Бипримарные группы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИПРИМАРНЫЕ ГРУППЫ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-33
Стародубова Н.С.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1.Основные обозначения
2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
5. Произведение бипримарной и примарной групп
6. Доказательство теоремы (3)
Заключение
Список литературы
Введение
В данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп.
В третьем пункте данной курсовой работы доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Если подгруппы
и
-разложимы
для каждого
,
то
разрешима.
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Предположим, что
и
---
-замкнуты
для каждого
.
Если
и
-разложимы
и
-разложимы,
то
разрешима.
В четвертом пункте доказазываются приведенные ниже теоремы.
Теорема.
Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого
.
Теорема.
Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая
группа, где
.
Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
В пятом пункте доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка.
Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская
подгруппа
.
Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.
Теорема.
Пусть
неразрешимая группа
является произведением бипримарной
подгруппы
и примарной подгруппы
.
Тогда, если среди силовских подгрупп
группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
,
где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
,
порядок
равен
,
а
.
1. Основные обозначения
|
|
группа |
|
|
|
|
|
|
|
|
прямое
произведение подгрупп
|
|
|
подгруппа
Фраттини группы
|
|
|
фактор-группа
группы
|
|
|
множество
всех простых делителей натурального
числа
|
|
|
множество
всех простых делителей порядка группы
|
|
|
коммутант
группы
|
|
|
индекс
подгруппы
|
2. Разрешимость факторизуемой группы с разложимыми факторами
Конечная
группа называется
-разложимой
для простого числа
,
если силовская
-подгруппа
выделяется в ней прямым множителем.
Нильпотентная группа
-разложима
для каждого
.
Через
обозначается множество всех простых
делителей порядка группы
.
Теорема
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Если подгруппы
и
-разложимы
для каждого
,
то
разрешима.
Теорема (1) обобщает известную теорему Виландта-Кегеля о разрешимости конечной группы, являющейся произведением нильпотентных подгрупп [??].
Для
доказательства теоремы (2) нам потребуется
следующая лемма(3), которая несколько
уточняет лемму Кегеля(4). Напомним, что
--- центр
,
а если
--- подгруппа группы
,
то
--- наименьшая нормальная в
подгруппа, содержащая
.
Группа
называется
-замкнутой,
если в ней силовская
-подгруппа
нормальна.
Лемма
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
,
обладающие следующими свойствами:
1)
для всех
;
2)
,
где
.
Тогда
.
Доказательство.
Воспользуемся методом доказательства
леммы Кегеля. Пусть
--- наибольшая
-подгруппа,
содержащая
и перестановочная с каждой подгруппой,
сопряженной с
.
Предположим, что
не содержится в
.
Это означает, что существуют элементы
и
такие, что
не принадлежит
.
Поэтому
--- собственная подгруппа в
и
есть
-группа.
Кроме того,
перестановочна с каждой сопряженной с
подгруппой, так как этим свойством
обладает
.
Теперь
для всех
,
что противоречит выбору
.
Итак,
.
Значит,
и
--- нормальная в
-подгруппа.
Из условия 2) следует, что
и
.
Так как
и
,
то
.
Поэтому
.
Лемма
Пусть
конечная группа
с
-замкнутыми
подгруппами
и
.
Если
,
то
.
Доказательство.
Так как
,
то
для всех
,
.
Первое условие леммы (5) выполнено. Так
как выполняется и второе, то
.
Секцией
группы
называется фактор-группа некоторой
подгруппы из
.
Если
не содержит секций, изоморфных
симметрической группе
четырех символов, то
называется
-свободной.
Лемма
Если
конечная группа
не является
-свободной,
то существуют
-подгруппы
и
такие, что
нормальна в
и
.
Доказательство.
По условию в группе
существует секция
,
изоморфная
.
Пусть
--- нормальная в
подгруппа индекса
,
содержащая подгруппу
с индексом
.
По лемме Фраттини
,
где
--- силовская
-подгруппа
из
,
Так как
имеет индекс
в силовской
-подгруппе
из
,
то
разрешима и содержит
-холловскую
подгруппу
.
Кроме того,
и
.
Лемма
Конечная
группа, содержащая нильпотентную
-холловскую
подгруппу,
-разрешима.
Доказательство.
Достаточно показать непростоту группы
в случае, когда
делит
.
Предположим, что
простая и
делит
.
В
-свободных
группах нет нильпотентных
-холловских
подгрупп [??], отличных от
-силовской.
Если
не
-свободна,
то по лемме (??) существует ненильпотентная
-подгруппа.
Это противоречит теореме Виландта [??].
Лемма доказана.
