Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы
Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы
Оглавление
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы
1.1. Мышление и учебная деятельность
1.1.1. Определение понятия “мышление”
1.1.2. Особенности мышления старшеклассников
1.1.3. Определение учебной деятельности
1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников
1.2. Процесс формирования понятий в учении
1.2.1. Определение понятий
1.2.2. Формирование и усвоение понятий
Глава 2: Методические основы введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс
2.1. Методика преподавания математики как наука
2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа
2.2.1. Цели обучения математике
2.2.2. Организация учебно-воспитательного процесса
2.2.3. Структура курса
2.3. Логика темы “Комплексные числа”
2.3.1. Объяснительная записка
2.3.2. Почасовое планирование
2.3.3. Тематическое планирование
Глава 3. Описание эксперимента
3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования
3.2. Описание результатов экспериментального исследования
3.2.1. Диагностическая часть
3.2.2. Формирующая часть
Заключение
Литература
Приложения
Введение
Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят ещё свои специфические цели, определяемые особенностями математической науки. Одна из них – это формирование и развитие математического мышления. Это способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с ее многочисленными приложениями в частности.
Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.
Хочется обратить внимание на две главные проблемы дидактики математики: модернизация содержания школьного математического образования и совершенствование структуры курса.
Быстрый рост объема научной информации, ограниченность срока школьного обучения и невозможность сокращения объема изучаемых в школе основ науки с целью включения новой информации усложняют проведение реформ по модернизации школьного образования, а поэтому готовить их придется в течение более длительного времени, тщательно и строго на научной основе.
Имеют место успешные эксперименты по модернизации курса начальных классов и изучению в нем начал алгебры, что позволило дать значительную пропедевтику алгебры и геометрии в I-V классах, позволяющую изучить систематические курсы этих предметов в более быстром темпе и перенести ряд тем из старших классов в средние; включить в программу старших классов элементы высшей математики. Таким образом, улучшение системы курса возможно и в период между реформами, т.е. независимо от модернизации образования.
Мы не беремся решать эти вопросы, т.к. работаем в более узком направлении, предлагая на данном этапе ввести в общеобразовательный курс тему “Комплексные числа”.
Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является формирование понятия комплексного числа.
Борьба за сознание учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможна и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.
1) Развитие учения о комплексных числах находит себе важнейшие применения в естествознании и технике, в частности - в учении о движении жидкостей и газов, в электротехнике и самолетостроении и т.д.
2) Действия над комплексными числами связаны с важными действиями геометрического характера и имеют значительные и обширные приложения. Также с их помощью можно иногда с большей простотой получить такие результаты, относящиеся к действительным числам, которые без комплексных чисел получаются с большим трудом.
3) Введение комплексных чисел, помимо своего чисто математического значения, представляет собой едва ли не самую яркую на протяжении школьного курса иллюстрацию диалектического развития математических понятий. Совокупность комбинаций вещественного и чисто мнимого чисел образует единое стройное целое – мир комплексных чисел, находящий себе наглядную иллюстрацию в цельном и законченном образе комплексной плоскости. Вряд ли можно подыскать другой пример, который с такой яркостью, наглядностью, логической простотой и вместе с такой исчерпывающей полнотой мог бы иллюстрировать диалектические законы развития математических понятий.
Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий ретроспективный взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса.
Существуют различные подходы к введению понятий комплексных чисел. Предлагаем для образовательного курса формально – логическую теорию. Не можем согласиться с таким изложением теории комплексных чисел, при котором определение новых чисел и действий над ними сразу даются в геометрической форме, т.к. со всех точек зрения комплексное число должно войти в сознание учащихся прежде всего как объект арифметики, т.е. как новое расширенное понятие числа, а не как геометрическое понятие, лишь в последствии получающее арифметическое истолкование.
Цель данной работы развивать мышление старшеклассников через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.
Задачи :
исследовать особенности математического мышления старшеклассников;
исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.
Глава 1. Психолого-педагогические основы обучения и обоснование введения темы “Комплексные числа” в общеобразовательный курс средней школы
1.1. Мышление и учебная деятельность
1.1.1. Определение понятия мышление
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, одной из основных задач современного школьного обучения.
В психологии мышление определяется как процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности (24), как особого рода теоретическая и практическая деятельность, предлагающая систему включенных в неё действий и операций ориентировочно – исследовательского, преобразовательного и познавательного характера (16), как социально - обусловленный, неразрывно связанный с речью психологический процесс поисков и открытия существенно нового (19). Сущность его в отражении: - общих и существенных свойств предметов и явлений, в том числе и таких свойств, которые не воспринимаются непосредственно; - существенных отношений и закономерных связей между предметами и явлениями.
Мышление играет поистине огромную роль в познании. Оно расширяет границы познания, дает возможность выйти за пределы непосредственного опыта ощущений и восприятия, знать и судить о том, что человек непосредственно не наблюдает, не воспринимает. Оно позволяет предвидеть наступление таких явлений, которые в данный момент не существуют. Мышление перерабатывает информацию, которая содержится в ощущениях и восприятии, а результаты мыслительной работы проверяются и применяются на практике (8).
Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана. Мышление в отличие от восприятия выходит за пределы чувственно данного, расширяет границы познания. В мышлении на основе сенсорной информации делаются определенные теоретические и практические выводы. Оно отражает бытие не только в виде отдельных вещей, явлений и их свойств, но и определяет связи, существующие между ними, которые чаще всего непосредственно, в самом восприятии человеку не даны. Свойства вещей и явлений, связи между ними отражаются в мышлении в обобщенной форме, в виде законов, сущностей.
На практике мышление как отдельный психический процесс не существует, оно незримо присутствует во всех других познавательных процессах: в восприятии, внимании, воображении, памяти, речи. Высшие формы этих процессов обязательно связаны с мышлением, и степень его участия в этих познавательных процессах определяет их уровень развития.
Специфическим результатом мышления может выступить понятие – обобщенное отражение класса предметов в их наиболее общих и существенных особенностях (16).
1.1.2. Особенности мышления старшеклассников
Более сложные содержание и методы обучения старшеклассников требуют от них и более высокого уровня самостоятельности, активности, организованности, умений применять на практике приемы и операции мышления. Мышление становится более глубоким, полным, разносторонним и всё более абстрактным; в процессе знакомства с новыми приёмами умственной деятельности модернизируются старые, освоенные на предыдущих ступенях обучения. Овладение высшими формами мышления способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности, приводит в конечном счете к пониманию важности теории и стремлению применять её на практике.
Для старших школьников важна значимость самого учения, его задач, целей, содержания и методов. Старшеклассник сначала старается понять значимость приема мыслительной деятельности, а затем уже и освоить его, если он действительно значим. Изменяются и мотивы учения, т.к. они приобретают для старшеклассника важный жизненный смысл.
Ведущее значение в мышлении старшеклассника занимает абстрактное мышление, но роль конкретного мышления отнюдь не умаляется: приобретая обобщенное значение, конкретное мышление выступает в виде технических образов, схем, чертежей и т.п., оно становится носителем общего, а общее выступает как выразитель конкретного. Овладение абстрактными и теоретическими знаниями приводит к изменению у старшеклассников самого течения мыслительного процесса. Мыслительная деятельность отличается у них высоким уровнем обобщения и абстракции, учащиеся стремятся к установлению причинно – следственных связей и других закономерностей между явлениями окружающего мира, проявляют критичность мышления, умения аргументировать суждения, более успешно осуществляют перенос знаний и умений из одной ситуации в другие. В ходе усвоения учебного материала старшеклассники стремятся самостоятельно раскрывать отношения общего и конкретного, выделять существенное, а затем формулировать определения научных понятий.
Все сказанное говорит о высокой степени развития теоретического мышления, многостороннем и глубоком проявлении внутренней речи, “доказывающего” мышления. Мышление юношей и девушек становится диалектическим: они не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности и рассматривают явления, события, процессы в непрерывном движении, изменениях и превращениях, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют операции и приемы мышления и пытаются совершенствовать их в процессе учебной деятельности.
