*-Алгебры и их применение

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста

студент 5 курса специальности математика

_________________________________

НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

_________________________________

профессор, доктор физико-математических наук

_________________________________

РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

_________________________________

СИМФЕРОПОЛЬ

2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………..4

Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6

§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6

1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6

1.2. Примеры…………………………………………………………………………7

1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7

1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11

§ 2. Представления ……………………………………………………………….13

2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13

2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15

2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16

2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20

§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26

3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26

3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31

1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P>2> ……………………………….31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P>2> ……………………………….32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P>2> …………………………………35

1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P>2> …………………………...39

2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45

§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45

1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45

1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45

1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве …………………………………………………….52

2.1. Спектр оператора А = Р>1> +Р>2> …………………………………………………52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР>1> + bР>2> (0<а<b) ……………………..53

Заключение………………………………………………………………………..55

Литература ………………………………………………………………………..56

ВВЕДЕНИЕ

Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P>2>

P>2>> >= С < p>1>, p>2> | p>1>2 = p>1>* = p>1>, p>2>2 = p>2>* = p>2> >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P>2>, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P>2> . Неприводимые *-представления P>2> одномерны и двумерны:

4 одномерных: π>0,0>(p>1>) = 0, π>0,0>(p>2>) = 0; π>0,1>(p>1>) = 0, π>0,1>(p>2>) = 1;

π>1,0>(p>1>) = 1, π>1,0>(p>2>) = 0; π>1,1>(p>1>) = 1, π>1,1>(p>2>) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.

В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р>1, >Р>2>, применяется к изучению сумм Р>1>+Р>2>, аР>1>+bР>2> (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р>1>+Р>2>> >или А = аР>1>+bР>2>, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).

Глава I. Основные понятия и определения

§ 1. - алгебры

      Определение - алгебры.

Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:

    А есть линейное пространство;

    в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
    воряющая следующим условиям:

α (x y) = (α x) y,

x (α y) = α (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел α.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что

    (x*)* = x;

    (x + y)* = x* + y*;

    (α x)* = x*;

    (x y)* = y*x* для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.

1.2. Примеры

    На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.

    Пусть Т – локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
    рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого ε > 0 множество {tT: |f (t)| ε} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).

    Пусть Н – гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.

    Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.

    Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()

1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х для всех хА (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то

е΄х = хе΄ = х, для всех хА (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:

ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:

β(αе + х) = βαе + βх, (α>1>е + х>1>) + (α>2>е + х>2>) = (α>1> + α>2>)е + (х>1> + х>2>),

(α>1 >е + х>1>)(α>2 >е+ х>2> )=α>1> α>2 >е +α>1 >х>2> +α>2 >х>1> + х>1> х>2 > (1.3.)

Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде

х΄ = αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.

Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

β (α, х) = (βα, βх), (α>1>,> >х>1>) + (α>2>, х>2>) = (α>1> + α>2>, х>1> + х>2>),

(α>1>,> >х>1>)(α>2>, х>2>) = (α>1>α>2>, α>1>х>2> + α>2> х>1> + х>1>х>2>), (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,

так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.

Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.

1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого zC , но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х>1> +iх>2>, где х>1>, х>2> – эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х>1> +iх>2>, следовательно:

, (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х>1>, х>2>, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х>1> +iх>2>.

Эти элементы х>1>, х>2> называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что хх* = х>1>2 + х>2>2 + i(х>2>х>1> – х>1>х>2>),

хх* = х>1>2 + х22 - i(х>2>х1 – х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х>1> и х>2> перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а А΄ - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в А΄, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что А΄ станет *-алгеброй. Говорят, что А΄ есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1 существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1 = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А>1> алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА>1> следует, что х*А>1> .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В – максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы – комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению – унитарную группу А. Действительно, если x и y – унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В – две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, αС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

    I ≠ A;

    Из х, yI следует x + y I;

    Из хI, а αА следует α хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I – двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А>1> операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I – двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А>1 > становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х → х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х → х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х → х΄ есть *-гомоморфизм А на А΄, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре А΄.

Обратно, отображение х → [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

§ 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н – гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

π (x+y) = π (x) + π (y), π (α x) = α π(x),

π (xy) = π (x) π (y), π (x*) = π (x)*

для любых х, y А и α С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью π и обозначается dimπ. Пространство Н называется пространством представления π.

Определение 2.2. Два представления π>1> и π>2> инволютивной алгебры А в Н>1> и Н>2> соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н>1> в гильбертово пространство Н>2>, переводящий π>1>(х) в π>2>(х) для любого хА, то есть

U π>1>(х) = π>2>(х) U для всех х А.

Определение 2.3. Представление π называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов π (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления π.

Определение 2.4. Подпространство Н>1>Н называется инвариантным, относительно представления π, если π (А)Н>1>Н>1>.

Если Н>1> инвариантное подпространство, то все операторы π(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н>1>. Сужения π(х) на Н>1> определяют подпредставления π>1> *-алгебры А в Н>1>.

Теорема 2.1. Если Н>1> инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н>1>, то есть (f, g) = 0 для всех gН>1>. Тогда для любого хА (π(х)f, g) = (f, π(х)*g) = (f, π(х*)g) = 0, так как π(х*)gН>1>. Следовательно, вектор π(х)f также ортогонален к Н>1>.

Обозначим через Р>1> оператор проектирования в Н на подпространство Н>1>Н>1>.

Теорема 2.2. Н>1> – инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р>1> на Н>1>.

