Доказательство сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера
© Н.М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
- количество членов прогрессии равно N;
- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U>1> = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V>1> =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U>2> = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V>2> = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:
V>0> = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]
U>0> = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V>0i> + U>0i> = N,
где V>0>>i> и U>0>>i>> >- i – тые члены прогрессий V>0 >и> >U>0>.
При n – четном количество членов прогрессии V>0> равно количеству членов> >прогрессии> >U>0> и равно:
K = 0,5∙n = 0,25·N. /1/
Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U>3> = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V>3> = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U>4> = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V>4> = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:
V>0> = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U>0> = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V>0i> + U>0i> = N,
где V>0>>i> и U>0>>i>> >- i – тые члены прогрессий V>0 >и> >U>0>.
При n –нечетном количество членов прогрессии V>0> равно количеству членов> >прогрессии> >U>0> и равно:
К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2). /2/
Количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i> прогрессий V>0 > и> > U>0> равно: П =К.
В общем случае обозначим:
Z>pv> – количество простых чисел в прогрессии V>0>;
Z>sv> -- количество составных чисел в прогрессии V>0>;
Z>pu> -- количество простых чисел в прогрессии U>0>;
Z>su>> >-- количество составных чисел в прогрессии U>0>;
П>s>>/>>v> – количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i>, состоящих из составных чисел прогрессии U>0> и простых чисел прогрессии V>0>;
П>s>>/>>u>– количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i>, состоящих из составных чисел прогрессии V>0 >и простых чисел прогрессии U>0>;
П>р> --> >количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i>, состоящих из простых чисел прогрессий V>0> и> > U>0>.
Очевидно, что:
П = К = Z>pv> + Z>sv >= Z>pu> + Z>su> ; /3/
Z>sv> = K - Z>pv>; Z>su>= K - Z>pu>.
Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N ≤ 116: Z>pv>> Z>su>; Z>pu> > Z>sv>;
- для чисел N = 118…136: Z>pv>=Z>su>; Z>pu> = Z>sv>;
- для чисел N≥138: Z>pv><Z>su>; Z>pu> < Z>sv>.
Составим прогрессии V>0> и U>0> для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Z>pv>, Z>sv>, Z>pu>, Z>su>>,> П>s>>/>>v>, П>s>>/>>u>, П>р> и соотношения между ними как для прогрессий V>0> и U>0> в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i> равно:
П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.
V>0> ={ V>01 >=[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V>02> =[ 15 17 19 21 23] V>03>=[25 27]
U>0> ={U>01 >= [119 117 115 113 111 109 107 ] U>02> =[105 103 101 99 97 ] U>03>=[95 93]
П>р>> > * * * * * *
V>04 >= [ 29 31 ] V>05 >= [ 33 35 ] V>06>= [ 37 39 41 43 45 47 ] V>07>= [ 49 51 53]
U>04>= [ 91 89 ] U>05>= [ 87 85 ] U>06>= [ 83 81 79 77 75 73 ] U>07>= [ 71 69 67]
П>р> * * * * *
V>08> = [ 55 57 59 ] }.
U>08> = [ 65 63 61 ] }.
П>р > *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V>0 > и U>0> в целом имеем:
Z>pv> =17, Z>sv> =13, Z>pv> = Z>su>, П>s>>/>>v>> >=5, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =13, Z>su> =17, Z>pu> = Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=1, П>р> = 12.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 17 – 5 = 12;
R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует:
R>v>> >=R>u> => >П>р> = 12.
Для подпрогрессий V>01 > и U>01> имеем:
Z>pv> =6, Z>sv> =1, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=3, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>,
Z>pu> =3, Z>su> =4, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 3.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 6 – 3 = 3; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 3.
Для подпрогрессий V>02 > и U>02> имеем:
Z>pv> =3, Z>sv> =2, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=0, П>s>>/>>v> => >П>s>>/>>u>> >= 0,
Z>pu> =3, Z>su> =2, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 3.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 3 – 0 = 3; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 3.
Для подпрогрессий V>04 > и U>04> имеем:
Z>pv> =2, Z>sv> =0, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=1, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>,> >
Z>pu> =1, Z>su> =1, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 1.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 2 – 1 = 1; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 1.