Однако в некоторых исследованиях отмечаются и недостатки мышления старшеклассников. Так, немалое их число проявляют склонность к необоснованным рассуждениям, умозрительным филосовствованиям, оперированию абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания, к выдвижению оригинальных идей, вытекающих из неопределенных ассоциаций или фантастических вымыслов и домыслов. Нередки случаи, когда существенное оценивается как менее значимое, чем несущественные, не всегда правильно или широко проводится перенос знаний, наблюдается слабое развитие речи, склонность к некритическому отношению к усваиваемым знаниям. Встречаются хорошо успевающие ученики, которые преувеличивают свои умственные способности и поэтому успокаиваются на достигнутом. Но все это, как обычно указывают авторы, касается только меньшинства старшеклассников или их отдельных представителей, а основная масса достигает достаточно высокого уровня развития мыслительных способностей и хорошо подготовлена к дальнейшей учебной и познавательной деятельности (21).
1.1.3. Определение учебной деятельности
Деятельность можно определить как специфический вид активности человека, направленный на познание и творческое преобразование окружающего мира, включая самого себя и условия своего существования. В деятельности человек создает предметы материальной и духовной культуры, преобразует свои способности, сохраняет и совершенствует природу, строит общество, создает то, что без его активности не существовало в природе (16).
Деятельность людей многообразна, но при этом её можно свести к трём основным видам: учебной, трудовой и игровой.
Учебная деятельность представляет собой процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него знания, умения и навыки, совершенствует и развивает свои способности. Такая деятельность позволяет ему приспосабливаться к окружающему миру, ориентироваться в нем, успешнее и полнее удовлетворять свои основные потребности интеллектуального роста и персонального развития (17).
Учение – это деятельность, направленная на приобретение знаний, умений и навыков, необходимых для широкого образования и последующей трудовой деятельности. Учебная деятельность школьника осуществляется под руководством учителя. Школьник активно усваивает знания, активно приобретает умения и навыки. Усвоение знаний – это проявление активной мыслительной работы учащегося. Усвоение материала требует непременного умения анализировать его, сравнивать, обобщать, выделять главное, существенное, находить сходное и различное. Усвоение знаний связано с применением знаний на практике. Знания учащегося только тогда считаются усвоенными, когда он умеет применять их на практике.
Содержание учебной деятельности определяется учебными планами и программами, разработанными для каждого года обучения с учетом возрастных особенностей психики школьника и его физических возможностей (8).
Для того, чтобы быть успешной, т.е. приводить к научению при минимальных затратах усилий и средств со стороны обучающего и обучаемого, учебная деятельность должна соответствовать следующим основным требованиям:
быть как для обучающего, так и для обучаемого разносторонне мотивированным процессом, т.е. побуждать учителя как можно лучше обучать, а учащегося как можно старательнее учиться;
иметь развитую и гибкую структуру;
осуществляться в разнообразных формах, позволяющих преподавателю наиболее полно реализовать свой творческий педагогический потенциал, а учащемуся использовать свои индивидуальные возможности для усвоения передаваемых ему знаний, умений и навыков;
выполняться при помощи современных технических средств обучения, освобождающих как преподавателя, так и учащихся от необходимости осуществления множества рутинных операций (17).
Учение как специфический вид деятельности имеет свою структуру, закономерности развития и функционирования. Возможность её осуществления обусловлена способностью человека регулировать свои действия в соответствии с поставленной целью.
Целью учения является познание, сбор и переработка информации об окружающем мире, в конечном итоге выражающиеся в знаниях, умениях и навыках, системе отношений и общем развитии.
Важнейшим компонентом учения являются мотивы, т.е. те побуждения, которыми ученик руководствуется, осуществляя учебную деятельность.
Главный инструмент познания – мышление. Поэтому, учитывая его взаимосвязь с другими познавательными процессами не умаляя их роли в организации учения школьников, основное внимание в процессе руководства их деятельностью необходимо уделять развитию мыслительных действий и конкретных мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение и др.) (26).
1.1.4. Учебная деятельность старшеклассников
Учебная деятельность остается основным видом деятельности старшего школьника. Углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы, также учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности. Для того, чтобы достаточно глубоко усваивать программу, необходимо развитие теоретического мышления. Трудности, которые нередко испытывает в процессе учения старшеклассник, прежде всего связаны с неумением учиться в этих новых условиях.
В.А. Сухомлинский отмечал, что трудности учения в старших классах связаны со сложившейся ранее установкой на запоминание, заучивание обобщений, не основанных на самостоятельном анализе фактов. Причина трудностей, которые испытывают некоторые ученики – старшеклассники, заключается, по мнению педагога, в неумении пользоваться обобщающими понятиями в целях познания окружающей действительности, а неумение это рождается потому, что обобщающие понятия, выводы, умозаключения не формируются путем исследования явлений и фактов, а заучиваются.
Старшие ребята сами отмечают, что многие из них плохо подготовлены к обучению в X-XI классах. У них нет умения самостоятельно работать с учебными материалами, они не умеют обрабатывать материалы, поступающие из других, внеучебных источников.
Это противоречие между уровнем учебной деятельности, который сложился и закрепился у некоторых учащихся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах, и является движущей силой умственного развития старших школьников. Противоречие это по мере перехода учащихся на новый, более высокий уровень учебной деятельности, связанный с развитием теоретического мышления, навыков самообучения.
Отношение старших школьников к учению тоже изменяется. Ученики взрослеют, обогащается их опыт; они понимают, что стоят на пороге самостоятельной жизни. Растет их сознательное отношение к учению, которое приобретает непосредственный жизненный смысл. Старшеклассники отчетливо сознают, что необходимым условием полноценного участия в будущей трудовой жизни общества является наличный фонд знаний, умений и навыков, полученное в школе умение самостоятельно приобретать знания, или, как говорят, самообучаться. Потребность в знаниях – одна из самых характерных черт современного старшеклассника.
В числе некоторых других особенностей отношения к учению старших школьников следует отметить избирательное отношение к учебным предметам, причина этому – наличие у многих юношей и девушек сложившихся интересов, связанных с их профессиональной направленностью.
В последнее время появляется явное повышение интереса к учению. Это связано с тем, что наметились определенные сдвиги в организации учебного процесса: во-первых, учителя успешнее реализуют принцип активного и самостоятельного мышления учащихся, что повышает их интерес к учению; во-вторых, обучение начинает больше индивидуализироваться: учителя находят возможности приобщать к активной деятельности сильных учащихся и уделять больше внимания слабым (9).
Можно ли ускорить умственное развитие учащихся, и если да, то каким образом это сделать?
Думается, что с точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают школьники старших классов, с позиций совершенствования обучения и научения на этот вопрос следует дать утвердительный ответ. Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий (17).
1.2. Процесс формирования понятий в учении
1.2.1. Определение понятий
Развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Понятие – это продукт мышления, оно отражает реальный мир, предстает в познании как средство общения, т.е. специфически человеческой активности, выражается посредством речи, записи или символом. Понятие – это вывод, итог познания реальных процессов и явлений. Мысль, в которой отражаются общие, отличительные (специфические) признаки предметов и явлений действительности (21).
Понятие – форма научного познания, отражающая существенное в изучаемых объектах и закрепляемая специальными терминами. В математике понятие обозначается часто не только термином (слово или группа слов) – названием, но и символом – знаком. Понятие – это мысленное воспроизведение объекта (12).
Термин “понятие” обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания.
Математические понятия отражают в нашем мышлении определенные формы и отношения действительности, абстрагированные от реальных ситуаций (14).
Итак, понятие – это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения (13).
Источниками образования понятий являются: жизненный опыт учащихся, их повседневные наблюдения, восприятие различной информации, здравый смысл и бытующие устаревшие традиции (всё это можно отнести к стихийному образованию понятий); специальное формирование научных понятий учителями на уроках, усвоение понятий учащимися в процессе самостоятельной работы (в этом случае не исключается использование ассоциаций, имеющих случайный характер и приводящих к ошибкам).