Через
обозначим произведение всех разрешимых
нормальных в
подгрупп.
Лемма
Пусть
конечная группа
и пусть
разрешима, а
взаимно прост с
.
Если в
существует нилъпотентная
-холловская
подгруппа, то
разрешима.
Доказательство.
Если
---
-группа,
то
разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть
делит
и
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Если
,
то
и
разрешима по индукции, поэтому разрешима
и
.
Пусть
.
Тогда
и
имеет порядок взаимно простой с
.
Значит нильпотентная
-холловская
подгруппа из
содержится в
и
-разрешима
по лемме(2). Из минимальности
следует, что
разрешима. Итак, в любом случае
содержит разрешимую нормальную подгруппу
.
Фактор-группа
удовлетворяет условиям леммы и по
индукции разрешима. Поэтому разрешима
и
.
Лемма доказана.
Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы
Теорема
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Предположим, что
и
---
-замкнуты
для каждого
.
Если
и
-разложимы
и
-разложимы,
то
разрешима.
Доказательство
индукцией по порядку
.
Пусть
--- минимальная нормальная в
подгруппа. Фактор-группа
,
а подгруппы
и
будут
-
и
-разложимыми
и
-замкнутыми
для каждого
.
По индукции
разрешима, а
неразрешима. Поэтому
и
.
Следовательно, в
единственная минимальная нормальная
подгруппа.
Пусть
и пусть
и
--- силовские
-подгруппы
из
и
соответственно. Так как
и
р-замкнуты и
,
то
по лемме (??). Но
содержит точно одну минимальную
нормальную подгруппу. Поэтому либо
,
либо
.
Итак для каждого
,
либо
не делит
,
либо
не делит
.
Следовательно, порядки
и
взаимно просты. Но теперь
--- простая группа.
Так
как группа Судзуки
нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана
(4)порядок
делится на
,
а по теореме Фомина (2) порядок одного
из факторов, пусть порядок
,
делится на
.
Теперь в
существует нильпотентная
-холловская
подгруппа. По лемме (3)группа
разрешима. Теорема доказана.
3. О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта
Пусть
конечная группа
является произведением двух своих
подгрупп
и
,
причем
есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная
группа, все собственные подгруппы
которой нильпотентны. Признаки
разрешимости группы
при дополнительных ограничениях на
подгруппы
и
получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4),
И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если
дедекиндова, т. е. в
все подгруппы инвариантны, то простая
группа
описана автором в(5). Как сообщил недавно
С. А. Сыскин, им изучена простая группа
в случае, когда
--- нильпотентная группа.
Основным результатом настоящей заметки является
Теорема
Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого
.
обозначает
наибольшую разрешимую инвариантную в
подгруппу.
Из
этой теоремы непосредственно следует
описание простых групп
,
если
--- группа Шмидта, а
---
-разложимая
группа, где
состоит из простых делителей порядка
и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано,
что неразрешимая группа
,
где подгруппа
есть группа Шмидта, а
--- нильпотентная подгруппа, есть группа
из заключения теоремы(4).
Рассматриваются
только конечные группы.
обозначает порядок группы
,
а
--- множество всех простых делителей
.
Если
--- некоторое множество простых чисел,
то
--- наибольшая инвариантная в
-подгруппа.
--- подгруппа, порожденная всеми
сопряженными с
подгруппами в
.
Остальные обозначения можно найти в
[??].
Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.
Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.
Теорема
Мазуров -- Сыскин 9
Если
--- простая группа с силовской 2-подгруппой,
изоморфной неабелевой силовской
2-подгруппе из группы Шмидта, то
для некоторого
.
Теорема
Гольдшмидт 10
Если
в простой группе
силовская 2-подгруппа
неабелева и
,
для всех
и некоторой абелевой неединичной
подгруппы
из
,
то
или
.
Лемма
Пусть
разрешимая группа
,
где
--- группа нечетного порядка,
--- 2-замкнутая группа четного порядка и
.
Если
,
то
Доказательство
проведем индукцией по порядку группы
.
Введем следующие обозначения:
;
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
;
--- силовская 2-подгруппа;
--- ее дополнение. Ясно, что
.
Если
,
то
,
отсюда и
.
Пусть
и
--- минимальная инвариантная
-подгруппа
в
.
Тогда
и
,
где
--- силовская
-подгруппа
для
.
Можно считать, что
,
поэтому
.
Кроме того,
неинвариантна в
,
значит
--- собственная в
подгруппа. Замечание Фраттини дает, что
.
Теперь
и
.
Так как
,
то
,
т. е.
--- собственная в
подгруппа. Порядки
и
взаимно просты, поэтому
.
