Высшая математика (работа 7)
Контрольная работа
Высшая математика
ЗАДАЧА 1.
В
декартовой прямоугольной системе
координат даны вершины пирамиды
.
Найдите:
а)
длину ребра
;
б) косинус
угла между векторами
и
;
в)
уравнение
ребра
>;>
г) уравнение
грани
С>1>;
если А>1>
(-2,2,2),В>1>(1,-3.0),
С>1>(6,2,4),
D>1>(5,7,-1).
Решение.
а
)
Найдем
координаты вектора
А>1>В>1>
по формуле
где
- координаты точки А>1>,
-координаты
точки В>1>.
Итак
={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда
=
=
.
Итак, длина
отрезка,
(или
длина векторе)
равна
.
Это и есть
искомая длина
ребра.
б)
Координаты
={3;-5;-2}
уже известны, осталось определить
координаты вектора
={6-
(-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.
Угол между
векторами
и
вычислим
по формуле
cos
φ
= (А>1>В>1>,
А>1>С>1>)
А>1>В>1>·
А>1>С>1>
где
скалярое произведение векторов А>1>В>1
> и А>1>С>1
> равно
(,)=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,
=,
=
=
.
И
так,
cos
φ
= 20 =
10
· 
в) Координаты точки А>1>(-2,2,2) обозначим соответственно Х>0> = -2, У>0> = 2, Z>0> = 2, а координаты точки В>1>(1,-3,0) через X>1 >= 1, У>1> = -3, Z>1 >= 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:
.
Следовательно,
уравнение ребра
имеет вид
.
г) Обозначим
координаты векторов,
и
через
Х>1>=3,
У>1>=
-5, Z>1>=
-2 и Х>2>=8,
У>2>=
0, Z>2>=2
соответственно. Векторное произведение
данных
векторов
определяется формулой
·A>1>C>1>
= {Y>1>·Z>2>-Y>2>·Z>1>;Z>1>·X>2>-Z>2>·X>1>;X>1>·Y>2>-X>2>·Y>2>}
=
= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}
Так как данный
вектор
перпендикулярен
грани
С>1>,
то можно
воспользоваться
уравнением
плоскости,
проходящей
через точку
(Х>0>
У>0>,
Z>0>)
перпендикулярно вектору
{А;В;С},
которое
имеет вид
A·(X-X>0>)+B·(Y-Y>0>)+С·(Z-Z>0>)=0.
Подставим координаты точки А>1> (Хо= -2, У>0>=2, Z>0>=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:
- 10 ( X
+ 2 ) - 22 (У – 2) т 40 ( Z-
2) - 0. Раскроем
скобки и
приведем подобные члены - 10 х -22
у + 40z
+ (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение
грани,C>1>
имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0
или -5х-
lly
+ 20z-28=0.
ЗАДАЧА 2.
Решите систему линейных уравнений
а) методом Крамера;
б) методом Гаусса;
Решение.
а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см.[2] глава 10. стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
Решение.
а) Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера ( см. [2] глава 10, стр. 268).
Тогда
,
где
Так как Δx=
-60; Δy=
-60; Δz=60;
Δ= -120, то x=
;
y=;
z=
.
6) решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнении приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.
Составим расширенную матрицу данной системы.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид.
1 0 -1 1
1·4+(-4) 0·4+4 (-1)·4-6 1·4+3
3 8 7 2
=
Умножим каждый элемент первой строки матрицы на -3. и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:
=
Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.
Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:
=
Данная матрица соответствует
системе уравнений
,
решение которой совпадает с решением
исходной системы. Начинай с последнего
уравнения, несложно найти все неизвестные.
Действительно, так как z=
=
и y
z=
,
то y
·
Отсюда, y-
=
=
=.
Из x-z=1
имеем =z+1=+1=
Ответ: x=,
y=,
z=.
Элементы теории вероятности и математической статистики
Для решения задачи 3 см. [5] глава 1. § 1—5.
ЗАДАЧА 3.
На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;
А) нет упаковок с бумагой более низкого качества,
Б) есть одна упаковка такой бумаги.
Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть
=
=
=
=13·9·28=3276
– числу сочетаний из 28 элементов по 3.
а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть
=
=
=
=11·23·8=2024
искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:
P>1>=
=
≈0,62
б)
Подсчитаем число исходов,
благоприятствующих
данному событию (среди трех упаковок
бумаги
ровно 1 упаковка
содержит
бумагу
более
низкого
качества): две упаковки
можно
выбрать из 24 упаковок:
=
=
=
=276
способами,
при этом одну упаковку нужно выбирать
из четырех:
=
=
=4
способами.
