Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Городская открытая научно-практическая конференция

школьников и студентов

Тема: «ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ БЕЗУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ n-Й СТЕПЕНИ, ПРИ n>2»

Выполнила:

Научный руководитель:

2007

Оглавление

Введение

Этьен Безу

Теорема Безу

Доказательство теоремы 6

Следствия из теоремы:

Следствие 1

Следствие 2

Следствие 3

Следствие 4

Следствие 5

Следствие 6

Следствие 7

Применение теоремы

Заключение

Источники

Введение

Трудно решать уравнения третьей степени и выше. Разложение левой части уравнения на множители, если правая часть равна нулю, - самый распространенный метод решения самых различных уравнений. Здесь нет общих рецептов. Многое зависит от умения, сообразительности, наблюдательности и опыта.

Но такие уравнения не всегда можно разложить на множители. Одним из методов, которые помогли мне решать уравнения высоких степеней, является теорема Безу.

Цель моей работы: изучение теоремы Безу.

Для выполнения поставленной цели предполагалось выполнить следующие задачи:

ознакомиться с биографией Этьена Безу;

проанализировать определение и доказательство теоремы;

обозначить и доказать следствия из теоремы Безу;

показать конкретные примеры применения теоремы.

Этьен Безу

Этьен Безу - французский математик, член Парижской Академии Наук (с 1758 года).

Родился в Немуре 31 марта 1730 года и умер 27 сентября 1783 года.

С 1763 года Безу преподавал математику в училище гардемаринов, а с 1768 года и в королевском артиллерийском корпусе.

Основные работы Этьена Безу относятся к высшей алгебре, они посвящены созданию теории решения алгебраических уравнений. В теории решения систем линейных уравнений он содействовал возникновению теории определителей, развивал теорию исключения неизвестных из систем уравнений высших степеней, доказал теорему (впервые сформулированную К. Маклореном) о том, что две кривые порядка m и n пересекаются не более чем в mn точках.

Во Франции и за её границей вплоть до 1848 года был очень популярен его шести томный “Курс математики “, который Безу писал пять лет с 1764 по 1769 год. Также, он развил метод неопределённых множителей: в элементарной алгебре его именем назван способ решения систем уравнений, основанный на этом методе. Часть трудов Безу посвящена внешней баллистике.

Именем учёного названа одна из основных теорем алгебры, о которой будет говориться ниже.

Теорема Безу

При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен x-a остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.)

Прежде чем доказывать теорему, сделаю два пояснения.

Мы знаем, что существуют такие алгебраические выражения, которые теряют смысл при некоторых отдельных значениях входящих в него букв. Например, 1/x теряет смысл при x=0; выражение 1/(x²-25) теряет смысл при x=5 и при x=-5.

Заметим, что многочлен любой целой положительной степени никогда не теряет смысла. При всяком значении переменной он принимает определенное значение.

Произведение двух множителей, из которых один обращается в нуль, а другой принимает определенное значение, всегда равно нулю. Если же один множитель обращается в нуль, а другой теряет смысл, то о таком произведении нельзя говорить, что оно равно нулю. О таком произведении ничего определенного сказать нельзя. В каждом отдельном случае необходимо особое исследование.

Рассмотрю произведение (1-x) * . При x=1 первый множитель обращается в нуль, а второй теряет смысл. Нельзя утверждать, что это произведение при x=1 равно нулю.

Lim [(1-x) * ] = Lim =1/2.

x→1 x→1

Итак, при x=1 само произведение (1-x) * смысла не имеет. Но его предел имеет смысл, а именно равен ½, а не нулю, как это ошибочно можно было предположить.

Доказательство теоремы Безу

Пусть f(x) обозначает собой произвольный многочлен n-й степени относительно переменной x и пусть при его делении на двучлен (x-a) получилось в частном q(x), а в остатке R. Очевидно, что q(x) будет некоторый многочлен (n-1)-й степени относительно x, а остаток R будет величиной постоянной, т.е. не зависящей от x.

Если бы остаток R был многочленом хотя бы первой степени относительно x, то это означало бы, что деление не выполнено. Итак, R от x не зависит.

По определению деления (делимое равно произведению делителя на частное плюс остаток) получаю тождество

f(x) =(x-a)q(x)+R.

Это равенство справедливо при всяком значении x, значит, оно справедливо и при x=a.