По индукции
,
поэтому и
.
Лемма доказана.
Доказательство
теоремы(4). Допустим, что теорема неверна
и группа
--- контрпример минимального порядка.
Пусть
,
--- инвариантная силовская
-подгруппа,
--- силовская
-подгруппа.
Так как факторгруппа группы Шмидта
является либо группой Шмидта, либо
циклической
-группой,
то благодаря теореме В. А. Ведерникова
(5)можно считать, что
.
Допустим,
что группа
непроста и
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
--- неразрешимая группа.
Предположим,
что
не содержит
.
Тогда
нильпотентна, а так как
,
то по теореме Я. Г. Берковича (6) подгруппа
имеет четный порядок. Теперь по теореме
1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа
в
неабелева. Так как
,
то из свойств групп Шмидта следует, что
содержится в
и
--- силовская 2-подгруппа в
.
Если
непроста, то
--- неразрешимая группа, где
--- некоторая инволюция из центра
.
Так как
и
--- группа Шмидта четного порядка, то по
индукции
,
или
,
--- простое число. Замечая, что
и
--- абелева группа порядка 4 или
,
получаем, что,
.
Теперь
должно быть четным числом, значит,
.
В этих случаях
и
--- группа кватернионов порядка 8, что
противоречит тому, что
.
Следовательно,
--- простая группа. По теореме Мазурова-Сыскина
группа
изоморфна
.
Поэтому
,
значит,
и
Порядок
факторгруппы
равен
,
и
делится на
.
Так как
,
то
делит порядок
.
Это противоречит взаимной простоте
порядков факторов.
Следовательно,
содержит подгруппу
.
Так как
--- циклическая силовская подгруппа в
,
то
--- простая группа и по индукции
,
или
,
где
--- простое число. Так как
,
разрешима, a
,
то
.
Теперь
изоморфна некоторой подгруппе из
.
Если
или
,
то
или
.
допускает факторизацию с группой Шмидта
порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа
не допускает требуемой факторизации.
Если
--- простое число, то и
--- простое число. Так как
,
где
,
то
.
Противоречие.
Таким
образом,
--- простая группа.
Предположим,
что силовская 2-подгруппа группы
абелева. Тогда по результату Уолтера
[??] группа
может быть изоморфной только одной из
следующих групп:
,
или
,
группе Янко порядка 175560 или группе
типа Ри. Из групп
для указанных
лишь группы
или
,
где
--- простое число, допускают нужную
факторизацию [??]. Группа Янко не допускает
требуемой факторизации [??]. Порядок
группы
делится более чем на три простых числа,
и силовская 3-подгруппа содержит свой
централизатор, элемент порядка 9 и
неабелева(5). Поэтому
неизоморфна
.
В
дальнейшем будем считать, что силовская
2-подгруппа в
неабелева. Так как порядки
и
взаимно просты, то некоторая силовская
2-подгруппа
из
содержится либо в
,
либо в
.
Если
,
то
и группа
изоморфна
для некоторого
.
Но в этом случае
,
поэтому
,
и
делит
.
Так как
,
то
делит
.
Но порядок
делится на
,
а значит, и на
.
Противоречие.
Следовательно,
.
Теперь
,
,
--- инвариантное 2-дополнение в
.
Если
,
то
и
ввиду леммы Бернсайда [??]. Поэтому
,
--- элементарная абелева
-группа
и
--- показатель числа
по модулю
.
Из результатов Уолеса [??] непосредственно
получаем, что
.
Противоречие.
Значит,
.
Введем следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в
подгруппа;
--- силовская подгруппа из
,
содержащая
;
;
.
Так как
,
то
и
разрешима. Кроме того,
и по лемме С. А. Чунихина ((4), см. также
лемму 1.16.1 из(3))
не содержит подгрупп инвариантных в
.
Применяя лемму (??) настоящей работы,
получаем, что
.
Так как
и
,
то и
.
Таким образом,
.
Пусть
.
Покажем, что
для всех
.
Возьмем произвольный элемент
,
.
Тогда
,
поэтому
,
.
Теперь
.
Так как
,
то
.
Применяя результат Гольдшмидта, получаем:
или
.
Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Противоречие. Теорема
доказана.
Лемма
Пусть
--- простое число, делящее порядки групп
и
.
Если
--- группа Шмидта, а
---
-разложимая
группа, то группа
непроста.
Доказательство.
Пусть
--- силовская
-подгруппа
из
,
а
--- силовская
-подгруппа
из
,
для которых
и
есть силовская
-подгруппа
в
[??].
Пусть
инвариантна в
.
