Исследование функций
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
СОДЕРЖАНИЕ
1. Основные теоремы дифференциального исчисления
1.1 Локальные экстремумы функции
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
2.
Исследование функций
2.1 Достаточные условия экстремума функции
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
2.3 Асимптоты графика функции
2.4 Общая схема построения графика функции
Литература
1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1 Локальные экстремумы функции
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х>0> – внутренняя точка множества Х.
Обозначим через U(х>0>) окрестность точки х>0>. В точке х>0> функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х>0>) точки х>0>, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х>0>).
Аналогично: функция f (х) имеет в точке х>0> локальный минимум, если существует такая окрестность U(х>0>) точки х>0>, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х>0>).
Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.
Пусть функция f (х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.
Проиллюстрируем данные выше определения:
На рисунке точки х>1>, х>3> – точки локального минимума, точки х>2>, х>4> – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.
Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х>3> – точка соответственно глобального минимума.
1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа
Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.
Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn + yn = zn не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1 – 1 делится на р).
Теорема Ферма. Пусть функция f (х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х>0> Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х>0> существует конечная производная f '(x>0>), то f '(x>0>) = 0.
Доказательство.
Пусть, для определенности, в точке х>0> функция имеет локальный минимум, то есть f (х) ³ f (х>0>), х Î U(х>0>). Тогда в силу дифференцируемости
f (х) в точке х>0> получим:
при х > х>0>:
>>
при х < х>0>:
>>
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда
>>
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х>0> Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f (х) и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х>0>, f (х>0>)), параллельна оси Ох:
Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х>0> = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х>0>).
0100090000032a0200000200a20100000000a201000026060f003a03574d464301000000000001003fc00000000001000000180300000000000018030000010000006c0000000000000000000000350000006f00000000000000000000000c1a00009a15000020454d460000010018030000120000000200000000000000000000000000000070120000781a0000c80000001f010000000000000000000000000000850c030082600400160000000c000000180000000a00000010000000000000000000000009000000100000002a06000018050000250000000c0000000e000080250000000c0000000e000080120000000c00000001000000520000007001000001000000a4ffffff00000000000000000000000090010000000000cc04400022430061006c006900620072006900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001100b0ae11001000000014b2110094af11005251603214b211000caf1100100000007cb01100f8b111002451603214b211000caf11002000000049642f310caf110014b2110020000000ffffffff4c08d800d0642f31ffffffffffff0180ffff01800f020180ffffffff000000000008000000080000d4fb980701000000000000005802000025000000372e9001cc00020f0502020204030204ef0200a07b20004000000000000000009f00000000000000430061006c006900620072000000000000b0b104d4af1100dee32e31e88d083234b3110040af11009c38273106000000010000007caf11007caf1100e878253106000000a4af11004c08d8006476000800000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000180000000c0000000000000254000000540000000000000000000000350000006f00000001000000dd978740858987400000000057000000010000004c000000040000000000000000000000270600001a05000050000000200000003600000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffff2b06000019050000000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e000080250000000c0000000e0000800e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b0200000000050000000c02dd000b01040000002e0118001c000000fb020300010000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010000040000002d01000004000000020101001c000000fb02f0ff0000000000009001000000cc0440002243616c6962726900000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010100040000002d010100040000002d010100050000000902000000020d000000320a0f00000001000400000000000b01dd0020470900040000002d010000040000002d010000030000000000
Пример 2. у = х3, х Î [–1; 1].
В точке х>0> = 1 функция имеет
краевой максимум. >
>>
>
Теорема Ферма не выполняется, так как
точка х>0> = 1 Ï
(–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f (а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f '(x) = 0.
Доказательство:
1) если f (x) = const на [a, b], то f '(х) = 0, х Î (a, b);
2) если f (x) ¹ const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, max f (x) или min f (x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f '(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f (x) в точке (x, f (x)) ïï Ox (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
Пример 3. f (x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f (-1) = f (1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4. >
>
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].
Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.
Теорема Коши. Пусть функции f (х) и g(х) непрерывны на отрезке
[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, х Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
>>
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим вспомогательную
функцию >
>
>
>
Функция F(х) непрерывна
на [a, b],
дифференцируема на (a, b),
причем F(а) = F(b)
= 0. Следовательно, по теореме Ролля на
(a, b) существует
точка x, такая, что
F'(x) =
0:
>>
Следовательно:
>>.
Теорема доказана.
Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f '(x)).
Теорема Лагранжа. Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что
>>
>>
(2)
Доказательство.
Из формулы (1) при g(x) = x получаем формулу (2).
Теорема доказана.
Равенство (2) называют формулой конечных приращений или формулой Лагранжа о среднем.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f (x) в точке (x, f (x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f (а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).
Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:
1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f '(x) = 0, х Î (a, b), то функция f (x) постоянна на [a, b].
2. Пусть функции f (x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f '(x) = g'(х), х Î (a, b). Тогда f (x) = g(х) + С, где С = const.
3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f '(x) > 0, х Î (a, b), то f (x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f '(x) < 0,
х Î (a, b), то f (x) строго монотонно убывает на (a, b).
2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
2.1 Достаточные условия экстремума функции
В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х>0> следует, что f '(x>0>) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х>0> – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x>0>) = 0. Точки х>0>, в которых f '(x>0>) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной
в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.
Пример 1. у = х3, у' = 3х2, у'(0) = 0, но
в точке х>0> = 0 нет экстремума.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х>0> = 0:
f
'(0) = 0 f
'(0) $
f
'(0) = ¥
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».
Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x>0>) точки х>0> (проколотая окрестность означает, что сама точка х>0> выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х>0>. Тогда:
1) если >
>
(1)
то в точке х>0> – локальный максимум;
2) если >
>
(2)
то в точке х>0> – локальный минимум.
Доказательство.
Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х>0> функция не убывает, а при х > х>0> функция не возрастает, то есть
>>
(3)
Следовательно, из (3) получаем, что в точке х>0> функция имеет локальный максимум.
Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:
f (x) f (x)
f '(х) ³ 0 f '(х) £ 0 f '(х) £ 0 f '(х) ³ 0
Теорема доказана.
Пример 2. Исследовать
на монотонность и локальный экстремум
функцию >
>
с помощью производной первого порядка.
Решение. Найдем стационарные точки функции:
>>
Þ х2 –1 = 0 Þ х>1> = –1, х>2> = 1.
Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:
х |
(–¥; –1) |
–1 |
(–1; 0) |
0 |
(0; 1) |
1 |
(1; +¥) |
у' |
+ |
0 |
– |
– |
– |
0 |
+ |
у |
–2 |
– |
2 |
max min
То есть функция >
>
возрастает на интервалах (–¥;
–1) и (1; +¥),
убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет
локальный максимум в точке
х>1> = –1, равный у>max> (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х>2> = 1,
у>min> (1) = 2.
Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х>0> – стационарная точка
(f ' (х>0>) = 0), в которой f '' (х>0>) > 0, то в точке х>0> функция имеет локальный минимум. Если же f '' (х>0>) < 0, то в точке х>0> функция имеет локальный максимум.
Доказательство. Пусть для определенности f '' (х>0>) > 0. Тогда
>>
Следовательно:
при х < х>0>, f ' (х) < 0,
при х > х>0>, f ' (х) > 0.
Поэтому по теореме 1 в точке х>0> функция имеет локальный минимум.
Теорема доказана.
Пример 3. Исследовать
на экстремум функцию >
>
с помощью второй производной.
Решение. В примере
2 для данной функции мы нашли первую
производную >
>
и стационарные точки х>1>
= –1, х>2> = 1.
Найдем вторую производную данной функции:
>>
Найдем значения второй производной в стационарных точках.
>>
Þ
в точке х>1>
= –1 функция имеет локальный максимум;
>>
Þ
в точке х>2>
= 1 функция имеет локальный минимум (по
теореме 2).
Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая: равенство производной нулю, производная не существует, равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.
2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба
Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х>1>, х>2> – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х>1>, f (х>1>)) и В (х>2>, f (х>2>)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х>1>, х>2> Î (a, b), а £ х>1> < х>2> £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), х Î [х>1>, х>2>] Ì (a, b):
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х>1>, х>2> Î (a, b), а £ х>1> < х>2> £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х), х Î [х>1>, х>2>] Ì (a, b):
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и
1) f ''(х) > 0, х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;
2) f ''(х) < 0, х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вверх.
Точка х>0> называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х>0>, что для всех х Î (х>0> – d, х>0>) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х>0>, х>0> + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х>0>, то есть точка х>0> – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х>0> функция f (х) меняет характер выпуклости:
х>0> – d х>0 >х>0> + d
Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х>0> производную f '' и х>0> – точка перегиба, то f '' (х>0>) = 0.
Доказательство.
Если бы f '' (х>0>) < 0 или f '' (х>0>) > 0, то по теореме 3 в точке х>0> функция f (х) была бы выпукла вверх или вниз. Следовательно, f ''(х>0>) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х>0> и при переходе через точку х>0> производная f ''(х) меняет знак, то точка х>0> является точкой перегиба функции f (х).
Пример 4. Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х3.
Решение. у' = 3х2, у'' = 6х = 0 Þ х>0> = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
В точке х>0> = 0 функция у = х3 имеет перегиб:
х |
(–¥; 0) |
0 |
(0; +¥) |
у'' |
– |
0 |
+ |
у |
выпукла вверх |
0 |
выпукла вниз |
точка перегиба |
Пример 5.
Исследовать на выпуклость и найти точки
перегиба функции >
>.
Решение. В примере
3 мы уже находили вторую производную
данной функции >
>.
Так как >
>
то точек подозрительных на перегиб нет.
Рассмотрим промежутки выпуклости:
х |
(–¥; 0) |
0 |
(0; +¥) |
у'' |
– |
– |
+ |
у |
выпукла вверх |
– |
выпукла вниз |
функция не определена |
2.3 Асимптоты графика функции
Асимптотой будем называть прямую, к которой график функции неограниченно близко приближается. Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
Прямая х = х>0> называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х>0> – 0) или f (х>0> + 0) равен бесконечности.
Пример 6. Найти вертикальные асимптоты функций:
а) >
>
б) >
>
в) >
>
Решение. Вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х>0>, где х>0> – точки, в которых функция не определена.
а) х = 3 – вертикальная асимптота
функции >
>.
Действительно, >
>;
б) х = 2, х = – 4
– вертикальные асимптоты функции >
>.
Действительно,
>>,
>
>;
в) х = 0 – вертикальная асимптота
функции >
>
Действительно, >
>.
Прямая у = kx
+ b
называется наклонной
асимптотой графика
непрерывной функции f
(х) при х ®
+¥
или х ®
– ¥,
если f
(х) = kx
+ b
+ α(х),
>
>,
то есть если наклонная асимптота для
графика функции f
(х) существует,
то разность ординат функции f
(х) и прямой у
= kx
+ b
в точке х стремится к 0 при х
®
+¥
или при х ®
– ¥.
Теорема 6. Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:
>>
(4)
Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонных асимптот.
Пример 7. Найти наклонные
асимптоты функции >
>
Решение. Найдем пределы (4):
>>
Следовательно, k = 1.
>>
Следовательно, b = 0.
Таким образом, функция >
>
имеет наклонную асимптоту
у = kx + b = 1 · х + 0 = х.
Ответ: у = х – наклонная асимптота.
Пример 8. Найти асимптоты
функции >
>.
Решение.
а) функция неопределенна в точках х>1> = –1, х>2> = 1. Следовательно, прямые х>1> = –1, х>2> = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.
Действительно, >
>.
