Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел

IX математический симпозиум.

Закономерность распределения простых чисел в ряду натуральных чисел.

г. Волжский.

05-11 октября 2008 года.

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Простые числа? – Это просто!?

Узнав о важной роли простых чисел (ПЧ) в криптографии, генерации случайных чисел, навигации, имитационном моделировании и о том, что нужна закономерность распределения ПЧ в ряду натуральных чисел, не являясь математиком, всё же рискнул заняться решением этой задачи. Результат ниже.

Для начала выписал ряд ПЧ. Конечно же, это было сделано с целью заметить, хоть какую бы, закономерность. С этой же целью были вычислены разности между соседними числами ряда ПЧ. Было замечено, что иногда появлялась последовательность разностей 6-4-2-4-2-4-6-2. Там, где эта последовательность нарушалась, были введены составныё числа (СЧ). Результат представлен в таблице 1, СЧ в которой подчёркнуты. Числа 2, 3, 5, являясь ПЧ, из рассмотрения всё же были убраны. Это первое исключение из правил. Вторая вольность заключалась введением в рассмотрение числа 1, зная, что единица не является простым числом.

Целью же было найти закономерность среди ПЧ + СЧ, а потом уже найти закономерность среди ПЧ. Стратегия поиска закономерности ПЧ заключалась в следующей логической формуле:

(закономерность ПЧ+СЧ) – (закономерность СЧ) = закономерность ПЧ.

Из ПЧ + СЧ, представленных в таблице 1, была составлена система из восьми арифметических прогрессий. Результат представлен в таблице 2.

Разности всех восьми прогрессий равны 30 и их первые члены равны соответственно 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, а сами ряды обозначены через R1, R7,R11, R13, R17, R19, R23, R29. СЧ, как и в таблице 1, подчёркнуты и сверху расписаны в виде произведений двух чисел. Можно сформулировать правило, по которому в любой из восьми арифметических прогрессий распределены СЧ.

Если в арифметической прогрессии, какой – либо член an можно представить в виде двух сомножителей fxp, то последующие члены этой прогрессии an+mf являются произведением fx(p+md), а члены an+kp произведением px(f+kd), где m и k любые натуральные

числа, а d – разность этой прогрессии.

Данное правило не нуждается в доказательстве, т. к. фактически следует из определения арифметической прогрессии. Но для обеспечения закономерности ПЧ имеет большое значение. Во - первых, оно запрещает поиск рядов ПЧ, подчиняющихся одной арифметической прогрессии, т. к. любое простое число an можно представить в виде anх1, и тогда в любом ряде через число членов an, появляется составное число anх(1+d).

Во – вторых, в любой арифметической прогрессии появление дополнительных составных чисел возможно только в сочетании с разностью именно этой прогрессии.

Это правило можно сформулировать для любого числа сомножителей, но в данном случае интерес представляет число сомножителей равное двум.

В качестве примера рассмотрим в ряде R1 четвёртый член равный 91=7х13. Ближайшим членом в ряде R1 кратным семи является число 301, отстоящее от числа 91 на семь номеров, соответственно, число 301 принадлежит ряду СЧ. Число 301 является произведением 7х43 (301=7х43), и с номера этого числа равного 11, каждое сорок третье число, тоже делится на 43 и, соответственно, принадлежит к ряду СЧ. Дальше это можно не описывать, т. к. это хорошо видно в таблице 2.

Расписав таблицу 2 в виде математических символов, удалось получить систему из восьми формул, расписанных в виде разности сумм, см. таблицу 3. Во всех восьми формулах системы, члены с рядами двойных сумм служат фильтрами, удаляющими СЧ из ряда ПЧ+СЧ, и задают работу фильтров в виде матриц.

В таблице 4 изображено распределение номеров СЧ в ряде R1, определяемых вторым членом формулы. Это матрица, в которой и по столбцам и по строкам арифметические прогрессии.

В формулах индексы и обозначают столбцы и строки подобных матриц, сами же и дополнительными индексами не отягощаю. Без и описать работу матриц не смог, а формальная фраза, что в выражениипод суммой произведений подразумеваются всевозможные их комбинации в зависимости от значений a1 и с1, будет неверна. Ибо все члены с номерами при >1 и >1 из формулы выпадают.

Система формул арифметических прогрессий, позволяющая вычислять ПЧ, получилась достаточно громоздкой, но закономерность обозначена.

Данная статья была подготовлена для публикации в научном журнале с математическим уклоном. Пока шёл поиск данного журнала, путём несложных умозаключений, была составлена система рядов арифметических прогрессий с разностью 10. Результат в таблице 5 и 6. Всё было расписано по образцу и подобию предыдущего материала. В таблице 7 изображена матрица для номеров второго члена формулы 1 таблицы 6.

