Інтегральне числення

МІНІСТЕРСТВО ФІНАНСІВ УКРАЇНИ

БУКОВИНСЬКА ДЕРЖАВНА ФІНАНСОВА АКАДЕМІЯ

Кафедра ВМКТІС

ІНДИВІДУАЛЬНЕ НАВЧАЛЬНО-ДОСЛІДНЕ ЗАВДАННЯ

З ДИСЦИПЛІНИ «МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЕКОНОМІСТІВ»

на тему: «ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ»

Виконав:

Студент І курсу

Групи ФК-15

фінансово-економічного

факультету

Воронюк В.М.

Науковий керівник:

Головач В.М.

Чернівці-2008

ЗМІСТ

Інтеграли, що «не беруться»

Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Невласні інтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів

Ефективність реклами логістична крива

Список використаної літератури

1.Інтеграли, що «не беруться»

Як видно було з диференціального числення, похідна від довільної елементарної функції є також функцією елементарною. Інакше кажучи, операція диференціювання не виводить нас із класу елементарних функцій. Цього не можна сказати про інтегрування — операцію, обернену до диференціювання. Інтегрування елементарної функції не завжди знову приводить до елементарної функції. Подібне спостерігається й для інших взаємно обернених операцій: сума довільних натуральних чисел є завжди число Натуральне, а різниця — ні; добуток двох цілих чисел завжди є цілим числом, а частка — ні i т. п. Строго доведено, що існують елементарні функції, інтеграли від яких не є елементарними функціями. Про такі інтеграли кажуть, що вони не обчислюються в скiнченному вигляді або не 6еруться.

Наприклад, доведено, що «не беруться» такі інтеграли:

інтеграл Пуассона;

інтеграли Френгеля;

інтегральний логарифм;

інтегральний косинус;

інтегральний синус;

еліптичний інтеграл;

(α=0,1,2…) та ряд інших інтегралів.

Вказані інтеграли хоча й існують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являє собою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражається через скiнченне число арифметичних операцій i суперпозицій над основними елементарними функціями. Неелементарні (або так звані спецiальнi) функції розширюють множину елементарних функцій.

Зрозуміло, що інтеграл, який не обчислювався в класі елементарних функцій, може виявитись таким, що обчислюється в розширеному класі функцій.

Таким чином, інтегрування в порiвняннi з диференціюванням — операція набагато складніша. Тому треба твердо володіти основними методами інтегрування i чітко знати види функцій, інтеграли від яких цими методами знаходяться. Крім того, виявляється, що треба розрізняти також інтеграли, які «не беруться». Тому в iнженернiй практиці широко користуються довідниками, в яких мстяться докладні таблиці iнтегралiв, що виражаються через елементарні i неелементарні функції.

2.Наближені методи обчислення визначених інтегралів

Нехай треба обчислити визначений інтеграл , де f(х) — неперервна на вiдрiзку [a; b] функція. Якщо можна знайти первісну F (х) від функції f (х), то цей інтеграл обчислюється за формулою Ньютона — Лейбнiца: I = F (b) - F (a). Якщо ж первісна не є елементарною функцією, або функція f (х) задана графіком чи таблицею, то формулою Ньютона — Лейбнiца скористатись вже не можна. Тоді визначений інтеграл обчислюють наближено. Наближено обчислюють визначений інтеграл i тоді, коли первісна функція F (х) хоч i є елементарною, але точні її значення F (а) і F (b) дістати не просто.

Наближені методи обчислення визначеного інтеграла здебільшого ґрунтуються на геометричному змiстi визначеного інтеграла: якщо f(х)0, то інтеграл I дорівнює площі криволiнiйної трапеції, обмеженої кривою y = f (х) i прямими х = a, х = b, у = 0.

Ідея наближеного обчислення інтеграла полягає в тому, що задана крива y = f(х) замінюється новою лiнiєю, «близькою» до заданої. Тоді шукана площа наближено дорівнює площі фігури, обмеженої зверху цією лiнiєю.

1. Формули прямокутників. Нехай треба обчислити визначений інтеграл від неперервної на вiдрiзку [а; b] функції f(х).

Поділимо вiдрiзок [а; b] на n рівних частин точками

= a +

рис. 2.1 рис. 2.2

і знайдемо значення функції f (х) в цих точках:

f (.

