Высшая математика (работа 6)

Задача 1

Провести полное исследование функций и построить их графики

_>>

Решение:

1) Область определения _>>,функция общего вида, т.к.

y(-x)≠-y(x), y(-x)≠y(x);

2) _>> =>x=-4

точка разрыва 2-го рода

3) Нули функции _>>

4) Интервалы монотонности

_>>

_>> возможные точки экстремума

_>>не существует при _>>

		-12		4		0
		0		-		0
		-27		-		0

Функция возрастает при

_>>.

Функция убывает при _>>.

_>>– точка максимума.

5. Выпуклость и вогнутость кривой.

_>>

_>> при _>>

_>>не существует при _>>

при _>> кривая выпукла

при _>> кривая вогнута

_>> тч. перегиба

6) Асимптоты.

а) вертикальные: х=-4.

б) наклонные:

_>>, _>>=>

_>>

– наклонная асимптота

7) График функции

Задача 2

Фирма планирует собирать S шт./год телевизоров. Она периодически закупает кинескопы одинаковыми партиями размером q , шт./партию. Издержки по поставке не зависят от размера партии и равны С_>П>, руб./поставку. Хранение одного кинескопа на складе в течение года обходится в С_>Х>. руб./шт. год. Сборка телевизоров производится равномерно, с постоянной интенсивностью. Требуется определить оптимальные параметры системы снабжения кинескопами, при которых суммарные годовые издержки пополнения и хранения запаса кинескопов минимальны.

Таблица 1 - Параметры системы снабжения фирмы кинескопами

№	S	С_>П>	С_>Х>
12	62000	1650	68

Указания к задаче 2:

1) Запишите формулы для годовых издержек пополнения запасов И_>П>(q), издержек хранения И_>Х>(q) и суммарных издержек И(q) → min;

2) Сформулируйте критерий нахождения экстремума суммарных издержек;

3) Рассчитайте оптимальные значения параметров системы (партия поставок q, число поставок в год N^о, период между поставками Т^о, издержки пополнения И_>П>^о, издержки хранения И_>Х>^о , суммарные издержки И^о);

4) Постройте график изменения текущего запаса кинескопов в течение года;

5) Исследуйте характер изменения трех видов издержек как функций размера партииq и постройте графики этих функций на новом рисунке.

Решение:

Годовые издержки пополнения запасов И_>П> можно определить как произведение числа поставок N на стоимость одной поставки С_>П>.

И_>П> = N * С_>П>

Число поставок можно выразить через общий объем поставок S и размер партии q:

N = _>>

Тогда можно записать функцию годовых издержек пополнения запасов в зависимости от размера партии:

И_>П>(q) = С_>П> * _>>

Функцию годовых издержек хранения И_>Х> можно определить как произведение стоимости хранения единицы С_>Х> на среднее число кинескопов на складе.

Среднее число единиц хранения при равномерном расходе определяется как полусумма максимального и минимального числа кинескопов. Примем за минимальный уровень нулевое значение (без страхового запаса). Тогда максимальный уровень будет равен размеру партии, т.к. сразу после поставки на складе будет лежать q кинескопов.

Исходя из вышесказанного, можно записать функцию годовых издержек хранения:

И_>Х>(q) = C_>X> * _>> = C_>X> * _>>

Запишем функцию суммарных издержек:

И(q) = И_>П>(q) + И_>Х>(q) = С_>П> * _>> + C_>X> * _>>

Экстремум функции суммарных издержек от размера партии определим из условия равенства нулю первой производной. Это экстремум соответствует минимуму суммарных издержек и определяет оптимальный размер партии.

И’(q) = (С_>П> * _>> + C_>X> * _>>)’= – _>> + _>>

Составим и решим уравнение:

– _>> + _>> = 0 ; _>> = _>> ; q² = _>> ; q = _>>.

Отрицательное значение корня не имеет физического смысла.

В результате получили формулу для определения оптимального размера партии.

Рассчитаем оптимальные значения параметров системы.

Найдем оптимальный размер партии:

q = _>> = _>> » 1735 шт.

Найдем число поставок в год:

N^о = S / q = 62000 / 1735 = 35,7 » 36 раз

Найдем период между поставками:

Т^о = 360 / 36 = 10 дней

Найдем издержки пополнения:

И_>П>^о = С_>П> * N = 1650 * 36 = 59400 руб.