>>;
б) у = kx + b.
>>
>>
Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции.
Ответ: х>1> = –1, х>2> = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-
тоты.
2.4 Общая схема построения графика функции
1. Находим область определения функции.
2. Исследуем функцию на периодичность, четность или нечетность.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум.
4. Находим промежутки выпуклости и точки перегиба.
5. Находим асимптоты графика функции.
6. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
7. Строим график.
Прежде чем перейти к примерам, напомним определения четности и нечетности функции.
Функция у = f (х) называется четной, если для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принад-лежит области определения и выполняется равенство f (х) = f (–х). График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция у = f (х) называется нечетной для любого значения х, взятого из области определения функции, значение (–х) также принадлежит об-ласти определения, и выполняется равенство f (–х) = –f (х). График не-четной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 9. Построить график
>
>.
Решение. Мы используем данные, полученные для этой функции в других примерах.
1. D (у) = (–¥; 0) È (0; +¥).
2. >
>
Следовательно, функция нечетная. Ее
график будет симметричен относительно
начала координат.
3. (см. пример 2). Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
х |
(–¥; –1) |
–1 |
(–1; 0) |
0 |
(0; 1) |
1 |
(1; +¥) |
у' |
+ |
0 |
– |
– |
– |
0 |
+ |
у |
–2 |
– |
2 |
max min
4. (см. пример 5). Исследуем функцию на выпуклость и найдем точки перегиба.
х |
(–¥; 0) |
0 |
(0; +¥) |
у'' |
– |
– |
+ |
у |
выпукла вверх |
– |
выпукла вниз |
функция не определена |
Несмотря на то, что функция поменяла характер выпуклости при переходе через точку х = 0, но в ней нет перегиба, так как в этой точке функция не определена.
5. (см. примеры 6 и 7). Найдем асимптоты функции:
а) х = 0 – вертикальная асимптота;
б) у = х – наклонная асимптота.
6. Точек пересечения с осями
координат у данной функции нет, так как
>
>,
при любых х Î ú, а х =
0 Ï D(у).
7. По полученным данным строим график функции:
Пример 10. Построить график
функции >
>.
Решение.
1. D(у) = (–¥; –1) È (–1; 1) È (1; +¥).
2. >
>
– функция нечетная. Следовательно,
график функции будет симметричен
относительно начала координат.
3. Исследуем функцию на монотонность и экстремум:
>>
3х2 – х4 = 0, х2 ·
(3 – х2) = 0, х>1> = 0, х>2> = >
>,
х>3> = >
>.
х |
(–¥; |
|
( |
–1 |
(–1; 0) |
0 |
(0; 1) |
1 |
(1;
|
|
( |
у' |
– |
0 |
+ |
– |
+ |
0 |
+ |
– |
+ |
0 |
– |
у |
2,6 |
– |
0 |
– |
–2,6 |
4. Исследуем функцию на выпуклость и точки перегиба:
>>
>>
х = 0 – точка, подозрительная на перегиб.
х |
(–¥; –1) |
–1 |
(–1; 0) |
0 |
(0; 1) |
1 |
(0; +¥) |
у'' |
+ |
– |
– |
0 |
+ |
– |
– |
у |
выпукла вниз |
– |
выпукла вверх |
0 |
выпукла вниз |
– |
выпукла вниз |
перегиб |
5. Найдем асимптоты функции:
а) х = –1, х = 1 – вертикальные асимптоты.
Действительно:
>>
>>
б) у = kx + b.
>>,
>>
Þ у = –1х + 0 = – х – наклонная асимптота.
6. Найдем точки пересечения с осями координат:
х = 0 Þ у = 0 Þ (0; 0) – точка пересечения с осями координат.
7. Строим график:
ЛИТЕРАТУРА
Гусак А. А. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: Тетрасистемс, 1998. – 415 с.
Минченков Ю. В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: Учебно-методическое пособие.– Мн.: ЧИУиП, 2007.– 20 с.