Тогда для любого
,
,
имеем:
.
По лемме Кегеля [??] группа
непроста.
Пусть
неинварпантна в
.
Тогда
циклическая и каждая собственная
подгруппа из
инвариантна в
.
Если
--- силовская подгруппа в
,
то
и
,
где
--- силовская подгруппа из
.
По лемме Бернсайда группа
непроста. Пусть
не является силовской в
.
Тогда
содержится как подгруппа индекса
в некоторой группе
,
.
Для элемента
теперь
содержит
и
.
Если
,
то
непроста по лемме Бернсайда. Если
,
то
и
непроста по лемме С. А. Чунихина.
Теперь из теоремы (2) и леммы (5) вытекает
Теорема
Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая
группа, где
.
Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
Ясно,
что условие теоремы (??) охватывает
случай, когда
нильпотентна.
Теорема
Пусть
--- неразрешимая группа, где
--- группа Шмидта,
--- нильпотентная группа. Тогда
.
и
--- простое число,
или
для некоторого простого числа
.
Доказательство.
Пусть группа
--- контрпример минимального порядка.
Как и в теореме (??), пусть
.
Ясно, что
.
Группа
не является произведением группы Шмидта
и нильпотентной группы, поэтому из
теоремы (??) следует, что порядки
и
не взаимно просты, а из леммы (??) вытекает,
что
--- непростая группа.
Допустим,
что порядок
делится на
и пусть
--- силовская
-подгруппа
из
.
Тогда
--- неразрешимая группа, поэтому из
теоремы Виландта-Кегеля следует, что
.
Так как
есть
-группа,
то
и по лемме из (4) группа
есть
-группа,
противоречие. Следовательно, порядок
не делится на
.
Но тогда
делит порядок
.
Рассуждая как и в лемме, получаем, что
,
а из следует, что
.
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. В силу теоремы Виландта-Кегеля
и
разрешима. Если
,
то, применяя к
индукцию, получаем, что
или
и
--- простое число, а группа
из заключения теоремы, противоречие.
Значит,
,
кроме того,
и
,
где
--- силовская
-подгруппа
из
,
--- инвариантное
-дополнение
в
.
Проверка показывает, что
--- простая группа. Пусть
--- силовская
-подгруппа
из
,
для которой
.
Если
,
то централизатор элемента
из
содержит подгруппы
и
,
что противоречит простоте
.
Далее,
,
поэтому
--- подгруппа. Но
,
значит,
.
Пусть
--- силовская 2-подгруппа в
,
тогда
--- силовская в
.
Как и в теореме (??), можно показать, что
неабелева и
неизоморфна
.
Значит,
.
Пусть
,
--- дополнение к
в
.
Если
,
то повторение соответствующих рассуждений
из теоремы приводит к противоречию.
Значит,
.
Так как
,
то из результата Уолеса заключаем, что
изоморфна одной из следующих групп:
,
,
,
,
,
.
Для них группа Шмидта
должна иметь соответственно следующие
порядки:
,
,
,
,
,
,
причем
,
5, 7, 7, 13 или 17 соответственно. Но это
возможно лишь когда
или
и в
силовская 3-подгруппа
абелева. Так как
и в
и
силовские 3-подгруппы неабелевы, то
получили противоречие. Теорема доказана.
4. Произведение бипримарной и 2-разложимой групп
В (1) описаны конечные неразрешимые группы, являющиеся произведением двух подгрупп взаимно простых порядков, одна из которых есть группа Шмидта, а вторая --- 2-разложимая группа (см. также(2)). Все свойства группы Шмидта хорошо известны, в частности, она бипримарна, т. е. ее порядок делится в точности на два различных простых числа, и в ней содержится неединичная циклическая силовская подгруппа.
Развивая указанный результат работы(6), мы доказываем в настоящей заметке следующую теорему.
Теорема
Пусть
конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка.
Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская
подгруппа
.
Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.
обозначает
произведение всех разрешимых инвариантных
в
подгрупп.
Следствие
Пусть
группа
обладает факторизацией, указанной в
теореме(3). Тогда, если порядок
не равен 3 или 1, то
разрешима.
Доказательство
теоремы 1 начинается с изучения частного
случая, когда подгруппа
примарная. Описанию этого случая, причем
без предположения четности порядка
подгруппы
,
посвящена
Теорема
Пусть
неразрешимая группа
является произведением бипримарной
подгруппы
и примарной подгруппы
.
Тогда, если среди силовских подгрупп
группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
,
где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
,
порядок
равен
,
а
.