Подставляя в левую и правую части равенство вместо переменной x число a, получаю:

f(a)=(a-a)q(a)+R. (1)

Здесь символ f(a) обозначает собой уже не f(x), т.е. не многочлен относительно x, а значение этого многочлена при x=a. q(a) обозначает значение q(x) при x=a.

Остаток R остался таким, каким он был раньше, так как R от x не зависит.

Произведение (a-a)q(a) равно нулю, так как множитель (a-a) равен нулю, а множитель q(a) есть определенное число. (Многочлен q(x) ни при каком определенном значении x не теряет смысла.)

Поэтому из равенства (1) получим:

f(a)=R,

что и требовалось доказать.

Следствия из теоремы

Следствие 1.

Остаток от деления полинома f(x) на двучлен (ax+b) равен значению

этого полинома при x=-b/a, т.е. R=f(-b/a).

Доказательство:

Согласно правилу деления многочленов:

f(x)= (ax+b)*q(x)+R.

При x=-b/a:

f(-b/a)=(a(-b/a)+b)q(-b/a)+R=R. Значит, R=f(-b/a),

что и требовалось доказать.

Следствие 2:

Если число a является корнем многочлена f(x), то этот многочлен делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

По теореме Безу остаток от деления многочлена f(x) на (x-a) равен f(a), а по условию a является корнем f(x), а это значит, что f(a)=0, что и требовалось доказать.

Из данного следствия теоремы Безу видно, что задача решения уравнения f(x)=0 равносильна задаче выделения делителей многочлена f, имеющих первую степень (линейных делителей).

Следствие 3:

Если многочлен f(x) имеет попарно различные корни a_>1>, a_>2> ,… ,a_>n> ,то он делится на произведение (x-a_>1>)…(x-a_>n>) без остатка.

Доказательство:

Проведём доказательство с помощью математической индукции по числу корней. При n=1 утверждение доказано в следствии 2. Пусть оно уже доказано для случая, когда число корней равно k, это значит, что f(x) делится без остатка на

(x-a_>1>)(x-a_>2>)…(x-a_>k>), где a_>1>, a_>2>,…, a_>k> - его корни.

Пусть f(x) имеет (k+1) попарно различных корней. По предположению индукции a_>1>, a_>2>, a_>k>,…, (a_>k>_>+1>) являются корнями многочлена, а, значит, многочлен делится на произведение (x-a_>1>)…(x-a_>k>), откуда выходит, что

f(x)=(x-a_>1>)…(x-a_>k>)q(x).

При этом (a_>k>_>+1>) – корень многочлена f(x), т.е.

f(a_>k>_>+1>) = 0.

Значит, подставляя вместо x (a_>k>_>+1>), получаем верное равенство:

f(a_>k+1>)=(a_>k+1>-a_>1>)…(a_>k+1>-a_>k>)q(a_>k+1>)=0.

Но (a_>k>_>+1>) отлично от чисел a_>1>,…, a_>k>, и потому ни одно из чисел (a_>k>_>+1>-a_>1>),…, (a_>k>_>+1>-a_>k>) не равно 0. Следовательно, нулю равно q(a_>k>_>+1>), т.е. (a_>k>_>+1>) – корень многочлена q(x). А из следствия 2 выходит, что q(x) делится на (x-a_>k>_>+>_>1>) без остатка.

q(x)=(x-a_>k>_>+1>)q_>1>(x), и потому

f(x)=(x-a_>1>)…(x-a_>k>)q(x)=(x-a_>1>)…(x-a_>k>)(x-a_>k+1>)q_>1>(x).

Это и означает, что f(x) делится на (x-a_>1>)…(x-a_>k>_>+1>) без остатка.

Итак, доказано, что теорема верна при k=1, а из её справедливости при n=k вытекает, что она верна и при n=k+1. Таким образом, теорема верна при любом числе корней, что и требовалось доказать.

Следствие 4:

Многочлен степени n имеет не более n различных корней.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: если бы многочлен f(x) степени n имел бы более n корней - n+k (a_>1>, a_>2>,..., a_>n+k> - его корни), тогда бы по ранее доказанному следствию 3 он бы делился на произведение (x-a_>1>)...(x-a_>n+k>), имеющее степень (n+k), что невозможно.

Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно, и многочлен степени n не может иметь более, чем n корней, что и требовалось доказать.

