Интерполирование и приближение функций
Міністерство освіти і науки України
Національний технічний університет
“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”
Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування”
Реферат з курсу “Численные методы”
Тема: “ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ”
Виконав:
студент групи
Перевірив:
Харків
Содержание
1. Разделенные разности
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
3. Интерполяционный многочлен Ньютона
4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Литература
1. Разделенные разности
Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.
Разделенную разность функции
f(x)
для некоторых двух точек
и
определяют следующей дробью:
Для построения степенного многочлена, проходящего через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше, чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.
Вполне разумно вычислять
разделенные разности только для соседних
значений функции в таблице. В этом случае
говорят об упорядоченных разделенных
разностях. Аргументу табличной функции
присваиваются индексы из чисел
натурального ряда, начиная с нуля, в
результате чего обозначения разделенных
разностей для i-той
строки таблицы будут
.
Повторная разность от разделенной разности есть разделенная разность второго порядка:
В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид:
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа
Произведения из скобочных
сомножителей в знаменателе каждого
слагаемого напоминают своим видом некий
степенной многочлен от переменной
,
который своими корнями имеет значения
,
исключая
.
Многочлен от x с
корнями в этих же точках, включая и
,
будет иметь вид:
Удаляя тот или иной сомножитель
из
,
можно по желанию исключить ненужный
нуль многочлена. Если взять i-тое
слагаемое без
из выражения для разделенной разности
n-го порядка и
умножить его на
,
в котором отсутствует сомножитель
,
то многочлен степени n
будет обладать следующими свойствами:
Если умножить
на
,
то полученный многочлен степени n
будет проходить через точку с координатами
и будет равен нулю во всех точках
.
Сумма таких многочленов по всем
определяет интерполяционный многочлен
Лагранжа степени n.
.
3. Интерполяционный многочлен Ньютона
Интерполяционный многочлен в форме многочлена Лагранжа не удобен в случаях, когда необходимо добавлять экспериментальные данные в таблицу с целью повышения точности интерполяции. При этом необходимо проводить все вычисления заново.
Если задачу поставить так, что добавление лишней точки требовало бы лишь добавки некоторого многочлена степени (n+1) к многочлену Лагранжа n-й степени, то эту добавку можно искать, выполнив в общем виде преобразование разности двух многочленов Лагранжа: степени (n+1) и n. Несложные преобразования приводят к следующему соотношению для добавочного многочлена степени (n+1):
,
где 
–
многочлен степени (n+1),
– разделенная разность (n+1)-го
порядка.
Если считать разделенную разность
нулевого порядка равной значению функции
в точке
,
то
Поступая аналогичным образом и
находя последовательно
,
в конце концов, получим общее выражение
для другой формы представления
интерполяционного многочлена Лагранжа,
которая в литературе называется
интерполяционным многочленом Ньютона
для неравных интервалов и записывается
так:
Надо отметить, что дополнительную точку в таблицу необходимо записывать в самую нижнюю строку таблицы, чтобы не нарушить уже имеющегося упорядочения разностей и ускорить вычисление новых.
И, наконец, надо отметить, что и многочлен Лагранжа, и многочлен Ньютона удобны для вычислений, но после раскрытия скобок и приведения подобных дают один и тот же степенной многочлен.
4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Основным недостатком интерполяционных
многочленов является наличие у них
большого числа экстремумов и точек
перегибов, что определяется суммированием
в них многочленов
,
n раз меняющих
свой знак. Кроме того, исходные табличные
значения функции заданы неточно по
разным причинам, поэтому строить
многочлены выше 4-5-й степени, зная, что
из теоретических исследований функция
в интервале таблицы совсем не такая, не
имеет особого смысла.
Если табличные значения функции можно интерпретировать как теоретическое значение плюс погрешность, то, задав некоторый критерий близости теоретической кривой к заданному множеству табличных точек, можно найти нужное число параметров этой кривой.
Наиболее популярным критерием близости является минимум среднего квадрата отклонения:
,
где 
– точка экспериментальных данных из
таблицы,
– значение искомой зависимости
в точке
.
Если искомую зависимость желательно представить многочленом степени n, то (n+1) коэффициент в нем будут представлять неизвестные параметры. Подставив в сумму квадратов отклонений искомый многочлен, получим функционал, зависящий от этих параметров:
Чтобы функционал
был минимален, необходимо все частные
производные функционала по параметрам
приравнять нулю и систему разрешить
относительно неизвестных параметров
.
Эти действия приводят к следующей
системе линейных уравнений
Здесь
– постоянный коэффициент, равный сумме
(j+k)-тых
степеней всех значений аргументов. Для
их ручного вычисления удобно к исходной
таблице данных добавить еще
столбцов.
– числовые значения в правой части
системы линейных алгебраических
уравнений, для подсчета которых тоже
удобно к исходной таблице данных добавить еще n столбцов.
Демонстрацию метода наименьших
квадратов проведем для данных с
количеством точек в таблице, равным 4.
Максимальная степень аппроксимирующего
многочлена для такого набора равна 3,
так как должно выполняться соотношение:
.
Для максимальной степени аппроксимирующий
и интерполяционный многочлены равны.
Пусть таблица данных после добавления в нее дополнительных колонок выглядит следующим образом:
В нижней строке размещаем итоговые суммы по каждой колонке.
Система уравнений для полинома третьей степени:
Решив систему, найдем:
Эта же таблица без добавления
чего-либо позволяет найти коэффициенты
аппроксимирующего многочлена второй
степени. Для этого достаточно в системе
для полинома третьей степени убрать
4-е уравнение, а из остальных уравнений
исключить слагаемые с неизвестной
.
В результате система уравнений для
полинома второй степени будет:
Решив систему, найдем:
Аналогично можно уменьшать число уравнений для построения аппроксимирующих многочленов первой и нулевой степеней.
На рисунке 1 показаны графики двух аппроксимирующих многочленов второй и третьей степени. Многочлен третьей степени проходит через 4 заданные точки, а многочлен второй степени проходит сквозь множество заданных точек с минимумом суммы квадратов отклонений от них, что хорошо видно на графиках.
Рисунок 1.
Литература
Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.
Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. - М.: Наука, 1966. – 248 с.
Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
Калашников В. И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 196 с.
Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.
Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.
Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.
Шуп, Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.
Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.