Найдем издержки хранения:

И_>Х>^о = C_>X> * _>> = 68 * 1735 / 2 = 58990 руб.

Найдем суммарные издержки

И^о = И_>П>^о + И_>Х>^о = 59400 + 58990 = 118390 руб.

Построим график запасов:

Рис. 1

Рассмотрим функции издержек.

Годовые издержки пополнения запасов И_>П>(q) = С_>П> * _>> являются обратной гиперболической функцией, которая монотонно убывает с увеличением размера партии q. С возрастанием q скорость убывания падает.

Годовые издержки хранения И_>Х>(q) = C_>X> * _>> являются линейной функцией, которая монотонно возрастает с увеличением размера партии q. Минимальное значение функции нулевое. С возрастанием q скорость увеличения издержек хранения не изменяется.

Суммарные издержки являются суммой двух предыдущих функций. В силу этого, функция сначала убывает – когда издержки пополнения запасов существенно выше издержек хранения, а после выравнивания размеров издержек начинает возрастать – когда издержки хранения превышают размер издержек пополнения. Функция суммарных издержек имеет один минимум в районе примерного равенства входящих в нее функций.

Построим графики изменения трех видов издержек как функций размера партииq:

Рис..2

Задача 3

Фирма собрала сведения об объемах продаж своей продукции (Y_>i>) за 6 последних месяцев (X_>i> =1...6) и представила их в виде таблицы. Перед отделом маркетинга поставлена задача аппроксимировать эмпирические данные подходящей функцией, чтобы использовать ее для целей краткосрочного прогнозирования (на один и два месяца вперед, X_>j>_>>=7, 8).

Таблица 1 - Данные о помесячных объемах продаж фирмы

№	Y_>1>	Y_>2>	Y_>3>	Y_>4>	Y_>5>	Y_>6>
12	14	13	11	14	13	16

Указания к задаче 3:

1) выполните аппроксимацию эмпирических данных линейной функцией у = a_>0>x + a_>1>;

2) выведите нормальные уравнения метода наименьших квадратов для линейной функции;

3) выведите формулы Крамера для параметризации аппроксимирующей линейной функции;

4) для расчета параметров аппроксимирующей линейной функции составьте таблицу.

Таблица.2 - Параметризация аппроксимирующей линейной функции.

i	X_>i>	Y_>i>	X_>i>²	X_>i>Y_>i>
1
2
3
4
5
6
Сумма

5) запишите выражение для аппроксимирующей линейной функции и рассчитайте ее значения о точках X_>i> = 1...8; результаты расчетов оформите в виде таблицы;

6) изобразите на одном рисунке в большом масштабе график аппроксимирующей линейной функции и нанесите эмпирические точки.

Решение:

Аппроксимацию эмпирических данных будем выполнять линейной функцией

у = a_>0>x + a_>1>

Сущность метода наименьших квадратов состоит в подборе таких a_>1> и a_>0> , чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений будет функцией F этих параметров: F(a_>0> , a_>1>) = _>> или F(a_>0> , a_>1>) = _>>

Для отыскания минимума приравняем нулю частные производные по каждому параметру:

_>>= _>>

Выполнив элементарные преобразования сумм, получим систему из двух линейных уравнений относительно a_>1> и a_>0>:

_>>

Решим данную систему методом Крамера:

_>>

Тогда можно вывести формулы расчета параметров:

_>>

Построим расчетную таблицу

Таблица 3 – Расчетная таблица

i	X_>i>	Y_>i>	X_>i>²	X_>i>Y_>i>
1	1	14	1	14
2	2	13	4	26
3	3	11	9	33
4	4	14	16	56
5	5	13	25	65
6	6	16	36	96
Сумма	21	81	91	290

Найдем значения параметров:

_>>

Тогда формула аппроксимирующей линейной функции будет равна

_>> = 0,3714·X_>i> + 12,2

Найдем значения аппроксимирующей функции:

Таблица 4 – Расчет значений аппроксимирующей функции

i	X_>i>
1	1	12,5714
2	2	12,9428
3	3	13,3142
4	4	13,6856
5	5	14,057
6	6	14,4284
7	7	14,7998
8	8	15,1712

Построим график аппроксимирующей функции

Рис.1

Задача 4

Найти приращение и дифференциал функции y=a_>0>x³+a_>1>x²+a_>2>x (таблица). Рассчитать абсолютное и относительное отклонения dy от Δy.

