Алгебраические группы матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003
Содержание
Введение
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
1.2 О полугруппах
1.3 Компоненты алгебраической группы
>1.4 О 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-группах>
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
2.2 Ранг матрицы
2.3 Критерий совместности
3 Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
3.2 Произведение матриц
3.3 Квадратные матрицы
Заключение
Список использованных источников
Введение
Множество >
>
матриц >
>-ой
степени над >
>
будем рассматривать как аффинное
пространство >
>
с имеющейся на ней полиномиальной
топологией. Алгебраические группы
матриц определяются как невырожденные
части алгебраических множеств из >
>,
являющиеся группами относительно
обычного матричного умножения. Простейший
пример такой группы - общая линейная
группа >
>.
В настоящем параграфе мы начнем
систематическое изучение алгебраических
матричных групп.
Все
топологические понятия относятся к
полиномиальной топологии; черта
обозначает замыкание в >
>,
диез - замыкание в >
>,
бемоль - взятие невырожденной части, т.
е. >
>
- совокупность всех невырожденных матриц
из >
>.
Иногда, допуская вольность, мы употребляем
для групп те же понятия, что и для
подлежащих алгебраических множеств, -
например, говорим об общих точках групп;
это не должно вызывать недоразумений.
1. Алгебраические группы матриц
1.1 Примеры алгебраических групп матриц
Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:
>
>
где >
>
>
>
- единичная
матрица и штрих обозначает транспонирование.
Диагональная
группа >
>,
группы клеточно-диагональных матриц
данного вида. Треугольная группа >
>
(для определенности --- с нижним нулевым
углом), унитреугольная группа >
>
(треугольные матрицы с единичной
диагональю), группы клеточно-треугольных
матриц данного вида.
Централизатор
произвольного множества из >
>
в алгебраической группе >
>,
нормализатор замкнутого множества из
>
>
в >
>.
Пересечение
всех алгебраических групп, содержащих
данное множество матриц >
>
из >
>
--- алгебраическая группа. Она обозначается
>
>
и называется алгебраической группой,
порожденной множеством >
>.
Каждую
алгебраическую линейную группу из >
>
можно изоморфно --- в смысле умножения
и полиномиальной топологии --- отождествить
с замкнутой подгруппой из >
>
в силу формулы
>
>
Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.
Множество
всех матриц из >
>,
оставляющих инвариантной заданную
невырожденную билинейную форму >
>
на >
>.
Пусть >
>
--- алгебра над >
>
конечной размерности >
>
(безразлично, ассоциативная или нет), >
>
--- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя
в >
>
какую-нибудь базу >
>
и сопоставляя автоморфизмам алгебры >
>
их матрицы в этой базе, мы получим на >
>
строение алгебраической группы.
Действительно, пусть
>
>
т. е. >
>
--- структурные константы алгебры >
>.
Пусть далее
>
>
где >
>.
Тогда >
>
задается в матричных координатах >
>
очевидными полиномиальными уравнениями,
вытекающими из соотношений
>
>
Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.
В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.
1.1.1 Если
матричная группа >
>
содержит алгебраическую подгруппу >
>
конечного индекса, то >
>
сама алгебраическая.
Доказательство.
Пусть >
>
- аннулятор группы >
>
в >
>,
>
>
- его корень в >
>.
Надо показать, что >
>.
Пусть, напротив, >
>.
Пусть >
>
- смежные классы >
>
по >
>.
Для каждого >
>
выберем многочлен
>
>
и положим
>
>
Очевидно, >
>,
>
>.
Получили противоречие.
Пусть >
>
--- алгебраическая группа, >
>,
>
>
--- подмножество и замкнутое подмножество
из >
>.
Тогда множества
>
>
где >
>,
замкнуты. Если >
>
тоже замкнуто и >
>
--- общее поле квазиопределения для >
>,
>
>,
>
>,
то >
>,
>
>,
>
>
квазиопределены над >
>.
В частности, если существует хотя бы
одно >
>
с условием >
>
(соответственно, >
>,
>
>),
то можно считать, что >
>
(см. 7.1.5).
Если на
множестве >
>
выполняется теоретико-групповое
тождество >
>,
то оно выполняется и на его замыкании
>
>.
