Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков

TYPE=RANDOM FORMAT=ARABIC>39

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Допущена к защите

Зав. кафедрой____________Мироненко В. И.

«____»_________________ 2003 г.

КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ В ЦЕЛОМ ДВУМЕРНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ В ВИДЕ КРИВЫХ ТРЕТЬЕГО И ПЕРВОГО ПОРЯДКОВ

Дипломная работа

Исполнитель: студентка группы М-51

_____________________ ПЛИКУС Т.Е.

Научный руководитель: доцент, к.ф-м.н.

_____________________ ФИЛИПЦОВ В.Ф.

Рецензент:доцент, к.ф-м.н.

_____________________ РУЖИЦКАЯ Е.А.

Гомель 2003

Реферат

Дипломная работа состоит из 25 страниц, 11 источников.

Ключевые слова и словосочетания: квадратичная двумерная стационарная система, частный интеграл, кривые третьего и первого порядков, точка, характеристическое уравнение, характеристическое число, узел, седло.

Объект исследования: квадратичная двумерная стационарная система с заданными интегральными кривыми третьего и первого порядков.

Предмет исследования: построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков, нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости.

Цель дипломной работы: качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы.

Основным инструментом исследований является понятие частного интеграла.

Содержание

Введение

1 Построение квадратичных двумерных стационарных систем

1.1 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой третьего порядка

1.2 Построение квадратичной двумерной стационарной системы с частным интегралом в виде кривой первого порядка

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

2 Исследование поведения траекторий системы на плоскости

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Заключение

Список использованных источников

Приложение. Поведение траекторий системы (2.1)

Введение

Известно, что аналитический вид решения очень хорош в случае линейных систем. В случае же нелинейных систем даже тогда, когда решение может быть выражено через элементарные функции, эти выражения могут быть столь сложными, что непосредственный их анализ практически невозможен. В связи с этим появилась необходимость в создании такой теории, с помощью которой можно было бы изучать свойства решений дифференциальных уравнений по виду самих уравнений. Такой теорией, наряду с аналитической, и является качественная теория дифференциальных уравнений.

Впервые задача качественного исследования для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений

_>> (0.1)

с полной отчетливостью была поставлена А. Пуанкаре [7] в конце прошлого столетия. Позднее исследования А. Пуанкаре были дополнены И. Бендиксоном [3,с.191-211] и уточнены Дж. Д. Биркгофом [4,с. 175-179].

Одной из задач качественной теории дифференциальных уравнений является изучение поведения траекторий динамической системы (0.1) на фазовой плоскости в целом в случае, когда P(x,y) и Q(x,y) – аналитические функции. Интерес к изучению этой системы или соответствующего ей уравнения объясняется их непосредственным практическим применением в различных областях физики и техники.

_>> (0.2)

Н.Н. Баутиным [1, с. 181- 196] и Н. Н. Серебряковой [8, с. 160- 166] полностью исследован характер поведения траекторий системы (0.1), имеющей два алгебраических интеграла в виде прямых. В [10, с. 732- 735] Л. А. Черкасом такое исследование проведено для уравнения (0.2) при наличии частного интеграла в виде кривой третьего порядка. Яблонский А. И. [11, с. 1752- 1760] и Филипцов В. Ф. [9, с. 469-476] изучали квадратичные системы с предположением, что частным интегралом являлись алгебраические кривые четвертого порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

_>> (0.3)

В настоящей работе проводится качественное исследование в целом системы (0.3) при условии, что она имеет два частных интеграла вида:

x³+a_>1>x²y+b_>1>xy²+g_>1>y³+a_>2>x²+b_>2>xy+g_>2>y²+b_>3>x+g_>3>y+d=0, (0.4)

mx+ny+p=0 (0.5)

в предположении, что коэффициенты кривых (0.4), (0.5) и системы (0.3) вещественные.

Работа состоит из двух глав.

В первой главе проводится построение квадратичной двумерной стационарной системы с частными интегралами в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты интегралов выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы связаны между собой тремя соотношениями.

