Ветвящиеся циклические процессы
Содержание:
Введение 3
Теория 4
Практика 10
Выводы 12
Список использованной литературы 13
Введение
Случайные процессы в реальной финансово–экономической практике редко бывают марковскими, поскольку на протекание процесса в будущем влияет не только его состояние в текущий момент времени, но и то, как он протекал в прошлом.
Но, тем не менее, использование приближённых моделей на практике позволяет достаточно точно (с определённой точностью) оценивать различные системы. В данной теоретико-практической работе будет рассмотрена теория о ветвящихся циклических процессах, с помощью которой можно предсказывать состояние исследуемой системы в будущем через достаточно длительный промежуток времени.
В процессе данной работы я рассмотрю основные положения теории о ветвящихся циклических процессах; приведу пример задачи, с которой можно столкнуться в реальной жизни, и её решение с помощью рассматриваемой теории.
Теория
Введём основные понятия,
с которыми нам предстоит работать. Под
системой S будем понимать всякое целостное
множество взаимосвязанных элементов,
которое нельзя расчленить на независимые
подмножества. Если эта система с течением
времени t
изменяет свои состояния S(t)
(всего возможных состояний системы n
штук) случайным образом, при чём так,
что для каждого момента времени
вероятность состояния S(t)
системы S в будущем (
)
зависит только от её состояния S()
в настоящем и не зависит от того, как и
сколько времени развивался этот процесс
в прошлом (
),
то говорят, что в системе S протекает
марковский случайный процесс.
Процесс является процессом с непрерывным временем, если в нём система может менять свои состояния в любой случайный момент времени.
Плотностью вероятности
перехода системы S из состояния
в состояние
в момент времени t
называется величина
Если же плотности вероятностей переходов не зависят от времени t, то такой процесс называется однородным.
Марковский процесс, протекающий в системе S с n состояниями, называется ветвящимся циклическим процессом, если его граф состояний имеет вид:
Теорема:
Пусть в системе S протекает
ветвящийся циклический однородный
марковский процесс с непрерывным
временем, причём возможный непосредственный
переход из состояния
разветвляется на переходы в состояния
соответственно с вероятностями
,
сумма которых равна 1:
(1)
Переходы из состояний
сходятся в состояние
.
Тогда финальные вероятности1
соответствующих состояний системы S
определяются следующими формулами:
где
.
Доказательство:
Т.к. ветвящийся циклический
процесс можно представить в виде обычного
циклического процесса и собственно
разветвления, то, учитывая свойство
циклического процесса, что плотность
вероятности перехода из неразветвлённого
состояния в соседнее справа равна
обратной величине среднего времени
пребывания (подряд) системы S
в состоянии
,
имеем
(2)
Интенсивность потока
уходов из состояния
равна
, где—
среднее время пребывания (подряд) системы
S
в состоянии
.
Тогда
будет представлять собой долю величины
,
определенную вероятностью q>m>,>m>>+>>k>:
(3)
Составим по графу (на рис.
1) систему линейных алгебраических
уравнений, неизвестными в которой
являются финальные вероятности
:
(4)
Подставляя 2 и 3 в 4, получим:
(5)
Составим матрицу коэффициентов системы (5) с учетом того, что коэффициент при р>т> в т-м уравнении в силу (1) равен
,
|
Столбцы Р |
1 |
2 |
3 |
… |
m-1 |
m |
m+1 |
m+2 |
… |
m+i |
m+i+1 |
m+i+2 |
… |
n-1 |
n |
|
Строки |
Проведем следующие элементарные преобразования над строками этой матрицы:
2-ю строку прибавим к 3-й строке;
полученную 3-ю строку прибавим к 4-й строке;
полученную 4-ю строку прибавим к 5-й строке;
и так далее;
полученную (m-1)-ю строку прибавим к m-й строке;
полученную m-ю
строку умножим последовательно
на
и прибавим соответственно к (m+1)-й,
(m+2)-й,...,
(m+i)-й
строке;
сумму полученных (m+1)-й, (m+2)-й,..., (m+i)-й строк прибавим к (m+i+1)-й строке, учитывая равенство (1);
полученную (m+i+1)-ю строку прибавим к (m+i+2)-й строке;
полученную (m+i+2) строку прибавим к (m+i+3)-й строке;
и так далее;
полученную (п-1)-ю строку прибавим к п-й строке.