Не начав переписывать статью заново, в связи с открытием новой системы уравнений, опять же путём размышлений, были расписаны арифметические прогрессии с разностью 2 и 1, т.е. при разности единица ПЧ были напрямую увязаны с натуральным рядом. Результат в таблице 8 и 9.

Всё расписано, как и в случаях с системами уравнений арифметических прогрессий разностей 30 и 10. И после этого наступил момент истины.

Оказалось, что подобных уравнений можно составить бесконечное множество. Навскидку – это арифметические прогрессии с разностью 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60, и т.д. Даже в перечисленном до разности 60 указаны не все.

Обобщающий вывод:

ПЧ можно представить комбинацией арифметических прогрессий. Таких комбинаций бесконечное множество. Но каждая из комбинаций систем арифметических прогрессий позволяет только единственное представление ПЧ при заданной разности прогрессий задающий ряды ПЧ+СЧ.

1		7		11		13		17		19		23		29		31		37		41		43		47		49		53		59
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
61		67		71		73		77		79		83		89		91		97		101		103		107		109		113		119
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
121		127		131		133		137		139		143		149		151		157		161		163		167		169		173		179
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
181		187		191		193		197		199		203		209		211		217		221		223		227		229		233		239
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
241		247		251		253		257		259		263		269		271		277		281		283		287		289		293		299
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
301		307		311		313		317		319		323		329		331		337		341		343		347		349		353		359
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
361		367		371		373		377		379		383		389		391		397		401		403		407		409		413		419
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
421		427		431		433		437		439		443		449		451		457		461		463		467		469		473		479
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
481		487		491		493		497		499		503		509		511		517		521		523		527		529		533		539
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
541		547		551		553		557		559		563		569		571		577		581		583		587		589		593		599
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
601		607		611		613		617		619		623		629		631		637		641		643		647		649		653		659
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
661		667		671		673		677		679		683		689		691		697		701		703		707		709		713		719
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2
721		727		731		733		737		739		743		749		751		757		761		763		767		769		773		779
	6		4		2		4		2		4		6		2		6		4		2		4		2		4		6		2