Во второй главе проводится качественное исследование системы, включающее в себя нахождение и исследование состояний равновесия, исследование бесконечно-удаленной части плоскости при фиксированных значениях коэффициентов системы.

1 ПОСТРОЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

_>> (1.1)

Согласно [10, с. 1752-1760], если система, правые части которой есть полиномы n-ой степени, имеет частный интеграл вида:

_>>_>>, (1.2)

где F_>k>(x,y) – однородные полиномы от x и y степени k, то выполняется равенство:

_>>_>>. (1.3)

Пусть частный интеграл (1.2) имеет вид:

F(x,y)ºx³+a_>1>x²y+b_>1>xy²+g_>1>y³+a_>2>x²+b_>2>xy+g_>2>y²+b_>3>x+g_>3>y+d=0 (1.4)

Для интеграла (1.4) системы (1.1) имеет место соотношение (1.3),где L(x,y) = fx+gy+k, f, g, k – постоянные:

(3x2+2a_>1>xy+b_>1>y²+2a_>2>x+b_>2>y+b_>3>)(ax+by+a_>1>x²+2b_>1>xy+c_>1>y²)+(a_>1>x²+

2b_>1>xy+3g_>1>y²+b_>2>x+2g_>2>y+g_>3>)(cx+dy+a_>2>x²+2b_>2>xy+c_>2>y²)=(x3+a_>1>x²y+b_>1>xy²+ (1.5)

g_>1>y³+a_>2>x²+b_>2>xy+g_>2>y²+b_>3>x+g_>3>y+d)(fx+gy+k).

Приравнивая в (1.5) коэффициенты при одинаковых степенях выражений

x^m yⁿ слева и справа, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.4) и системы (1.1):

3a_>1+>a_>1>a_>2>-f=0, (1.6_>1>)

(2a_>1>+2b_>2>-f)a_>1>+2a_>2>b_>1>-g+6b_>1>=0, (1.6_>2>)

2a_>1>c_>1>+(2b_>1>+2c_>2>-g)b_>1>+(6b_>2>-f)g_>1>=0, (1.6_>3>)

(4b_>1>+c_>2>-g)a_>1>+(a_>1>+4b_>2>-f)b_>1>+3a_>2>g_>1>+3c_>1>=0, (1.6_>4>)

c_>1>b_>1>+(3c_>2>-g)g_>1>=0; (1.6_>5>)

ca_>1>+(2a_>1>-f)a_>2>+a_>2>b_>2>-k+3a=0, (1.7_>1>)

(2a+d-k)a_>1>+2cb1+(4b_>1>-g)a2+(a_>1>+2b_>2>-f)b2+2a_>2>g_>2>+3b=0, (1.7_>2>)

2ba_>1>+(a+2d-k)b_>1>+3cg_>1>+2c_>1>a_>2>+(2b_>1>+c_>2>-g)b_>2>+(4b_>2>-f)g_>2>=0, (1.7_>3>)

bb_>1>+(3d-k)g_>1>+c_>1>b_>2>+(2c_>2>-g)g_>2>=0; (1.7_>4>)

(2a-k)a_>2>+cb_>2>+(a_>1>-f)b_>3>+a_>2>g_>3>=0, (1.8_>1>)

2ba_>2>+(a+d-k)b_>2>+2cg_>2>+(2b_>1>-g)b_>3>+(2b_>2>-f)g_>3>=0, (1.8_>2>)

bb_>2>+(2d-k)g_>2>+c_>1>b_>3>+(c_>2>-g)g_>3>=0; (1.8_>3>)

(a-k)b_>3>+cg_>3>-df=0, (1.9_>1>)

bb_>3>+(d-k)g_>3>-dg=0, (1.9_>2>)

dk=0. (1.9_>3>)

Будем предполагать, что коэффициенты кривой (1.4) и системы (1.1) вещественные и кривая не проходит через начало координат, тогда d=0. Согласно (1.9_>3>) в этом случае k=0.

Будем рассматривать частный случай системы (1.1), т.е. будем предполагать, что a_>2>=c_>1>=0, а коэффициенты a_>1>, b_>1>, g_>1>интегральной кривой (1.4) обращаются в нуль.