Для образования понятия необходимо знать мыслительные операции и уметь ими пользоваться. Без анализа действительности – предметов и явлений – невозможно глубоко изучить их, без синтеза – соединить разъединенные части в единое целое, без обобщения – сделать вывод, а затем сформулировать понятие. В процессе изучения реальной действительности формирование понятий – цель мысленной деятельности человека, а знание операций мышления – средство, с помощью которого достигается эта цель. Но в сложном процессе образования понятия сами мыслительные операции учащегося непрерывно совершенствуются, модернизируются, поднимаются на более высокий уровень. Это можно использовать в учебной деятельности. Теперь развитие операций мышления учащегося становится целью, а образование понятий – средством, способствующим её достижению.
Понятие характеризуется содержанием, объемом, связями (и отношениями) с другими понятиями.
Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.
Объем понятия – это множество объектов, к которым применимо данное понятие. По объему различают единичные понятия (объем их равен единице), общие понятия (их объем больше единицы) и понятия – категории – понятия самой широкой общности.
Между содержанием и объемом понятия существует обратная зависимость: чем шире содержание понятия, тем уже его объем, и, наоборот, чем уже содержание, тем шире его объем.
Связи и отношения между понятиями отражают действительно существующие разнообразные связи между явлениями природы, общества и мышления человека. Одни из них являются ближними, существенными, другие – отдаленными, опосредствованными.
В логике понятия делят на единичные и общие, на конкретные и абстрактные, на относительные и безотносительные.
Обобщением понятия называется переход от менее общих понятий к более общим. Оно происходит путем отбрасывания основных признаков понятия, т.е. признаков, принадлежащих всем объектам, входящим в объем обобщаемого понятия. Ограничением (конкретизацией) понятия называется, наоборот, переход от более общих понятий к менее общим, объем понятия при этом сужается, а содержание расширяется.
Понятие образуется при помощи операций анализа и синтеза, абстракции и обобщения. Содержание понятия раскрывается путем описания или с помощью определения, а объем – с помощью классификации (21).
Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков. Перечисление необходимых и достаточных признаков понятия, сведенных в связное предложение (речевое или символическое), есть определение понятия (математического объекта). Каждый из признаков, входящих в определение, должен быть необходим, а все вместе – достаточны для установления данного понятия. В определении должно раскрываться основное содержание понятия. В нем не должно содержаться лишних слов; не должно быть и пропусков (13).
К отысканию ближайшего рода следует стремиться потому, что в таком случае мы подходим ближе к определяемому понятию, его объему и благодаря этому уменьшается совокупность видовых признаков в определении. Такое определение состоит из определяемого понятия, логической связки и родового понятия с видовыми признаками. Определение будет логически правильным, если между двумя его основными составными частями существует отношение равенства. Иначе говоря, по отношению друг к другу не должны быть не слишком широкими, ни слишком узкими (если упущен один из существенных признаков или включен признак, присущий не всем определяемым объектам) (12).
Определяя понятия, руководствуются правилами:
определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия;
родовое понятие должно быть ближайшим родом по отношению к определяемому понятию;
видовые отличия должны быть присущи только определяемому понятию;
определение должно быть кратким и ясным (21).
Существуют логические формы, которые не являются определениями, но близки к определению, иногда заменяют или дополняют его.
Описание понятия обычно применяется в тех случаях, если невозможно или нецелесообразно вводить определение. Таким способом вводятся первичные (основные) математические понятия. В определении определяемое понятие сводится к уже известному понятию, но самое первое понятие каждой науки не к чему сводить, поэтому ввести его через определение невозможно.
Описание понятия может не только заменять определение, но и дополнять его такой информацией, которая конкретизирует понятие, расширяет связи с другими понятиями, полнее раскрывает его содержание, помогает учащимся глубже понять и прочнее усвоить новое понятие (12).
1.2.2. Формирование и усвоение понятий
Формирование понятий – сложный психологический процесс, начинающийся с образования простейших форм познания – ощущений – и протекающий часто по следующей схеме: ощущения – восприятие – представление – понятие.
Обычно разделяют этот процесс на две ступени: чувственную, состоящую в образовании ощущений, восприятия и представления, и логическую, заключающуюся в переходе от представления к понятию с помощью обобщения и абстрагирования.
Заключительным этапом формирования понятия, как правило, является его определение (14).
Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание. Важным при формировании понятия является усвоение его существенных признаков. Словесное определение понятия должно быть итогом работы по усвоению существенных признаков. Однако часто бывает так: дается словесное определение понятия, и оно сразу же используется в дальнейшей работе, не смотря на то, что не все учащиеся достаточно хорошо усвоили его. Излишнее преувеличение роли словесного определения является одной из причин пробелов в знаниях учащихся.
Большим недостатком является традиция иллюстрировать определение понятия на одном, двух частных примерах, вместо того чтобы рассмотреть все существенные признаки понятия. Такое невнимание ведет к тому, что учащиеся главным образом обращают внимание на несущественные признаки. Лучшему усвоению существенных признаков понятия способствует варьирование несущественных признаков.
Основное внимание должно быть направлено не на заучивание определений, а на умение определять понятия (6).
Важно довести до сознания учащихся, что научные понятия изменчивы: определение понятия – это лишь один из начальных этапов его формирования, а далее идет процесс развития понятия – постепенное уточнение и усвоение содержания и объема понятия, его связей и отношений с другими понятиями.
Для формирования научных понятий учителю необходимо знать характеристики понятия как логической категории; способы образования и развития понятий; источники их образования; показатели, уровни и условия усвоения понятий учащимися, а также критерии способов их формирования и т. д.
Выбор методов формирования научного понятия не может быть произвольным или навязанным учителю, если даже он вытекает из самого содержания учебного материала.
Для успешного усвоения известных понятий и образования новых, неизвестных для каждого предмета указываются необходимые условия и система упражнений, которые конкретизируются в зависимости от ряда факторов: сложности понятия, возможностей учащихся, их подготовленности по другим дисциплинам и т. п.
К основным критериям усвоения понятий можно отнести: полноту усвоения содержания понятий (количество усвоенных учащимися признаков понятия), усвоение объема понятия, полноту усвоения связей и отношений данного понятия с другими; умение оперировать понятием в решение заданного класса задач, применять их к решению учебно-познавательных и практических задач, что предполагает активную мыслительную деятельность учащихся (21).
Каждое понятие должно быть правильно понято, сознательно и четко усвоено всеми учащимися ещё на уроке. Эта цель должна достигаться уже в процессе введения понятия, но понятие должно закрепляться на данном и повторяться на последующих уроках путем воспроизведения учащимися определения (или описания), приведения иллюстрирующих и конкретизирующих его примеров, проведение логического анализа определения и другой творческой работы, использование понятия в суждениях и умозаключениях. Контроль за усвоением понятия осуществляется обычно в виде опроса учащихся, при котором нужно, как правило, требовать подтверждения определения примерами, причем не только готовыми, взятыми из учебника, но и придуманными самим учеником. Это должно стать обязательным дидактическим требованием, методическим правилом в преподавании математики в школе. Ученики должны знать его и при подготовке к занятиям дома подыскивать свои примеры к вновь введенным или повторяемым математическим понятиям.
Эта творческая мыслительная работа развивает мышление школьников и способствует сознательному, глубокому и прочному усвоению сущности, содержания и объема понятия, исключает его формальное изучение, механическое заучивание определения.
Каждый ученик должен знать определения изученных понятий, однако требовать заучивания формулировок понятий не следует, т.к. это незаметно может привести к формализму. Надо ориентировать школьников на смысловое, логическое запоминание, которое должно стать результатом осмысливания определения, его структуры в процессе изучения и применения. Выделение родового понятия и видовых признаков, подыскание нескольких своих по возможности разнообразных примеров и проверка их на предмет полного удовлетворения всем требованиям определения – эффективное средство достижения сознательного усвоения понятия и его определения. Необходимо постепенно раскрывать перед учащимися общую логическую структуру определения, учить самостоятельно конструировать его для новых понятий.