7х13

11х11

7х43

19х19

17х23

11х41

13х37

7х73

121

151

181

211

241

271

301

331

361

391

421

451

481

511

541

571

11х17

7х31

13х19

7х61

11х47

127

157

187

217

247

277

307

337

367

397

427

457

487

517

547

577

7х23

13х17

11х31

7х53

19х29

7х83

101

131

161

191

221

251

281

311

341

371

401

431

461

491

521

551

581

7х19

11х23

7х49

13х31

17х29

7х79

11х53

103

133

163

193

223

253

283

313

343

373

403

433

463

493

523

553

583

7х11

7х41

13х29

11х37

19х23

7х71

17х31

107

137

167

197

227

257

287

317

347

377

407

437

467

497

527

557

587

7х7

13х13

7х37

17х17

11х29

7х67

23х23

13х43

19х31

109

139

169

199

229

259

289

319

349

379

409

439

469

499

529

559

589

11х13

7х29

17х19

7х59

11х43

13х41

113

143

173

203

233

263

293

323

353

383

413

443

473

503

533

563

593

7х17

11х19

13х23

7х47

11х49

7х77

119

149

179

209

239

269

299

329

359

389

419

449

479

509

539

569

599

7х103

11х71

29х29

13х67

17х53

19х49

7х133

31х31

23х47

11х101

7х163

601

631

661

691

721

751

781

811

841

871

901

931

961

991

1021

1051

1081

1111

1141

1171

13х49

7х91

23х29

17х41

19х43

11х77

7х121

13х79

7х151

31х37

11х107

607

637

667

697

727

757

787

817

847

877

907

937

967

997

1027

1057

1087

1117

1147

1177

13х47

11х61

17х43

7х113

23х37

13х77

11х91

7х143

19х59

611

641

671

701

731

761

791

821

851

881

911

941

971

1001

1031

1061

1091

1121

1151

1181

19х37

7х109

13х61

11х83

23х41

7х139

17х59

13х91

7х169

613

643

673

703

733

763

793

823

853

883

913

943

973

1003

1033

1063

1093

1123

1153

1183

7х101

11х67

13х59

7х131

19х53

17х61

11х97

23х49

7х161

13х89

617

647

677

707

737

767

797

827

857

887

917

947

977

1007

1037

1067

1097

1127

1157

1187

11х59

7х97

17х47

7х127

13х73

11х89

7х157

19х61

29х41

619

649

679

709

739

769

799

829

859

889

919

949

979

1009

1039

1069

1099

1129

1159

1189

7х89

23х31

11х73

17х49

7х119

19х47

13х71

7х149

29х37

11х103

623

653

683

713

743

773

803

833

863

893

923

953

983

1013

1043

1073

1103

1133

1163

1193

17х37

13х53

7х107

19х41

11х79

29х31

7х137

23х43

13х83

17х67

7х167

11х109

629

659

689

719

749

779

809

839

869

899

929

959

989

1019

1049

1079

1109

1139

1169

1199

4	+7	11	+7	18	+7	25	+7	32	39	46	53	60	67	…
+13		+43		+73		+103		+133	+163	+193	+223	+253	+283
17	+37	54	+37	91	+37	128		165	202	239	276	313	350	…
		+43		+73		+103
30	+67	97	+67	164	+67	231		298	365	432	499	566	633	…
+13		+43		+73		+103
43	+97	140	+97	237	+97	334		431	528	625	722	819	916	…

56	+127	183		310		437		564	691	818	945	1072	1199	…

69	+157	226		383		540		697	854	1011	1168	1325	1482	…

82	+187	269		456		643		830	1017	1204	1391	1578	1765	…

95	+217	312		529		746		963	1180	1397	1614	1831	2048	…

108	+247	355		602		849		1096	1343	1590	1837	2084	2331	…

121	+277	398		675		952		1229	1506	1783	2060	2337	2614	…
…		…		…		…		…	…	…	…	…	…

		3х7			3х17			9х9 3х27	7х13		3х37	11х11		3х47		7х23	9х19 3х57			3х67
1	11	21	31	41	51	61	71	81	91	101	111	121	131	141	151	161	171	181	191	201
			3х11			7х9 3х21			3х31			3х41	7х19	11х13	9х17 3х51			3х61		7х29
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93	103	113	123	133	143	153	163	173	183	193	203
		3х9			3х19		7х11	3х29			9х13 3х39			7х21 3х49			3х59	11х17		9х23 3х69
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97	107	117	127	137	147	157	167	177	187	197	207
3х3			3х13	7х7		3х23			9х11 3х33		7х17	3х43			3х53	13х13		9х21 7х27 3х63		11х19
9	19	29	39	49	59	69	79	89	99	109	119	129	139	149	159	169	179	189	199	209

R1	13х17	11х21 7х33 3х77			9х29 3х87			3х97	7х43		3х107		11х31	9х39 13х27 3х117	19х19	7х53	3х127	17х23
211	221	231	241	251	261	271	281	291	301	311	321	331	341	351	361	371	381	391
R3 9х27 3х71			9х27 3х81	11х23		7х39 3х91			3х101		17х19	9х37 3х111	7х49		11х33 3х121			3х131
213	223	233	243	253	263	273	283	293	303	313	323	333	343	353	363	373	383	393
9х27 11х27 R7 9х33 7х31		3х79	13х19		3х89		7х41	11х27 9х33 3х99			3х109			17х21 7х51 3х119		13х29	9х43 3х129
217	227	237	247	257	267	277	287	297	307	317	327	337	347	357	367	377	387	397
9х27 R9 3х73			3х83	7х37		9х31 3х93	17х17	13х23	3х103	11х29	7х47	19х21 3х113			9х41 3х123			7х57 3х133
219	229	239	249	259	269	279	289	299	309	319	329	339	349	359	369	379	389	399

R1	3х137			9х49 21х21 7х63 3х147	11х41		3х157	13х37		3х167	7х73		9х59 3х177		19х29	11х51 17х33 3х187		7х83
401	411	421	431	441	451	461	471	481	491	501	511	521	531	541	551	561	571	581
R3	7х59	9х47 3х141			3х151		11х43	7х69 21х23 3х161	17х29		19х27 9х57 3х171			3х181	7х79		3х191	11х53
403	413	423	433	443	453	463	473	483	493	503	513	523	533	543	553	563	573	583
7х81 9х63 R7 11х37	3х139	7х61	19х23	3х149			9х53 3х159		7х71	3х169	11х47	17х31	3х179			7х81 9х63 3х189
407	417	427	437	447	457	467	477	487	497	507	517	527	537	547	557	567	577	587
R9		11х39 3х143			9х51 17х27 3х153	7х67		3х163			3х173	23х23	11х49 7х77	9х61 3х183			3х193	19х31
409	419	429	439	449	459	469	479	489	499	509	519	529	539	549	559	569	579	589

3	+3	6	+3	9	+3	12	+3	15	18	21	24	27	30	…
+7		+17		+27		+37		+47	+57	+67	+77	+87	+97
10	+13	23	+13	36	+13	49		62	75	88	101	114	127	…
+7		+17		+27		+37		+47
17	+23	40	+23	63	+23	86		109	132	155	178	201	224	…
+7		+17		+27		+37		+47
24	+33	57	+33	90	+33	123		156	189	222	255	288	321	…
+7
31	+43	74		117		160		203	246	289	332	375	418	…

