типа (6). Пусть теперь _> >. Если порядок _> >, то _> >, и поэтому _> > - группа типа (4). Предположим, что порядок _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Из того, что _> >, следует, что _> > - неединичная подгруппа. Так как подгруппа _> > нильпотентна, то _> >. Но как мы уже знаем, _> > - циклическая подгруппа и поэтому _> >. Следовательно, _> >. Пусть _> > - произвольная подгруппа порядка _> > группы _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Значит, по условию подгруппы _> > и _> > перестановочны. Так как _> > - абелева подгруппа, то _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Заметим, что поскольку _> >, то

_>>

является нормальной подгруппой в _> > и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Это означает, что _> > - группа типа (5).

II. _> >.

Пусть _> > - некоторая силовская _> >-подгруппа группы _> >, _> > - некоторая силовская _> >-подгруппа группы _> > и _> > - некоторая силовская _> >-подгруппа группы _> >, где _> > - различные простые делители порядка группы _> >. Пусть _> > - произвольная нормальная максимальная подгруппа группы _> >. Так как _> > - разрешимая группа, то индекс подгруппы _> > в группе _> > равен некоторому простому числу. Пусть, например, индекс _> > равен _> >. Ввиду следствия Error: Reference source not found, _> > - либо нильпотентная подгруппа, либо ненильпотентная группа порядка _> >.

1. Предположим, что _> > - нильпотентная подгруппа. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> > и _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Тогда _> >. Так как _> > и _> >, то _> > и _> > - нормальные подгруппы в группе _> >. Из того, что индекс подгруппы _> > равен _> >, следует, что _> > и _> > - силовские подгруппы группы _> > и поэтому _> > и _> >. Понятно, что для некоторого _> > имеет место _> > и поэтому, не теряя общности, мы можем полагать, что _> >. Следовательно, _> >. Ясно, что _> > не является нормальной подгруппой в группе _> >.

Если подгруппы _> > и _> > нильпотентны, то _> > и _> >, и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Значит, подгруппы _> > и _> > не могут быть обе нильпотентными подгруппами. Следовательно, возможны следующие случаи.

а) _> > и _> > - группы Шмидта.

Так как _> >, то ввиду следствия Error: Reference source not found, _> > - подгруппа простого порядка _> > и _> > - циклическая подгруппа, которая не является нормальной в группе _> >, но максимальная подгруппа _> > группы _> > нормальна в _> >. Аналогично видим, что _> > - подгруппа простого порядка _> > и _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> >, и поэтому _> > является группой типа (7).

б) Одна из подгрупп _> >, _> > является нильпотентной, а другая - группой Шмидта.

Пусть например, _> > - группа Шмидта и _> > - нильпотентная подгруппа. Из следствия следует, что _> > - группа простого порядка _> >, _> > - циклическая группа и максимальная подгруппа _> > из _> > нормальна в _> >. Так как _> > - нильпотентная группа, то _> >. Из того, что _> > следует, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Значит, ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > - нормальная максимальная подгруппа в группе _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> > - группа простого порядка _> >.

Из того, что _> > - нильпотентная подгруппа и _> > - циклическая группа следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> >. Следовательно, _> > - нормальная подгруппа в группе _> >, т.е. _> > - группа типа (7).

2. Предположим теперь, что _> > - ненильпотентная группа.

Из следствия следует, что _> >, где _> > - группа простого порядка _> > и _> > - циклическая группа, которая не является нормальной в группе _> >, но максимальная подгруппа _> > из _> > нормальна в _> >. Так как _> > - характеристическая подгруппа в _> > и _> > - нормальная подгруппа в _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Из того, что _> > - нормальная максимальная подгруппа в группе _> >, следует, что _> > - группа простого порядка _> >.

Покажем теперь, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Так как _> >, то _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > для любого _> >. По условию _> > - подгруппа группы _> >. Поскольку порядок

_>>

делит _> >, то _> >. Таким образом _> > для любого _> >, т.е. _> >. Так как _> > - нормальная подгруппа в группе _> >, то _> >, и поэтому _> >. Отсюда получаем, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Поскольку _> > - _> >-максимальная подгруппа, то согласно следствия, _> > - нильпотентная группа, и поэтому _> >. Это означает, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Таким образом, группа _> > является группой типа (7).