Решение:

y=4x³–2x²–3x

Приращение функции

y(x+Δx)–y(x)= 4(x+Δx)³–2(x+Δx)²–3(x+Δx) – (4x³–2x²–3x)=

=4(x³+3x²Δx + 3xΔx² + Δx³)–2(x²+2 xΔx +Δx²)–3x–3Δx –4x³+2x²+3x=

=4x³+12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³–2x²–4 xΔx –2Δx²–3Δx –4x³+2x²=

=12x²Δx + 12xΔx² + 4Δx³–4 xΔx –2Δx²–3Δx =

=(12x²–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx² + 4Δx³)

Линейная по Δx часть приращения есть дифференциал, то есть

dy=(12x²–4 x–3)Δx или заменяя Δx на dx получим dy=(12x²–4 x–3)dx

Абсолютное отклонение:

Δy– dy = (12x²–4 x–3)Δx +((12x–2)Δx² + 4Δx³)– (12x²–4 x–3)Δx =(12x–2)Δx² + 4Δx³

Относительное отклонение:

_>>

Задача 5

Используя дифференциал, рассчитайте приближенное значение функции _>>, оцените относительную погрешность и вычислите значение с 6 знаками.

n=3, x=63

Решение:

_>>

Возьмем

_>>=64

_>>

_>>=>_>>

Тогда _>>

_>>

Относительная погрешность

_>>

Задача 6. Найти неопределенные интегралы, используя метод разложения.

Решение:

1) _>>

2) _>>

Задача 7

Найти неопределенные интегралы, используя метод замены переменной.

Решение:

1) _>>2)_>>

Задача 8

Найти неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.

Решение:

1) _>>

2) _>>

Задача 9. Нарисуйте прямоугольный треугольник с вершинами в точках О(0,0), А(а,0), В(0,b). Используя определенный интеграл выведите формулу площади прямоугольного треугольника.

Решение:

Уравнение гипотенузы найдем как уравнение прямой по 2-м точкам:

0100090000032a0200000200a20100000000a201000026060f003a03574d4643010000000000010030910000000001000000180300000000000018030000010000006c000000000000000000000008000000100000000000000000000000021b0000df14000020454d4600000100180300001200000002000000000000000000000000000000900600001a040000b801000013010000000000000000000000000000c0b6060038320400160000000c000000180000000a000000100000000000000000000000090000001000000008010000cc000000250000000c0000000e000080250000000c0000000e000080120000000c00000001000000520000007001000001000000f1ffffff00000000000000000000000090010000000000cc04400022430061006c006900620072006900000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001100dc5f11001000000040631100c060110052516032406311003860110010000000a8611100246311002451603240631100386011002000000049642f31386011004063110020000000fffffffffc02e600d0642f31ffffffffffff0180ffff0180efff0180ffffffff0000000000080000000800004300000001000000000000006000000025000000372e9001cc00020f0502020204030204ef0200a07b20004000000000000000009f00000000000000430061006c00690062007200000000000000000000611100dee32e31e88d0832606411006c6011009c3827310800000001000000a8601100a8601100e878253108000000d0601100fc02e6006476000800000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000250000000c00000001000000180000000c00000000000002540000005400000000000000000000000800000010000000010000001886d1411886d141000000000d000000010000004c00000004000000000000000000000008010000cc000000500000002000ffff0900000046000000280000001c0000004744494302000000ffffffffffffffff09010000cd000000000000004600000014000000080000004744494303000000250000000c0000000e000080250000000c0000000e0000800e000000140000000000000010000000140000000400000003010800050000000b0200000000050000000c02cc000801040000002e0118001c000000fb021000070000000000bc02000000cc0102022253797374656d0000000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010000040000002d01000004000000020101001c000000fb02f1ff0000000000009001000000cc0440002243616c6962726900000000000000000000000000000000000000000000000000040000002d010100040000002d010100040000002d010100050000000902000000020d000000320a0d00000001000400000000000801cc00204e0900040000002d010000040000002d010000030000000000

_>> => _>>

Тогда площадь треугольника равна:

_>>

Задача 10. Нарисуйте треугольник произвольной формы, расположив его вершины в точках А_>1>(а_>1>,0), А_>2>(а_>2>,0), В(0,b). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади треугольника произвольной формы.