Доказательство. Пусть Н>1> – инвариантное подпространство и fН>1>, но также π(х)f Н>1>. Отсюда для любого вектора fН

π(х)Р>1>f Н>1>

следовательно, Р>1>π(х)Р>1>f = π(х)Р>1>f ,

то есть Р>1>π(х)Р>1> = π(х)Р>1>.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р>1>π(х)Р>1> = Р>1>π(х).

Следовательно, Р>1>π(х) = π(х)Р>1>; операторы Р>1> и π(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН>1>

Р>1>π(х)f = π(х)Р>1>f = π(х)f ;

Следовательно, также π(х)f Н>1>. Это означает, что Н>1> – инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f>1> + … + f>n>, где f>1>, …, f>n> – векторы исходных подпространств. С другой стороны, π(х)h = π(х)f>1> +…+ π(х)f>n> есть сумма того же вида и имеет своим пределом π(х)g.

2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I – произвольное множество. Пусть (π>i>)>i>>>>I> - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Н>i> (iI). Пусть

|| π>i> (х) || ≤ с>х>

где с>х> – положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Н>i>, то есть Н = Н>i>. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор π(х) в Н, который индуцирует π>i>> >(х) в каждом Н>i>. Тогда отображение х → π(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений π>i>> > и обозначаемое π>i>> >или π>1>…..π>n> в случае конечного семейства представлений (π>1>…..π>n>). Если (π>i>)>i>>>>I> – семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением π, и если CardI = c, то представления π>i> обозначается через сπ. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным π.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f>0> ≠ 0 – какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов π(х)f>0>, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н>1>. Тогда Н>1> – инвариантное подпространство, в котором f>0> есть циклический вектор. Другими словами, Н>1> есть циклическое подпространство представления π.

Если Н>1> = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н>1> есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н>2> ортогональное Н>1>.

Обозначим через М совокупность всех систем {Н>α>}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н>1>, Н>2>}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {Н>α>}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Н>α>}. Но тогда Н=Н>α>; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Н>α>) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н>0> и мы получили бы систему {Н>α>}Н>0>М, содержащую максимальную систему {Н>α>}, что невозможно.

2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление π в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление π неприводимо. При fН, f ≠ 0, подпространство, натянутое на векторы π(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{α f | α C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть π(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление π приводимо и К – отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления π в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление π неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант π (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление π неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами π(х). Предположим сначала, что В – эрмитов оператор; обозначим через E(λ) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом λ оператор E(λ) перестановочен со всеми операторами π(х) ; в виду неприводимости представления E(λ) =0 или E(λ) =1, так как (E(λ) f, f) не убывает при возрастании λ, то отсюда следует, что существует λ>0> такое, что E(λ) =0 при λ<λ>0> и E(λ) =1 при λ>λ>0> . Отсюда

В=λ dE(λ) = λ>0> 1.

Пусть теперь В – произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами π(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами π(х). Действительно,

В*π(х) = (π(х*)В)* = (Вπ(х*))* = π(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В>1>=, В>2>= также перестановочны со всеми операторами π(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В>1>+iВ>2> кратен единице, то есть В – скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами π(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами π(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н → Н΄ такой, что Тπ(х)=π΄(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим π и π΄.

Пусть Т : Н → Н΄ - оператор, сплетающий π и π΄. Тогда Т* : Н΄ → Н является оператором, сплетающим π΄ и π, так как

Т* π΄(х) = (π΄(х)Т)* = (Тπ(х*))* = π(х)Т*

Отсюда получаем, что

Т* Тπ(х)=Т* π΄(х)Т= π(х)Т*Т (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с π(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

Uπ(х)|T| = U|T| π(х)= Тπ(х)= π΄(х)Т=π΄(х)U|T| (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

Uπ(х) = π΄(х)U (2.3.)

Если, кроме того, = Н΄, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Н΄ и (2.3.) доказывает что π и π΄ эквивалентны.

Пусть π и π΄ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Н΄ соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н → Н΄. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (≠0) и π, π΄ эквивалентны.

2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть π – конечномерное представление *-алгебры А. Тогда π = π>1>…..π>n> , где π>i>> >неприводимы.

Доказательство. Если dimπ = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimπ = q и что наше предложение доказано при dimπ<q. Если π неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае π = π΄ π΄΄, причем dimπ΄<q, dimπ΄΄<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение π = π>1>…..π>n> не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ρ>1>, ρ>2> – два неприводимых подпредставления π. Им отвечают инвариантные подпространства Н>1> и Н>2>. Пусть Р>1> и Р>2> – проекторы Н на Н>1> и Н>2>. Они коммутируют с π(А). Поэтому ограничение Р>2> на Н>1> есть оператор, сплетающий ρ>1> и ρ>2>. Следовательно, если Н>1> и Н>2> не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ρ>1> и ρ>2> эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление π эквивалентно одному из π>i>> >. Итак, перегруп-
пировав π>i>> >, получаем, что π = ν>1>…..ν>m>, где каждое ν>i> есть кратное ρ>i>ν>i>΄ неприводимого представления ν>i>΄, и ν>i>΄ попарно эквивалентны. Если ρ – неприводимое представление π, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство Н΄ ортогонально всем инвариантным подпространствам Н>i>, отвечающих ν>i>, кроме одного. Поэтому Н΄ содержится в одном из Н>i>. Это доказывает, что каждое пространство Н>i> определяется однозначно: Н>i> – это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений π, эквивалентных ν>i>΄. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении π = ρ>1>ν>1>΄…..ρ>m>ν>m>΄ представления π, (где ν>1>΄,…, ν>m>΄ неприводимы и неэквивалентны) целые числа ρ>i> и классы представлений ν>i>΄ определяются единственным образом, как и пространства представлений.