Так
как бипримарные группы разрешимы, то
группа
из теоремы (7) имеет порядок, делящийся
в точности на три различных простых
числа. Такие простые группы к настоящему
времени известны лишь в случае, когда
они содержат циклическую силовскую
подгруппу. Этим и вызвано требование
цикличности силовской подгруппы в
условии теоремы(8), а следовательно, и в
условии теоремы(8).
Если
будут известны все простые группы
порядка
,
где
,
и
--- различные простые числа, то методы
доказательства теоремы (5) позволят
описать неразрешимые группы с указанной
в теореме (5) факторизацией без предположения
цикличности подгруппы
.
Используются
следующие обозначения:
и
--- симметрическая и знакопеременная
группы степени
,
,
и
--- циклическая, элементарная абелева и
соответственно диэдральная группы
порядка
.
Полупрямое произведение групп
и
с инвариантной подгруппой
обозначается через
.
Примарной называется группа, порядок
которой есть степень простого числа.
Предварительные леммы
Лемма
Если
группа
является произведением двух подгрупп
и
взаимно простых порядков и
--- субинвариантная в
подгруппа, то
.
Доказательство.
Если
--- инвариантная в
подгруппа, то
---
-холловская
в
подгруппа, где
,
а
---
-холловская
в
подгруппа(9). Поэтому
.
Если теперь
--- инвариантная в
подгруппа, то опять
и т. д.
Лемма
Если
группа
является произведением примарной
подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой
подгруппы, то
разрешима.
Доказательство.
Пусть
,
---
-группа,
--- нечетное простое число,
--- 2-разложимая группа. В
существует силовская
-подгруппа
такая, что
,
где
--- некоторая силовская
-подгруппа
из
(7).
Так как
разрешима, то
,
где
---
-холловская
подгруппа из
.
Но теперь
.
По лемме Бернсайда (5)группа
непроста. Инвариантная подгруппа
в
по лемме факторизуема, т. е.
,
поэтому
разрешима по индукции. Фактор-группа
также разрешима по индукции. Поэтому
разрешима и
.
Лемма
Группы
и
не содержат бипримарные холловские
подгруппы.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда порядок
равен
и силовская 7-подгруппа в
самоцентрализуема. Так как порядок
больше порядка
,
то
не содержит подгруппы порядка
.
Предположим,
что существует подгруппа
порядка
.
По теореме Силова о числе силовских
подгрупп подгруппа
7-замкнута, т. е. подгруппа
порядка 7 из
инвариантна в
.
Но теперь
изоморфна подгруппе группы всех
автоморфизмов
,
которая изоморфна
.
Противоречие.
Допустим,
что есть подгруппа
порядка
.
Как и в предыдущем случае, подгруппа
не может быть 7-замкнутой. Так как индекс
в
нормализатора
силовской 7-подгруппы сравним с 1 по
модулю 7, то
и
.
Поэтому 4 должно делить порядок
,
а это невозможно. Таким образом, в
нет бипримарных холловских подгрупп.
Теперь
пусть
.
Тогда порядок
равен
,
силовская 3-подгруппа
из
неабелева и
.
Силовская 2-подгруппа
также неабелева и
имеет экспоненту 2. Нормализатор силовской
5-подгруппы
в
имеет порядок 20, а централизатор
в
совпадает с
[??].
Предположим,
что существует подгруппа
порядка
.
Тогда
3-замкнута, а так как
ненильпотентна, то
.
Подгруппа
неабелева, поэтому минимальная
инвариантная в
подгруппа
имеет порядок не более чем
.
Теперь
изоморфна подгруппе из группы всех
авторморфизмов
.
Но
--- элементарная абелева, поэтому
,
где
,
и
имеет порядок, не делящийся на 5. Таким
образом,
,
но тогда
.
Противоречие.
Допустим,
что существует подгруппа
порядка
.
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Так как
имеет порядок 20, то
неинвариантна в
и
есть 2-группа. По теореме Машке [??]
подгруппа
есть прямое произведение неприводимых
-групп
.
Подгруппа
самоцентрализуема, поэтому
не централизуют
и по [??] порядок
равен
для всех
.
Следовательно,
и
.
Фактор-группа
имеет порядок 20, поэтому она 5-замкнута
и
инвариантна в
.
Теперь
.
Пересечение
инвариантно в
,
поэтому
.
Таким образом,
,
и
изоморфна циклической группе порядка
4 из
.
Это противоречит тому, что
имеет экспоненту 2.
Если
G содержит подгруппу порядка
,
то индекс этой подгруппы в
будет равен 5. Поэтому
изоморфна подгруппе симметрической
группы
степени 5. Но порядок
больше порядка
.
Противоречие.