Следовательно,
число
благоприятствующих исходов равно
·=276·4=1104
Искомая вероятность равна
отношению числа исходов, благоприятствующих
данному событию, к числу всех
элементарных
исходов p>2>=
=
≈0,34
Ответ: а) p>1> =0,62; б) р>2> =0,34.
ЗАДАЧА 4.
Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?
Решение:
Обозначим через
А
событие -
«лампочка
окажется
бракованной».
Возможны
следующие
гипотезы о происхождении этой лампочки:
H>1>-лампочка
поступила с первого завода,
H>2>-лампочка
поступила со второго
завода.
Так как
доля первого завода составляет 25 %, то
вероятности
этих гипотез равны
соответственно
p(H>1>)=
=0,25;
p(H>2>)=
=0,75.
Условная
вероятность того, что бракованная
лампочка
выпущена
первым
заводом
– p(A/H>1>)=
=0,05,
вторым
заводом
- p(A/H>2>)=
=0,10
искомую
вероятность
того, что
продавец
взял бракованную лампочку, находим по
формуле полной вероятности
р(А) = P(H>1>)· p(A/H>1>)+P(H>2>)·(A/H>2>)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875
Ответ: р(А) = 0,0875.
Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава 8 § J—3.
ЗАДАЧА 5.
Задан закон распределения дискретной случайной величены X:
|
Найти:
а) неизвестную вероятность р.
б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величены;
Решение:
а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение
0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.
Отсюда р+0,9 = 1 и р=0,1.
б) Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.
Д
7
исперсия D=∑(x>1>)2·p>1>-M2=
i=1
=(-4)·0.05+(-2)2·0,1+02·0,12+22·0,23+42·0,32+62·0,14+82·0,04-(2,5)2=
=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59
Среднее
квадратическое отклонение σ =
=
≈2,9
ЗАДАЧА 6.
Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств
x
>1>-x>2
>≥
2;
x>1>-3x>2> ≥ 10,
x>1>+2 x>2 >≥4,
x>1 >≤8,
x>2>≥0.
Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы
L=2x>1>+x>2>
Решение. Построим прямоугольную систему координат x>1>Ox>2. > Если в этой системе построить прямую ax>1> + bx>2> = c, то она разобьет плоскость x>1>Ох>2> на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах>1>+bx>2>≤c, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости,— неравенству. ах>1>+bx>2≥>c. Построим в плоскости x>1>Ox>2> граничные прямые x>1>-x>2>=-2(AB), x>1>-3x>2>=-10(BC), x>1>+2 x>2>=4(AE), x>1>=8(CD) и x>2>=0(ED).
В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 12). Значения x>1> и x>2>, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.
>x2>
E
D х>1>
>0>
l>1>
Рис. 1
Т
еперь задача
сводится к тому, чтобы найти те значения
x>1>
и
x>2>,
при которых
линейная форма, L
(2) имеет минимум, и те значения x>1>
и х>2>,
при которых
линейная форма L
достигает
максимума. Из рис.
1 видно, что координаты всех точек,
лежащих внутри или на
границе
пятиугольника, не являются отрицательными,
т. е. все значения
x>1>
и х>2>
больше или
равны нулю. Для
каждой точки плоскости x>1>Ox>2>
линейная
форма L
принимает
фиксированное
значение.
Множество точек, при
которых линейная форма L
принимает
значение L>1>,
есть прямая 2x>1>+х>2>=L>1>(l>1>),
которая перпендикулярна вектору
N
= 2i+j.
Если прямую l>1>
передвигать
параллельно самой себе в положительном
направлении
вектора
N,
то линейная
форма L
будет
возрастать, а
если прямую
передвигать в противоположном
направлении — убывать. Построим
прямую (l>1>)
для того случая, когда L
= 0, т.е. построим прямую
2x>1>+х>2>=0.
Как видно из рис. 1 , при передвижении
прямой l>1>
в положительном направлении вектора N
она впервые встретится
с вершиной А
построенного
пятиугольника ABCDE.
В этой
вершине
линейная форма L
имеет
минимум. Следовательно, L>min>=2·0+1·2=2,
При дальнейшем передвижении прямой l>1
>параллельно
самой себе в положительном направлении
вектора N
значение
линейной формы L
будет
возрастать, и оно достигнет максимального
значения в точке С(8; 6). Таким образом,
Lmax=2·8+1·6=22.
1