Итак, _> > - группа одного из типов (1) - (7) теоремы.

Достаточность. Покажем, что в группе _> > каждая _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Пусть _> > - группа типа (1) или (2). Ввиду леммы Error: Reference source not found, в группе _> > каждая _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Пусть _> > - группа типа (3). Тогда _> > и _> >, где _> > - группа простого порядка _> >, _> > - нециклическая группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от _> >, цикличны. Пусть _> >.

Так как _> >, то _> >, и поэтому в группе _> > существует нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен _> >. Пусть _> > - произвольная нильпотентная максимальная подгруппа группы _> > с индексом _> >. Тогда _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >, и следовательно,

_>>

Значит, _> > - единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен _> >.

Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа в _> > и _> > - максимальная подгруппа в _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа в _> >, _> > - максимальная подгруппа в _> >, _> > - максимальная подгруппа в _> >.

1. Если _> > и _> > - нильпотентные подгруппы группы _> > индекса _> >, то _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >, и следовательно, _> > перестановочна с _> >.

2. Предположим, что _> > является ненильпотентной подгруппой. Так как _> >, то _> >. Из того, что _> >, следует, что _> > - циклическая подгруппа. Так как _> >, то _> > - максимальная подгруппа группы _> >, и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Из того, что _> >, следует, что _> >. Следовательно, _> > - нильпотентная максимальная подгруппа группы _> >, индекс которой равен _> >. Если _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> >, то _> > - _> >-подгруппа, и поэтому _> > - нильпотентная подгруппа. Пусть _> > - произвольная максимльная подгруппа группы _> >, индекс которой _> > равен _> >. Так как _> >, то _> >. Следовательно, для некоторого _> > мы имеем _> >. Без ограничения общности можно полагать, что _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа циклической группы _> >, то _> >, и поэтому _> > - нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, _> > - группа Шмидта. Значит, _> > и поэтому _> >, где _> > - циклическая _> >-подгруппа.

Если _> >, то _> >. Так как _> > - подгруппа циклической группы _> >, то _> >. Из того, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >, следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> > и поэтому _> >. Это означает, что подгруппа _> > перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы _> >.

Если _> >, то _> > - подгруппа циклической группы _> > и поэтому _> > - нормальная подгруппа в _> >. Так как группа _> > нильпотентна, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> > и поэтому _> > перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы _> >.

3. Предположим теперь, что _> > - нильпотентная группа, такая что _> >, и _> > не является нильпотентнай подгруппой. Тогда _> >. Рассуждая как выше видим, что _> > - группа Шмидта. Так как _> >, то _> > имеет вид

_>>,

где _> > - циклическая _> >-группа.

Если _> >, то _> >. Но _> > - подгруппа циклической группы _> > и поэтому _> >. Из того, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >, следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что _> > - нормальная подгруппа в группе _> > и поэтому мы имеем _> >, что влечет перестановочность подгруппы _> > со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >, в частности с _> >.

Если _> >, то подгруппа _> > содержится в некоторой силовской _> >-подгруппе _> > группы _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Значит, _> > - нормальная подгруппа в _> >. Так как _> > - нильпотентная группа, такая что _> >, то _> >. Ясно, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Если _> >, то _> > имеет вид _> >. Так как _> >, то имеет место _> > и поэтому

_>>.

Это означает, что подгруппы _> > и _> > перестановочны. Если _> >, то _> > и поэтому _> >. Следовательно, подгруппы _> > и _> > перестановочны.

4. Если _> >, то подгруппа _> > является максимальной подгруппой группы _> > индекса _> > и _> > - 2-максимальная подгруппа в _> >. Но подгруппы такого вида уже изучены.

5. Если _> >, то подгруппа _> > является максимальной подгруппой группы _> > с индексом _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы _> > группы _> > перестановочны со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Это означает, что в любом случае _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Легко видеть, что в группе _> > типа (4) каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Пусть _> > - группа типа (5). Легко видеть, что в группе _> > все _> >-максимальные подгруппы группы _> > нормальны в группе _> >. Таким образом, каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >.