В частности, коммутативность, разрешимость,
нильпотентность матричной группы
сохраняются на ее замыкании в полиномиальной
топологии.
1.2 О полугруппах
Определим
действие элементов из >
>
на рациональные функции из >
>,
>
>,
полагая
>
>
Для каждого
>
>
отображение >
>
(сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля
>
>.
Отображение >
>
есть изоморфизм полной линейной группы
>
>
в группу автоморфизмов расширения >
>.
Имеет место следующее предложение.
1.2.1 Все
замкнутые (в полиномиальной топологии)
полугруппы из >
>
являются группами. Более общно: замыкание
>
>
произвольной полугруппы >
>
--- группа. Более точно: если >
>
--- аннулятор >
>
в >
>,
то >
>
совпадает с
>
>
Здесь вместо
>
>
можно написать >
>.
Доказательство.
Во-первых, >
>
и, значит, >
>.
Действительно, если >
>,
>
>
и >
>,
то >
>,
т. е. >
>.
Подпространство >
>
многочленов из >
>
степени >
>
отображается оператором >
>
на себя, так как оно конечномерно, а
опрератор обратим. Но тогда и всё >
>
отображается на себя, как объединение
всех >
>.
Во-вторых,
>
>,
т. е. >
>
для каждого >
>.
Действительно, пусть >
>.
По уже доказанному, >
>.
Найдём >
>
с условием >
>.
Тогда >
>.
В-третьих,
>
>,
т. е. >
>
для всех >
>,
>
>.
Действительно, >
>.
Предложение доказано.
Таким образом,
теория алгебраических полугрупп из >
>
исчерпывается теорией алгебраических
групп.
Отметим ещё одно полезное предложение.
1.2.2 Пусть
алгебраическая группа >
>
неприводима, т. е. >
>
--- многообразие, >
>
--- густое подмножество, плотное в >
>.
Тогда каждый элемент >
>
является произведением двух элементов
из >
>;
в частности, если >
>
--- подгруппа, то она совпадает с >
>.
Доказательство.
Множества >
>
и >
>
тоже густые и плотные, поэтому пересечение
>
>
непусто (см. п. 8.2).
Если >
>
--- полугруппа из >
>,
то >
>.
1.3 Компоненты алгебраической группы
Пусть >
>
--- алгебраическая группа матриц.
Невырожденные части компонент её
подлежащего многообразия >
>
называеются компонентами группы
>
>.
наличие в >
>
групповой структуры позволяет высказать
о компонентах ряд важных утверждений,
отсутствующих в случае произвольного
многообразия.
1.3.1
Теорема. Пусть >
>
--- алгебраическая группа матриц. Её
компонента >
>,
содержащая единицу, единственна и
является нормальной подгруппой. Остальные
компоненты --- смежные классы >
>
по >
>
(в частности, они являются связными
компонентами группы >
>
в полиномиальной топологии). >
>
--- единственная связная замкнутая
подгруппа конечного индекса в >
>.
Аннулятор >
>
компоненты >
>
связан с аннулятором >
>
всей группы >
>
следующим образом:
>
>
для
некоторого >
>,
зависящего от >
>
>
>,
где >
>
--- аннулятор единицы в >
>,
>
>
--- некоторый многочлен из >
>.
Доказательство.
а) Пусть >
>
--- общее поле определения всех компонент
>
>
группы >
>.
Пусть >
>,
>
>
содержат единицу >
>,
>
>,
>
>
--- их независимые общие точки над >
>
и >
>,
>
>.
Имеем специализации
>
>
над >
>,
откуда >
>,
>
>,
>
>.
Этим доказана единственность компоненты
>
>.
б) Очевидно, что отображения
>
>
являются
гомеоморфизмами пространства >
>.
Так как >
>
инвариантна относительно них, то >
>
--- нормальная подгруппа группы >
>.
в) Пусть >
>.
Тогда >
>
при фиксированном >
>
--- снова все компоненты группы >
>.
В частности, >
>,
>
>.
Этим доказано, что >
>
--- смежные классы >
>
по >
>
и, значит, связные компоненты группы >
>.
г) Если >
>
--- связная замкнутая подгруппа группы
>
>,
то, предыдущему, >
>.