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ØВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т>1>, Т>2> – борелевские пространства. Отображение f: Т>1>→Т>2> называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т>2> есть борелевское множество в Т>1>.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т – борелевское пространство и μ – положительная мера на Т.

Определение 2.9. μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара ε = ((H(t))>t>>>>T>, Г), где (H(t))>t>>>>T> – семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г – множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i) Г – векторное подпространство Н(t);

    существует последовательность (х>1>, х>2>,…) элементов Г таких, что для любого tT элементы х>n>(t) образуют последовательность H(t);

    для любого хГ функция t→||x(t)|| μ – измерима;

    пусть х – векторное поле; если для любого yГ функция t→(x(t), y(t)) μ – измерима, то хГ.

Пусть ε = ((H(t))>t>>>>T>, Г) μ – измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dμ(t) < +∞.

Если х, y – с интегрируемым квадратом, то х+y и λх (λС) – тоже и функция t →(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dμ(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dμ(t).

Определение 2.10. Пусть ε = ((H(t))>t>>>>T>, Г) – измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле t→S(t)x(t) измеримо, то t→S(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т – борелевское пространство, μ - положительная мера на Т, t→Н(t) - μ - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление π(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что t→π(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.

Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).

Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +

+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)

Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).

Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).

Пусть ε = ((H(t))>t>>>>T>, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ>1> – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ>1>, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н>1>=Н(t) dμ>1>(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н>1>, называемый каноническим.

Действительно,

||ρ(t)-1/2х(t)dμ>1>(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ>1>(t) = ||х(t)||2dμ>1>(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ – мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dμ(t) , π>1>==π(t )dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ>1> – мера на Т, эквивалентная μ,

Н>1> =Н(t) dμ>1>(t) , π>1 >=π(t) dμ>1>(t),

Д>1> – алгебра диагональных операторов в Н>1>. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π>1> и Д в Д>1>.

Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н>1> есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н в

Ux> >= ρ-1/2х(t) dμ>1>(t).

Пусть α А. Имеем

π>1>(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ>1>(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,

поэтому и преобразуем π в π>1>. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т>1> – борелевские пространства; μ, μ>1> – меры на Т и Т>1> соответственно; ε = ((H(t))>t>>>>T>, Г), Z>1> = ((H>1>(t>1>))>t>>1>>>>T>>1>, Г), - μ-измеримое и μ>1>-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т>1> – борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ>1>; η-изоморфизм ε на ε>1> называется семейство (V(t))>t>>>>T>, обладающее следующими свойствами:

    для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н>1>(η(t));

    для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н>1>(η(t)) на Т>1> было μ>1>-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н>1> = Н>1>(t) dμ>1>(t) , есть изоморфизм Н на Н>1>, обозначаемый V(t) dμ(t).

Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ – мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),

Д – алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т>1>, μ>1>, t>1>→H>1>(t>1>), t>1>→ π>1>(t>1>), Н>1>, π>1>, Д>1>.

Предположим, что существует:

    N, N>1> – борелевские подмножества Т и Т>1>, такие что μ (N) = μ (N>1>) = 0;

    борелевский изоморфизм η: T\N →T\N>1>, преобразует μ в μ>1>;

    η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t>1>→Н>1>(t>1>) (t>1>Т>1>\N>1>) такой, что V(t) преобразует π(t) в π>1>(η(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д>1> и π в π>1>.

Доказательство. Обозначим через I>t>, I>t>>1> единичные операторы в Н(t) и Н>1>(t>1>). Если fL∞(T, μ) и если f>1> – функция на Т>1>\N>1>, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)I>t>> >dμ(t) в f>1>(t>1>) I>t>>1 >dμ>1>(t>1>), поэтому V преоб-
разует Д в Д>1>. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.

Тогда

Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t>1>)) π(η-1(t>1>))(α) х(η-1(t>1>)) dμ>1>(t>1>) = π>1>(t>1>)(α) V(η-1(t>1>)) х(η-1(t>1>)) dμ>1>(t>1>) = π>1 >(α) V х

Поэтому V преобразует π в π>1>.

Приведем примеры прямых интегралов.

    Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

    Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L>2> (0, 1).

Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L>2> (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

§ 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Н>к>.

Образуем формальное произведение

(3.1.)

α = (α>1>,…, α>n>) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н>1>,…, Н>n> и обозначается Н>1>,…, Н>n> = . Его векторы имеют вид:

f = (f>α>C), || f ||2 =< ∞ (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) = (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)>…>> >f(n) = (3.4.)

Коэффициенты f>α>> >= разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || = (3.5.)

Функция Н>1>,…, Н>n> <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н>1>,…, Н>n> и обозначается α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н>1> и Н>2> – гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f>1> f>2>, причем считается, что

(f>1> + g>1>) f>2> = f>1> f>2> + g>1> f>2> (3.6.)

f>1> (f>2> + g>2>) = f>1> f>2> + f>1> g>2> (3.7.)

(λ f>1>) f>2>=λ (f>1> f>2>) (3.8.)

f>1> λ (f>2>) = λ (f>1> f>2>) (3.9.)

f>1>, g>1>Н>1>; f>2>, g>2 > Н>2>; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f>1> f>2> , g>1> g>2> ) = (f>1> g>1>)(f>2> g>2>) (3.10.)

f>1>, g>1>Н>1>; f>2>, g>2 > Н>2>,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов А>к>L(Н>к>, G>к>). Определим тензорное произведение А>1> …А>n> = А>к> формулой

() f = () = (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (, ), причем

|| || = || || (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н>1>,…, Н>n> = (Н>1>,…, Н>n>>-1>)Н>n> общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в G>к> (к = 1, 2) и пусть g = G>1> G>2>. В качестве f возьмем вектор из Н>1> Н>2> с конечным числом отличных от нуля координат f>α>.