Пусть _> > - группа типа (6). Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Понятно, что либо _> >, либо _> >, где _> >. Отсюда следует, что _> > - единственная неединичная _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Так как _> >, то _> > - нормальная подгруппа в группе _> >, и поэтому подгруппа _> > перестановочна со всеми _> >-максимальнаыми подгруппами группы _> >.

Пусть _> > - группа типа (7). Тогда _> >, где _> > - подгруппа группы _> > простого порядка _> >, _> > - подгруппа группы _> > простого порядка _> > и _> > - циклическая _> >-подгруппа группы _> >, которая не является нормальной подгруппой в группе _> >, но максимальная подгруппа группы _> > нормальна в _> >. Покажем, что в группе _> > любая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >. Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть _> > - контрпример минимального порядка.

Предположим, что _> >. Пусть _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Понятно, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Следовательно, _> > перестановочна с любой _> >-максимальной подгруппой группы _> >. Полученное противоречие с выбором группы _> > показывает, что _> >.

Пусть _> > - подгруппа группы _> > с индексом _> >. Так как _> >, то _> > - неединичная подгруппа группы _> >. Ясно, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Факторгруппа _> > имеет вид _> >, где _> > - силовская подгруппа порядка _> >, _> > - силовская подгруппа порядка _> >, _> > - циклическая силовская _> >-подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в _> >, но максимальная подгруппа _> > группы _> > нормальна в группе _> >. Поскольку _> >, то _> > и поэтому по выбору группы _> > мы заключаем, что любая _> >-максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >. Пусть _> > - произвольная _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Понятно, что _> > и _> >. Отсюда следует, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >, и поэтому

_>>

Следовательно, подгруппы _> > и _> > перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы _> > заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе _> > любая ее _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > и _> >, то _> > - нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов _> > группы кватернионов _> > имеется элемент _> > порядка _> >. Пусть _> >. Тогда _> > принадлежит типу (2). Действительно, пусть _> > - единственная подгруппа порядка 2 группы _> >. Тогда _> > и поэтому _> >. Понятно, что _> > - главный фактор группы _> > и кроме того, _> >. Таким образом, _> > - максимальная подгруппа группы _> > и все максимальные в _> > подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с _> >. Следовательно, _> > - группа Шмидта.

Пусть

_>>

и _> > - группа порядка 7. Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > - абелева группа порядка 9. Поскольку _> > изоморфна некоторой подгруппе _> > порядка 3 из группы автоморфизмов _> >, то _> > - группа операторов для _> > с _> >. Пусть _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> > и _> > не является нормальной подгруппой группы _> >. Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы _> >, отличные от _> >, цикличны и не являются нормальными подгруппами группы _> > и поэтому _> > - группа типа (3).

Пусть теперь _> > и _> > - такие простые числа, что _> > делит _> >. Тогда если _> > - группа порядка _> >, то в группе ее автоморфизмов _> > имеется подгруппа _> > порядка _> >. Пусть _> >, где _> > - группа порядка _> >. Тогда _> > - группа операторов для _> > с _> > и поэтому группа _> > принадлежит типу (3).

Пусть снова _> > и _> > - группы, введенные в примере, _> > и _> >, где _> > Пусть _> > - канонический эпиморфизм группы _> > на факторгруппу _> >. Пусть _> > - прямое произведение групп _> > и _> > с объединенной факторгруппой _> > (см. лемму Error: Reference source not found). Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Тогда _> >, где _> > и поэтому

_>>, где _> > _> >

Покажем, что _> >. Поскольку _> > и _> >, то _> >. Следовательно, _> > и поэтому _> >. Значит, _> >. Так как _> > и _> >, то _> > и поэтому _> > . Пусть _> > - неединичная подгруппа из _> >. Ясно, что _> >. Пусть _> >. Мы имеем

_>>

Значит, _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> > - нормальная погруппа в _> >. Таким образом, группа _> > принадлежит типу (5).