Если, кроме того, >
>
конечного индекса, то она той же
размерности, что и >
>,
потому совпадает с >
>.
д) Для каждого
>
>
возьмем многочлен
>
>
Пусть >
>
--- точка из >
>,
в которой >
>.
Рассмотрим многочлен
>
>
Он искомый.
В самом деле, очевидно, >
>.
Оба включения справа налево очевидны
(использовать простоту идеала >
>).
Остается доказать включение
>
>
Пусть >
>,
>
>.
Имеем:
>
>
Если >
>,
то >
>,
если же >
>,
>
>,
то >
>.
В любом случае >
>.
Следовательно, >
>.
Теорема доказана.
Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).
Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.
Подгруппа >
>
алгебраической группы >
>
тогда и только тогда замкнута, когда
замкнуто её пересечение со связной
компонентой единицы >
>.
<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что
>
>
Конечная
нормальная подгруппа >
>
связной алгебраической группы >
>
всегда лежит в центре >
>.
>
>
В заключение
отметим, что если в качестве универсальной
области выбрано поле комплексных чисел
>
>,
то в алгебраической группе можно
рассматривать две топологии ---
полиномиальную и евклидову. Ясно, что
вторая тоньше первой, поэтому, в частности,
евклидова связная компонента единицы
содержится в полиномиальной связной
компоненте. Можно было бы доказать и
обратное, т. е. на самом деле связные
компоненты комплексной алгебраической
группы в обеих топологиях одни и те же.
Этот результат становится неверным,
если рассматривать >
>-порцию
комплексной алгебраической группы (по
поводу определения см. следующий пункт).
1.4. О >
>-группах
Пусть >
>
- поле. По определению, алгебраическая
>
>-группа
--- это группа матриц из >
>,
выделяемая полиномиальными уравнениями
с коэффициентами в >
>.
Иначе можно сказать, что это >
>-порция,
т. е. пересечение с >
>,
некоторой алгебраической группы,
квазиопределенной над >
>.
Обычные алгебраические группы тоже
можно трактовать как >
>-группы
по отношению к некоторой большей
универсальной области >
>.
В этом смысле понятие алгебраической
>
>-группы
является более общим, так как от >
>
не требуется ни алгебраической
замкнутости, ни бесконечной степени
трансцендентности над простым полем.
В свойствах
алгебраических групп и >
>-групп
много общего. Имеется сандартный способ
перехода от первых ко вторым --- посредством
поля определения (в чём и состоит основное
значение этого понятия). Нам не раз
представится возможность продемонстрировать
этот способ. В целом же >
>-группы
в нашем изложении останутся на заднем
плане, лишь иногда выходя на авансцену.
Многие
результаты о >
>-группах
по формулировке и доказательству вполне
аналогичны результатам об абсолютных
алгебраических группах (в >
>)
и опираются на сведения из алгебраической
геометрии для >
>-множеств,
(по определению, алгебраическое
>
>-множество
выделяется в >
>
уравнениями с коэффициентами из >
>).
2 Ранг матрицы
2.1 Возвращение к уравнениям
В арифметическом
линейном пространстве >
>
столбцов высоты >
>
рассмотрим >
>
векторов
>
>
и их линейную
оболочку >
>.
Пусть дан еще один вектор >
>.
Спрашивается, принадлежит ли >
>
подпространству >
>,
а если принадлежит, то каким образом
его координаты >
>
выражаются через координаты векторов
>
>.
В случае >
>
вторая часть вопроса относится к
значениям координат вектора >
>
в базисе >
>.
Мы берем линейную комбинацию векторов
>
>
с произвольными коэффициентами >
>
и составляем уравнение >
>.
Наглядный вид этого уравнения
>
> ??
есть лишь
иная запись системы из >
>
линейных уравнений с >
>
неизвестными:
>
> ??
Первое впечатление таково, что мы вернулись к исходным позициям, потеряв время и ничего не выиграв. На самом же деле мы располагаем теперь рядом важных понятий. Осталось приобрести навыки в обращении с ними.
В этом месте
удобно условиться в обозначениях. В
дальнейшем для сокращения записи мы
часто будем обозначать сумму >
>
значком >
>.