Ученики должны знать, что дословное соблюдение формулировки, данной в учебнике, весьма желательно, хотя от её формы можно отступить, передать частично “своими словами”, но всё содержание книжной формулировки обязательно сохранить точно. Когда ученик формулирует определение “своими словами”, здесь скорее возможны ошибки, которые помогают выявить значение отдельных необходимых элементов определения и пробелы в усвоении понятия, с тем, чтобы неотложно устранить их. Заученная формулировка может скрывать подобные пробелы. Учитель должен учить школьников выражать мысли “ своими словами”, поощрять их к этому, терпеливо подводить к самостоятельному исправлению ошибки. При дословных книжных формулировках особенно необходимо проверять сознательность их усвоения учащимися. На примерах таких формулировок, в которых нельзя опустить ни одного слова, учитель прививает ученикам вкус к логической культуре мышления и речи, учит их выражаться лаконично и точно. Важно учить школьников оттачивать собственные формулировки, доводить их до лучших образцов.
Нельзя допускать поспешности при введении новых понятий, особенно если они сложны, трудны для учащихся и обладают высокой степенью абстракции. Практика показывает, что время, дополнительно затраченное при введении нового понятия на всестороннее, глубокое его изучение и сознательное усвоение, окупается в дальнейшем благодаря более легкому и результативному усвоению последующих связанных с этим понятием вопросов.
При всех видах повторения продолжается работа по дальнейшему усвоению математических понятий. Главное внимание при этом уделяется не воспроизведению определений, а различным видам творческой работы учащихся с понятиями. Так, например, при обобщающем повторении полезны упражнения на классификацию понятий и составление их “родословных”.
Подобные примеры, с одной стороны, лучше подчеркивают существенные элементы принятых в школьном курсе определений и соотношение понятий, а с другой – расширяют кругозор учащихся и придают большую гибкость мышлению (12).
Т.о. мы понимаем под мышлением социально обусловленный процесс познавательной деятельности, неразрывно связанный с речью, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности.
Учебную деятельность мы определяем как процесс, в результате которого человек приобретает новые или изменяет существующие у него ЗУН, совершенствует и развивает свои способности.
Специфические особенности мышления у старшеклассников: мышление становится более глубоким, полным и разносторонним. Овладение его высшими формами способствует выработке потребности в интеллектуальной деятельности. Ведущее значение занимает абстрактное мышление, но роль конкретного не умаляется, т.е. степень развития теоретического мышления высока. Старшеклассники не только осознают предмет и содержание мыслительной деятельности, но и начинают понимать некоторые закономерности своего мышления, сознательно используют его операции и приемы, и совершенствовать их в процессе учебной деятельности.
Учебная деятельность старшеклассников предъявляет высокие требования к их умственной активности и самостоятельности. Старший школьный возраст очень благоприятен для развития математических научных способностей. Под влиянием специфической для старшеклассника организации учебной деятельности существенно изменяется мыслительная деятельность, характер умственной работы. В эти годы завершается формирование когнитивных процессов, мысль окончательно соединяется со словом. Наряду с этим идет активный процесс формирования научных понятий, содержащих в себе основы научного мировоззрения человека в рамках тех наук, которые изучаются в школе.
Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.
Глава 2. Методические основы введения темы “Комплексные числа” в образовательный курс
2.1. Методика преподавания математики как наука
Методика преподавания математики – педагогическая наука и, соответственно, учебная дисциплина, исследующая закономерности обучения математики вообще, закономерности обучения математике в школе в частности (5), наука о математике как учебном предмете и закономерностях процесса обучения математике учащихся различных возрастных групп (14) на определенном уровне её развития в соответствии с целями обучения, поставленными обществом (13).
Методика преподавания математики занимается прежде всего изучением, разработкой, усовершенствованием различных методов и форм преподавания математики в школах, а также многообразными организационными вопросами, возникающими при применении этих методов и форм на практике. Эта дисциплина выясняет, как обеспечить прочные систематизированные знания и навыки в объеме, установленном программой, тратя на это минимум времени и сил, и как обеспечить достижение тех воспитательных целей, какие ставит себе изучение математики. Методика преподавания математики изучает и систематизирует опыт лучших учителей и даёт возможность начинающему учителю избежать многих ошибок, легко допускаемых на первых порах и приводящих к большим потерям для учащихся. Исходя из конкретных задач, стоящих перед учителем математики, имеющим класс с определенным составом учащихся, определенную программу, определенные учебники, твердое расписание, методика устанавливает способы наилучшего использования всех этих конкретных условий для достижения поставленной цели. Кроме того, она накопляет также опыт учителей, говорящий о желательности тех или иных изменений в учебных планах, программах, учебниках.
Методика математики – наука, выводы которой немедленно и самым широким образом применяются на практике и являются базой искусства преподавания (3).
Методика преподавания математики прежде всего должна ответить на несколько основных, тесно связанных между собой вопросов.
Первый из них – зачем обучать математике? Очевидно, ответ на этот вопрос можно получить, исходя из общих задач воспитания, которые, в свою очередь, определяются задачами, стоящими перед обществом на соответствующем этапе его развития.
Второй вопрос – кого обучать математике? С одной стороны, это вопрос о возрасте: когда целесообразно приступать к обучению детей математике и когда следует заканчивать изучение обязательной для всех программы? С другой стороны это приобретающий все большую актуальность вопрос о “послешкольном” продолжении математического образования.
Третий вопрос – каково содержание изучаемого курса математики? Ответ на этот вопрос теснейшим образом связан с ответом на вопрос о целях обучения математике. Следует подчеркнуть, что, пожалуй, именно в математике вопрос о том, что именно и в каком объеме следует отобрать из сегодняшней науки для школьной программы, является наиболее сложным, важным и спорным.
Наконец, четвертый вопрос – как обучать математике? Очевидно, что ответ на этот вопрос и составляет важнейшую часть курса методики преподавания математики, причем материал этот является наиболее подвижным, наиболее конкретным, наиболее близким учителю-практику, требует к себе поистине творческого отношения (5).
Дидактика математики относится к группе педагогических наук и находится в тесной связи с педагогикой. Влияние на нее оказывают и математические науки. Также методика математики основывается на понятиях и законах психологии. Физиология высшей нервной деятельности, в частности учение И.П. Павлова об условных рефлексах, находит применение в обучении математике. Плодотворное влияние на дидактику математики оказывает связь логикой, историей математики, с ее историей.
Общая методика преподавания математики рассматривает такие вопросы, как цели обучения, математические понятия и предложения, теоремы и их доказательство, задачи и их решение, методы и формы обучения, урок по математике и др. (12)
2.2. Образовательный курс алгебры и начал анализа
2.2.1. Цели обучения математике
Цели обучения математике в общеобразовательной школе определяются её ролью в развитии общества в целом и формировании личности каждого отдельного человека.
Исторически сложились две стороны назначения математического образования: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и интеллектуальная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания и преобразованием действительности с помощью математических методов.
Практическая полезность математики обусловлена тем, что её предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использование современной техники, восприятие различного рода информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность.
Без базовой математической подготовки невозможна постановка образования современного человека. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. Всё больше специальностей, требующих высокого уровня образования, связано с непосредственным применением математики. Т.о. расширяется круг школьников, для которых математика становится профессионально значимым предметом.
Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках. В процессе математической деятельности в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование и аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умения формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивают логическое мышление. Ведущая роль принадлежит математике в формировании алгоритмического мышления, воспитании умений действовать по заданному алгоритму и конструировать новые. В ходе решения задач – основной учебной деятельности на уроках математики – развиваются творческая и прикладная стороны мышления. Использование в математике наряду с естественным нескольких математических языков дает возможность развивать у учащихся точную, экономную и информативную речь, умение отбирать наиболее подходящие языковые (в частности, символические, графические) средства.
Математическое образование вносит свой вклад в формирование общей культуры человека. Необходимым компонентом общей культуры в её современном толковании является общее знакомство с методами познания действительности, что включает понимание диалектической взаимосвязи математики и действительности, представление о предмете и методе математики, об особенностях применения математики для решения научных и прикладных задач. Изучение математики способствует эстетическому воспитанию человека, пониманию красоты и изящества математических рассуждений. Изучение математики развивает воображение, пространственные представления. История развития математического знания дает возможность пополнить запас историко-научных знаний школьников, сформировать у них представления о математике как части общечеловеческой культуры. Знакомство с основными историческими вехами возникновения и развития математической науки, судьбами великих открытий, именами людей, творивших науку, должно войти в интеллектуальный багаж каждого культурного человека.
