Итерационные методы решения системы линейных алгебраических уравнений
Кафедра: Автоматика и информационные технологии
"ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ"
Екатеринбург 2006
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ
Одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики является решение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):
a>11> x>1> + a>12> x>2> + … + a>1n> x>n> = b>1>
a>21> x>1> + a>22> x>2> + … + a>21> x>n> = b>2>
……………………………………. .
a>n1> x>1> + a>n1> x>2> +… + a>nn> x>n> = b>n>>,>
или в векторно-матричном виде:
Ax = B, (1)
г
де
а
11
а12 ......а1n
а21 а22 -… .. а2n
А = ................
аn1 аn2 … . ann
b1
b2
B =
bn
x1
x2
x =
xn
Итерационные методы решения СЛАУ используются для решения СЛАУ большой размерности с разреженными матрицами, а также для уточнения решения СЛАУ, полученного с помощью прямого метода. Формулировка и применение итерационных методов требует определенных знаний и определенного опыта. Выбор эффективного итерационного метода решения конкретной задачи существенно зависит от ее характерных свойств и от архитектуры вычислительной машины, на которой будет решаться задача. Поэтому никаких общих правил выбора наилучшего итерационного метода решения не существует. Метод простой итерации приведен здесь как иллюстрация действия механизма вычисления решения на основе итерационной процедуры.
Суть метода состоит в следующем. От системы уравнений вида Ах = в (2) переходят к системе уравнений
x=Dх + С (3)
Например, от системы уравнений
а>11>х>1>+а>12>х>2>+а>13>х>3>=в>1>
а>21>х>1>+> >а>22>х>2>+а>23>х>3>=в>2 (>4)
а>31>х>1>+а>32>х>2>+а>33>х>3>=в>3>
можно перейти к виду (3), выразив из первого уравнения х>1>, из второго - х>2>, из третьего - х>3>:
х>1>= - а>12>/а>11>х>2> - а>13>/а>11>х>3>+в>1>/а>11>
х>2>= - а>21>/а>22>х>1> - а>23>/а>22>х>3>+в>2>/а>22 (>5)
х>3>= - а>31>/а>33>х>1> - а>32>/а>33>х>2>+ в>3>/а>33>
Приведение исходной системы уравнений в виду (3) можно осуществить различными способами. Например, в СЛАУ (4) из первого уравнения можно выразить х>2>, из второго - х>1>, из третьего - х>3 >и, переставив уравнения для сохранения порядка следования переменных в векторе решения х, снова прийти к виду (3). Естественно, что матрица D и вектор с будут уже иными. Возможны и другие способы преобразования исходных уравнений.
После преобразования (2) к виду (3) назначается нулевое приближение решения х (0):
х>1> (0)
х (0) = х>2> (0)
х>3> (0).
Если приблизительно известны значения х>i>> >вектора решения х, то они выбираются в качестве нулевого приближения, если нет, то в качестве вектора х (0) выбирается любой вектор, например х (0) =С.
Первый шаг итерационного процесса состоит в вычислении приближения х (1):
х (1) = Dx (0) +С.
Например, назначив х (0) и подставив его в систему уравнений (3), получим:
х>1> (1) = - а>12>/а>11>х (0) - а>13>/а>11>х>3> (0) +в>1>/а>11>
х>2> (1) = - а>21>/а>22>х>1> (0) - а>23>/а>22>х>3> (0) +в>2>/а>22>
х>3> (0) = - а>31>/а>33>х>1> (0) - а>32>/а>33>х>2> (0) +в>3>/а>33.>
Далее вычисляем:
х (2) = Dx (1) +C
х (к) =Dх (к-1) +С
и т.д.
Достаточное условие сходимости метода итерации заключается в следующем, если норма матрицы D (обозначается ║D║) меньше 1, то система уравнений (3) имеет единственное решение х* и итерации сходятся к этому решению со скоростью геометрической прогрессии Иными словами, если
║D║<1, (6)
то
ℓim ║х (к) - х*║= 0
к→∞
и выполняется тождество
х*=Dх*+С.