При этом >
>
--- величины произвольной природы (числа,
векторы-строки и т. д.), для которых
выполнены все законы сложения чисел
или векторов. Правила
>
>
достаточно понятны, чтобы их нужно было разъяснять. Будут рассматриваться также двойные суммы,
>
>
в которых
порядок суммирования (по первому и по
второму индексу) можно выбирать по
своему желанию. Это легко понять, если
расположить величины >
>
в прямоугольную матрицу размера >
>:
в нашей воле начинать суммирование
элементов матрицы по строкам или по
столбцам.
Другие возможные типы суммирования будут разъясняться в нужном месте.
2.2 Ранг матрицы
Назовем
пространством столбцов прямоугольной
матрицы >
>
размера >
>
введенное выше пространство >
>,
которое мы будем обозначать теперь
символом >
>
или просто >
>
(в --- вертикальный). Его размерность >
>
назовем рангом по столбцам матрицы >
>.
Аналогично вводится ранг по строкам
матрицы >
>:
>
>,
где >
>
--- подпространство в >
>,
натянутое на векторы-строки >
>,
>
>
(г --- горизонтальный). Другими словами,
>
>
>
>
- ранги систем
векторов-столбцов и соответственно
векторов-строк. По теореме о существовании
конечного базиса у подпространства >
>
величины >
>
и >
>
определены правильно.
Будем говорить,
что матрица >
>
получена из >
>
при помощи элементарного преобразования
типа (I), если >
>
для какой-то пары индексов >
>
и >
>
для >
>.
Если же >
>
для всех >
>
и >
>,
>
>,
то говорим, что к >
>
применено элементарное преобразование
типа (II).
Заметим, что
элементарные преобразования обоих
типов обратимы, т. е. матрица >
>,
получающаяся из >
>
при помощи одного элементарного
преобразования, переходит снова в >
>
путем применения одного элементарного
преобразования, причем того же типа.
2.2.1 Лемма.
Если матрица >
>
получена из прямоугольной матрицы >
>
путем применения конечной последовательности
элементарных преобразований, то имеют
место равенства:
(i) >
>
(ii) >
>
Доказательство.
Достаточно рассмотреть тот случай,
когда >
>
получена из >
>
путем применения одного элементарного
преобразования (сокращенно э. п.).
(i) Так как,
очевидно, >
>,
то э. п. типа (I) не меняет >
>.
Далее, >
>
и, следовательно, >
>,
так что >
>
не меняется и при э. п. типа (II).
(ii) Пусть >
>
--- столбцы матрицы >
>.
Нам нужно доказать, что
>
>
Тогда всякой,
в том числе и максимальной, независимой
системе столбцов одной матрицы будет
отвечать независимая система столбцов
с теми же номерами другой матрицы, чем
и устанавливается равенство >
>.
Заметим еще, что в силу обратимости
элементарных преобразований достаточно
доказать импликацию в одну сторону.
Пусть, например, >
>.
Тогда, заменяя в (1) >
>
на >
>
и все >
>
на 0, мы видим, что >
>
--- решение однородной системы ОС,
ассоциированной с линейной системой
(2). По соответствующей теореме это
решение будет также решением однородной
системы >
>,
получающейся из ОС при помощи э. п. типа
(I) или (II) и имеющей своей матрицей как
раз матрицу >
>.
Так как система >
>
кратко записывается в виде >
>,
то мы приходим к соотношению >
>
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:
2.2.2
Теорема. Для любой прямоугольной
>
>-матрицы
>
>
справедливо равенство >
>
(это число называется просто рангом
матрицы >
>
и обозначается символом >
>).
Доказательство.
Т. к. конечным числом элементарных
преобразований, совершаемых над строками
>
>,
матрицу >
>
можно привести к ступенчатому виду:
>
> ??
с >
>.
Согласно лемме >
>
так что нам достаточно доказать равенство
>
>.
Столбцы
матриц >
>
и >
>
с номерами >
>,
отвечающими главным неизвестным >
>
линейной системы (2), будем называть
базисными столбцами. Эта терминология
вполне оправдана. Предположив наличие
соотношения
>
>
связывающего
векторы-столбцы >
>,
>
>,
>
>
матрицы (3), получим последовательно: >
>,
>
>,
>
>,
>
>,
>
>,
а так как >
>,
то >
>.