Пусть _> > - циклическая группа порядка _> >, где _> > - простое нечетное число. Согласно лемме Error: Reference source not found, _> >. Пусть теперь _> > - произвольный простой делитель числа _> > и _> > - группа порядка _> > в _> >. Обозначим символом _> > полупрямое произведение _> >. Пусть _> > - подгруппа порядка _> > группы _> >. Тогда _> > и поэтому если _> >, то согласно лемме Error: Reference source not found, _> >, что противоречит определению группы _> >. Следовательно, _> >, что влечет _> >. Значит, группа _> > принадлежит типу(6).

Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть _> > и _> > - группы нечетных простых порядков _> > и _> > соответственно (_>>). Тогда

_>>

и поэтому найдется такой простой делитель _> > числа _> >, который одновременно отличен от _> > и _> >. Пусть _> >, где _> > - группа порядка _> > в _> >. Тогда группа _> > принадлежит типу (7).

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с _> >-максимальными подгруппами

В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее _> >-максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.

Класс _> > всех таких абелевых групп _> >,что _> > не содержит кубов, является формацией.

Доказательство.

Пусть _> >. И пусть _> > - произвольная нормальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > абелева. Так как по определению экспоненты _> > делит _> > и поскольку _> > не содержит кубов, то _> > не содержит кубов. Следовательно, _> >.

Пусть _> > и _> >. Покажем, что

_>>.

Пусть _> >. Тогда _> >, где _> > и _> >. Так как _> >, то по определению экспоненты _> >. Из того, что _> > и _> > не содержат кубов, следует, что _> > не содержит кубов. Поскольку группа _> > изоморфна подгруппе из _> >, то _> > делит _> >, и поэтому _> > не содержит кубов. Так как группа _> > абелева, то _> >. Следовательно, _> > - формация. Лемма доказана.

[4.1]. Пусть _> >, где _> > - формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы _> > перестановочна с любой _> >-максимальной подгруппой группы _> >, то _> >.

Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть _> > - контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы _> > группы _> >, факторгруппа _> >.

Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Из того, что по условию подгруппы _> > и _> > перестановочны, мы имеем

_>>

Поскольку _> >, то _> > и поэтому по выбору группы _> > мы заключаем, что _> >.

(2) _> > имеет единственную минимальную нормальную подгруппу _> > для некоторого простого _> >, и _> > где _> > - максимальная подгруппа группы _> > с _> >.

Пусть _> > - минимальная нормальная подгруппа группы _> >. Ввиду леммы, _> > - разрешимая группа, и поэтому _> > - элементарная абелева _> >-группа для некоторого простого _> >. Так как _> > - насыщенная формация , то ввиду (1), _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> > и _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, не содержащая _> > и _> >. По тождеству Дедекинда, мы имеем _> >. Из того, что _> > абелева, следует, что _> > и поэтому _> >. Это показывает, что _> >, _> >.

(3) Заключительное противоречие.

Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы _> > группы _> > имеем _> >. Так как _> >, то _> >. Пусть _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Тогда по условию, _> > для каждого _> >. По лемме Error: Reference source not found, _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> >. Это означает, что каждая _> >-максимальная подгруппа группы _> > единичная, и следовательно, _> > - простое число для всех максимальных подгруппы _> > группы _> >. Так как _> > для некоторого простого _> >, то _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Это означает, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >.

Предположим, что _> >. Тогда в _> > имеется неединичная максимальная подгруппа _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >, и поэтому _> > перестановочна с _> >. Следовательно, _> >, но _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >.

Поскольку ввиду (1),

_>>, то _> > - нильпотентная подгруппа.

Из того, что _> > - неединичная нормальная подгруппа в группе _> >, следует, что _> >.

Так как факторгруппа _> > изоморфна подгруппе группы автоморфизмов _> > и группа автоморфизмов _> > группы _> > простого порядка _> > является циклической группой порядка _> >, то _> > абелева. Из того, что _> > и _> > не содержит кубов, следует, что _> > не содержит кубов. Это означает, что _> >. Следовательно, _> >, и поэтому _> > - нильпотентная подгруппа. Таким образом, _> >. Полученное противоречие с выбором группы _> > доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе _> > каждая максимальная подгруппа группы _> > перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > тогда и только тогда, когда группа _> > имеет вид:

(1) _> >,

где _> > - группа порядка _> > и _> > - группа порядка _> >, где _> >;

(2) _> >,

где _> > - минимальная нормальная подгруппа в _> > порядка _> > и _> > - группа порядка _> >, где _> >;

(3) _> >,

где _> > - группа порядка _> > и _> > - группа порядка _> >, где _> >.