Роль математической подготовки в общем образовании современного человека ставит следующие цели обучения математике в школе:
овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования;
интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых для продуктивной жизни в обществе;
формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности;
формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для общественного прогресса.
2.2.2. Организация учебно-воспитательного процесса
Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей её роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач.
Принципиальным положением организации школьного математического образования в основной школе становится уровневая дифференциация обучения. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются уровнем обязательной подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких рубежей. При этом достижение уровня обязательной подготовки становится непременной обязанностью ученика в его учебной работе. В тоже время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничиться этим уровнем или же продвигаться дальше. Именно на этом пути осуществляются гуманистические начала в обучении математике.
В организации учебно-воспитательного процесса важную роль играют задачи. В обучении математике они являются и целью, и средством обучения и математического развития школьников. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознаётся и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся: уровень трудности задач, предлагаемых слабым учащимся, должен определяться требованиями программы; учащимся, уже достигшим этого уровня, целесообразно давать более сложные задачи. Дифференциация требований к учащимся на основе достижения всеми обязательного уровня подготовки способствует разгрузке школьников, обеспечивает их посильной работой и формирует у них положительное отношение к учёбе.
Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов школьников, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Развитие интереса к математике является важнейшей целью учителя.
Важным условием правильной организации учебно-воспитательного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения, её оптимизация с учетом возраста учащихся, уровня их математической подготовки, развитие общеучебных умений, специфики решаемых образовательных и воспитательных задач. В зависимости от указанных факторов учителю необходимо реализовать сбалансированное сочетание традиционных и новых методов обучения, оптимизировать применение объяснительно - иллюстративных и эвристических методов, использование технических средств. Критерием успешной работы учителя должно служить качество математической подготовки школьников, выполнение поставленных образовательных и воспитательных задач, а не формальное использование какого-то метода, приема, формы или средства обучения.
Учебный процесс необходимо ориентировать на рациональное сочетание устных и письменных видов работы как при изучении теории, так и при решении задач. Внимание учителя должно быть направлено на развитие речи учащихся, формирование у них навыков умственного труда – планирование своей работы, поиск рациональных путей её выполнения, критическую оценку результатов.
2.2.3. Структура курса
Цель изучения курса алгебры и начал анализа в X-XI классах – систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовка необходимого аппарата для изучения геометрии и физики.
Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началам анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения. Уровень строгости изложения определяется с учетом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах. Характерной особенностью курса являются систематизация и обобщение знаний учащихся, закрепление и развитие умений и навыков, полученных в курсе алгебры, что осуществляется как при изучении нового материала, так и при проведении обобщающего повторения.
Учащиеся систематически изучают тригонометрические, показательную и логарифмическую функции и их свойства, тождественные преобразования тригонометрических, показательных и логарифмических выражений и их применение к решению соответствующих уравнений и неравенств, знакомятся с основными понятиями, утверждениями, аппаратом математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи (22).
2.3. Логика темы “Комплексные числа”
2.3.1. Объяснительная записка
Тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.
Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
повышение математической культуры учащихся;
углубление представлений о понятии числа;
дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
Следует отметить важное прикладное значение данной темы ввиду обилия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.
После изучения темы “Комплексные числа” ребята должны иметь четкое представление о комплексных числах: знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечение корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в геометрическую и тригонометрическую.
Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I ом полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.
Исходя из объема, трудности материала; а также из основных принципов дидактики, психологических и возрастных особенностей учащихся предлагаем:
2.3.2. Почасовое планирование
Комплексные числа (14 ч).
§ 1 Развитие понятия числа, комплексные числа,
алгебраическая форма, действия над комплексными
числами, заданными алгебраически. Комплексная
плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных
чисел, их суммы и разности. 3 ч
§ 2 Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме. Решение задач. 2 ч
§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической формы к тригонометрической
и обратно. 2 ч
§ 4 Действия над комплексными числами, заданными
в тригонометрической форме. Формула Муавра.
Извлечение корней из комплексных чисел. 3 ч
§ 5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена. 3 ч
§ 6 Зачет или дифференцированная проверочная работа. 1 ч
2.3.3. Тематическое планирование
Тема “Комплексные числа” содержит шесть параграфов. Ниже мы описываем каждый их них не углубляясь в теоретическую часть, она дана в приложении 2. Сначала формулируются цели данного блока, основные знания и умения. Далее даются методические рекомендации и план занятий каждого блока.
§1 Развитие понятия числа, комплексные числа, алгебраическая форма, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Комплексная плоскость. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, их суммы и разности.
Обучающая цель: Расширить понятие числа; ввести понятие комплексного числа и действий над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. Кратко познакомить учащихся с историей развития комплексных чисел. Комплексные числа, а также функции комплексного переменного широко применяются в электротехнике, теории упругости, гидродинамике, картографии, аэродинамике, ядерной физике, в теории автоматического регулирования и т.д.
Основные знания и умения. Знать: определения комплексного числа, мнимой единицы, модуля комплексного числа; формулировки основных соотношений; алгебраическую форму комплексного числа; определение сопряженных и противоположных чисел; действия над комплексными числами: сложение, умножение, вычитание, деление, геометрическую интерпретацию комплексных чисел, суммы и разности комплексных чисел. Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность.
Методические рекомендации.
Вид занятий. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Необходимо показать практическую и теоретическую значимость изучаемого материала. Тема “Комплексные числа” – одна из ведущих прикладных тем курса математики для техникумов электрорадиоспециализации, её содержание углубляется в общетехнических предметах, например в теоретических основах электротехники, основах радиотехники и др.
Последовательность изложения нового материала.
Комплексные числа. Основные понятия и определения. Основные соглашения.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Геометрическая интерпретация суммы и разности комплексных чисел.
План занятий.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах.
Более подробно следует остановиться на причинах появления новых числовых множеств.
Изучение нового материала. Необходимо сделать замечание: комплексные числа не сравнимы между собой по величине, т.к. точки, им соответствующие, не лежат на одной оси. Не имеет смысла вопрос, какое из двух комплексных чисел больше или меньше. Может идти речь только о том, у какого из двух комплексных чисел больше модуль, комплексные числа сравнимы только по модулю.
Обобщение и систематизация знаний. Необходимо отметить, что сумма, разность, произведение и частное комплексное число есть также комплексное число. Действия сложения и умножения комплексных чисел подчиняются тем же законам, что и действительные числа, т.е. обладают коммутативностью, ассоциативностью и дистрибутивностью:
а) z>1> + z>2> = z>2> + z>1>; z>1>z>2> = z>2>z>1>;
б) (z>1> +z>2>) + z>3> = z>1> +(z>2> +z>3>); (z>1>z>2>)z>3> = z>1>(z>2>z>3>);
в) z>1>(z>2> + z>3>) = z>1>z>2> + z>1>z>3>.
Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, т.е. RÌC.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Система упражнений предлагается.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§2 Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решение задач.
Обучающая цель: Научить выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
Воспитательная цель: В процессе решения упражнений воспитывать у учащихся сознательное отношение к процессу обучения, к овладению практическими умениями и навыками. При этом необходимо обращать внимание на воспитание продуктивного мышления и развития интереса к предмету.
Основные знания и умения. Уметь: выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме; строить комплексные числа на плоскости, строить их сумму и разность с помощью векторов.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Формирование умений и навыков.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Опираясь на знания и первичные умения, полученные на предыдущих занятиях, обратить внимание учащихся на характер упражнений, на постепенное усложнение заданий, на связь с пройденными ранее темами.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам. Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Решить примеры.