Для подпрогрессий V>06 > и U>06> имеем:
Z>pv> =4, Z>sv> =2, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=1, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>,> >
Z>pu> =3, Z>su> =3, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 3.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 4 – 1 = 3; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 3.
Для подпрогрессий V>07> и U>07> имеем:
Z>pv> =1, Z>sv> =2, Z>pv> = Z>su>, П>s>>/>>v>> >=0, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =2, Z>su> =1, Z>pu> = Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=1, П>р> = 1.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 1 – 0 = 1; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 2 – 1 = 1.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 1.
Для подпрогрессий V>08> и U>08> имеем:
Z>pv> =1, Z>sv> =2, Z>pv> < Z>su>, П>s>>/>>v>> >=0, П>s>>/>>v> => >П>s>>/>>u>> >= 0,
Z>pu> =1, Z>su> =2, Z>pu> < Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 1.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 1 – 0 = 1; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 1.
ПРИМЕР 2. N=154; n=0,5N =0,5·154= 77 – нечетное число.
В соответствии с зависимостями /2/ и /3/ количество пар чисел V>0>>i> + U>0>>i> равно:
П = К=0,5(n+1) = 0,25(N + 2) = 0,25 (154 + 2) = 39.
V>0> ={V>01>= [ 1 3 5 7 9 ] V>02>= [ 11 13 15 17 19 21 23] »
U>0> ={U>01>= [153 151 149 147 145] U>02>= [143 141 139 137 135 133 131 ] »
П>р > * * * *
V>03>=[ 25 27 29 31 33 35 37 39] V>04>=[ 41 43 45 47 49 51 53]
U>03>=[129 127 125 123 121 119 117 115] U>04>=[113 111 109 107 105 103 101]
П>р > * * *
» V>05>= [55 57 59 61 63 65 67 69] V>06>= [ 71 73 ] V>07> = [ 75 77 ] }.
» U>05>= [99 97 95 93 91 89 87 85] U>06>= [ 83 81 ] U>07> = [ 79 77 ] }.
П>р > *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V>0 > и U>0> в целом имеем:
Z>pv> =21, Z>sv> =18, Z>pv> < Z>su>, П>s>>/>>v>> >=13, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u> ,
Z>pu> =15, Z>su> =24, Z>pu> < Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=7, П>р> = 8.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 21 – 13 = 8; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 15 – 7 = 8.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 8.
Для подпрогрессий V>01 > и U>01> имеем:
Z>pv> =4, Z>sv> =1, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=2, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =2, Z>su> =3, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 2.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 4 – 2 = 2; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 2 – 0 = 2.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 2.
Для подпрогрессий V>02 > и U>02> имеем:
Z>pv> =5, Z>sv> =2, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=3, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =3, Z>su> =1, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=1, П>р> = 2.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 5 – 3 = 2; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 3 – 1= 2.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 2.
Для подпрогрессий V>04 > и U>04> имеем:
Z>pv> =4, Z>sv> =3, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=1, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =5, Z>su> =2, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=2, П>р> = 3.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 4 – 1 = 3;
R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 5 – 2 = 3.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 3.
Для подпрогрессий V>06 > и U>06> имеем:
Z>pv> =2, Z>sv> =0, Z>pv> > Z>su>, П>s>>/>>v>> >=1, П>s>>/>>v> ≠> >П>s>>/>>u>> >,
Z>pu> =1, Z>su> =1, Z>pu> > Z>sv>, П>s>>/>>u>> >=0, П>р> = 1.
Определим разности:
R>v> = Z>pv> - П>s>>/>>v>> >= 2 – 1 = 1; R>u> = Z>pu> - П>s>>/>>u>> >= 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин R>v>> >, R>u> и> > П>р> следует: R>v>> >= R>u> => > П>р> = 1.