Уравнения (1.6_>1>) – (1.9_>3>) при этих предположениях будут иметь вид:

3a_>1>-f=0, (1.10_>1>)

g+6b_>1>=0; (1.10_>2>)

(2a_>1>-f)a_>2>+3a=0, (1.11_>1>)

(4b_>1>-g)a2+(a_>1>+2b_>2>-f)b2+3b=0, (1.11_>2>)

(2b_>1>+c_>2>-g)b_>2>+(4b_>2>-f)g_>2>=0, (1.11_>3>)

(2c_>2>-g)g_>2>=0; (1.11_>4>)

2aa_>2>+cb_>2>+(a_>1>-f)b_>3>=0, (1.12_>1>)

2ba_>2>+(a+d)b_>2>+2cg_>2>+(2b_>1>-g)b_>3>+(2b_>2>-f)g_>3>=0, (1.12_>2>)

bb_>2>+2dg_>2>+(c_>2>-g)g_>3>=0; (1.12_>3>)

ab_>3>+cg_>3>-df=0, (1.13_>1>)

bb_>3>+dg_>3>-dg=0. (1.13_>2>)

Из условий (1.10_>1>) и (1.10_>2>) получаем, что

f = 2a_>1,>g = 6b_>1>.

Из условия (1.11_>4>) имеем

(2c_>2>-g)g_>2>=0.

Пусть g_>2>_>>_>,>тогда

2c_>2>-g=0 и g=2c_>2>,

с другой стороны g = 6b_>1>, значит

c_>2>=3b_>1>.

Имея условия f = 2a_>1,>g = 6b_>1,>c_>2>=3b_>1>, из соотношений (1.11_>1>) – (1.11_>3>), (1.12_>1>), (1.12_>3>) и (1.13_>1>) найдем выражения коэффициентов кривой (1.4) через коэффициенты системы(1.1) в следующем виде:_>>

a_{>2 =}>_>> , b_>2>= _>>_>>,

g_>2>= _>> , b_>3> = _>> ,

g_>3> = _>> ,(1.15)

d = _>>.

Равенства (1.12_>2>) и (1.13_>2>) с учетом полученных выражений (1.15), дадут два условия, связывающие коэффициенты a, b, c, d, a_>1>, b_>1>, b_>2>:

(2ab_>1>-ba_>1>)[3(32a_>1>b_>1>b_>2>-15a_>1>²b_>1>-16b_>1>b_>2>²) a+(8a_>1>b_>2>²-18a_>1>²b_>2>+9a_>1>³) b+

24(a_>1>b_>1>²-b_>1>²b_>2>) c+(16a_>1>b_>1>b_>2>-15a_>1>²b_>1>) d]=0, (1.16)

(2ab_>1>-ba_>1>)[12(7a_>1>b_>1>b_>2>-3a_>1>²b_>1>-4b_>1>b_>2>²) a²+6(3a_>1>b_>1>²-4b_>1>²b_>2>) ac+(3a_>1>²b_>1>-

-4a_>1>b_>1>b_>2>) bc+2(4a_>1>²b_>2>-3a_>1>³)bd –8a_>1>b_>1>²cd+4a_>1>²b_>1>d²]=0. (1.17)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.1 Система (1.1) имеет частный интеграл вида (1.4), коэффициенты которого выражаются формулами (1.15), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями (1.16), (1.17) и c_>1>=a_>2>= 0, c_>2>= 3b_>1>.