(4) _> >,

где _> > - группа порядка _> > и _> > - группа порядка _> >, где _> > - различные простые делители порядка группы _> >.

Доказательство. Необходимость. Так как ввиду теоремы, группа _> > разрешима, то _> >, где _> > - примитиватор группы _> > и _> > - единственная минимальная нормальная подгруппа группы _> >, _> >. Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> >.

Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. По условию подгруппы _> > и _> > перестановочны. Следовательно, для любого _> >, _> > - подгруппа группы _> >, и поэтому либо _> >, либо _> >. Ввиду леммы, первый случай не возможен. Следовательно, _> >. Это означает, что _> > для любого _> >. Значит, _> >. Следовательно, в группе _> > все _> >-максимальные подгруппы единичны. Это означает, что либо _> >, либо _> >, либо _> >.

1. Пусть _> >. Если _> >, то группа _> > принадлежит типу (1). Если _> >, то группа _> > принадлежит типу (3).

2. Пусть _> >. Допустим, что _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. По условию подгруппы _> > и _> > перестановочны. Следовательно, _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. В этом случае _> > - группа типа (2).

3. Пусть _> >. Рассуждая как выше, видим, что _> >. Значит, _> > - группа типа (4).

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

Поскольку в любой нильпотентной группе максимальная подгруппа нормальна, то все они перестановочны со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> >. Опишем теперь ненильпотентные группы, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подруппами.

[4.2]. В ненильпотентной группе _> > каждая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > тогда и только тогда, когда либо _> > где _> > - различные простые числа и _> > либо _> > - группа типа (2) из теоремы Error: Reference source not found, либо _> > - сверхразрешимая группа одного из следующих типов:

(1) _> >,

где _> > - группа простого порядка _> >, а _> > - такая бипримарная группа с циклическими силовскими подгруппами, что _> >, где _> > и _> >;

(2) _> >,

где _> > - группа простого порядка _> >, _> > - циклическая _> >-группа с _> > (_>>) и _> >;

(3) _> >,

где _> > - группа простого порядка _> >, _> > - _> >-группа с _> > (_>>), _> > и все максимальные подгруппы в _> >, отличные от _> >, цикличны.

Доказательство. Необходимость.

Пусть _> > - группа, в которой каждая максимальная подгруппа перестановочна с любой _> >-максимальной подгруппой группы _> >.

Поскольку _> > - ненильпотентная группа, то в ней существует максимальная подгруппа _> >, которая не является нормальной в _> >. Тогда _> >. Следовательно, _> > - примитивная группа, которая удовлетворяет условиям леммы Error: Reference source not found.

I. Пусть _> >, где _> > и _> > - простые числа (не обязательно различные). Ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > и _> >.

Так как _> >, то _> > содержится в некоторой максимальной подгруппе _> > группы _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Следовательно, для любого _> > подгруппы _> > и _> > перестановочны. Это означает, что _> >. Поскольку _> >, то либо _> >, либо _> >. Ясно, что первый случай не возможен. Следовательно, _> > - единственная максимальная подгруппа группы _> >, и поэтому _> > - примарная циклическая группа. Ввиду произвольного выбора _> >, _> > - примарная циклическая группа.

Пусть _> >. Тогда _> > для некоторого _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> > и _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Так как

_>>,

то _> > - группа порядка _> > и _> >. Из того, что факторгруппа _> > сверхразрешима и подгруппа _> > циклическая, следует, что _> > - сверхразрешимая группа. Допустим, что _> > - наибольший простой делитель порядка группы _> >. Тогда _> > и поэтому _> >. Значит, _> > и _> >, противоречие. Если _> > - наибольший простой делитель порядка группы _> >, то рассуждая как выше видим, что _> > и _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > - наибольший простой делитель порядка группы _> >. Значит, _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Если _> >, то _> > и _> >, где _> > - группа порядка _> >, _> > - _> >-группа. Ясно, что _> > - единственная _> >-максимальная подгруппа в _> >. Поскольку _> > - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы _> >, то _> > - циклическая группа и поэтому _> > - циклическая группа. Следовательно, _> > - группа типа (2).

