Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом
Министерство образования Республики Беларусь
Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»
Гомель 2006
Реферат
Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.
Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.
Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.
Содержание
Введение
Отражающая функция
Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий
Общее решение
Заключение
Список использованных источников
Введение
В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.
В результате приходим к теореме, которая звучит так:
Пусть
первый интеграл системы
,
(1). Если
,
удовлетворяет уравнению
,
то указанная система эквивалентна
системе
,
,
(2). И если, кроме того
,
где
-
некоторая функция (-может
равняться const),
тогда первый интеграл системы (2)
выражается следующей формулой
,
где
и
.
Отражающая функция
Определение. Рассмотрим систему
(1)
cчитая,
что правая часть которой непрерывна и
имеет непрерывные частные производные
по
.
Общее решение в форме Коши обозначено
через
).
Через
обозначим
интервал существования решения
.
Пусть
Отражающей функцией
системы (1) назовём дифференцируемую
функцию
,
определяемую формулой
Для отражающей функции справедливы свойства:
для любого решения
системы
(1) верно тождество
для отражающей функции F любой системы выполнены тождества
3) дифференцируемая
функция
будет отражающей функцией системы (1)
тогда и только тогда, когда она
удовлетворяет системе уравнений в
частных производных
и начальному условию
Рассмотрим систему
(1*) считая, что её правая часть непрерывно
дифференцируемая. Будем говорить, что
множество систем вида (1*) образует класс
эквивалентности, если существует
дифференцируемая функция
со свойствами: 1) отражающая функция
любой системы из рассматриваемого
множества совпадает в области определения
с функцией
;
2) Любая система вида (1*), отражающая
функция
которая совпадает в области
с функцией
,
содержится в рассматриваемом множестве.
Две системы вида
(1*), принадлежащие одному классу
эквивалентности, будем называть
эквивалентными.
Допуская определённую вольность речи,
будем говорить также, что они имеют одну
и ту же отражающую функцию. Функцию
при этом будем называть отражающей
функцией класса, а класс – соответствующим
отражающей функции
.
Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования
Рассмотрим систему
=
(1)
с непрерывной в области D
функцией f.
Дифференцируемая функция U
(t,
x),
заданная в некоторой подобласти G
области D,
называется первым
интегралом системы
(1) в области G,
если для любого решения x(t),
t
,
системы (1), график которого расположен
в G
функция U
(t,
x(t)),
t,
постоянна, т.е. U
(t,
x(t))
зависит только от выбора решения x(t)
и не зависит от t.
Пусть V
(t,
x),
V:G
R,
есть некоторая функция. Производной от
функции V в
силу системы (1) назовем функцию V
V
R,
определяемую
равенством
.
Обозначим
V
(t, x(t))
t.
Лемма
Дифференцируемая
функция U
(t,
x),
U:GR,
представляет
собой первый интеграл системы (1) тогда
и только тогда, когда производная U
в силу системы (1) тождественно в G
обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества
U
Откуда при t=t
получим равенство U(t
справедливое при всех значениях t
и x(t).
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть
теперь U
при всех (t,
x)
Тогда для любого решения x(t)
системы (1) из определения будем иметь
тождества
а с ним и достаточность.
Из определения
первого интеграла следует, что постоянная
на G
функция также является первым интегралом
системы (1). По этому первым интегралом
на G
будем называть функцию
,
для которой выполняется неравенство
и
Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий
Наряду с исходной дифференциальной системой
будем рассматривать множество возмущённых систем
где
непрерывная
скалярная нечётная функция, а
произвольная
непрерывно дифференцируемая вектор-функция.
Выясним вопрос об эквивалентности в
смысле совпадения отражающих функций
дифференциальных систем (1) и (2). При
совпадении отражающих функций двух
систем совпадают их операторы сдвига
на симметричном промежутке вида
и, значит, для периодических систем
совпадают их отображения за период
.
Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению
Если
вектор-функция,
а
вектор-столбец, то полагаем
,
Лемма 1.
Для любых трёх
вектор-функций
из которых функция
дважды непрерывно дифференцируема, а
функции
и
дифференцируемы, имеет место тождество
Лемма 2.
Пусть
отражающая
функция системы
с непрерывно дифференцируемой правой
частью. Тогда для каждой непрерывно
дифференцируемой вектор функции
функция
удовлетворяет тождеству
Доказательство.
Учитывая соотношение
,
простыми выкладками установим тождества
К первым двум слагаемым
последней части этого тождества применим
тождество
.
Тогда после несложных формальных
преобразований придём к соотношению
Прибавим к левой и
правой частям этого соотношения выражение
придём к нужному нам тождеству
Лемма доказана.
Теорема 1
Пусть вектор-функция
является решением дифференциального
уравнения в частных производных
Тогда возмущённая дифференциальная система
,
где
-
произвольная непрерывная скалярная
нечётная функция, эквивалентна
дифференциальной системе
.
Доказательство.
Пусть
отражающая
функция системы
.
Следовательно, эта функция удовлетворяет
дифференциальному уравнению
.
Покажем, что она удовлетворяет и тождеству
Для этого введём
функцию
по формуле
.
Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет
тождеству
.
При условиях доказываемой теоремы с
учётом соотношения
это тождество переписывается в виде
Кроме того, поскольку
для всякой отражающей функции
верно тождество
,
имеет место соотношения
.
Таким образом, функция
является решением задачи Коши
Решение этой задачи
существует и единственно. Следовательно,
имеет место тождество
влекущее за собой тождество
.