В качестве нормы матрицы D используются нормы ║D║>1> или
║D║>∞>: >n>
║D║>1> = max ∑ | d>ij> |,
j i=1
>n>
║D║>∞>= max ∑ | d>ij> |.
i j=1
А
налогично
вводятся нормы вектора х:
>n>
║х║>1 >= ∑ |х>i>|
>i>>=1>
║х║>∞>= max |x>i>|.
i
Из условия сходимости (6) ясно, что не всякое преобразование исходной системы (2) к виду (3) позволит получить решение уравнения на основе итерационного процесса, а только такое, которое обеспечит выполнение условия ║D║<1. Важно иметь в виду, что при выполнении этого условия итерационный процесс сходится для любого начального приближения х (0) и выбор х (0) =С диктуется просто соображениями удобства назначения х (0).
Если задана допустимая погрешность вычислений Δ, то для оценки погрешности к - го приближения широко используется следующее неравенство:
║х (к) - х*║≤║D║ ∕ (1-║D║) •║х (к) - х (к-1) ║<Δ (7)
Из этого неравенства следует критерий окончания итерационного процесса
║х (к) - х (к-1) ║ < (1-║ D║) •∆ ∕ ║D║ (8)
Каждый раз при вычислении очередного приближения х (k) проверяется выполнение неравенства (8).
Выполнение неравенства (8) означает выполнение неравенства
║х (к) - х*║ < ∆
и, следовательно, прекращение итерационного процесса.
ЗАДАНИЕ НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Проверить выполнение условия сходимости итерационного процесса.
Найти решение СЛАУ, задавая различные значения вектора начального приближения к решению x (0) и фиксируя количество итераций, необходимых для достижения решения с заданной точностью.
Построить графики x>i> (k), >i>>=1,>>n> решения в зависимости от номера итерации k.
Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"
|
№ варианта |
D |
C |
|||
|
1 |
0.23 |
-0.04 |
0.21 |
-0.18 |
1.24 |
|
0.45 |
-0.23 |
0.06 |
0.00 |
-0.88 |
|
|
0.26 |
0.34 |
-0.11 |
0.00 |
0.62 |
|
|
0.05 |
-0.26 |
0.34 |
-0.12 |
-1.17 |
|
|
2 |
0.21 |
0.12 |
-0.34 |
-0.15 |
-0.64 |
|
0.34 |
-0.08 |
0.17 |
-0.18 |
1.42 |
|
|
0.16 |
0.34 |
0.15 |
-0.31 |
-0.42 |
|
|
0.12 |
-0.25 |
-0.08 |
0.25 |
0.83 |
|
|
3 |
0.32 |
-0.18 |
0.02 |
0.21 |
1.83 |
|
0.16 |
0.12 |
-0.14 |
0.27 |
0.65 |
|
|
0.37 |
0.27 |
-0.02 |
-0.24 |
2.23 |
|
|
0.12 |
0.21 |
-0.18 |
0.25 |
-0.13 |
|
|
4 |
0.42 |
-0.52 |
0.03 |
0.00 |
0.44 |
|
0.31 |
-0.25 |
-0.36 |
0.00 |
1.42 |
|
|
0.10 |
0.08 |
-0.14 |
-0.24 |
-0.83 |
|
|
0.15 |
-0.35 |
-0.18 |
0.00 |
-1.42 |
|
|
5 |
0.18 |
-0.34 |
-0.12 |
0.15 |
-1.33 |
|
0.11 |
0.23 |
-0.45 |
0.32 |
0.84 |
|
|
0.05 |
-0.12 |
0.14 |
-0.18 |
-1.16 |
|
|
0.12 |
0.08 |
0.06 |
0.00 |
0.57 |
|
|
6 |
0.13 |
0.23 |
-0.44 |
-0.05 |
2.13 |
|
0.24 |
0.00 |
-0.31 |
0.15 |