Значит, >
>
и >
>.
Но пространство >
>,
порожденное столбцами матрицы >
>,
отождествляется с пространством столбцов
матрицы, которая получается из >
>
удалением последних >
>
нулевых строк. Поэтому >
>.
Сопоставление двух неравенств показывает,
что >
>
(неравенство >
>
вытекает также из того очевидного
соображения, что все столбцы матрицы >
>
являются линейными комбинациями
базисных; проделайте это самостоятельно
в качестве упражнения).
С другой
стороны, все ненулевые строки матрицы
>
>
линейно независимы: любое гипотетическое
соотношение
>
>
как и в случае
со столбцами, дает последовательно >
>,
>
>,
>
>,
>
>.
Откуда >
>.
Стало быть, >
>
2.3 Критерий совместности
Ступенчатый
вид матрицы >
>,
дающий ответ на ряд вопросов относительно
линейных систем, содержит элементы
произвола, связанные, например, с выбором
базисных столбцов или, что эквивалентно,
с выбором главных неизвестных системы
(2). В то же время из теоремы 1 и из ее
доказательства извлекается
Следствие.
Число главных неизвестных, линейной
системы (2) не зависит от способа приведения
ее к ступенчатому виду и равно >
>,
где >
>
--- матрица системы.
Действительно,
мы видели, что число главных неизвестных
равно числу ненулевых строк матрицы >
>
(см. (3)), совпадающему, как мы видели, с
рангом матрицы >
>.
Ранг определялся нами совершенно
инвариантным образом. Этими словами
выражается тот факт, что ранг матрицы
служит ее внутренней характеристикой,
не зависящей от каких-либо привходящих
обстоятельств. >
>
В следующей
главе мы получим эффективное средство
для вычисления ранга матрицы >
>,
устраняющее необходимость приведения
>
>
к ступенчатому виду. Это, несомненно,
повысит ценность утверждений, основанных
на понятии ранга. В качестве простого,
но полезного примера сформулируем
критерий разрешимости линейной системы.
2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капелли) Система линейных уравнений (2) совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы
Доказательство.
Совместность линейной системы (2),
записанной в виде (1), можно трактовать
как вопрос о представлении вектора-столбца
>
>
свободных членов в виде линейной
комбинации векторов-столбцов >
>
матрицы >
>.
Если такое представление возможно (т.
е. система (2) совместна), то >
>
и >
>,
откуда >
>
(см. формулировку теоремы 1).
Обратно, если
ранги матриц >
>
и >
>
совпадают и >
>
--- какая-то максимальная линейно
независимая система базисных столбцов
матрицы >
>,
то расширенная система >
>
будет линейно зависимой, а это означает,
что >
>
--- линейная комбинация базисных (и тем
более всех) столбцов >
>.
Стало быть, система (2) совместна. >
>
3. Линейные отображения. Действия с матрицами
3.1 Матрицы и отображения
Пусть >
>
и >
>
--- арифметические линейные пространства
столбцов высоты >
>
и >
>
соответственно. Пусть, далее, >
>
--- матрица размера >
>.
Определим отображение >
>,
полагая для любого >
>
>
>
где >
>
--- столбцы матрицы >
>.
Так как они имеют высоту >
>,
то в правой части (1) стоит вектор-столбец
>
>.
Более подробно (1) переписывается в виде
>
>
Если >
>,
то >
>.
Аналогично
>
>.
Обратно,
предположим, что >
>
--- отображение множеств, обладающее
следующими двумя свойствами:
(i) >
>
для всех >
>;
(ii) >
>
для всех >
>.
Тогда,
обозначив стандартные базисные столбцы
пространств >
>
и >
>
соответственно символами >
>
и >
>,
мы воспользуемся свойствами (i), (ii) в
применении к произвольному вектору
>
>:
>
>
Соотношение
(2) показывает, что отображение >
>
полностью определяется своими значениями
на базисных векторах-столбцах. Положив
>
>
мы обнаруживаем,
что задание >
>
равносильно заданию прямоугольной
матрицы >
>
размера >
>
со столбцами >
>,
а соотношения (1) и (2) фактически совпадают.