Пусть теперь _> >. Поскольку в группе _> > все максимальные подгруппы примарны и цикличны, то _> > и поэтому _> >.

II. Пусть _> >. Согласно лемме Error: Reference source not found, _> >, где _> > - минимальная нормальная подгруппа в группе _> > и либо _> >, либо _> >.

1. Пусть _> >.

Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >.

Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Рассуждая как выше видим, что _> > - примарная циклическая группа. Значит, _> >.

Предположим, что _> > - _> >-группа. Тогда _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >.

Допустим, что _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >, и следовательно, _> > - подгруппа группы _> >, что влечет

_>>

Полученное противоречие показывает, что _> > и поэтому _> >. Значит, _> >, где _> > - минимальная нормальная подгруппа группы _> > порядка _> > и _> >. Следовательно, _> >.

Пусть теперь _> > и _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа в _> > и _> > - максимальная подгруппа группы _> >, которая содержит _> >. Тогда _> >.

Так как _> > - циклическая силовская _> >-подгруппа группы _> >, то _> > - _> >-сверхразрешимая группа.

Предположим, что _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> > и пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> >. Допустим, что _> >. Тогда ввиду леммы Error: Reference source not found, _> > - сверхразрешимая группа, _> > и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Так как _> > - нормальная максимальная подгруппа в группе _> >, то _> >. Поскольку _> > сверхразрешима, то _> >, и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Из того, что _> > - циклическая группа, следует, что _> >. Значит, _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Предположим, что _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, такая что _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Поскольку по условию подгруппы _> > и _> > перестановочны, то

_>>

противоречие. Следовательно, _> >. Пусть теперь _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >. Поскольку _> > - _> >-максимальлная подгруппа группы _> >, то

_>>

Полученное противоречие показывает, что _> >. Значит, _> > и _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то _> > - минимальная нормальная подгруппа в группе _> >. Из того, что _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, следует, что _> >. Ясно, что _> >. Следовательно, _> >, и поэтому _> > - нормальная подгруппа в группе _> >. Допустим, что _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, такая что _> >. Рассуждая как выше видим, что

_>>

противоречие. С другой стороны, если _> >, то как и выше получаем, что

_>>

что невозможно. Следовательно, _> >.

Предположим теперь, что _> >. Допустим, что _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, такая что _> >. Поскольку _> > - максимальная подгруппа группы _> > и _> >, то _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. По условию _> > - подгруппа группы _> >. Следовательно, _> >, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при _> > этот случай также невозможен.

Полученное противоречие показывает, что _> >. Пусть _> >. Тогда _> >, и поэтому _> > - нормальная силовская _> >-подгруппа в группе _> >. Значит, _> >, где _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> > такая, что _> > - максимальная подгруппа в _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Поскольку _> >, то _> > и поэтому _> >. Значит, _> > - единственная максимальная подгруппа группы _> >. Следовательно, _> > - циклическая группа. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Так как

_>>,

то _> >. С другой стороны, _> > и поэтому _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Поскольку подгруппы _> > и _> > перестановочны и _> >, то _> > и поэтому _> >. Следовательно, _> > - единственная _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Значит, согласно теореме Error: Reference source not found, _> > - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка _> >. Пусть имеет место первый случай. Тогда _> >. Это означает, что _> > - нормальная подгруппа в _> >, и поэтому _> > Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, _> >, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >.

Пусть теперь _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Тогда _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >, и, следовательно, _> > - подгруппа группы _> >. Но поскольку _> >, то этот случай невозможен.

2. Для любой максимальной и не нормальной в _> > подгруппы _> > имеет место _> >, где _> > и _> > - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в _> > подгруппы есть простое число. Это означает, что группа _> > сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы _> >. Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> >, отличная от _> >. Рассуждая как выше видим, что _> > - примарная циклическая подгруппа и поэтому _> > для некоторых _> > и _> >. Следовательно, _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, которая содержится в _> > и пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, которая содержится в _> >. Если _> > - нормальная подгруппа группы _> >, то _> >. Полученное противоречие показывает, что _> > не является нормальной подгруппой группы _> >.