В результате этих преобразований получим матрицу следующего вида:
Первая и последняя строки этой матрицы пропорциональны, а потому одну из них, например первую, можно отбросить.
Полученная после отбрасывания 1-й строки матрица порождает следующую систему линейных уравнений:
Отсюда финальные вероятности
можно выразить через финальную вероятность
:
(6)
Подставим выражения (6) в
нормировочное условие
и найдем
:
.
Откуда
или
,
где
.
Подставляя найденное выражение в (6)
получаем доказываемые формулы.
Практика
В наше время любой банк имеет банкоматы в различных точках города для удобства своих клиентов. Для планирования будущих расходов на содержание банкомата применим теорию о ветвящихся циклических процессах.
В качестве системы S возьмём банкомат. Банкомат может находиться в следующих состояниях:
S>1> – исправен, работает;
S>2> – неисправен, ведётся поиск неисправности;
S>3> – неисправность обнаружена и оказалась незначительной, ремонтируется местными средствами;
S>4> – неисправность обнаружена и оказалась серьёзной, ремонт ведётся приглашённым со стороны специалистом;
S>5> – ремонт законен, ведётся подготовка к включению банкомата.
Процесс, протекающий в системе – однородный, марковский, т.к. все потоки событий, под воздействием которых происходят переходы банкомата из состояния в состояние, - простейшие.
Среднее время исправной
работы банкомата2
равно
месяц; среднее время поиска неисправности
банкомата равно
часа; среднее время ремонта местными
средствами равно
часа; среднее время ремонта банкомата
специалистом равно
дня; среднее время подготовки банкомата
к работе
час.
Вероятность того, что неисправность оказалась незначительной и может быть устранена местными средствами р=0,8. Вероятность же того, что неисправность серьёзная и без специалиста не обойтись 1-р=0,2.
Если банкомат работает исправно, то стоимость его обслуживания составляет 100 рублей в день3; один час работы специалиста по устранению неисправностей составляет 200 рублей в час. В остальных состояниях стоимость содержания банкомата равна величине амортизации и составляет 7 рублей в день.
Спрогнозируем средний расход на следующий год, идущий на содержание банкомата.
Решение: граф состояний системы будет иметь вид:
Приведём данные в условии задачи к одной единице, например, сутки:
Как уже было сказано выше процесс, протекающий в системе, - однородный, марковский и к тому же он является ветвящимся циклическим с непрерывным временем, тогда мы можем воспользоваться полученными выше формулами:
Тогда
,
,
,
,
Теперь определим общий
расход на содержание банкомата:
рублей за сутки, тогда за год эта сумма
составит приближённо 70 100 рублей.
Выводы
Таким образом, мы на практике убедились, что теория о ветвящихся циклических процессах, возможно и не обладает возможностями для широкого применения, но, тем не менее, является простым и действенным инструментом при планировании различных экономических процессов.
Но надо учитывать, что это всего лишь маленькое ответвление теории о марковских процессах, на которой, в свою очередь, базируются многие другие теории, в частности теория о массовом обслуживании в экономической сфере.
Список использованной литературы
Лабскер Л.Г. Вероятностное моделирование в финансово – экономической области – М.: Альпина Паблишер, 2002. – 224 с.
http://www.gazeta.ru/2006/04/13/oa_195828.shtml
Журнал вычислительной математики и математической физики Т.46.№03 – 2006
Свешников А.А. Прикладные методы теории марковских процессов: Учебное пособие. М.: Издательство «Лань», 2007. – 192 с.
1 Вероятности состояний системы в финальном стационарном режиме, при котором они уже не зависят ни от времени, ни от начального распределения вероятностей, называются финальными вероятностями
2 подряд
3 включается потребляемое банкоматом электричество и работа с наличностью банкомата