Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Дифференциальные уравнения линейных систем автоматического регулирования

Определение динамических свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть пока успешно выполнена только для сравнительно простых объектов. Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени составить достаточно точное дифференциальное уравнение объекта.

В настоящие время при составлении дифференциальных уравнений элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерными переменными величинами. Для этого отклонения величин относят к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и выходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых величин, вводят безразмерные координаты.

Например, уравнение

(С*d (Q) /С_>C>*dt) + Q= 2*I_>0>*R*I/ С_>C>*F (1)

I/I = X_>ВХ> характеризует относительное отклонение входной величины от базового значения, а Q/ Q_>0> = Х_>вых> относительное отклонение выходной величины. Для перехода от размерной формы записи дифференциального уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат относительными. Так, например, уравнение (1) можно записать в безразмерной форме, заменив:

Q = Q_>0> *Х_>вых> и I = I *X_>ВХ>

Тогда

С* Q_>0>* d Х_>вых >/ С_>C>* F* dt + Q_>0> Х_>вых> = 2* I_>0>²* R* X_>ВХ>/ С_>C>*F

Разделив обе части уравнения на Q_{>0, п}>олучим:

С* d Х_>вых >/ С_>C>* F* dt + Х_>вых> = 2* I_>0>²* R* X_>ВХ>/ С_>C>*F* Q_>0>

Обозначим:

С_> >/ С_>C>* F= Т 2* I_>0>²* R/ С_>C>*F* Q_>0> = R

Коэффициенты при производных от выходной величины называются постоянными времени и имеют размерность времени

В самом деле,

Сдж/град_> >/ С_>C>вт/см²*град* F см = С_> >/ С_>C>* Fдж*см²*град/град*вт*см²

Коэффициент К при X_>ВХ> называется коэффициентом усиления, и естественно должен быть безразмерным:

2* I_>0>²А²* RОм/ С_>C> вт/см²*град *F см * Q_>0>град =

= 2* I_>0>²* R/ С_>C>*F* Q_>0>А²*Ом*см²*град/Вт*см²*град =

= 2* I_>0>²* R/ С_>C>*F* Q_>0>0 = К

Уравнение (1) с учетом введённых обозначений будет иметь в безразмерной форме следующий вид:

Т* Х^/ вых + Х вых = К* Х вх (2)

Определим для примера уравнение кривой разгона термической печи, дифференциальное уравнение которой было введено ранее:

Т* Х^/ вых + Х вых = К* Х вх

Будем искать решение этого уравнения в виде

Х вых = С*е^rt + K* Х вх _>0>

Где r и С подлежат определению

Подставляя значения Х вых и Х^/ вых в уравнение (2). Получим

Т* С*r*е^rt + С*е^rt = 0

Сокращая на С*е^rt будем иметь:

Т* r + 1 = 0

Откуда r = - 1/Т и решение примет вид

Х вых = К* Х вх _>0> (1-е^-t/T)

При t = 0 Х вых = 0 следовательно С = К* Х вх _>0>. тогда уравнение кривой разгона будет:

Х вых = К* Х вх _{>0 (}>1-е^-t/T)

График кривой разгона:

При t =  выходная величина Х вых достигает предельного значения

Х вых. уст = К* Х вх _>0>

Коэффициент усиления К определяет отношение установившихся значений выходной величины к входной:

К = Х вых. уст/ Х вх _>0>

Коэффициент усиления может быть непосредственно найден из графика переходной функции; постоянная времени Т характеризует инерционность процесса.

Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.