Лемма
Группа
содержит подгруппу порядка
и не содержит бипримарные холловские
подгруппы других порядков.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда порядок
равен
и
--- дважды транзитивная группа степени
13. Поэтому стабилизатор
одной точки будет холловской подгруппой
порядка
.
Силовская 3-подгруппа в
неабелева. Нормализатор силовской
13-подгруппы имеет порядок
,
а централизатор --- 13 [??].
Пусть
--- подгруппа порядка
.
По теореме Силова
--- 13-замкнута. Поэтому центр
неединичен. Противоречие.
Допустим,
что есть подгруппа
порядка
.
Так как
не 13-замкнута, то минимальная инвариантная
в
подгруппа
есть 3-группа. Подгруппа
абелева, поэтому
.
Теперь силовская 13-подгруппа централизует
.
Значит, центр
отличен от 1. Противоречие.
5 Произведение бипримарной и примарной групп
В этом параграфе мы докажем теорему(1), сформулированную во введении.
Доказательство
теоремы(3). Через
обозначим циклическую силовскую
-подгруппу
в
.
Порядки
и
взаимно просты, поэтому в
каждая субинвариантная подгруппа
факторизуема. Фактор-группа
удовлетворяет условию теоремы(5). Так
как
,
то при
по индукции фактор-группа
изоморфна одной из групп, перечисленных
в заключении теоремы(3). Следовательно,
можно считать, что
.
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Подгруппа
неразрешима и является произведением
изоморфных простых групп. Порядок
делится на
,
и силовская
-подгруппа
в
--- циклическая, поэтому
--- простая группа.
Предположим,
что в
есть еще одна минимальная инвариантная
подгруппа
.
Тогда
.
Но силовские
-подгруппы
и
содержатся в циклической
-группе
,
поэтому
.
Следовательно,
--- единственная в
минимальная инвариантная подгруппа.
Централизатор
подгруппы
инвариантен в
,
и
.
Из единственности
следует, что
,
поэтому
изоморфна группе автоморфизмов
.
Порядок
простой группы
делится в точности на три простых числа
и силовская
-подгруппа
в
циклическая. Поэтому
изоморфна
,
где
,
7, 8, 9 или 17,
,
,
[??]. Кроме того,
--- бипримарная холловская подгруппа в
.
В группах
,
,
и
нет бипримарных холловских подгрупп
(см. [??] и лемму (??) настоящей работы).
Если
изоморфна
,
или 7, то
и
имеет порядок 2. Поэтому либо
,
либо
,
или 7. Группа
допускает единственную факторизацию,
а именно
.
Группа
допускает только две факторизации с
взаимно простыми порядками факторов:
и
.
Допустим,
что
--- собственная в
подгруппа. Если
,
то
,
.
Так как
,
то
--- подгруппа индекса 2 в
,
а
.
Подгруппа
имеет единичный центр, поэтому
централизатор
в
имеет порядок 1 или 2. В первом случае
и
из пункта 4) теоремы (??). Во втором случае
и силовская 2-подгруппа в
)
должна быть абелевой, что невозможно.
Таким образом, если
,
то
,
а
.
Пусть
теперь
.
Если
,
то индекс
в
равен 2, а так как
--- совершенная группа, то
.
Но это противоречит тому, что в
силовская 2-группа диэдральная. Поэтому
для
одна возможность:
.
Но тогда
,
а
,
т. е. для
возможна единственная факторизация,
указанная в пункте 5).
Теперь
рассмотрим случай, когда
.
Эта группа допускает единственную
факторизацию, указанную в пункте 3)
теоремы. Пусть
.
Так как
--- подгруппа индекса 3 в
,
то
.
Причем
,
а
.
Но тогда
,а
--- силовская 3-подгруппа из
.
Осталось
рассмотреть случай, когда
.
Так как индекс
в группе автоморфизмов
равен 2, то либо
,
либо
.
Но в
нет подгрупп индекса 13.
Применяя
лемму (??), заключаем, что
из пункта 7) теоремы. Теорема (??) доказана
полностью.
Следствие
Пусть
группа
является произведением бипримарной
подгруппы
с неединичной циклической силовской
подгруппой
и примарной подгруппы
.
Тогда, если порядок
не равен 3 или 7, то
разрешима.
Доказательство.
Пусть
--- контрпример минимального порядка.
Так как фактор-группа
неразрешима, то из теоремы 2 следует,
что она изоморфна
,
где
,
7 или 8;
,
или 7;
.
Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
или 7,
.
Пусть
--- минимальная разрешимая инвариантная
в
подгруппа. Ясно, что
есть
-группа,
а так как
циклическая, то
порядка
.