Следствие 5:

Для любого многочлена f(x) и числа a разность (f(x)-f(a)) делится без остатка на двучлен (x-a).

Доказательство:

Пусть f(x) - данный многочлен степени n, a - любое число.

Многочлен f(x) можно представить в виде: f(x)=(x-a)q(x)+R, где q(x) - многочлен, частное при делении f(x) на (x-a), R - остаток от деления f(x) на (x-a).

Причём по теореме Безу:

R=f(a), т.е.

f(x)=(x-a)q(x)+f(a).

Отсюда

f(x)-f(a)=(x-a)q(x),

а это и означает делимость без остатка (f(x)-f(a))

на (x-a), что и требовалось доказать.

Следствие 6:

Число a является корнем многочлена f(x) степени не ниже первой только тогда, когда f(x) делится на (x-a) без остатка.

Доказательство:

Чтобы доказать данную теорему требуется рассмотреть необходимость и достаточность сформулированного условия.

1. Необходимость.

Пусть a - корень многочлена f(x), тогда по следствию 2 f(x) делится на (x-a) без остатка.

Таким образом делимость f(x) на (x-a) является необходимым условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), т.к. является следствием из этого.

2. Достаточность.

Пусть многочлен f(x) делится без остатка на (x-a),

тогда R=0, где R - остаток от деления f(x) на (x-a), но по теореме Безу R=f(a), откуда выходит, что f(a)=0, а это означает, что a является корнем f(x).

Таким образом, делимость f(x) на (x-a) является и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x).

Делимость f(x) на (x-a) является необходимым и достаточным условием для того, чтобы a являлось корнем f(x), что и требовалось доказать.

Следствие 7:

Многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит.

Доказательство:

Воспользуемся методом от противного: предположим, что не имеющий корней многочлен f(x) при разложении на множители содержит линейный множитель

(x–a):

f(x)=(x–a)q(x),

тогда бы он делился на (x–a), но по следствию 6 a являлось бы корнем f(x), а по условию он действительных корней не содержит. Мы пришли к противоречию, значит наше предположение неверно и многочлен, не имеющий действительных корней, в разложении на множители линейных множителей не содержит, что и требовалось доказать.

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

найти все целые делители свободного члена;

из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

левую часть уравнения разделить на (x-a);

записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

решить полученное уравнение.

Пример 1

Найти остаток от деления многочлена x³–3x²+6x–5

на двучлен x–2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2³–3*2²+6*2–5=3.

Ответ: R=3.

Пример 2

При каком значении a многочлен x⁴+ax³+3x²–4x–4 делится без остатка на двучлен x–2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12–8– 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

Пример 3

При каких значениях a и b многочлен ax³+bx²–73x+102 делится на трёхчлен x²–5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x²–5x+6=(x–2)(x–3).

Поскольку двучлены x–2 и x–3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x–2 и на x–3, а это значит, что по теореме Безу:

R_>1>=f(2)=8a+4b–146+102=8a+4b–44=0

R_>2>=f(3)=27a+9b–219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b–44=0 2a+b=11

27a+9b–117=0 3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

Пример 4.

При каких значениях a и b многочлен x⁴+ax³–9x²+11x+b

делится без остатка на трёхчлен x²–2x+1?

Представим делитель так: x² – 2x + 1 = (x – 1)²

Данный многочлен делится на x–1 без остатка, если по теореме Безу:

R_>1>=f(1)=1+a–9+11+b=a+b+3=0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x–1:

_ x⁴+ax³–9x²+11x–a–3 x–1

x⁴–x³ x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3)

_(a+1)x³–9x²

(a+1)x³–(a + 1)x²

_(a–8)x²+11x

(a–8)x²–(a–8)x

_(a+3)x–a–3

(a+3)x–a–3

0

Частное x³+(a+1)x²+(a–8)x+(a+3) делится на (x–1) без остатка, откуда

R_>2>=f(1)=1+(a+1)*1+(a–8)*1+a+3=3a–3=0.

Решу систему уравнений:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a – 3 = 0 a = 1

Из системы: a=1, b=-4

Ответ: a=1, b=-4.

Пример 5

Разложить на множители многочлен f(x)=x⁴+4x²–5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x–1) без остатка:

f(x)/(x–1)=x³+x²+5x+5, значит f(x)=(x–1)(x³+x²+5x+5).