Допустим, что _> >. Тогда _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> > и _> >. Из сверхразрешимости группы _> > следует, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Значит, _> >, где _> > - группа простого порядка _> >. Ясно, что _> > и поэтому _> >. Поскольку все максимальные подгруппы группы _> >, отличные от _> >, цикличны, то _> > - группа типа (3).

Пусть _> >. Тогда _> > и _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Значит, _> >. Так как _> > - максимальная подгруппа группы _> >, то _> > - циклическая подгруппа и _> >. Если _> >, то _> >. Если _> >, то _> > - группа типа (1).

Пусть теперь, _> > - различные простые числа. Тогда _> > и _> >. Если _> > - нормальная подгруппа группы _> >, то _> > и поэтому _> > - группа типа (1). Пусть _> > не является нормальной подгруппой группы _> >. Тогда _> > - наибольший простой делитель порядка группы _> > и поэтому _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, такая что _> > и _> >. Допустим, что _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если _> >, то _> > и поэтому _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Полученное противоречие показывает, что для некоторого _> >, _> > - нормальная подгруппа группы _> >. Следовательно, _> > - нормальная подгруппа группы _> >, противоречие. Значит, _> > не является нормальной подгруппой в группе _> >. Рассуждая как выше видим, что у _> > все максимальные подгруппы отличные от _> > примарны и цикличны и _> >. Значит, _> > - группа типа (1).

Достаточность. Если _> > и _> >, то очевидно, что любая _> >-максимальная погруппа группы _> > перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть _> > - группа Шмидта, где _> > - группа кватернионов порядка _> > и _> > - группа порядка _> >. Ясно, что в группе _> > _> >-максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.

Предположим теперь, что _> > - группа типа (1)-(3). Пусть _> > - произвольная максимальная подгруппа группы _> > и _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Докажем, что подгруппы _> > и _> > перестановочны.

Пусть _> > - группа типа (1). Пусть _> >.

1. Пусть _> >, где _> > - простое число, отличное от _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >, которая содержится в _> >. Тогда _> >.

Допустим, что _> >. Поскольку группа _> > сверхразрешима, то индекс _> > максимальной подгруппы _> > является простым числом.

Пусть _> >. Тогда _> >. Значит, _> >. Поскольку

_>>,

то _> > - максимальная в _> > подгруппа. Если _> >, то _> > - примарная циклическая группа. Так как _> > делит _> >, то _> >, _> > и поэтому для некоторого _> >, _> >. Полученное противоречие показывает, что _> >. Это означает, что _> > - нормальная подгруппа в _> >.

Допустим, что _> >. Пусть _> >. Тогда _> > - нормальная подгруппа в _> >. Поскольку в _> > любая максимальная подгруппа индекса _> > совпадает с _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> > и поэтому _> > перестановочна с _> >.

Пусть теперь _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа и _> > - силовская _> >-подгруппа в _> > соответственно. Пусть _> >. Тогда _> > и поэтому для некоторого _> >, _> >. Из того, что _> >, следует, что _> > - максимальная подгруппа группы _> >. С другой стороны, _> > - максимальная подгруппа циклической группы _> >. Значит, _> >. Отсюда следует, что _> > и поэтому _> > - нормальная подруппа в _> >. Следовательно, _> > перестановочна с _> >. Пусть _> >. Тогда для некоторого _> >, _> >. Рассуждая как выше видим, что _> >. Значит, _> > - нормальная подгруппа в _> >. Поскольку

_>>,

то _> >. Это означает, что подгруппы _> > и _> > перестановочны. Пусть _> >. Используя приведенные выше рассуждения видим, что _> > - нормальная подгруппа в _> >. Поскольку _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Следовательно, подгруппы _> > и _> > перестановочны. Пусть _> >. Рассуждая как выше видим, что _> > - нормальная подгруппа в _> > и _> >. Значит, _> >. Следовательно, подгруппы _> > и _> > перестановочны. Пусть теперь _> >. Поскольку _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Пусть _> >. Тогда _> >, где _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа группы _> >. Пусть _> >. Тогда _> > - _> >-группа и для некоторого _> >, _> >. Без ограничения общности можно предположить, что _> >. Поскольку _> >, то _> >. Значит, _> >. Следовательно, подгруппы _> > и _> > перестановочны. Пусть _> >. Тогда _> >. Следовательно, _> > и поэтому подгруппа _> > перестановочна с _> >. Пусть _> >. Тогда _> >. Ясно, что _> >. Следовательно, _> >. Это означает, что подгруппы _> > и _> > перестановочны. Пусть _> >. Тогда _> >. Поскольку _> >, то

_>>

и поэтому подгруппы _> > и _> > перестановочны.