Централизатор
подгруппы
инвариантен в
,
поэтому
.
Кроме того,
.
Если
,
то
разрешима по индукции, a
примарна или бипримарна, т. е. разрешима
и
,
противоречие. Следовательно,
,
и
содержится в центре
группы
.
Пусть
--- коммутант группы
.
По [??] пересечение
равно 1. Значит,
не содержится в
.
Из цикличности
следует, что подгруппа
имеет порядок, не делящийся на
,
т. е.
разрешима. Теперь и
разрешима, противоречие. Следствие
доказано.
Группы
Шмидта и
-квазинильпотентные
группы обладают неединичной циклической
силовской подгруппой. Поэтому следствие
обобщает результаты И. П. Д окторова
[??] и М. И. Кравчука [??].
6. Доказательство теоремы (3)
Допустим,
что теорема неверна и группа
--- контрпример минимального порядка.
Пусть
--- циклическая силовская
-подгруппа
в
,
а
,
где
--- силовская 2-подгруппа в
,
--- ее инвариантное дополнение в
.
В силу леммы (??) условие теоремы выполняется
для
,
поэтому мы можем считать, что
.
Пусть
--- минимальная инвариантная в
подгруппа. Тогда
неразрешима,
и по лемме (??) порядок
делится на
.
Силовская
-подгруппа
циклическая, поэтому
--- простая группа. Теперь, если
--- другая инвариантная в
подгруппа, то силовская
-подгруппа
пересекается с
не по единице. Из минимальности
следует, что
содержится в
.
Таким образом,
--- единственная минимальная инвариантная
в
подгруппа. Так как централизатор
подгруппы
инвариантен в
и пересекается с
по единице, то и
.
Следовательно,
изоморфна подгруппе группы автоморфизмов
группы
.
Если
--- собственная в
подгруппа, то по индукции
изоморфна
.
Но тогда
изоморфна
,
противоречие.
Таким
образом,
--- простая группа. В силу теоремы (??)
подгруппа
неединична.
Введем
следующие обозначения:
--- минимальная инвариантная в
подгруппа,
--- силовская подгруппа из
,
содержащая
,
.
Так как
инвариантна в
,
то
.
Допустим,
что
.
Напомним, что
--- наибольшая инвариантная в группе
-подгруппа.
Так как
и
,
то и
.
Поэтому
.
Пусть
.
Покажем, что
для всех
.
Возьмем произвольный элемент
,
.
Тогда
,
поэтому
для некоторого
.
Теперь
.
Так как
инвариантна в
,
то
.
По теореме Гольдшмидта получаем, что
либо
абелева, либо
изоморфна
или
.
Если
абелева, то группа
разрешима, противоречие. Так как
,
то изоморфизм
с группами
и
)
невозможен.
Таким
образом,
.
Группа
,
и
не содержит подгрупп, инвариантных в
.
По лемме 1 из [??] группа
неразрешима. Значит,
бипримарна, и
делит порядок
.
По индукции
изоморфна
или
.
Допустим,
что
имеет четный порядок. Подгруппа
факторизуема, a
инвариантна в
,
значит, и
.
Если
содержит неединичную подгруппу,
инвариантную в
,
то и
содержит подгруппу, инвариантную в
,
противоречие. По лемме 1 из [??] подгруппа
неединична, противоречие. Следовательно,
порядок
нечетен.
Теперь
силовская 2-подгруппа
из
изоморфна силовской 2-подгруппе из
группы
или
,
т. е.
--- диэдральная группа порядка 8 или 16.
Поэтому и изоморфна
или
,
нечетное. Но этот изоморфизм ввиду
невозможен. Теорема доказана.
Доказательство
следствия теоремы. Пусть утверждение
неверно и группа
--- контрпример минимального порядка.
Фактор-группа
неразрешима и по теореме она изоморфна
или
.
Поэтому порядок
-группы
равен 3 или 7. Значит,
.
Теперь, повторяя дословно второй и
третий абзацы доказательства следствия
теоремы, мы приходим к противоречию.
Заключение
Итак, в данной курсовой работе приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, одна из которых группа Шмидта, а вторая 2-разложимая, произведением бипримарной и 2-разложимой групп. Доказываются следующие теоремы:
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Если подгруппы
и
-разложимы
для каждого
,
то
разрешима.
Теорема.
Пусть
и
--- подгруппы конечной группы
и пусть
.
Предположим, что
и
---
-замкнуты
для каждого
.
Если
и
-разложимы
и
-разложимы,
то
разрешима.
Теорема.