Из анализа приведенных прогрессий и входящих в их состав подпрогрессий следуют определенные варианты сочетаний величин Z>pv>, Z>sv>, Z>pu>, Z>su>> ,> П>s>>/>>v>, П>s>>/>>u>, при которых прогрессии и входящие в них подпрогрессии содержат пары простых чисел V>0>>i> + U>0>>i> , удовлетворяющие условию:
V>0>>i> + U>0>>i> = N:
Вариант 1: Z>pv>=Z>pu>, Z>sv>=Z>su>, Z>pv>>Z>su>, Z>pu>>Z>sv>, П>s>>/>>v>=П>s>>/>>u> = 0 (подпрогрессия V>02 >- U>02> для числа N =120);
Вариант 2: Z>pv>=Z>pu>, Z>sv>=Z>su>, Z>pv><Z>su>, Z>pu><Z>sv>, П>s>>/>>v>= П>s>>/>>u> = 0 (подпрогрессияV>08 >- U>08> для числа N =120);
Вариант 3: Z>pv>>Z>pu>, Z>sv><Z>su>, Z>pv>>Z>su>, Z>pu>>Z>sv>, П>s>>/>>v>>П>s>>/>>u> (подпрогрессии V>01 >- U>01>, V>04 >- U>04>, V>06 >- U>06> для числа N =120 и подпрогрессии V>01 >- U>01>, V>06 >- U>06> для числа 154);
Вариант 4: Z>pv>>Z>pu>, Z>sv><Z>su>, Z>pv>=Z>su>, Z>pu>=Z>sv>, П>s>>/>>v>>П>s>>/>>u> (прогрессия V>0>- U>0> для числа N =120);
Вариант 5: Z>pv>>Z>pu>, Z>sv>>Z>su>, Z>pv>>Z>su>, Z>pu>>Z>sv>, П>s>>/>>v>>П>s>>/>>u> (подпрогрессия V>02>- U>02> для числа N =154);
Вариант 6: Z>pv><Z>pu>, Z>sv>>Z>su>, Z>pv>=Z>su>, Z>pu>=Z>sv>, П>s>>/>>v><П>s>>/>>u> (подпрогрессия V>07>- U>07> для числа N =120);
Вариант 7: Z>pv><Z>pu>, Z>sv>>Z>su>, Z>pv>>Z>su>, Z>pu>>Z>sv>, П>s>>/>>v><П>s>>/>>u> (подпрогрессия V>04>- U>04> для числа N =154);
Вариант 8: Z>pv>>Z>pu>, Z>sv><Z>su>, Z>pv><Z>su>, Z>pu><Z>sv>, П>s>>/>>v>>П>s>>/>>u> (прогрессия V>0>- U>0> для числа N =154).
В рассмотренных вариантах преобладает вариант 3 (в 5 из 12 подпрогрессий). Вероятно, что возможны и другие варианты сочетаний величин Z>pv>, Z>sv>, Z>pu>, Z>su>> ,> П>s>>/>>v>, П>s>>/>>u>.
Значения количества пар П>p> простых чисел для некоторых четных чисел N (количества П>p> приведены в скобках рядом с числами N):
80(5), 82(5), 84(8), 86(5), 88(4), 90(10), 120(12), 138(5), 150(13), 154(8), 180(15), 184(8), 222(11), 226(7), 228(13), 336(19), 644(17), 1000(28), 1312(22).
Из анализа приведенных данных следует, что строгой зависимости между значениями четных чисел N и количеством пар П>p> простых чисел для них не существует, но прослеживается закономерность, в соответствии с которой с существенным увеличением значений числа N увеличивается количество пар П>p>> >для них.
Из изложенного следует, что любое четное число N>4 равно сумме двух и более пар П>p> простых чисел при условии, что эти числа могут быть равны. Примеры:
6=1+5=3+3; 8=1+7=3+5; 10=3+7=5+5; 12=1+11=5+7; 14=1+13=3+11=7+7.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СЛАБОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА
Слабая гипотеза Гольдбаха формулируется следующим образом: любое нечетное число М, большее семи, представимо в виде суммы трех нечетных простых чисел:
М = A + B + C,
где: A, B и C – простые числа.
При этом:
A ≠ B ≠ С
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Обозначим:
A + B =N.
Очевидно, что N – четное число.
Тогда:
M = N + C.
Отсюда:
N = M – C.
Вычтя из любого нечетного числа простое число, получим четное число. Выше при доказательстве сильной гипотезы Гольдбаха-Эйлера доказано, что любое четное число, большее двух, равно сумме одной пары или нескольких пар простых чисел. Следовательно, любое нечетное число М, большее семи, равно:
M = N + C = A + B + С,
где: A, B и C – простые числа.
При этом:
A ≠ B ≠ С
Автор: Козий Николай Михайлович, инженер-механик
E-mail: nik_krm@mail.ru
umbolic@gmail.com