Стало быть, можно положить >
>.
3.1.1 .
Определение. Отображение >
>,
обладающее свойствами (i), (ii), называется
линейным отображением из >
>
в >
>.
Часто, в особенности при >
>,
говорят о линейном преобразовании.
Матрица >
>
называется матрицей линейного
отображения >
>.
Пусть >
>,
>
>
--- два линейных отображения >
>
с матрицами >
>
и >
>.
Тогда равенство >
>
равносильно совпадению значений >
>
для всех >
>.
В частности, >
>,
откуда >
>
и >
>.
Резюмируем наши результаты:
3.1.2
Теорема. Между линейными отображениями
>
>
в >
>
и матрицами размера >
>
существует взаимно однозначное
соответствие.
Следует
подчеркнуть, что бессмысленно говорить
о линейных отображениях >
>
произвольных множеств >
>
и >
>.
Условия (i), (ii) предполагают, что >
>
и >
>
--- подпространства арифметических
линейных пространств >
>,
>
>.
Обратим
внимание на специальный случай >
>,
когда линейное отображение >
>,
обычно называемое линейной функцией
от >
>
переменных, задается >
>
скалярами >
>:
>
>
Линейные
функции (4), равно как и произвольные
линейные отображения >
>
при фиксированных >
>
и >
>
можно складывать и умножать на скаляры.
В самом деле, пусть >
>
--- два линейных отображения. Отображение
>
>
определяется своими значениями:
>
>
В правой части стоит обычная линейная комбинация векторов-столбцов.
Так как
>
>
>
>
то >
>
- линейное отображение. По теореме 1
можно говорить о его матрице >
>.
Чтобы найти >
>,
выпишем, следуя (3), столбец с номером >
>:
>
>
Матрицу >
>
с элементами >
>
естественно назвать линейной комбинацией
матриц >
>
и >
>
с коэффициентами >
>
и >
>:
>
>
>
>
Итак, >
>.
Особенно часто нами будет использоваться тот факт, что линейные комбинации линейных функций снова являются линейными функциями.
3.2 Произведение матриц
Соотношения
(5) и (6) выражают согласованность действий
сложения и умножения на скаляры в
множествах матриц размера >
>
и отображений >
>.
В случае произвольных множеств имеется
еще важное понятие произведения
(композиции) отображений. Разумно
ожидать, что композиция двух линейных
отображений должна выражаться неким
согласованным образом в терминах матриц.
Посмотрим как это делается.
Пусть >
>,
>
>
--- линейные отображения, >
>
--- их композиция.
Вообще говоря,
нам следовало бы предварительно
проверить, что >
>
--- линейное отображение, но это довольно
ясно:
(i) >
>;
(ii) >
>;
поэтому по
теореме 1 с >
>
ассоциируется вполне определенная
матрица >
>.
Действие
отображений на столбцы в цепочке запишем
в явном виде по формуле (>
>):
>
>
С другой стороны,
>
>
Сравнивая
полученные выражения и памятуя о том,
что >
>
--- произвольные вещественные числа, мы
приходим к соотношениям
>
>
Будем говорить,
что матрица >
>
получается в результате умножения
матрицы >
>
на матрицу >
>.
Принято писать >
>.
Таким образом, произведением прямоугольной
матрицы >
>
размера >
>
и прямоугольной матрицы >
>
размера >
>
называется прямоугольная матрица >
>
размера >
>
с элементами >
>,
задающимися соотношением (7). Нами
доказана
3.2.1
Теорема. Произведение >
>
двух линейных отображений с матрицами
>
>
и >
>
является линейным отображением с
матрицей >
>.
Другими словами,
>
>
Соотношение (8) - естественное дополнение к соотношению (6).
Мы можем
забыть о линейных отображениях и находить
произведение >
>
двух произвольных матриц >
>,
>
>,
имея в виду, однако, что символ >
>
имеет смысл только в том случае, когда
число столбцов в матрице >
>
совпадает с числом строк в матрице >
>.
Именно при этом условии работает правило
(7) "умножения >
>-й
строки >
>
на >
>-й
столбец >
>",
согласно которому
>
>
Число строк,
матрицы >
>
равно числу строк матрицы >
>,
а число столбцов --- числу столбцов
матрицы >
>.