Зафиксируем α>2>, β>1 > Z>+> и обозначим через f(α>2>) Н>1> вектор f(α>2>) = и через g(β>1>)G>2> – вектор g(β>1>) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G>1>G>2> ряда уже при произвольном c Н>1>Н>2> и оценка его нормы в G>1>G>2> сверху через ||A>1>|| ||A>2>|| ||f||. Таким образом, оператор A>1> A>2>: Н>1> Н>2> →G>1>G>2> определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A>1>|| ||A>2>||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A>1> A>2>) (f>1> f>2>)|| = ||A>1> > >f>1>|| ||A>2> f>2>|| (f>к> Н>к> , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f>1>, f>2> последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A>1>|| ||A>2>||, поэтому неравенство ||(A>1> A>2>)|| ≤ ||A>1>|| ||A>2>|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для А>к> L(H>к>, G>к>), В>к> L(H>к>, G>к>) (к = 1,…, n) соотношения

(В>к>) (А>к>) = (В>к> А>к>) (3.13.)

(А>к>)* = А>к>* (3.14)

(А>к>) (f>1> … f>n>) = A>1> > >f>1>… A>n> > >f>n> (3.15.)

(f>к> H>к>; к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор А>к>.

Приведем пример. Пусть H>к> = L2((0,1), d (m>к>)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.) поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

      Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P>2>

P>2 > = С < р>1>, р>2>> >| р>1>2 = р>1>* = р>1>, р>2>2 =р>2>* = р>2> >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p>1> – 1, v = 2p>2> – 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p>1> – 1)2 = 4p>1> – 4p>1> + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P>2 > можно задать иначе:

P>2> = С < p>1>*= p>1>, p>2>*=p>2> | p>1>2 = p>1>, p>2>2 = p>2> > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P>2 >, с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P>2 >. Пусть π: P>2> →L(H) - *-представление *-алгебры P>2 >. Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P>2> = С < р>1>, р>2>> >| р>1>2 = р>1>* = р>1>, р>2>2 =р>2>* = р>2> >

Обозначим через Р>к> = π(р>к>), к = 1,2. Поскольку р>к>2= р>к>* = р>к> (к = 1, 2) и π - *-представление, то Р>к>2 = Р>к>* = Р>к> (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Н>к> = {yH | Р>к> y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

    Н>1> = Н>2> = {0}; тогда Р>1> = 0, Р>2> = 0.

    Н>1>> >= Н (то есть dim H>1> =1), Н>2> = {0}, тогда Р>1> = 1, Р>2> = 0.

    Н>1> = {0}, Н>2> = Н (то есть dim H>2> =1), тогда Р>1> = 0, Р>2> = 1.

    Н>1> = Н>2> = Н (dim H>1> = dim H>2>> >=1), тогда Р>1> = 1, Р>2 >= 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P>2>, причем они неэквивалентны.

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P>2 . > Обозначим через Н>к> область значений оператора Р>к> при к = 1,2. Пусть Н>к>┴ - ортогональное дополнение подпространства Н>к> (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H>1>Н>1>┴ , Н=H>2>Н>2>┴

Введем дополнительные обозначения :

Н>0,0>> >= Н>1>┴ ∩Н>2>┴, Н>0,1>> >= Н>1>┴ ∩Н>2>, Н>1,0>> >= Н>1> ∩Н>2>┴, Н>1,1>> >= Н>1> ∩Н>2>. (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что H>ij>> > нетривиально, то есть dim H>ij>> >> >=1. Пусть, например, dim Н>1,0>> >= 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н>1,0>> >= л.о. {h}, но тогда P>1>h = h, P>2>h = 0; следовательно Н>1,0>> >инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.

Будем считать, что H>ij>> > ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть H>ij>> > линейно независимы) и dim H>1> = dim H>2>> >=1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e>1>, e>2>} и {g>1>, g>2>}, в которых матрицы операторов Р>1> и Р>2> имеют вид . Найдем матрицу оператора Р>2> в базисе {e>1>, e>2>}.

Пусть g>1> = a>11>e>1> + a>12> e>2>

g>2> = a>21>e>1> + a>22>e>2>

e>1> = b>11>g>1> + b>12>g>2>

e>2> = b>21>g>1> + b>22>g>2>

Рассмотрим векторы h>1> = eite>1> и h>2> = eile>2>, тогда

|| h>1 >|| = || eite>1 >|| = || e>1> || = 1, || h>2 >|| = || eile>2 >|| = || e>2> || = 1

(h>1 >,h>2> ) = (eite>1> , eile>2>) = ei(t-l)(e>1>, e>2> ) = 0, то есть {h>1 >,h>2>} – ортонормированный базис.

Р>1>h>1> =ei t Р>1 > e>1> = h>1>, Р>1>h>2> =eil Р>1 > e>2> = 0.

Значит в базисе {h>1 >,h>2>} матрица оператора Р>1> также имеет вид . Тогда можно считать, что a>11>, a>12> > 0 (так как, например, a>11 >e>1>=|a>11>| eite>1> =|a>11>| h>1>)

(e>1>, e>2> ) = 0, значит a>11> a>21> = a>12> a>22> = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что

a>22> = - ra>11>

a>21> = ra>12>

Базис (e>1>, e>2> ) ортонормированный; следовательно

a>11>2 + a>12>2 = 1

|a>22> |2 + |a>21> |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р>2 >e>1> = Р>2> ( b>11>g>1> + b>12>g>2>) = b>11>g>1> = b>11>a>11>e>1> + b>11>a>12>e>2>,

Р>2 >e>2> = Р>2> ( b>21>g>1> + b>22>g>2>) = b>21>g>1> = b>21>a>11>e>1> + b>21>a>12>e>2>.