Рассмотрим система (1.1), которая в качестве частного интеграла (1.2) имеет кривую первого порядка:

mx+ny+p=0. (1.18)

В системе (1.1), согласно предыдущего параграфа

a_>2>=c_>1>=0, c_>2>=3b_>1>. (1.19)

Для интеграла (1.18) системы (1.1), с учетом (1.19), имеет место соотношение (1.3), где L(x,y)= ax+by+g, a, b, g – постоянные:

m(ax+by+a_>1>x²+2b_>1>xy)+n(cx+dy+2b_>2>xy+3b_>1>y²)=

=(mx+ny+p)( ax+by+g). (1.20)

Приравнивая в (1.20) коэффициенты при одинаковых степенях x^m yⁿ, получим следующую связь между коэффициентами кривой (1.18) и системы (1.1):

(a_>1>-a)m= 0, (1.21_>1>)

(2b_>1>-b)m+(2b_>2>-a)n=0, (1.21_>2>)

(3b_>1>-b)n=0; (1.21_>3>)

(a-g)m+cn-pa=0, (1.22_>1>)

bm+(d-g)n-bp= 0, (1.22_>2>)

pg= 0. (1.22_>3>)

Предположим, что кривая не проходит через начало координат, то есть p¹0. Тогда из условия (1.22_>3>) получаем, что g=0.

Условия (1.22_>1>), (1.22_>2>) запишутся в виде:

am+cn-pa=0, (1.23_>1>)

bm+dn-bp= 0. (1.23_>2>)

Из условий (1.21_>1>) и (1.21_>3>) имеем:

(a_>1>-a)m= 0,

(3b_>1>-b)n=0.

Пусть m¹0, тогда a_>1>-a=0 и

a=a_>1>, (1.24)

а при n¹0, получаем, что 3b_>1>-b=0 и

b=3b_>1.>(1.25)

Учитывая (1.24) и (1.25) из условия (1.21_>2>) находим выражение коэффициента m:

m=_>>, (1.26)

а соотношение (1.23_>1>) даст значение коэффициента p:

p=_>>. (1.27)

Из равенства (1.23_>2>), с учетом полученных выражений (1.26) и (1.27), находим условие на коэффициенты системы (1.1):

[3(a_>1>b_>1>-2b_>1>b_>2>) a+(2a_>1>b_>2>-a_>1>²) b-3b_>1>²c+a_>1>b_>1>d] n=0. (1.28)

Итак, установлена следующая теорема:

Теорема 1.2 Система (1.1) имеет частный интеграл (1.18), коэффициенты которого выражаются формулами (1.26),(1.27), при условии, что коэффициенты системы связаны соотношением (1.28) и c_>1>=a_>2>= 0, c_>2>= 3b_>1>.

1.3 Необходимые и достаточные условия существования у системы (1.1) двух частных интегралов (1.4), (1.18)

В разделах 1, 2 мы получили, что система (1.1) будет иметь два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков при условии, что коэффициенты системы связаны соотношениями:

(2ab_>1>-ba_>1>)[3(32a_>1>b_>1>b_>2>-15a_>1>²b_>1>-16b_>1>b_>2>²) a+(8a_>1>b_>2>²-18a_>1>²b_>2>+9a_>1>³) b+

24(a_>1>b_>1>²-b_>1>²b_>2>) c+(16a_>1>b_>1>b_>2>-15a_>1>²b_>1>) d]=0,

(2ab_>1>-ba_>1>)[12(7a_>1>b_>1>b_>2>-3a_>1>²b_>1>-4b_>1>b_>2>²) a²+6(3a_>1>b_>1>²-4b_>1>²b_>2>) ac+(3a_>1>²b_>1>-

-4a_>1>b_>1>b_>2>) bc+2(4a_>1>²b_>2>-3a_>1>³)bd –8a_>1>b_>1>²cd+4a_>1>²b_>1>d²]=0,

[3(a_>1>b_>1>-2b_>1>b_>2>) a+(2a_>1>b_>2>-a_>1>²) b-3b_>1>²c+a_>1>b_>1>d] n=0.

Причем b_>1>¹0, a_>1>¹0, 2b_>1>a-ba_>1>¹0.

Рассмотрим частный случай, т.е. будем предполагать, что коэффициенты

a_>1>=_>>, b_>1>=1, b_>2>=0.

Следовательно, наши соотношения запишутся в виде:

_>>a-_>>b-3c+_>>d=0, (1.30)

-_>>a+_>>b+6c-_>>d=0, (1.31)

-_>>a²+_>>d²+_>>ac+_>>bc-_>>bd-2cd=0. (1.32)

Выразим из условия (1.30) коэффициент c

c=_>>a-_>>b+_>>d, (1.33)

подставим (1.33) в равенство (1.31), найдем коэффициент d

d=_>>(-21a+_>>b). (1.34)

Из условия (1.32), учитывая (1.33) и (1.34) находим

b=_>>a.