Среди делителей свободного члена многочлена x³+x²+5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x³+x²+5x+5 делится на (x+1) без остатка:

_x⁴+4x²–5 x–1 _x³+x²+5x+5 x+1

x⁴–x³ x³+x²+5x+5 x³+x² x² +5

_x³+4x² _5x+5

x³–x² 5x+5

_5x²–5 0

5x²–5x

_5x–5

5x–5

0

(x³+x²+5x+5)/(x+1)=x²+5, значит x³+x²+5x+5=(x+1)(x²+5).

Отсюда f(x)=(x–1)(x+1)(x²+5).

По следствию 7 (x²+5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x⁴+4x²–5=(x–1)(x+1)(x²+5).

Пример 6

Разложить на множители многочлен f(x)=x⁴+324.

f(x) корней не имеет, т.к. x⁴ не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Пример 7

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x–4)²(x+2), значит:

f(x)/(x–4)²(x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x–4)²(x+2)q(x),

f(x)=(x²–8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x³–8x²+16x+2x²–16x+32)q(x),

f(x)=(x³–6x²+32)q(x).

(x³–6x²+32) - кубический многочлен, но по условию f(x) – также кубический многочлен, следовательно, Q(x) – некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x³–6x²+32.

Ответ: x³–6x²+32.

Пример 8

Решить уравнение x⁴+3x³-13x²-9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x³+5x²-3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x²-3)=0

_x⁴+3x³-13x²-9x+30 x-2

x⁴-2x³ x³+5x²-3x-15

_5x³-13x²

5x³-10x²

_-3x²-9x

-3x²+6x

_-15x+30

-15x+30

0

Ответ: x_>1>=2,_> >x_>2>=-5,_> >x_>3,4>=.

Пример 9

Решить уравнение x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=0.

Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.

-12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

_x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12 x-1

x⁶-x⁵ x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12

_2x⁵-7x⁴

2x⁵-7x⁴

_-5x⁴-5x³

-5x⁴+5x³

_-10x³+16x² _x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12 x+2

-10x³-10x² x⁵+2x⁴ x⁴-5x²+6

_6x²+6x _ -5x³-10x²

6x²-6x -5x³-10x²

_12x-12 _ 6x+12

12x-12 6x+12

0 0

x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=(x-1)(x⁵+2x⁴-5x³-10x²+6x+12)=0

x⁶+x⁵-7x⁴-5x³+16x²+6x-12=(x-1)(x+2)(x⁴-5x²+6)=0

x⁴-5x²+6=0 – биквадратное уравнение, x_>1,2>=, x_>3,4>=.

Ответ: x_>1,2>=, x_>3,4>=, x_>5>=1,_> >x_>6>=-2.

Пример 10

Решить уравнение x³-5x²+8x-6=0.

-6 1; 2; 3; 6.

_x³-5x²+8x-6 x-3

x³-3x² x²-2x+2

_-2x²+8x

-2x²+6x

_2x-6

2x-6

0

x³-5x²+8x-6=(x²-2x+2)(x-3)=0

x²-2x+2=0 – квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.

Ответ: x=3.

Пример 11

Решить уравнение 6x³+11x²-3x-2=0.

-2 1; 2.

_6x³+11x²-3x-2 x+2

6x³+12x² 6x²-x-1

_-x²-3x

-x²-2x

_-x-2

-x-2

0

6x³+11x²-3x-2=(6x²-x-1)(x+2)=0

6x²-x-1=0 – квадратное уравнение, x_>1>=½, x_>2>=-⅓.

Ответ: x_>1>=½, x_>2>=-⅓, x_>3>=-2.

Заключение

Теорема Безу - одна из основных теорем алгебры, названная именем французского ученого Этьена Безу.

Существует несколько следствий из теоремы, которые помогают при решении практических задач. Из рассмотренных примеров можно сделать вывод, что теорема Безу находит применение при решении задач, связанных с делимостью многочленов, например, нахождение остатка при делении многочленов, определение кратности многочленов и т.д. Также, теорема работает при разложении многочленов на множители, при определении кратности корней и многих других.

Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений.

Источники

1. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области математики.

   Виноградов И.М. (главный редактор) Математическая энциклопедия.

   Туманов С.И. Элементарная алгебра

   Яремчук Ф.П., Рудченко П.А. Алгебра и элементарные функции.

   Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварц-бурд С.И. Алгебра и математический анализ.

   Курош А.Г. Курс высшей алгебры.

   Internet