Найдем b>11> и b>21>:

e>1> = b>11>g>1> + b>12>g>2> = b>11> (a>11>e>1> + a>12> e>2>) + b>12 >(a>21>e>1> + a>22>e>2>) = (b>11>a>11> + b>12>a>12>)e>1> + (b>11>a>12> + b>12>a>22>)e>2>,

b>11>a>11> + b>12>a>12> = 1

b>11>a>12> + b>12>a>22> = 0 или

b>11>a>11> + b>12>a>12> r = 1

b>11>a>12> - b>12>a>11> r = 0,

Тогда b>11> = a>11>.

Аналогично

E>2> = b>21>g>1> + b>22>g>2> = (b>21>a>11> + b>22>a>21>)e>1> + (b>21>a>12> + b>22>a>22>)e>2>,

b>21>a>11> + b>22>a>21>= 0

b>21>a>12> + b>22>a>22> = 1,

отсюда находим, что b>21> = a>12>.

Тогда матрица оператора Р>2> в базисе {e>1>, e>2> } будет иметь вид (обозначим ее также через Р>2>)

Р>2> = , где a>11>>0, a>12>>0 и a>11>2 + a>12>2 =1

А) Пусть a>11>2 = τ, тогда a>12>2 =1 – τ, a>11>a>12> = . Так как a>11>a>12> >0, то τ(0, 1).

Тогда Р>2> = .

В) Положим a>11> = cosφ,тогда a>12> = sinφ и Р>2> запишется следующим образом

Р>2> = .

Найдем коммутант π(P>2>). Пусть Т = оператор перестановочный с Р>1> и Р>2>, тогда

ТР>1> = =

Р>1>Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР>2> = =

Р>2>Т = =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР>1> = Р>1>U, следовательно U= , a, b C

UР>2> (τ) = =

Р>2> (ν) U = = .

Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть π: P>2 >→L(H) - *-представление *-алгебры P>2 >.

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π>0,0>(p>1>) = 0; π>0,0>(p>2>) = 0; π>1,0>(p>1>) = 1; π>1,0>(p>2>) = 0; π>0,1>(p>1>) = 0; π>0,1>(p>2>) = 1; π>1,1>(p>1>) = 1; π>1,1>(p>2>) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p>1>) , π(p>2>) τ (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p>2>) = φ (0, ).

1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P>2 >. Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН>1>, dimН>1>┴) + max (dimН>2>, dimН>2>┴) > 2n+1 (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Н>i>>,>>j>> >≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.

Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН>1> = n, dimН>2> = n и Н>i>>,>>j>> >= {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Н>i>>,>>j>> > линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН>1> такой, что Р>1>Р>2>х = λх, где λС.

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р>1> и Р>2> имеют вид , где I – единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

к = 1,…, n к = 1,…, n

Так как хН>1>, то , g>k> C, к = 1,…, n. Тогда

Р>1>Р>2>х = Р>1>Р>2>= Р>1>Р>2>= Р>1>=

= Р>1>= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q>1>,…, q>n>:

=

j = 1,…, n

Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q>1>,…, q>n>. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р>2>х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р>1> и Р>2>.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р>1> (aх + bР>2>х) = aх + λbх = (a + λb) х L,

Р>2> (aх + bР>2>х) = aР>2>х + bР>2>х = (a + b) Р>2>> >х L

dimL = 2, так как Н>i>>,>>j>> >= {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР>2>х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р>2>х, значит = 0 или 1 и х Н>1,1>; тогда Н>1,1>≠{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = n, n>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P>2 >. Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.

1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P>2>, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р>1> и Р>2> подпространств

Н = Н>0,0>Н>0,1>Н>1,0>Н>1,1 > ((С2Н>к>)), (1.1.)

где каждому подпространству Н>к> соответствует одно φ>к> (0, ), φ>к >≠ φ>i> при к≠i, dimН>к> = n>к> (к = 1,…, m). Пусть Р>i>>,>>j>: Н → Н>i>>,>>j>> >, Рφ>к>: Н → С2Н>к> – ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P>0,0> P>0,1> P>1,0 > P>1,1>(Рφ>к>), (1.2.)

P>1> = P>1,0>P>1,1>((I>к> )) (1.3)

Р>2> = P>0,1 > P>1,1 > (I>к> )) (1.4)

где I>к> – единичный оператор на Н>к> (к = 1,…, m).

Доказательство. Пусть dimН>i>>,>>j> = n>i>>,>>j>. Сразу можем записать разложение

Н = Н>0,0> Н>0,1> Н>1,0 > Н>1,1 > Н΄, где dimН΄ четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение Н΄ в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром φ>к> (0, ):

Н΄ = Нφ>к>, (l = n - )

Собирая вместе все Нφ>к>, у которых одно φ>к>, получим изоморфизм

Нφ>к>…Нφ>к> ≈ С2Н>к> , где Нφ>к> n>к> экземпляров, dim(Нφ>к>…Нφ>к> )=2n>к> dim(С2Н>к>) = dimС2 dimН>к> = 2n>к> . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н>0,0> Н>0,1> Н>1,0 > Н>1,1 > ((С2Н>к>))

Пусть π>i>>,>>j> – сужение π на Н>i>>,>>j>> > ( i, j= 0,1), π>к> – сужение π на Нφ>к> (к = 1,…, m), то есть π>i>>,>>j> и π>к> - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

π = n>0,0>π>0,0>n>0,1>π>0,1>n>1,0>π>1,0>n>1,1>π>1,1>(n>к>π>к>) (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P>0,0> P>0,1> P>1,0 > P>1,1 > (Рφ>к>)

Тогда ортопроекторы Р>1> и Р>2> примут вид

P>1> = P>1,0 > P>1,1 > ((I>к> ))

Р>2> = P>0,1 > P>1,1 > ( I>к> ))

Причем n>1,0>π>1,0>(р>1>) = P>1,0 >, n>0,1>π>0,1>(p>2>) = P>0,1 >, n>1,1>π>1,1>(р>1>) = P>1,1 >, n>0,0>π>0,0>(p>2>) = P>0,0>. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р>1> и Р>2> также определяются однозначно.