-0.18 |
|
|
0.06 |
0.15 |
0.00 |
-0.23 |
1.44 |
|
|
0.52 |
-0.08 |
-0.05 |
0.00 |
2.42 |
|
|
7 |
0.17 |
0.31 |
-0.18 |
0.22 |
-1.71 |
|
-0.21 |
0.00 |
0.33 |
0.22 |
0.62 |
|
|
0.32 |
-0.18 |
0.05 |
-0.19 |
-0.89 |
|
|
0.12 |
0.28 |
-0.14 |
0.00 |
0.94 |
|
|
8 |
0.13 |
0.27 |
-0.22 |
-0.18 |
1.21 |
|
-0.21 |
0.00 |
-0.35 |
0.18 |
-0.33 |
|
|
0.12 |
0.13 |
-0.33 |
0.10 |
-0.48 |
|
|
0.33 |
-0.05 |
0.05 |
-0.28 |
-0.17 |
Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"
|
№ варианта |
D |
C |
|||
|
9 |
0.19 |
-0.07 |
0.38 |
-0.21 |
-0.81 |
|
-0.22 |
0.08 |
0.11 |
0.33 |
-0.64 |
|
|
0.51 |
-0.07 |
0.09 |
-0.11 |
1.71 |
|
|
0.33 |
-0.41 |
0.00 |
0.00 |
-1.21 |
|
|
10 |
0.00 |
0.22 |
-0.11 |
0.31 |
2.70 |
|
0.38 |
0.00 |
-0.12 |
0.22 |
-1.50 |
|
|
0.11 |
0.23 |
0.00 |
-0.51 |
1.20 |
|
|
0.17 |
-0.21 |
0.31 |
0.00 |
-0.17 |
|
|
11 |
0.07 |
-0.08 |
0.11 |
-0.18 |
-0.51 |
|
0.18 |
0.52 |
0.00 |
0.21 |
1.17 |
|
|
0.13 |
0.31 |
0.00 |
-0.21 |
-1.02 |
|
|
0.08 |
0.00 |
-0.33 |
0.28 |
-0.28 |
|
|
12 |
0.05 |
-0.06 |
-0.12 |
0.14 |
-2.17 |
|
0.04 |
-0.12 |
0.68 |
0.11 |
1.40 |
|
|
0.34 |
0.06 |
-0.06 |
0.44 |
-2.10 |
|
|
0.11 |
0.12 |
0.00 |
-0.03 |
-0.80 |
|
|
13 |
0.08 |
-0.03 |
0.00 |
-0.04 |
-1.20 |
|
0.00 |
0.51 |
0.27 |
-0.08 |
0.81 |
|
|
0.33 |
-0.37 |
0.00 |
0.21 |
-0.92 |
|
|
0.11 |
0.00 |
0.03 |
0.58 |
0.17 |
|
|
14 |
0.12 |
-0.23 |
0.25 |
-0.16 |
1.24 |
|
0.14 |
0.34 |
-0.18 |
0.24 |
-0.89 |
|
|
0.33 |
0.03 |
0.48 |
-0.32 |
1.15 |
|
|
0.12 |
-0.05 |
0.00 |
0.15 |
-0.57 |
|
|
15 |
0.23 |
-0.14 |
0.06 |
-0.12 |
1.21 |
|
0.12 |
0.00 |
0.32 |
-0.18 |
-0.72 |
|
|
0.08 |
-0.12 |
0.23 |
0.32 |
-0.58 |
|
|
0.25 |
0.22 |
0.14 |
0.00 |
1.60 |
|
|
16 |
0.14 |
0.23 |
0.18 |
0.17 |
-1.42 |
|
0.12 |
-0.14 |
0.08 |
0.09 |
-0.83 |
|
|
0.16 |
0.24 |
0.00 |
-0.35 |
1.21 |
|
|
0.23 |
-0.08 |
0.55 |
0.25 |
0.65 |
Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"
|
№ варианта |
D |
C |
|||
|
17 |
0.24 |
0.21 |
0.06 |
-0.34 |
1.42 |
|
0.05 |
0.00 |
0.32 |
0.12 |
-0.57 |
|
|
0.35 |
-0.27 |
0.00 |
-0.05 |
0.68 |
|
|
0.12 |
-0.43 |
0.34 |
-0.21 |
-2.14 |
|
|
18 |
0.17 |
0.27 |
-0.13 |
-0.11 |
-1.42 |
|
0.13 |
-0.12 |
0.09 |
-0.06 |
0.48 |
|
|
0.11 |
0.05 |
-0.02 |
0.12 |
-2.34 |
|
|
0.13 |
0.18 |
0.24 |
0.43 |
0.72 |
|
|
19 |
0.00 |
0.28 |
-0.17 |
0.06 |
0.21 |
|
0.52 |
0.00 |
0.12 |
0.17 |
-1.17 |
|
|
0.17 |
-0.18 |
0.21 |
0.00 |
-0.81 |
|
|
0.11 |
0.22 |
0.03 |
0.05 |
0.72 |
|
|
20 |
0.15 |
0.05 |
-0.08 |
0.14 |
-0.48 |
|
0.32 |
-0.43 |
-0.12 |
0.11 |
1.24 |
|
|
0.17 |
0.06 |
-0.08 |
0.12 |
1.15 |
|
|
0.21 |
-0.16 |