Получаем, что коэффициенты системы (1.1) определяются по следующим формулам:

b=_>>a,

c=-_>>a, (1.35)

d=-_>> a,

a_>1>=_>>, b_>1>=1, a_>2>=0, c_>1>=0, b_>2>=0, c_>2>=3b_>1>=3.

Равенства (1.15), (1.26) и (1.27), при условии, что имеют место формулы (1.35), дадут следующие выражения для коэффициентов интегралов (1.4) и (1.18):

a_>2>=12a, b_>2>= -_>>a,

g_>2>=a, b_>3>=_>>a²,

g_>3>= -_>>a²,d=_>>a³, (1.36)

m= -_>>n, p= -_>>an.

Теорема 1.3 Система (1.1) имеет два частных интеграла вида (1.4) и (1.18) с коэффициентами, определенными формулами (1.36), при условии, что коэффициенты системы (1.1) выражаются через параметры по формулам (1.35).

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

_>> (2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³+12ax²-_>>axy+ay²+_>>a²x-_>>a²y+_>>a³=0, (2.2)

-_>>nx+ny-_>>an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴-11776ay³+5480a²y²-825a³y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y_>0>=0, y_>1>=_>>a, y_>2>=_>>a, y_>3>=_>>a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x_>0>=0, x_>1>= -_>>a, x_>2>= -_>>a, x_>3>= -_>>a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - _>>, _>>, _>>, _>>.

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия _>>, _>>, _>>, _>>.

Исследуем точку _>>.

Составим характеристическое уравнение в точке _>>[10, с. 1760-1765]

_>>

Отсюда _>>

_>> (2.7)

_>>

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

_>>=_>>=0.

_>>,

Характеристическими числами для точки_>> системы (2.1) будут

_>>.

Корни _>> - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка _>> - седло.

Исследуем точку _>>.

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

_>>

_>>,

то есть

_>>, _>>.

Корни _>> - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка _>> - устойчивый узел, если a>0, то точка _>>-неустойчивый узел.

Исследуем точку _>>.

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

_>>

_>>, _>>.

Корни _>> - действительные и одного знака. Следовательно, точка _>>- седло при любом параметре a .

Исследуем точку _>> .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

_>>

_>>,

Характеристическими числами для точки _>> системы (2.1) будут

_>> ,

Корни _>> - действительные и одного знака.Следовательно точка _>> - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

_>>, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

_>>

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

_>> (2.9)

Введем новое время _>>. Система (2.9) примет вид:

_>> (2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

_>> (2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

_>>

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N_>1>(0,0) N_>2>(0,_>>).

Исследуем характер точек N_>1>, N_>2>.

1. Исследуем точку N_>1>(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N_>1>:

_>> (2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

_>>

Получим, что

_>> _>>

Корни _>>- действительные и одного знака. Следовательно, точка N_>1>(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N_>2>(0,_>>).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N_>2>:

_>>

соответственно характеристическими числами будут являться

_>>

Корни _>>- действительные и различных знаков. Следовательно, точка N_>2>(0,_>>)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

_>>

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

_>> (2.14)

Введем новое время _>>, тогда система (2.14) примет следующий вид:

_>> (2.15)

При z=0, получаем:

_>> (2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

_>>

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N_>3>(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N_>3>:

_>>

соответственно характеристическими числами будут являться

_>>

Корни _>>- действительные и одного знака. Следовательно, точка N_>3>(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

a	О	А	В	С	∞
					N1	N2	N3
(-∞;0)	с	У+	с	У-	У+	с	У+
(0;+∞)	с	У-	с	У+	У+	с	У+

Примечание: через с, у⁺, у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

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

а) (a>0)

б) (a<0)

Рис.1

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N_>3>, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N_>1>, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N_>1>, w - сепаратрисы – к точке С и N_>3>.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.