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P>2 >. Пусть А = Р>1> - Р>1>┴ = 2Р>1> – I и В = Р>2> – Р>2>┴ = 2Р>2> – I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА и А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1 или АU = U-1А (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В – приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р>1> и Р>2> неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р>1> и Р>2> приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р>1>LL, Р>2>LL. Рассмотрим АL = (2Р>1> – I)LL, ВL = (2Р>2> – I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р>1> и Р>2> также будут приводимы, так как Р>1>L = LL, Р>2>L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiφ(U), то e-iφ(U).

Доказательство.

1) Если eiφ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eiφ f. Тогда по (2.1.) UАf = АU-1f = eiφАf, следовательно, Аf собственный вектор оператора U, то есть e-iφ принадлежит спектру U.

2) Если eiφ(U), то существует последовательность единичных векторов в Н || f>n> || = 1 такая, что

||Uf>n> - eiφf>n> || = || UАf>n> - eiφ A f>n> || = || U-1Аf>n> - eiφ A f>n> || → 0 при n → ∞ (|| Аf>n> || =1)

Тогда eiφ(U-1), следовательно e-iφ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 = (U-1 +U)А

А (U - U-1) = А (U2 – 2I + U-2) = (U2 – 2I + U-2)А = (U - U-1)2А

Таким образом А (U + U-1) = (U-1 +U)А (2.2.)

А (U - U-1) = (U - U-1)2А (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d С. По теореме преобразования спектров eiφ+ e-iφ = c, eiφ- e-iφ = ±d.

    Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiφ, где φ=0 или φ=π, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.

    Если d ≠ 0, то (U) дискретен и состоит из двух точек eiφ= и e-iφ= φ(0, π)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiφ (или e-iφ), Н>ei>>φ> = {fH | Uf = eiφf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiφf, U(Аf) = eiφ Аf инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimН>ei>>φ>= dimН>->>ei>>φ>=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiφ, e-iφ} φ(0, π) в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = , U = , В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р>1>, Р>2 > ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.

2.2. Спектральная теорема. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р>1> и Р>2>> > в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н>0,0>Н>0,1>Н>1,0 > Н>1,1> ((С2L>2>((0, ), dρ>к>))) (2.4.)

где ρ>1 >> ρ>2> >… ρ>к> меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P>1> = P>1,0 > P>1,1 > ((I>к> )) (2.5.)

Р>2> = P>0,1 > P>1,1> (I>к> )) (2.6.)

I>к> – единичный оператор в L>2>((0, ), dρ>к>)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н>0,0> Н>0,1> Н>1,0 > Н>1,1 > Н΄, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. Н΄ состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P>2 > отвечает циклическое представление π>F> *-алгебры P>2 > в некотором гильбертовом пространстве Н>F>. При этом Н>F> можно реализовать как L>2>(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере μ>F> на Т.

Пусть каждому вектору ξН поставим в соответствие подпространство Н>ξ>> > Н, которое получается замыканием множества векторов вида π(х)ξ, где хА. Ограничения операторов из π(А) на Н>ξ>> > является циклическим представлением. Обозначим его через π>ξ>, а соответствующую меру на Т через μ>ξ>. Введем упорядочение в Н, полагая ξ>η, если μ>ξ>> >> μ>η> (то есть μ>η> абсолютно непрерывна по мере μ>ξ>).

Если ηН>ξ>, то Н>η>Н>ξ>, тогда π>η> – циклическое подпредставление π>ξ>. Пусть Е Т и μ>ξ>> >(Е) = 0, тогда μ>η>> >(Е) = 0, следовательно μ>ξ>> >> μ>η>, а значит ξ>η.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = Нη>к>. Пусть {ζ>i>} – последовательность, в которой каждый из векторов η>i> встречается бесконечное число раз. Определим ξ>к> индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

    ξ>к+1> – максимальный вектор в (Нξ>i>)┴,

    d (ζ>к>, Нξ>i>) ≤ .

Тогда разложение Н = Нξ>к> такое что ξ>к>>ξ>к+1> и μ>к>>μ>к+1 >.

Пусть представления π>μ> в L>2>(Т, μ) и π>ν >в L>2>(Т, ν) эквивалентны. Пусть v:L>2>(Т, μ) →L>2>(Т, ν) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vπ>μ>(g)f = π>ν >(g)vf = π>ν >(g)a = ga. Так как v – изометрическое отображение, то dμ=|a|2dν. Таким образом мера μ абсолютно непрерывна по мере ν. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ν абсолютно непрерывна по μ, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение Н΄ = (С2L>2>(Т, μ>к>)), где μ>1>>μ>2>>… и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P>1> = P>1,0 > P>1,1 > ((I>к> ))

Р>2> = P>0,1 > P>1,1> (I>к> ))

I>к> – единичный оператор в L>2>((0, ), dρ>к>).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы). Паре ортопроекторов Р>1> и Р>2>> > в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н>0,0>Н>0,1>Н>1,0 > Н>1,1> С2Н(φ)dЕ(φ) (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р>1>, Р>2> подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(φ) единичного оператора I>+>=E(0, ) в Н>+> =С2Н(φ)dЕ(φ), такое что имеет место равенство

P>1> = P>1,0 > P>1,1 > I>+> (2.8.)