Пусть
есть группа Шмидта,
--- 2-разложимая группа, порядки
и
взаимно просты. Если
и
--- конечная неразрешимая группа, то
,
,
и
--- простое число
или
для некоторого простого
.
Теорема.
Пусть
--- группа Шмидта;
---
-разложимая
группа, где
.
Если
и
--- простая группа, то
,
или
и
--- простое число.
Теорема.
Пусть
конечная группа
является произведением своих подгрупп
и
взаимно простых порядков, и пусть
--- бипримарная группа, а
--- 2-разложимая группа четного порядка.
Предположим, что в
есть неединичная циклическая силовская
подгруппа
.
Тогда, если
неразрешима, то
изоморфна
или
.
Теорема.
Пусть
неразрешимая группа
является произведением бипримарной
подгруппы
и примарной подгруппы
.
Тогда, если среди силовских подгрупп
группы
есть циклическая, то
изоморфна одной из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
,
где
--- силовская 3-подгруппа;
7)
,
порядок
равен
,
а
.
Список литературы
[1] Huppert B., Endliche Gruppen. I, Berlin--Heidelberg --- N. Y., Springer--Verlag, 1967.
[2] Glauberman G., Factorizations in local sub>groups of finite groups, Reg. Con. Ser. Math., № 33, (1977), 77.
[3] Сыскин С. А., Об одном вопросе Р. Бэра, Сиб. матем. ж. 20, № 3 (1979), 679-681.
[4] Монахов В. С., Произведение сверхразрешимой и циклической или примерной групп, Сб., Конечные группы (Тр. Гомельского семинара), Минск, "Наука и техника", 1978, 50-63
[5] Фомин А. Н., Одно замечание о факторизуемых группах, Алгебра и логика, 11, № 5 (1972), 608-611.
[6] В. Huppert, Math. Zeit., 64, 138, 1956.
[7] В. А. Ведерников, Матем. зам., 3, 201, 1968.
[8] И. П. Докторов, ДАН БССР, 13, 101, 1969.
[9] П. И. Трофимов, ДАН СССР, 167, 523, 1966.
[10] В. С. Монахов, ДАН БССР, 18, № 7, 584, 1974.
[11] С. А. Чунихин, Л. А. Шеметков, сб. Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1969, М., 7, 1971.
[12] О. Ю. Шмидт, Матем. сб., 31, 366, 1924.
[13] L. Redei, Publ. Math. Debrecen,4, 303, 1956.
[14] В. Д. Мазуров, С. А. Сыскин, Матем. заметки, 14, 217,1973.
[15] D. Gодdsсhmidt, Not. Amer. Math. Soc., 20, № 1, 1973.
[16] Я. Г. Бeркович, ДАН СССР, 171, 770, 1966.
[17] В. С. Монахов, ДАН БССР, 15, 877, 1971.
[18] Z. Jankо, J. Algebra, 3, 147. 1966.
[19] Н. Ward, Trans. Amer. Math. Soc., 121, 62, 1966.
[20] B. Huppert, Endliche Gruppen I, Berlin, 1967.
[21] D. Wales, Algebra, 20, 124, 1972.
[22] С. А. Чyнихин, Труды семинара по теории групп, М.-Л., 1938.
[23] С. А. Чунихин, Подгруппы конечных групп, Минск, 1964.
[24] В. Huppert, N. Itо, Math. Z., 61, 94, 1954.
[25] J. Walter, Annals Math., 89, 405, 1969.
[26] N. Ito, Acta scient. math., 15, 77, 1953.
[27] В. С. Монахов, Матем. зам., 16, 285, 1974.
[28] Монахов В. С., О произведении 2-разложимой группы и группы Шмидта, Докл. АН БССР, 18, № 10 (1974), 871-874.
[29] Конечные группы, Тр. Гомельского семинара, Минск, Наука и техника, 1975.
[30] Huppert В., Endliche Gruppen, Bd. I, Berlin, Springer- Verlag, 1967.
[31]
Leon J., Wales D., Simple groups of order 2aZbpc with cyclic Sylow
-groups,
J. Algebra, 29 № 2 (1974), 246-254.
[32] Докторов И. П., Об одном классе факторизуемых групп, Докл. АН БССР, 13, № 2 (1969), 101-102.
[33] Goldschmidt D., 2-fusion in finite groups, Ann. Math., 99, № 1 (1974), 70-117.
[34] Монахов B.C., К двум теоремам Ведерникова, Докл. АН БССР, 15, № 10 (1971), 877-880.
[35] Gоrеnstein D., Walter J., The characterization of finite groups with dihedral Sylow 2-sub>groups, J. Algebra, 2 (1965), 85-151, 218-270, 334-397.