Творческое применение ЗУН.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§3 Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Обучающая цель: Дать понятие о тригонометрической форме комплексного числа, выработать у учащихся навыки перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Воспитательная цель: Обратить внимание учащихся, что умение правильно воспринимать, анализировать, сопоставить полученные знания с изученным ранее материалом, активно осмысливать и запоминать новую информацию – важнейшая черта будущего специалиста.
Основные знания и умения. Знать: определения аргумента комплексного числа; тригонометрической формы комплексного числа. Уметь: переходить от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Нужно обратить внимание учащихся, что помимо алгебраической формы комплексного числа существуют ещё и другие его формы, где одной из характеристик комплексного числа является его модуль, который уже знаком учащимся, но пока не использовался в алгебраической форме. На данных занятиях будет рассмотрена тригонометрическая форма комплексного числа, которая во многих случаях оказывается более удобной, чем алгебраическая.
Последовательность изложения нового материала.
1. Тригонометрическая форма комплексного числа.
2. Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
План занятий.
Проверка домашнего задания.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.
Изучение нового материала. Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из одной формы в другую.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить упражнения.
Обобщение и систематизация знаний. Отметить равенство двух комплексных чисел в тригонометрической форме: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на число, кратное 2π. Рассмотреть сопряженные комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.
Предложить учащимся ответить на вопросы:
Могут ли модулем комплексного числа одновременно быть числа r и –r?
Могут ли аргументом комплексного числа одновременно быть углы j и –j ?
Самостоятельное применение ЗУН. Провести проверочную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§4 Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел.
Обучающая цель: Научить учащихся выполнять действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме.
Воспитательная цель: Воспитывать положительное отношение к процессу обучения, развивать интерес к математике.
Основные знания и умения. Знать: правила действий над комплексными числами в тригонометрической форме. Уметь: выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Тригонометрическая форма комплексного числа оказывается более удобной при умножении, делении, возведении в степень и извлечении корня из комплексного числа. Кроме того, она позволяет рассмотреть некоторые частные случаи, важные для прикладных вопросов.
Последовательность изложения нового материала.
1. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме (умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня).
2. Решение упражнений.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести фронтальный опрос по вопросам.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить формулы тригонометрии.
Изложение нового материала. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме рассмотреть в следующем порядке: умножение, деление, возведение в степень, извлечение из корня; ввести соответствующие формулы сформулировать правила действий. Решить примеры.
Обобщение и систематизация знаний. Следует обратить внимание учащихся, что сложение и вычитание комплексных чисел легко выполняются в алгебраической форме, а умножение, возведение в степень, деление и извлечение из корня рациональнее выполнять в тригонометрической форме.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач. Выполнить действия.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу с выборочной проверкой.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§5 Решение упражнений. Комплексные корни многочлена.
Обучающая цель: Научить учащихся применять все формы комплексного числа при решении упражнений.
Воспитательная цель: Прививать интерес к математике. При подготовке и проведении самостоятельной и, впоследствии, зачетной работы необходимо показать роль личной ответственности каждого учащегося за качество выполненной работы, роль систематической работы в классе и дома по углублению и повышению прочности знаний, для формирования умений и навыков.
Методические рекомендации.
Вид занятия. Комбинированное.
Мотивация познавательной деятельности учащихся. Овладение умениями и навыками вычислений над комплексными числами является основным мотивом. Знакомство с комплексными числами имеет цель продолжать и развивать такие содержательно-методические линии, как линия развития понятия числа, линия математической логики и др. Для качественного выполнения зачетной работы необходимо повторить основные теоретические и практические положения темы.
План занятий.
Проверка домашнего задания. Провести комбинированный опрос. У доски отвечают четыре человека по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися основные положения темы.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Творческое применение ЗУН. Решить примеры.
Самостоятельное применение ЗУН. Провести самостоятельную работу в 2 – 6 вариантах.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание.
§6 Зачет (25).
Глава 3. Описание эксперимента
3.1. Методические основы и организация экспериментального исследования
Формирование и развитие математического мышления способствует выявлению и более эффективному развитию математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще и в математике с её многочисленными приложениями в частности.
Вообще интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.
Прочное усвоение знаний невозможно без целенаправленного развития мышления, которое является одной из основных задач современного школьного обучения.
Говоря об алгебраической культуре, заметим, что некоторые разделы алгебры, которые иногда даже не рассматриваются в математических классах, целесообразно вводить в общеобразовательную программу. Так, например, понятие числа в школе заканчивается изучением действительных чисел, что можно считать существенным пробелом в математической подготовке учащихся, т.к. более естественным является введение понятия комплексного числа.
Формирование у учащихся твердой убежденности в научной обоснованности и даже неизбежности введения комплексных чисел вполне возможно и может вестись по нескольким различным линиям, учитывая то, что учащиеся обладают уже достаточно зрелым математическим развитием. В старших классах они в состоянии уже понимать и уважать нужды самой математической науки, являющейся косвенным проявлением нужд и запросов самой практики.
С целью объективной и доказательной проверки эффективности усвоения нового понятия на педагогической практике был проведен эксперимент.
Цель исследования – развитие мышления учащихся через формирование нового понятия – понятия комплексного числа.
Объект исследования – учебная деятельность учащихся, учебно-познавательный процесс.
Предмет исследования – процесс формирования понятия комплексного числа у учащихся.
Гипотеза исследования – если учащиеся:
знают определение комплексного числа, различные формы комплексного числа;
умеют выполнять арифметические действия над комплексными числами, записанными в алгебраической и в тригонометрической форме;
умеют изображать комплексные числа и действия над ними на комплексной плоскости;
оперируют такими понятиями как комплексные числа, действия над комплексными числами, различные формы комплексного числа, корни многочленов,
то формирование и усвоение понятия комплексного числа прошло успешно.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили необходимость постановки и решения следующих задач:
Исследовать особенности математического мышления старшеклассников.
Исследовать процесс формирования понятий на материале темы “Комплексные числа”.
Логика и этапы исследования:
I этап: диагностический.
Зафиксировать успеваемость детей на момент исследования; оценить уровни и качество усвоения понятий учащимися, а также получить необходимые сведения о достигнутом уровне их умений и навыков.
В результате мы имеем объективную информацию об индивидуальной сформированности математического мышления испытуемых, их интересах и способностях.
II этап: формирующий.
С помощью системы методов, приемов, средств обучения и т.д. сформировать у учащихся понятие комплексного числа.
В итоге мы сможем оценить, как и на сколько успешно проходило усвоение нового понятия.
III этап: диагностический.
Используя методы опроса, изучая продукты деятельности учащихся, школьную документацию, сделать выводы о степени усвоения данного понятия. Подвести итог об исследовании особенностей математического мышления и процесса формирования понятия комплексного числа.
Описание методов.
Диагностические: I этап.
Беседа проводилась с учителем математики, которая в 10ª классе преподает алгебру и геометрию. Беседа состоялась по истечении некоторого времени с начала педпрактики, после того, как произошло знакомство с классом, определилась группа испытуемых.
Прежде был сформулирован приблизительный ряд вопросов, по которым нужно было получить необходимую информацию:
каков круг интересов ребят;
сколько учащихся непосредственно проявляют интерес к математике, и чем это обосновано;
к моменту исследования каков их уровень самостоятельности, активности, организованности;
умеют ли учащиеся применять на практике приемы и операции мышления;
насколько развито абстрактное, конкретное, логическое и творческое мышление;
насколько полно ребята усваивают содержание и объем понятий;
насколько полно усваивают связи и отношения данного понятия с другими;
умеют ли оперировать понятием при решении предлагаемого ряда упражнений и задач, нестандартных заданий;
чем можно объяснить, что в группу испытуемых вошли именно те или иные учащиеся.
Учитель проявила заинтересованность, давала ясные, исчерпывающие ответы, которые ещё и подтверждала примерами из опыта работы с учащимися 10а класса.
Изучая школьную документацию, в частности, классный журнал – оценки по предметам алгебра и геометрия, фиксировалась успеваемость учащихся, что давало сведения об их индивидуальности, например, какие учащиеся активны на уроке, у кого оценки выше при ответе у доски, а у кого – при самостоятельной работе, какие темы усваиваются лучше, какие труднее и т.д.