Р>2> = P>0,1 > P>1,1> dЕ(φ) (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L>2>(R, dρ>к>), где ρ>к> зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

§1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н – гильбертово пространство. Если Р – ортопроектор, то (Р) = >р> (Р) = {0, 1}, где >р> (Р) – точечный спектр при условии, что Р ≠ 0 и Р ≠ I.

Доказательство. Рассмотрим выражение Рх - λх = y, х, y Н, λ С. Тогда (1 - λ) Р>х> = Р>y> . Если λ ≠ 1, то Р>х> = Р>y>. Если х ≠ 1, то х = (Р>y> - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р ≠ 0 и Р ≠ I, то существует х ≠ 0 такой, что Р>х> ≠ 0. Тогда Р(Р>х>) = Р>х>, то есть 1>р> (Р). Существует y ≠ 0: (I - Р)y ≠ 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 · (I - Р)y, то есть 0 >р> (Р). Итак, (Р) = >р> (Р) = {0, 1}.

1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р>1> и Р>2> в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р>1> + Р>2> в неприводимых представлениях.

1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Н>к> – область значений оператора Р>к> к = 1,2. Обозначим через А = Р>1> + Р>2> и найдем (А).

1) Р>1> = Р>2> = 0, то для любого х Н Ах = 0 или Ах = 0 · х, то есть 0 (А).

2) Р>1> = 0, Р>2> = I, то для любого х Н>2> = Н Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р>1> = I, Р>2> = 0, то для любого х Н>1> = Н Ах = х.

4) Р>1> = Р>2> = I, то для любого х Н>1> = Н>2> = Н Ах = Р>1>х + Р>2>х = 2х, то есть 2 (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.

1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н>0,0>> >, тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н>0,1>> > или х Н>1,0>> >, тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н>1,1>, тогда Ах = 2х, то есть 2 (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Н>i>>,>>j>> > ≠ {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Н>i>>,>>j>> > Н>k>>,>>l> = H. > >В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Н>k>>,>>l> = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р>1> и Р>2>, тогда АLL. Пусть х L, тогда Р>k>х = λ>к>х (k = 1, 2 ). Так как Р>k>> > ортопроектор, то возможны случаи:

    λ>1> = 0, λ>2> = 0;

    λ>1> = 0, λ>2> = 1;

    λ>1> = 1, λ>2> = 0;

    λ>1> = 1, λ>2> = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Н>k>>,>>l> ≠ {0} вопреки предположению. Тогда пара Р>1>, Р>2> неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р>1> и Р>2 >в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р>1> = , Р>2> τ (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР>1> + bР>2>, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР>1> + bР>2> – λI) = 0.

(1.1.)

Тогда , (1.2)

Положим a = 1, b =1, ε = , тогда λ>1> = 1+ε , λ>2> = 1-ε и 0<ε<1 (поскольку 0<τ<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+ε , 1-ε}. Причем собственные значения 1+ε и 1-ε входят в спектр А одновременно.

1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть λ (А), тогда Ах = λх =λk +λl;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н>0>> >= Н>0,0>, Н>1>=Н>0,1>Н>1,0>, Н>2>=Н>1,1> и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств Нφ>к> φ>к> (0, ), (к = 1,…, s). При этом операторы Р>1> и Р>2> неприводимы в Нφ>к> (к = 1,…, s), и собственные значения 1+ε>к>, 1-ε>к> входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

Нφ>к> = Н>1+>>ε>>к>> > Н>1->>ε>>к>> >, причем dimН>1+>>ε>>к>> >= dimН>1->>ε>>к>> >= 1 (1.3)

Если φ>к >≠ φ>i>, то ε>к >≠ ε>i> (так как ε>к> = =cosφ>к > и φ>к> (0, )). Объединим все Нφ>к> , у которых одинаковые φ>к >, в одно слагаемое, и обозначим его через Нφ>к>. При этом, если dimНφ>к> = 2q>k>, то есть Нφ>к> состоит из q>k> экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному φ>к >, то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим Нφ>к> = Н>1+>>ε>>к>> > Н>1->>ε>>к>> >, dimН>1+>>ε>>к>> >= dimН>1->>ε>>к>> >= q>k>.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р>1> и Р>2> тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), 0<ε>к><1,

причем dimН>1+>>ε>>к>> >= dimН>1->>ε>>к>> >к = 1,…, m.

Доказательство. Пусть А = Р>1> и Р>2>, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+ε , 1-ε}), где 0<ε>к><1для любого к = 1,…, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН>1+>>ε>>к>> >= dimН>1->>ε>>к>> >. Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н>(0)> Н>(1) > Н>(2)> ((С2Н>к>)) (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе

Н = Н>(0)> Н>(1) > Н>(2)> ((С2(Н>1+>>ε>>к>> > Н>1->>ε>>к>> >))) (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р>1> и Р>2> следующим образом

P>1> = P>Н>>2>((I>к> )) (1.6.)

Р>2> = P>Н>>1>> > P>Н>>2>> > ( I>к> )) (1.7.)

где P>Н>>к> – ортопроектор в Н на Н>(к)> (к = 1, 2), I>s> – единичный оператор в H>s> s=1,…, m. Но тогда

Р>1> + Р>2> = P>Н>>1>> > P>Н>>2>> > ( I>к> )) = А, при этом А = А*

1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует λ>1> + λ>2> = a + b. Пусть λ>2> = ε, тогда λ>1> = a + b – ε.