Теперь покажем, что
отражающая функция
системы
является также и отражающей функцией
системы
.
Для этого нужно проверить выполнение
основного соотношения
,
которое в данном случае должно быть
переписано в виде
Действительно,
последовательно преобразовывая левую
часть последнего соотношения и учитывая
нечётность функции
приходим к следующей цепочке тождеств:
Оба слагаемых, стоящих
в квадратных скобках, тождественно
равны нулю. Первое – в силу того, что
для отражающей функции системы
верно тождество
,
второе – потому, что при условиях теоремы
верно тождество
.
Следовательно, тождество
выполняется и функция
является отражающей функцией системы
.
Теорема доказана.
А теперь рассмотрим пример.
Пример
Рассмотрим систему
в которой непрерывные
и
периодические
функции
,
таковы, что
и
– нечётные функции.
Эта система эквивалентна стационарной системе
Здесь
и
,
,
.
Так как стационарная
система имеет асимптотически устойчивый
предельный цикл
,
которому соответствуют
периодические
решения, то из сказанного следует, что
все решения
,
рассматриваемой системы, начинающиеся
при
на окружности
,
являются
периодическими,
а каждое из остальных решений, кроме
нулевого, при
стремится к одному из указанных
периодических.
Общее решение системы
Рассмотрим две дифференциальные системы
,
(1)
,
,
,
(2)
где
-
непрерывная скалярная нечётная функция,
-произвольная
непрерывно дифференцируемая функция.
Лемма 1
Для любой нечётной
функции
,
определённой в окрестности
,
справедливо
.
Доказательство.
Так как
-
непрерывная нечётная функция, то
и
при
Лемма 2
Пусть
есть первый интеграл системы
.
Тогда
есть первый интеграл системы
.
Доказательство. Т.к.
есть первый интеграл системы
,
то его производная в силу системы равна
,
т.е.
.
Полагая здесь
,
получаем
,
что и означает что
первый интеграл системы
.
Теорема 1.
Пусть
– отражающая функция системы
и
удовлетворяет
следующему соотношению
(3)
Тогда система
эквивалентна системе
в смысле совпадения отражающих функций.
Доказательство.
Поскольку
отражающая функция системы
,
то
(4).
Рассмотрим выражение
(равно
т.к.
отражающая функция системы
)+
(равно
по
)
(4)
означает,
что
отражающая
функция системы
.
Поскольку у систем
и
отражающие
функции совпадают, то системы
и
эквивалентны
в смысле совпадения отражающих функций.
Введём такие
обозначения
и
-
семейства функций, являющиеся решениями
систем
и
,
соответственно
и
-
решение систем
и
соответственно.
Лемма 4
Пусть
первый интеграл системы
.
Если выполнено соотношение
(5), где
некоторая
функция, то
есть первый интеграл системы
,
где
.
Доказательство. Так
как
,
то
удовлетворяет уравнению
,
так как
,
то
.
Умножим обе части справа на
,
получим
.
Перенесём всё в левую часть и к левой
части прибавим выражение
.
Так как
-
первый интеграл, получим
.
Т.е. производная функции
в силу системы
равна
,
а это означает, что
есть первый интеграл системы
.
Ч.т.д.
Лемма 5.
Если
удовлетворяет следующему уравнению в
частных производных:
(6), где
-
правая часть системы (1),
первый
интеграл (2), то система (1) эквивалентна
системе (2), у которой
в смысле совпадения отражающей функции.
Доказательство.
Умножим (6) на скалярную функцию
,
получим:
(7)
Так как
-
первый интеграл системы (1), то
(8)
Прибавим (7) к (8) и
преобразуем, получим:
.
Таким образом,
удовлетворяет теореме 1 (если
удовлетворяет
,
то (1) эквивалентно (2) и значит, если
,
то система (2) эквивалентна системе (1).
Теорема 2
Пусть
первый интеграл системы (1). Если
,
удовлетворяет уравнению (6), то система
(1) эквивалентна системе (2). И если, кроме
того
(9), где
-
некоторая функция (-может
равняться const),
тогда первый интеграл системы (2)
выражается следующей формулой
,
где
и
.
Доказательство.
Доказательство 1-й
части теоремы прямо
из леммы
3.
Требуется доказать
вторую часть теоремы. Найдём производную
в силу системы (2)
и
обозначим её (*).
Выражение в […]=0, так
как
-первый
интеграл системы (1),
(*) преобразуется в следующее выражение
[так как
]=
(**)
Так как
удовлетворяет уравнению
,
то таким образом (**)=0, что и означает,
что
первый
интеграл системы (2). Требование
вытекает из леммы
2.
Лемма
Пусть системы
и
эквивалентны в смысле совпадения
отражающих функций. Пусть
их отражающая функция и пусть
есть первый интеграл системы
,
тогда U
,
,
и
.
Доказательство.
Возьмём произвольное решение
системы
.
Покажем, что на нём U
обращается
в постоянную.
Действительно, т. к.
отражающая функция, то
.
По определению функции
и т. к.
первый
интеграл системы
,
то U
.
То, что U
очевидно.
Действительно, возьмём любую функцию
.
Обозначим
по свойству отражающей функции
.
Обозначим
,
так как
только функциям из
сопоставляет функции из
,
то
и по определению первого интеграла
U
отлична от
и обращается в
только вдоль решений системы
.
А это и означает, что U
– первый интеграл системы
.
(U удовлетворяет лемме 2).
Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.
Заключение
В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.
Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.
Список использованных источников
Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.
Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.