38	+53	91		144		197		250	303	356	409	462	515	…

45	+63	108		171		234		297	360	423	486	549	612	…

52	+73	125		198		271		344	417	490	563	636	709	…

59	+83	142		225		308		391	474	557	640	723	806	…

66	+93	159		252		345		438	531	624	717	810	903	…
…		…		…		…		…	…	…	…	…	…

3х3

an_>i>_>>=2n - 1

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61 …

5	+3	8	+3	11	+3	14	+3	17	+3	20	+3	23	+3	26	+3	29	…
+3		+5		+7		+9		+11		+13		+15		+17		+19
8	+5	13		18		23		28		33		38		43		48	…
+6 +3 +6
11	+7	18		25		32		39		46		53		60		67	…
+3
14	+9	23		32		41		50		59		68		77		86	…
+6 +3 +7
n_>>≠ n_>>≠ 17	+11	28		39		50		61		72		83		94		105	…
+3
20	+13	33		46		59		72		85		98		111		124	…
+3
23	+15	38		53		68		83		98		113		128		143	…
+3
26	+17	43		60		77		94		111		128		145		162	…
+3
29	+19	48		67		86		105		124		143		162		181	…
…		…		…		…		…		…		…		…		…

2х2

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32,

33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44 ,45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56. 57, 58, 59, 60, 61 …

an_>i>_>>= n

4	+2	6	+2	8	+2	10	+2	12	+2	14	+2	16	+2	18	…
+2		+3		+4		+5		+6		+7		+8		+9
6	+3	9	+3	12	+3	15	+3	18	+3	21	+3	24	+3	27	…
+6 +2 +6
8	+4	12		16		20		24		28		32		36	…
+2
n_>>≠ 10	+5	15		20		25		30		35		40		45	…
+6 +2 +7 n_>>≠
12	+6	18		24		30		36		42		48		54	…
+2
14	+7	21		28		35		42		49		56		63	…
+2
16	+8	24		32		40		48		56		64		72	…
+2
18	+9	27		36		45		54		63		72		81	…
…		…		…		…		…		…		…		…

5х5 7х7 5х11 5х17 7х13 5х23 11х11 7х19 5х29

1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49, 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91, 97, 103, 109, 115, 121, 127, 133, 139, 145,

5х7 5х13 7х11 5х19 7х17 5х25

5, 11, 17, 23, 29, 35, 41, 47, 53, 59, 65, 71 , 77, 83, 89, 95, 101, 107, 113, 119, 125, 131, 137, 143. 149 …

5	+5	10	+5	15	+5	20	+5	25	…
+5		+11		+17		+23		+29
10	+11	21	+11	32	+11	43	+11	54	…
+5		+11
15	+17	32		49		66		83	…
+5		+11
20	+23	43		66		89		112	…
+5		+11
25	+29	54		83		112		141	…
…		…		…		…		…

Закономерность распределения простых чисел (дополнение).

Белотелов В.А.

Нижегородская обл.

г. Заволжье

vbelotelov@mail. ru

Там где даны в качестве примера разности арифметических прогрессий и указан их ряд 1, 2, 4, 6, 10, 12, 18, 20, 30, 36, 60. На самом деле пропусков в ряду быть не должно. Ряд разностей арифметических прогрессий имеет вид – 1, 2, 3, 4, 5, 6….  .

Я написал предыдущий ряд разностей по принципу личной симпатии. Подстраховался от критики, ежели бы у кого-то не получилось составить систему уравнений, например, с разностью d = 7, ибо для нетренированных рук могут возникнуть трудности.

И ещё. Формулы членов матриц составных чисел (СЧ), которые описываются в системах уравнений двойными суммами. Для этого требуется всего лишь в значения переменных двойных сумм вставить их аналитические выражения через переменные и - столбцы и строки матриц.

Тогда формула любого члена матриц СЧ таблицы 4, примет вид (30I - 17) (30j - 23).

Аналогично для таблицы 7 - (10I - 3) (10 j - 7).

Для таблицы 8, ряда нечётных чисел - (2I + 1) (2 j + 1).

Для таблицы 9, ряда натуральных чисел - (I + 1) ( j + 1).

Заостряю внимание на том факте, что это уже не номера членов СЧ в рядах простых чисел ПЧ + СЧ, а численные значения этих номеров. И подобных уравнений СЧ можно составить по числу систем арифметических прогрессий, и даже значительно больше, т.е. бесконечное множество.

Всё же для наглядности распишу систему уравнений таблицы 3 предыдущей работы.