Знаходження власних значеннь лінійого оператора
Міністерство освіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний №________
Дата ___________________
КУРСОВА РОБОТА
Тема:
Знаходження власних значень лінійного оператора
Рекомендована до захисту
“____” __________ 2008р.
Робота захищена
“____” __________ 2008р.
з оцінкою
_____________________
Підписи членів комісії
Зміст
Вступ
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
2. Матриця лінійного оператора
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора
Практична частина
1. Опис програми
2. Текст програми
3. Контрольний приклад
Висновок
Список літератури
Вступ
Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.
Нехай в дійсному
лінійному просторі
задан лінійний оператор
.
Якщо вектор
,
відмінний від нуля, переводиться
оператором
у вектор, пропорційний самому
,
,
де
–
деяке дійсне число, то вектор
називається власним вектором оператора
,
а число
–
власним значенням цього оператора,
причому, власний вектор
відноситься до власного значення
.
Обертання
евклідової площини навколо початку
координат на кут, що не являється кратним
,
є прикладом лінійного оператора, що не
має власних векторів. Прикладом іншого
випадку є розтягнення площини, при якому
всі вектори, що виходять з початку
координат, причому всі нульові вектори
площини будуть для нього власними; всі
вони відносяться до власного значення
5.
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.
Нехай
–
деякий векторний простір над полем
.
Означення 1.
Вважають,
що у векторному просторі
задано оператор, якщо вказано правило
(закон), за яким кожному вектору
простору
ставиться у відповідність деякий вектор
цього ж простору. Про цьому вектор
називають образом вектора
,
а
називають прообразом вектора
.
Як бачимо,
оператор у векторному просторі
– це функція, множиною відправлення і
множиною прибуття якої є простір
.
Означення 2.
Оператор
у векторному просторі
називається лінійним, якщо він задовольняє
такі умови:
Лінійні оператори
в просторі
називають також лінійним перетворенням
простору
.
З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:
1. Будь-який
лінійний оператор
у просторі
залишає нерухомим нульовий вектор
цього простору, тобто
.
2. Всякий
лінійний оператор
у просторі
протилежному вектору –
будь-якого
вектора
,
ставить у відповідність вектор,
протилежний образу вектора
,
тобто
.
3. Кожен лінійний
оператор
у просторі
будь-який лінійний комбінації довільно
вибраних векторів
простору
ставить у відповідність лінійну
комбінацію (з тими самими коефіцієнтами)
образів цих векторів, тобто
.
2. Матриця лінійного оператора
Нехай
–
деякий лінійний оператор у просторі
.
Виберемо в
який-небудь базис
.
Оператор
відображає вектори цього базису в деякі
вектори
.
Кожен вектор
єдиним способом лінійно виражається
через вектори базису
.
Припустимо, що
Складемо з
коефіціентів
матрицю
.
Рядками матриці
є координатні рядки векторів
в
базисі
.
Оскльки координатні рядки векторів
визначені однозначно, то й матриця
визначається оператором
в базисі
.
Будемо вважати,
що в базисі
лінійний оператор
задається матрицею
.
Отже, при
зафіксованому базисі
кожному лінійному оператору
простору
відповідає певна квадратна матриця
-го
порядку – матриця цього оператора.
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора
Означення 1.
Підпростір
лінійного простору
називається інваріантним відносно
оператора
,
якщо
,
тобто якщо образ
будь-якого вектора
із
міститься в
.
Нехай
–одновимірний
підпростір простору
,
а
–деякий
лінійний оператор цього простору.
Підпростір
,
як відомо, породжується будь-яким своїм
вектором
,
тобто є сукупністю всіх векторів виду
,
де
–
будь яке число з поля Р. Якщо підпростір
інваріантний відносно оператора
,
то
,
тобто
,
де
–деяке
число з поля Р. Тоді й для будь-якого
вектора
підпростору
,
бо
,
і тому
.
Означення 2.
Вектор
,
що заддовільняє співвідношення
,
де
називається власним вектором оператора
,
а число
– власним
значенням оператора
,
що відповідає власному вектору
.
Отже, якщо
одглвимірний підпростір
простору
інваріантний відносно лінійного
оператора
,
то всі вектори цього підпростору є
власними векторами оператора
з тим самим власним значенням оператора
.
Практична частина
1. Опис програми
n – вимірність матриці;
m – максимальне допустиме число ітерацій;
e – точність;
a – на вході – двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;
t – двовимірний масив власних векторів А;
b – цілочислова змінна.
Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.
2. Текст програми
uses crt;
const dim=10;
type ar=array[1..dim,1..dim]of real;
var ff:text;
i100,j100,n100,b,m:integer;
e:real;
a,t:ar;
procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);
var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;
i,j,k,n1,q:integer;
u,v,w,z:boolean;
function zn(x:real):integer;
begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;
begin
u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);
if b<>0 then
begin
if b<0 then v:=true else w:=true;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0;
end;
for q:=1 to m do
begin
if u then begin b:=1-q; exit; end;
i:=1; z:=false;
repeat
j:=i+1;
repeat
if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1) or
(abs(a[i,j]-a[j,i])>e1) and
(abs(a[i,i]-a[j,j])>e1) then z:=true;
j:=j+1;
until (j>n) or z;
i:=i+1;
until (i>n1) or z;
if not z then begin b:=q-1; exit; end;
u:=true;
for k:=1 to n1 do
for j:=k+1 to n do
begin
h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]); y:=y+x-d;
if (i<>k) and (i<>j) then
begin
h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];
p:=x+sqr(a[j,i]); r:=d+sqr(a[k,i]);
g:=g+p+r; f:=f-p+r;
end;
end;
h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];
p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];
if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end
else
begin
x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);
s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;
end;
if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;
co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;
h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));
if abs(x)<=e
then begin ch:=1; sh:=0; end
else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;
c1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;
s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;
if (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then
begin
u:=false;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[k,i];a[k,i]:=c1*p+s1*a[j,i];
a[j,i]:=s2*p+c2*a[j,i];
if v then
begin
p:=t[k,i]; t[k,i]:=c1*p+s1*t[j,i];
t[j,i]:=s2*p+c2*t[j,i];
end;
end;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[i,k];a[i,k]:=c2*p-s2*a[i,j];
a[i,j]:=-s1*p+c1*a[i,j];
if w then
begin
p:=t[i,k];t[i,k]:=c2*p-s2*t[i,j];
t[i,j]:=-s1*p+c1*t[i,j];
end;
end;
end;
end;
end;
b:=m;
end;
begin clrscr;
write('введите максимальное количество итераций');read(m);
write('введите точность');read(e);
assign(ff,'vlasn.dat');
reset(ff);
read(ff,n100);
for i100:=1 to n100 do
for j100:=1 to n100 do
read(ff,a[i100,j100]);
b:=0;
eigen(n100,m,e,a,t,b);
for i100:=1 to n100 do begin
for j100:=1 to n100 do
write(a[i100,j100],' ');
writeln; end;
writeln;
writeln(b);
readkey;
end.
3. Контрольний приклад
При e=10-8 і m=50 для матриці
за 7 ітерацій знайдено власні значення
Тобо отримали
такі власні значення
,
,
Висновок
Таким чином,
задача знаходження інваріантних відносно
оператора
одновимірних підпросторів простору
рівнозначна задачі згаходження власних
векторів оператора
.
Список літератури
1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975
2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974
3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976