III этап.
Контрольная работа.
После того, как было сформулировано у учащихся понятие комплексного числа, была проведена контрольная работа для того, чтобы оценить насколько успешно прошло усвоение нового понятия.
В первое задание вошло 3 упражнения: а) (3-2i)(4+i)+10i;
б) 1-i + 1+i ; в) (2-i)³
1+i 1-i
В результате проверки мы сможем увидеть научились ли учащиеся выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел.
Второе задание: х+у+(х-у)i=8+2i позволяет нам зафиксировать усвоено ли учащимися такое понятие как равенство комплексных чисел.
С помощью третьего задания: а) х2–4х+5=0; б) х4–1=0 мы сможем узнать научились ли ребята решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта, а так же путем разложения на множители.
Проверяя четвертое задание: а) z=5-2i; б) –1<Re z≤2 мы увидим умеет ли изображать комплексные числа учащиеся на комплексной плоскости, знают ли составные части комплексных чисел, умеют ли их изображать.
И пятое задание, в котором нужно записать числа z>1>=i и z>2>=2+√3i в тригонометрической форме, а затем найти (z>2>)³ , z>3>=z>1>· z>2> позволит нам узнать насколько усвоен ребятами переход от алгебраической формы к тригонометрической, и научились ли они выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Т.о. контрольная работа позволит нам увидеть насколько эффективно проходило формирование и усвоение понятия комплексного числа.
Формирующие: II этап.
Для успешного усвоения понятия комплексного числа была разработана система поэтапной подачи материала. Вся тема была разбита на пять блоков. А именно: 1 блок содержит в себе историческую справку, определение комплексных чисел в алгебраической форме, действия над ними, геометрическую интерпретацию комплексных чисел. Цель занятий этого блока – усвоение новых знаний.
2 блок: Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Цель – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.
3 блок: Тригонометрическая форма комплексных чисел. Переход от алгебраической формы комплексных чисел к тригонометрической и обратно. Цель занятий – усвоение и закрепление новых знаний.
4 блок: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней из комплексных чисел. Цель - усвоение и закрепление новых знаний.
5 блок: Решение упражнений. Комплексные корни многочленов. Цель занятий блока – повторение и закрепление полученных знаний, формирование умений и навыков.
С помощью методов стимулирования и мотивации интереса к учению заинтересовать учащихся тем, что они познакомятся с решением квадратных уравнений вне зависимости от дискриминанта, т.е. и в случае, когда D<0.
Изучение нового материала началось с беседы: повторение опорных знаний – известных им сведений о числовых множествах. Типовые вопросы беседы:
Определение натуральных чисел и их обозначение.
Определение целых чисел и их обозначение.
Определение рациональных чисел и их обозначение.
Определение действительных чисел и их обозначение.
Какая арифметическая операция не всегда выполнима во множестве натуральных чисел?
Т.о. какое множество необходимо было ввести?
Почему ввели множество рациональных чисел?
Действительных? Т.е. не могли производить всех необходимых измерений во множестве рациональных чисел.
Какая операция не всегда выполнима во множестве R?
Предлагается решить уравнение х2+1=0 (и, если не ответили на вопрос №9, задать его ещё раз).
Итак, мы приходим к неизбежности введения комплексных чисел.
После того, как учащиеся были заинтересованы, на первом занятии подготовить их к изучению нового материала. Это можно сделать, изложив исторический обзор методом рассказа - вступления. Кроме того, это позволяет учащимся узнать богатую историю возникновения и развития, необходимости введения комплексных чисел. Также рассказ служит для них примером построения связной, логичной, убедительной речи, учит грамотно выражать свои мысли.
Далее изучение новой темы осуществлялось методом объяснения. Сообщаются конкретные факты, точно и четко формулируются определения, частные случаи, основные соглашения, принятые относительно комплексных чисел. Объяснение сочетается с наблюдением учащихся, с вопросами учителя к учащимся и учеников к учителю и может перерасти в беседу.
Предлагается учащимся самим найти правила действий над комплексными числами. Учитель направляет, помогает, подсказывает. Ученики под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи и т.д. Т.о. в этом случае мы работаем с помощью частично – поискового метода.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел вводится методом объяснения с элементами беседы. Это позволяет актуализировать уже известные им знания и поддерживает интерес, заставляет мысль ученика следовать за мыслью учителя.
При обобщении, систематизации и закреплении знаний используется комбинированный метод. Репродуктивный метод обеспечивает возможность получения умений и применения полученных знаний. Этот метод тесно переплетается с практическим методом, здесь наибольшей эффективностью отличаются упражнения. Используются все виды упражнений – устные, письменные, графические, комментированные и т.д.
На протяжении всей темы могут быть использованы ситуационный метод и обучающий контроль – устный и самоконтроль.
Следующий блок начинается с проверки домашнего задания, для которой характерен метод обучающего контроля. Комбинированный опрос состоит из фронтального опроса по вопросам, приведенным в приложении 2, а также из индивидуального опроса, который полезно провести по карточкам, и это определяет методы, соответственно – устный и письменный контроль.
Применение знаний при решении типовых примеров и задач осуществляется репродуктивным и практическим методом с использованием различных видов уравнений.
Творческое применение знаний, умений и навыков, может быть осуществлено частично – поисковым или исследовательским методом с помощью упражнений.
Самостоятельное применение ЗУН и индивидуальная проверка знаний определяет в этом случае метод – письменный контроль, фронтальная работа на часть урока.
Третий блок начинается с проверки домашнего задания и с повторения опорных знаний учащихся – это осуществляется с помощью методов устного индивидуального и фронтального контроля, по вопросам, которые даны в приложении 2. Одни учащиеся отвечают по некоторым вопросам у доски, и пока они готовятся, учитель работает с классом.
Изложение нового материала ведется методом объяснения. Даются определения, основные формулы. Составляется с учащимися алгоритм и таблица (приложение 2), здесь присутствуют элементы беседы. Учитель задает вопросы, направляет, а учащиеся размышляют, делают выводы, поэтому также имеет место частично – поисковый метод.
Репродуктивный метод и упражнения используются при решении типовых примеров. Ребята воспроизводят и повторяют способ деятельности учителя, когда он методом иллюстрации и демонстрации приводил примеры. Ученики приобретают умения и навыки.
Проверить насколько эффективно проходило в классе приобретение учащимися теоретических знаний и практических умений по этой теме можно методом письменного контроля, фронтального.
Четвертый блок состоит из занятий, цель которых – усвоение и закрепление новых знаний. Здесь используется объяснительно – иллюстративный метод. Сообщаем новый материал, методом объяснения, сопровождая показом способов решения задач. Проверка домашнего задания и повторение опорных знаний проводим методом обучающего контроля, т.е. фронтального опроса по вопросам, которые требуют лаконичного ответа.
С помощью упражнений учащиеся воспроизводят действие по образцу в целях их закрепления и далее выполняют более сложные творческие задания.
Самостоятельную работу провести методом письменного контроля с выборочной проверкой.
Последние занятия перед контрольной работой направлены на закрепление, систематизацию и обобщение знаний. Т.о. комбинируются различные методы. Для проверки домашнего задания – индивидуальный и фронтальный письменный контроль, с элементами устного: у доски отвечают несколько человек по карточкам – заданиям, а остальные решают упражнения, аналогичные домашним.
Повторить с учащимися основные положения темы можно методом беседы, некоторые моменты которой могут переходить в дискуссию.
Комментированные, устные и письменные упражнения способствуют формированию различных навыков, развитию мышления, познавательного интереса, активности и т.д. Учащиеся выполняют задания у доски и на местах, индивидуально и коллективно, при этом имеет место обучающий контроль учителя и самоконтроль.
На последнем занятии – контрольная работа, это есть письменный фронтальный контроль. Работа может быть проведена по карточкам, также в виде дифференцированного зачёта и т.д.
Описание контингента испытуемых.