Оценим ε. Заметим, что (a +b)2 – 4ab(1-τ) = (a - b)2 + 4abτ > 0.

Тогда ε = > = 0, то есть ε = 0.

Допустим, что ε ≥ a , тогда

a ≤

≤ b – a

(b - a)2 +4abτ ≤ (b – a)2

abτ ≤ 0, но abτ > 0 и значит ε < a

Итак,

λ>1> = ε

λ>2> = a + b – ε. (1.8.)

0 < ε < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР>1> + bР>2>, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({ε>к>> >, a + b - ε>к>}), 0<ε>к><1, и

dimН>ε>>к>> >= dimН>a>>+>>b>>->>ε>>к>> >(Н>ε>>к>> >, Н>a>>+>>b>>->>ε>>к>> >- собственные подпространства оператора А, отвечающие ε>к>) к=1,…m.

Доказательство. Пусть А = aР>1> + bР>2>, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н>0,0>, то Ах = 0 и 0(А);

2) х Н>0,1>> >, то Ах = bx и b(А);

3) х Н>1,0>> >, то Ах = ax и a(А);

4) х Н>1,1>> >, то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({ε>к >, a + b - ε>к>}), где 0<ε>к><1, к=1,…m. Причем числа ε>к>, a + b - ε>к> входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному ε>к> также инвариантна относительно А и dimН>ε>>к>> >= dimН>a>>+>>b>>->>ε>>к>> >= q>k>. (с учетом кратности ε>к>)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н>(0)> Н>(>>a>>) > Н>(>>b>>)>Н>(>>a>>+>>b>>)> ((С2Н>к>)) (1.9.)

Где Н>(0)>=Н>0,0>> >, Н>(>>a>>) >=Н>1,0>> >, Н>(>>b>>)>=Н>0,1>> >, Н>(>>a>>+>>b>>)>=Н>1,1>> > или

Н = Н>(0)> Н>(>>a>>) > Н>(>>b>>)>Н>(>>a>>+>>b>>)> ((Н>ε>>к> Н>a>>+>>b>>->>ε>>к>) (1.10.)

Положим

P>1> = P>a>P>a+b > ((I>к> )) (1.11.)

Р>2> = P>b > P>a+b > ( I>к> )) (1.12.)

Но тогда

aР>1> + bР>2> = aP>a>bP>b > (а+b)P>a+b > (a(I>к> ))

(bI>к> )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({ε>к >, a + b - ε>к>}), (0<ε>к><1, к=1,…m) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р>1> + Р>2>. Изучим оператор Р>1> + Р>2> в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р>1> + Р>2> тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н>0> Н>1> Н>2 > ((С2L>2>((0, ), dρ>к>))) (2.1.)

и меры ρ>к> инвариантны относительно преобразования 1+х → 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р>1> + Р>2>. Н>0>=Н>0,0>> >, Н>1>=Н>1,0>Н>0,1>> >, Н>2>=Н>1,1>> >

Поставим в соответствие φ→ε cosφ, где φ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н>0> Н>1> Н>2 > ((С2L>2>((0, 2), dρ>к>)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+ε , 1-ε, 0<ε<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ρ>к>> > (к = 1, 2, …) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х → 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р>1>΄ Р>2>΄ равенствами

Р>1>΄ = P>1>P>2>((I>к> ))

Р>2>΄ = P>2 > ( I>к> ))

где P>i>: Н→Н>i> (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I>k> – единичный оператор в L>2>((0, 2), dρ>к>)). Тогда А =Р>1>΄ + Р>2>΄ - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как Р>к>΄ (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.

2.2. Спектр линейной комбинации А = aР>1> + bР>2> (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР>1> + bР>2> (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР>1> + bР>2>, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н>0> Н>a>> > Н>b>Н>a>>+>>b> ((С2L>2>([0, a] [b, a+b], dρ>к>)))) (2.2.)

и меры ρ>к> инвариантны относительно преобразования х→a+b.

Доказательство. Пусть А = aР>1> + bР>2> (0<a<b). Пусть Н>0>=Н>0,0>, Н>а>=Н>0,1>, Н>b>=Н>1,0>> >, Н>a>>+>>b>=Н>1,1>. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н>0> Н>a>> > Н>b>Н>a>>+>>b> ((С2L>2>([0, a] [b, a+b], dρ>к>))))

где меры ρ>к> (к = 1, 2, …) инвариантны относительно преобразования х → a+b-х.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р>1> и Р>2> следующим образом

P>1> = P>a>P>a+b > ((I>к> ))

Р>2> = P>b > P>a+b >( I>к> ))

где Р>α>: Н→Н>α> , α = a, b, a+b – ортопроекторы, I>к> – единичный оператор в L>2>([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР>1> + bР>2> = aР>1> bР>2>(a+b)P>a+b > ((I>к> ))

( I>к> ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P>2 >.

P>2 >= С <p>1>, p>2> | p>к>2 = p>к>* =p>к>>.

А именно: 4 одномерных π>0,0>(p>1>) = 0, π>0,0>(p>2>) = 0; π>0,1>(p>1>) = 0, π>0,1>(p>2>) = 1; π>1,0>(p>1>) = 1, π>1,0>(p>2>) = 0; π>1,1>(p>1>) = 1, π>1,1>(p>2>) = 1.

И двумерные: , τ (0, 1)

Изучен спектр операторов Р>1> + Р>2>, aР>1> + bР>2> (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р>1> + Р>2 > и А = aР>1> + bР>2> (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

    Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.

    Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.

    Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.

    Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.

    Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.

    Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.

    Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

    Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.

    Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.

    Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.

    NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

    Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.