В частности, произведение квадратных
матриц одинаковых порядков всегда
определено, но даже в этом случае, вообще
говоря, >
>,
как показывает хотя бы следующий пример:
>
>
Умножение матриц, конечно, можно было бы вводить многими другими способами (умножать, например, строки на строки), но ни один из этих способов не сравним по важности с рассмотренным выше. Это и понятно, поскольку мы пришли к нему при изучении естественной композиции (суперпозиции) отображений, а само понятие отображения относится к числу наиболее фундаментальных в математике.
Следствие. Умножение матриц ассоциативно:
>
>
Действительно, произведение матриц соответствует произведению линейных отображений (теорема 2 и соотношение (8)), а произведение любых отображений ассоциативно. К тому же результату можно прийти вычислительным путем, используя непосредственно соотношение (7).
3.3 Квадратные матрицы
Пусть >
>
(или >
>)
--- множество всех квадратных матриц (>>)
порядка >
>
с вещественными коэффициентами >
>,
Единичному
преобразованию >
>,
переводящему каждый столбец >
>
в себя, соответствует, очевидно, единичная
матрица
>
>
Можно записать
>
>,
где
>
>
- символ
Кронекера. Правило (7) умножения матриц,
в котором следует заменить >
>
на >
>,
показывает, что справедливы соотношения
>
>
Матричные
соотношения (10), полученные вычислительным
путем, вытекают, конечно, из соотношений
>
>
для произвольного отображения >
>,
если воспользоваться теоремой 1 и
равенством (8) с >
>.
Как мы знаем
(см. (5)), матрицы из >
>
можно умножать на числа, понимая под >
>,
где >
>,
матрицу >
>.
Но умножение на скаляр (число) сводится к умножению матриц:
>
>
>
>
- известная нам скалярная матрица.
В равенстве
(11) отражен легко проверяемый факт
перестановочности >
>
с любой матрицей >
>.
Весьма важным для приложений является
следующее его обращение.
3.3.1
Теорема. Матрица из >
>,
перестановочная со всеми матрицами в
>
>,
должна быть скалярной.
Доказательство.
Введем матрицу >
>,
в которой на пересечении >
>-й
строки и >
>-го
столбца стоит 1, а все остальные элементы
--- нулевые. Если >
>
--- матрица, о которой идет речь в теореме,
то она перестановочна,
>
>
Перемножая матрицы в левой и правой частях этого равенства, мы получим матрицы
>
>
с единственным
ненулевым >
>-м
столбцом и соответственно с единственной
ненулевой >
>-й
строкой. Их сравнение немедленно приводит
к соотношениям >
>
при >
>
и >
>.
Меняя >
>
и >
>,
получаем требуемое. >
>
Отметим еще
соотношения >
>,
которые непосредственно вытекают из
определения умножения матриц на скаляры
или, если угодно, из соотношений (11) и из
ассоциативности умножения матриц.
Для данной
матрицы >
>
можно попробовать найти такую матрицу
>
>,
чтобы выполнялось условие
>
>
Если матрица
>
>
существует, то условию (12) в терминах
линейных преобразований отвечает
условие
>
>
означающее,
что >
>
--- преобразование, обратное к >
>.
>
>
существует тогда и только тогда, когда
>
>
--- биективное преобразование. При этом
>
>
определено однозначно. Так как >
>,
то биективность >
>
означает, в частности, что
>
>
Пусть теперь
>
>
--- какое-то биективное линейное
преобразование из >
>
в >
>.
Обратное к нему преобразование >
>
существует, но, вообще говоря, не ясно,
является ли оно линейным. Чтобы убедиться
в линейности >
>,
мы введем векторы-столбцы
>
>
>
>
и применим
к обеим частям этих равенств преобразование
>
>.
В силу его линейности получим
>
>
>
>
Так как >
>,
то
>
>
>
>
откуда, в
соответствии с импликацией (13), находим,
что >
>,
>
>
--- нулевые векторы. Таким образом,
выполнены свойства (i), (ii) из 3.1, определяющие
линейные отображения. Имеем >
>,
где >
>
--- некоторая матрица. Переписав условие
(>
>)
в виде >
>
(см. (8)) и снова воспользовавшись теоремой
1, мы придем к равенствам (12).
