Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Деление произвольно заданного угла на 3 равновеликие части. Трисекция угла
Россия. г. Пенза
Е. И. Терёшкин.
Возьмем прямой угол BAD (чертеж1)
достроим его да квадрата ABCD, примем
сторону квадрата за 1. Продолжим стороны
BC и DC до величины равной
.
Поставим точки M и N. Соединим точки M и
N с точкой A и наш прямой угол BAD разделен
на 3 равновеликие части т.е.
Чертеж 1.
Чертеж 2.
Но чтобы делить другие углы надо найти некоторую закономерность. Из точки C радиусом CM опишем окружность.
.
.
.
.
.
По теореме Пифагора находим
.
Из точки
радиусом
опишем
окружность. Из точки
через точку
проводим линию до пересечения с большой
дугой и ставим точку
.
,
.
.
- диаметры большого круга. Проводим
линию
,
она пересекает малый круг в точке
.
Из точки
,
через точку
проводим линию до пересечения с большой
дугой, ставим точку
.
Соединяем точки
и
.
.
.
Рассмотрим треугольник
чертеж 2.
.
По теореме косинусов
.
Проведем линию
до пересечения с
.
По теореме Пифагора
Из точки
проводим линию
.
подобен
,
значит
Рассмотрим
,
т.к. этот угол вписанный и опирается на
диаметр, а
в этом треугольнике будет средняя линия,
а значит
По теореме косинусов
,
значит
но
,
значит линия
проходит через точку
,
т.е. через центр квадрата.
Далее чертим две пересекающиеся
прямые, чтобы верхний и нижний вертикальные
углы были тупыми (чертеж 3) и острыми
(чертеж 4). В местах пересечения ставим
точки
.
Из точек
любым радиусом описываем окружность.
Чертеж 3. Чертеж 4.
Там где стороны верхнего тупого
угла (чертеж 3) и острого ( чертеж 4)
пересекаются с дугой окружности ставим
точки M и N. Проводим биссектрисы обоих
тупых углов ( чертеж 3) и острых углов (
чертеж 4). Там где биссектрисы пересекаются
с окружностями ставим точки
и
.
Из точек
радиусом
описываем окружности. Там где биссектрисы
пересекаются с нижней точкой окружности
ставим точки F. Соединяем точки N с точками
F. В местах пересечений линий NF с малой
окружностью ставим точки Е. Из точек
через точки Е проводим линии до пересечения
с большой дугой и ставим точки
.
Соединяем точки М с точками
.
В местах пересечений линий М
и
F
ставим точки О. От точек О в сторону
точек F по биссектрисам откладываем
расстояние СО. Получаем точки А. Из точек
А // МС проводим линии до пересечения с
продолжениями линий CN и ставим точки
В. Из точек А // ВС проводим линии до
пересечения с продолжениями линий МС
и ставим точки D. Соединяем точки М с
точками А и точки N с точками А.
Если
требуется разделить начальные углы MCN
на три равновеликие части, то из точек
С направляя вверх проводим линии
параллельные AM и AN.
Теперь в местах пересечения АМ
и ВС ставим точки Р, а в местах пересечения
AN и СD ставим точки Q. Соединяем точки М
с точками N. В местах пересечения хорды
MN с биссектрисой А
ставим точку
.
Треугольники АМ
и А
N
равны по двум катетам. Треугольники АРС
и АСQ равны, т.к.
а АС – общая. Следовательно в обоих
чертежах РС=СQ, а ВР=QD и АР=АQ. Далее вынесем
оба наших ромба АВСD в отдельные чертежи.
Чертеж 5.
На чертеж 5 (а, б) вынесены ромбы АВСD с тупыми и острыми углами как и на чертежах 3 и 4. Только вместо букв Р и Q применим буквы М и N. Из доказанного ранее известно, что это ромбы, т.е. АВ=ВС=СD=АD, ВМ=ND, и АМ=АN.
Из точек А, радиусом АВ проводим дуги ВD, Из точек М, радиусом ВМ проводим дуги ВF до пересечения с дугами ВD. Из точек N радиусом DN проводим дуги DЕ до пересечения с дугами ВD. Соединяем точки Е с точками N, а точки F с точками М. ВМ=МF=EN=DN. Соединяем точки А с точками Е и F. Проводим хорды BF и ЕD,
Фигуры АВМF состоят из двух равнобедренных треугольников АВF и ВМF имеющих общее основание BF. Значит линии АМ делят эти фигуры на два равных треугольника АВМ и АМF, треугольники равны по трем сторонам.
Фигуры АЕND состоят из двух равнобедренных треугольников АЕD и ЕND, имеющих общее основание ЕD. Значит линии АN делят эти фигуры на два равных треугольника АЕN и АND, треугольники равны по трем сторонам.
Треугольники АВМ равны треугольникам
AND по трем сторонам, значит и треугольники
АМF равны треугольникам АЕN. Следовательно
в обоих чертежах
,
а
и
фигуры АВМF равны фигурам AEND каждая в
своем чертеже. Но точки Е на линиях АМ
могут находиться, а могут и не находиться
и точки F на линиях АN могут находиться,
а могут и не находиться.
Рассмотрим на обоих чертежах по
два четырехугольника: ромбы АВСD и фигуры
АЕND. Сумма углов у обоих одинакова.
а
значит
или
В обоих чертежах
равны фигурам АЕND.
.
В результате получается:
или
Рассмотрим в обоих чертежах фигуры АВМF и ромбы АВСD.
или
следовательно
или
Но где находятся точки Е и F пока не
известно.
Чертеж 6.
Чертеж 7.
На чертежах 6 (а, б) и 7 (а, б) указанны возможные варианты расположения точек Е и F относительно угла МАN.
Так как углы МАN симметричны
относительно биссектрис ромбов АС,
потому что,
а
,
значит точки Е и F если и не находятся
на линиях АМ и АN, то находятся на
одинаковом расстоянии от этих линий.
Иными словами
и
,
если таковые углы существуют, то эти
углы равны между собой. Если
меньше
то
больше
на 2
И наоборот если
больше
то
меньше
на 2
На чертеже 6 (а, б) рассмотрим
(вместе
равны фигуре АЕND) и ромб АВСD.
или
На чертеже 7 (а, б) рассмотрим
и ромб АВСD.
Получится, что
Но
и
могут быть равны каким-либо углам, если
.
Следовательно, наши углы NAF и EAM
= 0, и точка Е находится на линии АМ, а
точка F находится на линии AN и
.
Угол больше развернутого этот способ не делит на три равновеликие части. Значит, его надо разделить пополам, любую из половинок разделить на три части и взять 2/3. Это и будет 1/3 делимого угла.
1