0.36 |
0.00 |
-0.88 |
|
|
21 |
0.00 |
0.52 |
0.08 |
0.13 |
-0.22 |
|
0.07 |
-0.38 |
-0.05 |
0.41 |
1.80 |
|
|
0.04 |
0.42 |
0.11 |
-0.07 |
-1.30 |
|
|
0.17 |
0.18 |
-0.13 |
0.19 |
0.33 |
|
|
22 |
0.00 |
0.17 |
-0.33 |
0.18 |
-1.20 |
|
0.00 |
0.18 |
0.43 |
-0.08 |
0.33 |
|
|
0.22 |
0.18 |
0.21 |
0.07 |
0.48 |
|
|
0.08 |
0.07 |
0.71 |
0.04 |
-1.20 |
|
|
23 |
0.01 |
0.02 |
-0.62 |
0.08 |
-1.30 |
|
0.03 |
0.28 |
0.33 |
-0.07 |
1.10 |
|
|
0.09 |
0.13 |
0.42 |
0.28 |
-1.70 |
|
|
0.19 |
-0.23 |
0.08 |
0.37 |
1.50 |
|
|
24 |
0.03 |
-0.05 |
0.22 |
-0.33 |
0.43 |
|
0.22 |
0.55 |
-0.88 |
0.07 |
-1.80 |
|
|
0.33 |
0.13 |
-0.08 |
-0.05 |
-0.80 |
|
|
0.08 |
0.17 |
0.29 |
0.33 |
1.70 |
Варианты заданий к теме "Решение СЛАУ методом итераций"
|
№ варианта |
D |
C |
|||
|
25 |
0.13 |
0.22 |
-0.33 |
0.07 |
0.11 |
|
0.00 |
0.45 |
-0.23 |
0.07 |
-0.33 |
|
|
0.11 |
0.00 |
-0.08 |
0.78 |
0.85 |
|
|
0.08 |
0.09 |
0.33 |
0.21 |
-1.70 |
|
|
26 |
0.32 |
-0.16 |
-0.08 |
0.15 |
2.42 |
|
0.16 |
-0.23 |
0.11 |
-0.21 |
1.43 |
|
|
0.05 |
-0.08 |
0.00 |
0.34 |
-0.16 |
|
|
0.12 |
0.14 |
-0.18 |
0.06 |
1.62 |
|
|
27 |
0.00 |
0.08 |
-0.23 |
0.32 |
1.34 |
|
0.16 |
-0.23 |
0.18 |
0.16 |
-2.33 |
|
|
0.15 |
0.12 |
0.32 |
-0.18 |
0.34 |
|
|
0.25 |
0.21 |
-0.16 |
0.03 |
0.63 |
|
|
28 |
0.06 |
0.18 |
0.33 |
0.16 |
2.33 |
|
0.32 |
0.00 |
0.23 |
-0.35 |
-1.12 |
|
|
0.16 |
-0.08 |
0.00 |
-0.12 |
0.43 |
|
|
0.09 |
0.22 |
-0.13 |
0.00 |
0.83 |
|
|
29 |
0.00 |
0.34 |
0.23 |
-0.06 |
1.42 |
|
0.11 |
-0.23 |
-0.18 |
0.36 |
-0.66 |
|
|
0.23 |
-0.12 |
0.16 |
-0.35 |
1.08 |
|
|
0.12 |
0.12 |
-0.43 |
0.18 |
1.72 |
|
|
30 |
0.32 |
-0.23 |
0.41 |
-0.06 |
0.67 |
|
0.18 |
0.12 |
-0.33 |
0.00 |
-0.88 |
|
|
0.12 |
0.32 |
-0.35 |
0.67 |
-0.18 |
|
|
0.05 |
-0.11 |
0.09 |
-0.12 |
1.44 |
Список литературы
Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов. - М.: Высш. шк., 2002. - 840с.
Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. - 3-е изд., испр. - СПб: Лань, 2004. - 248с.
Кетков Ю.Л. MATLAB 6: программирование численных методов. - СПб.: БВХ-Петербург, 2004. - 672с.
Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит., 1987. - 320с.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ: Методические указания к лабораторной работе по дисциплине "Вычислительная математика"/сост. И.А. Селиванова. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. - 12 с.
Указания предназначены для студентов всех форм обучения специальности 230101 - "Вычислительные машины, комплексы, системы и сети" и бакалавров направления 230100 - "Информатика и вычислительная техника".