Итак, матрица,
обратная к >
>,
существует в точности тогда, когда
преобразование >
>
биективно. При этом преобразование >
>
линейно. Биективность >
>
равносильна условию, что любой
вектор-столбец >
>
записывается единственным образом в
виде (1)
>
>
где >
>
--- столбцы матрицы >
>
(сюръективность >
>
приводит к существованию >
>,
для которого >
>,
а инъективность >
>
дает единственность >
>:
если >
>,
то >
>,
откуда, согласно (12), >
>).
Значит, >
>
совпадает с пространством столбцов >
>
матрицы >
>,
так что >
>.
Если матрица,
обратная к >
>,
существует, то, согласно вышесказанному,
она единственна. Ее принято обозначать
символом >
>.
В таком случае (см. (>>))
>
>
Квадратную
матрицу >
>,
для которой существует обратная матрица
>
>,
называют невырожденной (или
неособенной). Невырожденным называют
и соответствующее линейное преобразование
>
>.
В противном случае матрицу >
>
и линейное преобразование >
>
называют вырожденными (или особенными).
Резюмируем полученные нами результаты.
3.3.2
Теорема. Квадратная матрица >
>
порядка >
>
является невырожденной тогда и только
тогда, когда ее ранг равен >
>.
Преобразование >
>,
обратное к >
>,
линейно и задается равенством (14).
Следствие.
Невырожденность >
>
влечет невырожденность >
>
и >
>.
Если >
>
--- невырожденные >
>
--- матрицы, то произведение >
>
также невырождено и >
>.
Для
доказательства достаточно сослаться
на симметричность условия >
>.
>
>
Нами получено
довольно много правил действий с
квадратными матрицами порядка >
>.
Имеются в виду, ассоциативность (следствие
теоремы 2), (10) и теорема 4. Обратим еще
внимание на так называемые законы
дистрибутивности:
>
>
где >
>,
>
>,
>
>
--- произвольные матрицы из >
>.
Действительно,
полагая >
>,
мы получим для любых >
>
равенство (используется дистрибутивность
в >
>):
>
>
левая часть
которого дает элемент >
>
матрицы >
>,
а правая --- элементы >
>
и >
>
матриц >
>
и соответственно >
>.
Второй закон дистрибутивности (16)
проверяется совершенно аналогично.
Необходимость в нем обусловлена
некоммутативностью умножения в >
>.
Законы дистрибутивности
>
>
для линейных
отображений >
>,
>
>,
>
>
из >
>
в >
>
можно не доказывать, ссылаясь на
соответствие между отображениями и
матрицами, но можно, в свою очередь,
выводить (16) из (>
>),
поскольку в случае отображений,
рассуждение столь же просто.
Заключение
Таким образом,
в данной курсовой работе мы доказали,
что связанная компонента единицы
алгебраической группы содержится в
любой замкнутой подгруппе конечного
индекса. В работе была доказана теорема:
Для любой прямоугольной >
>-матрицы
>
>
справедливо равенство >
>
(это число называется просто рангом
матрицы >
>
и обозначается символом >
>).А
также было получено эффективное
средство для вычисления ранга матрицы
>
>,
устраняющее необходимость приведения
>
>
к ступенчатому виду, доказана теорема:
Квадратная матрица >
>
порядка >
>
является невырожденной тогда и только
тогда, когда ее ранг равен >
>.
Преобразование >
>,
обратное к >
>,
линейно и задается равенством (14) и
следствие этой теоремы: невырожденность
>
>
влечет невырожденность >
>
и >
>.
Если >
>
--- невырожденные >
>
--- матрицы, то произведение >
>
также невырождено и >
>.
Список использованных источников
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
Русаков
С.А., Алгебраические >
>-арные
системы. Минск, 1987. - 120с.
Кон П., Универсальная алгебра. М.:Мир, 1968.--351с.
Ходалевич А.Д., Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр// Вопросы алгебры.-1996.-Вып.10 с.144-152
Mонaxов В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным.- В кн.: Конечные группы. Мн.: Наука и техника, 1975, с. 70 - 100.