Замінимо задану криволiнiйну трапецію (рис. 2.1) ступінчатою фігурою, що складається з n прямокутників. Основи цих прямокутників однакові i дорівнюють , а висоти збігаються із значеннями в початкових точках частинних iнтервалiв. Площа ступінчатої фігури i буде наближеним значенням визначеного інтеграла:

(1)

Якщо висоти прямокутників є значення в кінцевих точках частинних iнтервалiв (рис. 2.2), то

(2)

Можна довести, що похибка наближеної формули зменшиться, якщо висотами прямокутників взяти значення функції в точках (середини відрізків , (рис. 2.3); тоді

(3)

Формули (1)-(3) називаються формулами прямокутників.

2. Формула трапецій. Замінимо криву f(х) не ступінчатою лiнiєю, як у попередньому випадку, а ламаною (рис. 2.3), сполучивши сусiднi точки (). Тоді площа криволiнiйної трапеції наближено дорівнюватиме сумі площ прямокутних трапецій, обмежених вверху вiдрiзками цієї ламаної.

рис. 2.3 рис. 2.4

Площа k-ї трапеції дорівнює , де і —

основи трапеції, а - = - її висота. Тому

(4)

Формула (4) називається формулою трапецій.

3. Формула Сiмпсона. Під час виведення формули трапеції криву, яка є графіком функцій у = f(х), замінювали ламаною лiнiєю. Щоб дістати точніший результат, замінимо цю криву іншою кривою, наприклад параболою.

Покажемо спочатку, що через три рiзнi точки , які не лежать на одній прямій, можна провести лише одну параболу .

Справді, підставляючи в рівняння параболи координати заданих точок, дістанемо систему рівнянь:

(5)

визначник якої

,

оскільки числа за умовою рiзнi. Отже, ця система має єдиний розв’язок, тобто коефiцiєнти a, b i c параболи визначаються однозначно.

Зокрема, розв’язуючи систему (5) для точок А (-h; ), В (0; ), С (h; ), дістанемо

рис. 2.5 рис. 2.6

Знайдемо площу S криволiнiйної трапеції, обмеженої параболою, яка проходить через точки А, В, С, і прямими х = -h, х = h, y =0 (рис. 2.5):

Розглянемо тепер криволiнiйну трапецію , обмежену кривою у = f(х) (рис. 2.6). Якщо через точки цієї кривої провести параболу , то за формулою (6)

(7)

Однак, якщо вiдрiзок [a;b] досить значний, то формула (7) матиме велику похибку. Щоб збільшити точність, розіб’ємо вiдрiзок [a;b] на парне число 2n однакових частин, а криволiнiйну трапецію — на n частинних криволiнiйних трапецій. Застосовуючи до кожної з цих трапецій формулу (7), дістанемо

Додамо почленно ці наближені рiвностi:

Ця формула називається формулою парабол або формулою Сiмпсона. Формули (1), (2), (3), (4) i (8) називаються квадратурними.

Різницю між лівою i правою частиною квадратурної формули називають її залишковим членом i позначають через . Абсолютна похибка квадратурної формули, очевидно, залежить від числа n — кiлькостi частинних вiдрiзкiв, на які розбивається вiдрiзок інтегрування [а;b]. Наведемо формули, які дозволяють, по-перше, оцінювати абсолютні похибки квадратурних формул, якщо задано n, і, по-друге, визначати число n так, щоб обчислити заданий інтеграл з наперед заданою точністю.

Якщо функція f (х) має на вiдрiзку [а; b] неперервну похідну i , то абсолютна похибка наближених рівностей (1) — (4) оцінюється формулою

(9)

Для функцій f(x), які мають другу неперервну похідну і , виконується нерівність

(10)

яка справедлива для формул прямокутників і трапецій.

Абсолютна похибка в наближеній рівності (8) оцінюється формулою

(11)

Якщо функція f(x) має на відрізку [a;b] четверту неперервну похідну і то для формули Сiмпсона справедлива оцінка:

(12)

Приклад:

1. Обчислити інтеграл .

Це інтеграл від біноміального диференціала, який в елементарних функціях не обчислюється. Обчислимо його наближено. Розіб’ємо відрізок [0;1] на 10 рівних частин точками .

Знайдемо значення функції в цих точках:

За формулою прямокутників маємо

Оскільки то залишковий член формули прямокутників

Отже, І=1,069900,03536.

За формулою трапецій (4) дістанемо

Оскільки , то залишковий член формули трапецій

Отже, І=1,090610,00236.

За формулою Сiмпсона (2n=10)

Оскільки то залишковий член формули Сiмпсона

Таким чином, І=1,089490,000012, тобто формула Сiмпсона значно точніша формули прямокутників і трапецій.