Если _> >, то рассуждая подобным образом, получаем, что _> > перестановочна с _> >.

Допустим, что _> >. Так как в _> > все максимальные подгруппы, отличные от _> >, примарные и циклические, то _> > - максимальная подгруппа в _> >. Следовательно, _> >. Это означает, что в группе _> > существует единственная _> >-максимальная подгруппа _> > и она единична. Таким образом, _> > перестановочна с _> >.

2. Пусть теперь _> >.

Пусть _> >. Тогда _> > - нормальная подгруппа в _> > и поэтому _> > перестановочна с _> >. Пусть _> >. Тогда _> >. Поскольку для некоторого _> >, _> >, то без ограничения общности можно предположить, что _> >. Значит, _> >. Если _> >, то _> > и поэтому

_>>

Допустим, что _> >. Тогда _> > - _> >-группа. Поскольку для некоторого _> >, _> > и _> >, то _> > и поэтому _> >. Пусть теперь _> >. Пусть _> > - силовская _> >-подгруппа и _> > - силовская _> >-подгруппа в _> > соответственно. Тогда _> >. Ясно, что _> > для некоторого _> > и _> >. Следовательно, _> > и поэтому _> >. Если _> >, то

_>>

Если _> >, то

_>>

В любом случае, _> >-максимальная подгруппа _> > перестановочна с максимальной подгруппой _> >.

Пусть _> > - группа типа (2) или (3). Если _> >, то _> >. Поскольку _> >, то _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Если _> >, то _> > содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе _> > группы _> >. Так как _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что

_>>

Значит, _> > перестановочна с _> >. Пусть _> >. Если _> >, то _> > для некоторого _> >. Поскольку _> > то

_>>

и поэтому _> > перестановочна с _> >. Если _> >, то _> >. Из того, что _> >, следует, что _> >. Значит, _> > перестановочна с _> >.

Пусть теперь _> >. Тогда _> > - _> >-группа и, следовательно, для некоторого _> >, _> > . Без ограничения общности можно предположить, что _> >. Ясно, что _> > - _> >-максимальная подгруппа группы _> >. Пусть _> > - максимальная подгруппа группы _> >, содержащая _> >. Допустим, что _> >. Если _> >, то _> >. Предположим, что _> >. Тогда _> > - циклическая группа. Поскольку _> >, то _> > - максимальная подгруппа группы _> >. Из того, что _> > - циклическая подгруппа следует, что _> >. Значит, _> >. Поскольку _> >, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Отсюда следует, что _> > - нормальная подгруппа в _> >. Значит, _> > перестановочна с _> >.

Пусть _> >. Поскольку _> > - циклическая группа, то _> > - нормальная подгруппа в _> >. Следовательно, _> > перестановочна с _> >. Теорема доказана.

Если в группе _> > любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами группы _> > и _> >, то _> > - нильпотентная группа.

Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).

Заключение

В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с _> >-максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая _> >-максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами. Доказана _> >-разрешимость и найдены оценки _> >-длины групп, у которых каждая _> >-максимальная подгруппа _> >-перестановочна со всеми _> >-максимальными подгруппами, где _> >.

Литература

1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.

2.Боровиков М.Т. О _> >-разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.

3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными _> >-максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.

4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.

5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все _> >-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.

6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.

7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.

8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н., _> >-накрывающие системы подгрупп для классов _> >-сверхразрешимых и _> >-нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.

9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.

10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.

11.Пальчик Э.М. О _> >-квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.

12.Пальчик Э.М. О группах, все _> >-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.

13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.