Решение:

Уравнение сторон найдем как уравнения прямых по 2-м точкам:

А_>1>В: _>> => _>>

А_>2>В: _>> => _>>

Тогда площадь треугольника равна:

_>>

Задача 11. Начертите четверть круга радиуса R с центром в точке О(0,0). Используя определенный интеграл, выведите формулу площади круга. (Уравнение окружности x²+y²=R²)

Решение:

Из уравнения окружности:

_>>

Тогда четверти круга равна:

_>>

Тогда площадь круга равна:

_>>

Задача 12

Используя определенный интеграл, вычислите площадь, ограниченную кривой y=lnx, осью ОХ и прямой х=е. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y=lnx =0 (y=lnx с осью ОХ: y=0)=>_>>, тогда искомая площадь:

_>>

Задача 13

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой y=3–2x от параболы y=x². Нарисуйте чертеж.

Решение:

Найдем точки пересечения y= x² =3–2x => x² +2x–3=0 =>_>>, тогда искомая площадь:

_>>

Задача 14

Вычислить площадь между кривой y=1/x² и осью ОХ, располагающуюся вправо от линии x=1. Нарисуйте чертеж.

Решение:

Искомая площадь:

_>>

Вычислить приближенное значение интеграла _>> по формуле трапеции, принимая n = 5.

Формула трапеций имеет вид

_>>

Длина интервала

_>>

Для удобства вычислений составим таблицу:

N
0	1	1,0000
1	2	0,2500
2	3	0,1111
3	4	0,0625
4	5	0,0400
5	6	0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

_>>

Точное значение

_>>

Относительная погрешность

_>>

Повторим вычисления для 10 отрезков.

Длина интервала

_>>

Для удобства вычислений составим таблицу:

N
0	1	1,0000
1	1,5	0,4444
2	2	0,2500
3	2,5	0,1600
4	3	0,1111
5	3,5	0,0816
6	4	0,0625
7	4,5	0,0494
8	5	0,0400
9	5,5	0,0331
10	6	0,0278

Тогда по формуле трапеций имеем:

_>>

Относительная погрешность

_>>

Как видно, большее число разбиения дает более точный результат.

Задача 15. Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Решение:

1) _>>

Разделим переменные

_>>

2) _>>

Разделим переменные

_>>

Задача 16

Преобразовать дифференциальные уравнения к однородному вида _>>. Выполнить замену y/x и решить.

Решение:

1) _>>

Разделим обе части на xy

_>>

_>>2) _>>

Разделим обе части на x

_>>

или _>>

Задача 17

Привести линейное дифференциальное уравнение к виду _>> и решить его применив подстановку y=u(x)∙v(x).

Решение:

1) _>>

Преобразуем

_>> => _>>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> _>>=> _>>, _>>,

_>>

_>>_>>

2) _>>

Преобразуем

_>> => _>>

Пусть x=uv, тогда x′=u′v+uv′,

=> _>>=> _>>, _>>,

_>>_>>_>>

2) _>>

Разделим обе части на x

_>>

или _>>

Задача 18

Решить линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решение:

1) _>>

Запишем характеристическое уравнение:

λ²–λ–6=0 => λ_>1,2>=3;-2 =>

Тогда общее решение дифференциального уравнения:

y = C_>1>e³^x + C_>2>e^–2^x

2)_>>

Найдем решение однородного дифференциального уравнения:

_>>

запишем характеристическое уравнение

: λ²–6λ+9=0 => λ_>1,2>= 3 =>

y_>0> = (C_>1>+ C_>2>x)e³^x

Запишем частное решение по виду правой части:

ŷ = C_>3>x²+ C_>4>x+ C_>5>

Найдем

ŷ ′ = 2C_>3>x–C_>4>

ŷ ′′ = 2C_>3>

Подставим в исходное уравнение, получим:

2C_>3> – 6(2C_>3>x–C_>4>)+9(C_>3>x²+ C_>4>x+ C_>5>) =9C_>3>x²+(9C_>4>–12C_>3>)x+(2C_>3> + 6C_>4>+9C_>5>)= x²

=> C_>3> = 1/9, => C_>4> = 4/27, => C_>5> = –10/81

_>>

y = y_>0> + ŷ = (C_>1>+ C_>2>x)e³^x+ _>>