Невласні інтеграли. Ознаки збіжності невласних інтегралів

Раніше було введено визначений інтеграл як границю інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що вiдрiзок інтегрування скiнченний, а пiдiнтегральна функція на цьому вiдрiзку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушується, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних вiдрiзкiв скiнченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скiнченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a;) і інтегрована на будь-якому відрізку [a ; b], де . Тоді, якщо існує скінченна границя

(13),

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(14)

Таким чином, за означенням

(15)

У цьому випадку інтеграл (14) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) – інтегрованою на проміжку (а;+).

Якщо ж границя (13) не існує або нескінченна, то інтеграл (14) називають також невласним але розбіжним, а функція f(x) – неінтегровною на [a;).

Аналогічно інтегралу (15) означається невласний інтеграл на проміжку [; b):

(16)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(17)

де с – довільне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (17) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (17), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що невласний інтеграл не є границею інтегральних сум, а є границею означеного інтеграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід’ємна на проміжку [a;) і коли інтеграл (16) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 3.1)

рис. 3.1

Приклад:

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність

а) За формулою (15) маємо

Отже інтеграл а) збігається.

б)

Оскільки ця границя не існує, то інтеграл б) розбіжний.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла ґрунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхiдностi обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні.

Теорема 1. Якщо на проміжку функції f(x) і g(x)неперервні і задовольняють умову , то із збіжності інтеграла

(18)

випливає збіжність інтеграла

, (19)

а із розбіжності інтеграла (19) випливає розбіжність інтеграла (18).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 3.2); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скiнченне число, то площа меншої області є також скiнченне число; якщо площа меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

рис. 3.2

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки :

і інтеграл збігається, то за теоремою 1 заданий інтеграл також збігається.

Теорема 2. Якщо існує границя то інтеграли (18) і (19) або одночасно обидва збігаються, або одночасно розбігаються.

Ця ознака iнодi виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерiвностi .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл

оскільки інтеграл

збігається і ,

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід’ємних функцій. У випадку, коли пiдiнтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл :

тут підінтегральна функція знакозмінна; оскільки

,

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію - абсолютно інтегровною на проміжку .

Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається.

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збiжнiсть інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збiжностi.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція визначена на проміжку . Точку х=b назвемо особливою точкою функції , якщо при (рис. 3.3)

рис. 3.3

Нехай функція на відрізку при довільному , такому, що тоді існує скінченна границя

, (20)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(21)

Отже, за означенням

= (22)

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (21) існує або збігається. Якщо ж границя (20) нескінченна або не існує, то інтеграл (21) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х=а - особлива точка (рис. 3.4), невласний інтеграл визначається так:

=

рис. 3.4

Якщо необмежена в околі якої-небудь внутрішньої точки , то за умови існування обох невласних інтегралів і за означенням покладають (рис. 3.5)

=+.

рис. 3.5

Нарешті, якщо а та b — особливі точки, то за умови існування обох невласних iнтегралiв і за означенням покладають

=+,

де с - довільна точка інтервалу (a;b).

Приклад:

Обчислити невласний інтеграл:

= .

Отже інтеграл збіжний.

Сформулюємо тепер ознаки збiжностi для невласних iнтегралiв другого роду.

Теорема 4. Якщо функції і неперервні на проміжку [a;b), мають особливу точку х= b і задовольняють умову , то із збіжності інтеграла випливає збіжність інтеграла , із розбіжності інтеграла випливає розбіжність .

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл : заданий інтеграл збігається, бо і збігається інтеграл .

Теорема 5. Нехай функції і на проміжку [a;b) неперервні, додатні і мають особливість точці х= b , тоді якщо існує границя

,

то інтеграли і або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Приклад:

Дослідити на збіжність інтеграл : функції f(x)= та = мають особливість у точці х=0. Оскільки =, і інтеграл розбігається, то заданий інтеграл також розбігається.

Теорема 6. Якщо х=b – особлива точка функції і інтеграл збігається, то інтеграл також збігається.

Приклад: дослідити на збіжність інтеграл .

Заданий інтеграл збігається, тому що і збігається інтеграл .

4.Ефективність реклами. Логістична крива.

Розвиток багатьох процесів у економіці, в тому числі і на підприємствах, відображає логістична крива, яка характеризується часовою чи іншою залежністю параметрів об’єкта. Дану криву ще називають зигзагоподібною (S-подібною), оскільки вона нагадує букву S.