Эксперимент проводился в ЯСШ № 3, в 10ª классе. В этом классе 27 человек (16 мальчиков и 11 девочек). Класс непрофильный, успеваемость средняя: 2 отличника, 7 хорошистов, 4 неуспевающих. Математикой интересуются в различной степени 9–10 учащихся. В классе у 11% неполные семьи, у 15% - достаток в семье выше среднего, 1 девочка посещает уроки в школе редко по состоянию здоровья. В целом класс дружный, в основном ребята серьёзные, организованные.
3.2. Описание результатов исследования
Эксперимент проводился в 10а классе ЯСШ №3. В группу испытуемых вошли 14 человек: только те, кто изъявил желание. Учитывая загруженность расписания уроков, и то, что в исследовании участвовали не все учащиеся, занятия проходили во внеурочное время. Проводилось 10 занятий, а не 14, т.к. мы были ограничены рамками педагогической практики.
3.2.1. Диагностическая часть
После беседы с учителем математики выяснилась следующая информация: круг интересов ребят довольно ограничен, в основном это телевизор, дискотека, за редким исключением – литература, и в большинстве случаев – это гадания, гороскопы.
В классе 2 отличницы – это девочки, которым все интересно, они любознательные, одинаково хорошо занимаются по всем предметам, в основном объясняется это желанием получить медаль и поступить без экзаменов в высшее учебное заведение. В классе есть также интересующийся математикой как наукой мальчик. Он хорошо разбирается в математике, быстро схватывает, но к сожалению не имеет возможности развивать свои способности вне школы, дома.
У данного класса достаточно высокий уровень самостоятельности и активности. Но для того, чтобы были высокие результаты на уроке, учитель должен их заинтересовать, организовать их деятельность. Высокий уровень этих качеств также проявляется во внеурочное время, например, при подготовке к проведению различных работ, мероприятий во время математической недели, и т.д.
В простейших математических ситуациях учащиеся умеют применять приемы и операции мышления, но в сложных ситуациях нужно натолкнуть, подсказать. В основном зависит от учителя, если нет проблемной ситуации, то и учащиеся не работают.
Абстрактное мышление находится не на должном уровне, больше учащиеся мыслят конкретно, конечно это зависит от способа преподавания. Логическое мышление развито средне – успешно решают необходимый минимум задач такого типа, и 50% ребят без труда справляются с творческими заданиями.
Учащиеся усваивают понятия вполне полно, чаще усваивается необходимое количество признаков понятия, но 7% учащихся редко вообще что-либо усваивают, т.к. нет базы знаний и желания. Учитель часто указывает на связи и отношения различных понятий друг с другом, поэтому ученики легко ими пользуются. Также ребята в большинстве случаев умеют оперировать усвоенными понятиями при решении задач, бывают затруднения, поэтому немалую роль играет здесь наглядность, творческое мышление.
В группу испытуемых вошли 14 человек, объяснить это можно любопытством учащихся, даже любознательностью. Конечно, пришли дети, которые любят математику как предмет, наверняка, сыграла свою роль предварительная заинтересованность о решении квадратных уравнений с D<0. Многие из ребят хотят продолжить образование, где необходимо знание математики. Может быть, пришли некоторые, потому, что есть возможность проявить себя, попробовать свои силы в небольшой группе, поэтому пришли 4 слабых ученика. Возможно ребятами двигал и интерес к молодому педагогу.
Анализируя результаты усвоения темы “Тригонометрические функции” мы сделали вывод, что большинство учащихся это понятие усвоило. По результатам самостоятельной работы по этой теме качество знаний 65% – допустимое; уровень обученности – 92% – высокий. Т.к. эта тема ребятами усвоена довольно успешно, то при изучении темы “Комплексные числа” думаем особых затруднений не возникнет, т.к. учащиеся обладают необходимыми ЗУМ для усвоения этой темы.
Анализ контрольной работы.
Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.
Для того, чтобы увидеть насколько эффективно проходила усвоение понятия комплексного числа, учащимся была предложена на последнем занятии письменная проверочная работа (см. приложение 2).
В результате проверки контрольной работы по данной теме уровень обученности составил 100%, т.е. все учащиеся, посещавшие занятия, справились с контрольной работой. Причем качество знаний по этой теме – 79%, а это достаточно высокий показатель.
1 задание: Научились выполнять арифметические операции над комплексными числа, заданными в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень) 86% учащихся. Так, у 7% ребят была в этом задании ошибка по содержанию, т.е. из-за недостаточного знания предыдущих тем (формул сокращенного умножения). У 7% учащихся в этом задании была ошибка, допущенная в ходе решения из-за невнимательности. Умножая ( i) на 1 ученик получил i, вместо ( i). Причина – неточное знание правила умножения чисел с разными знаками, что повлекло за собой неверный ответ.
2 задание: знают понятие равенства комплексных чисел 86%. 7% – неумело пользуются понятием, т.к. не добились его глубокого понимания. Перенеся из правой части равенства комплексное число в левое, приведя подобные, ученик только потом использовал понятия равенства комплексных чисел, т.е. действительную и мнимую часть приравнял к нулю. Хотя это можно было сделать на первом шаге решения, что сократило бы рассуждения. И 7% учащихся в этом задании решая систему из двух линейных уравнений использовали метод подстановки, хотя считаем, что рациональнее было бы применить метод сложения уравнений системы.
3 задание: разлагать на множители многочлены и решать квадратные уравнения вне зависимости от дискриминанта научились 79% учащихся. 7% ребят испытывают затруднения при выявлении существенных признаков данного понятия и связи между ними. Для того чтобы найти корни уравнения x4 1=0 ученик использовал тригонометрическую форму комплексного числа, на что ушло много времени из-за нерациональности и громоздкости данного решения. Не видит более простого и красивого решения. Формально отнеслись к решению 14% учащихся – нерационально (сложнее) решили предложенные уравнения. Т.е. нужно было применить сокращенную формулу нахождения дискриминанта. Эти учащиеся воспользовались общей формулой, что повлекло за собой лишние преобразования.
4 задание: 16% учащихся изобразили комплексные числа и их составные части на плоскости без ошибок. 7% учащихся допустили ошибки при решении из-за невнимательности. Не достаточно четко оформили свое решение, т.е., построив комплексное число на плоскости, не обозначили эту точку, не отметили ее координаты. Остальные 7% из-за поверстного понимания этого понятия допустили грубую ошибку при оформлении решения. Из-за незнания, где находится мнимая ось, а где – действительная, при изображении решения ученик поменял их местами, из-за чего начертил, множество точек решения относительно другой оси, что является очень грубой ошибкой и говорит о поверхностном понимании данного понятия.
5 задание: переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, а также выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме (умножение, возведение в степень) научились 65%. 14% учащихся не справились с этим заданием из-за поверхностного знания некоторых фактов тригонометрии – определения величины угла по его значению синуса и косинуса. 7% ребят не вникли в суть поставленной задачи, т.е. решили не тем способом, каким требовало задание. Сначала возвели комплексное число в алгебраической форме в заданную степень; перемножили два комплексных числа в алгебраической форме, лишь затем перевели результаты в тригонометрическую форму, хотя в задании требовалось это сделать в обратном порядке. Остальные 14% ребят допустили ошибки при решении из-за невнимательности, не довели решение до конца, не преобразовав –43, а также из-за не достаточного знания основных формул и понятий, т.е. записывая тригонометрическую форму комплексного числа забыли про модуль комплексного числа, что повлекло за собой целый ряд ошибок при умножении комплексных чисел и возведении комплексного числа в третью степень.
Анализируя допущенные ошибки были выделены 3 типа ошибок:
логические (не выделяют существенных признаков понятий, связей между ними).
по содержанию (неумело пользуются основными понятиями, формулами, соглашениями).
процессуальные (формальное отношение к решению, нерациональность, невнимательность).
Средний процент по каждому типу ошибок: 1 – 21%; 2 – 42%; 3 – 49%.
Ребята допускают в работе логические ошибки, что говорит о недостаточном развитии гибкости, глубины мышления. Большой процент процессуальных ошибок свидетельствует о невнимательности учащихся при решении задач, о поверхностности мышления, т.е. о формальном отношении к процессу решения.
В целом учитывая ошибки по содержанию и качество знаний по данной теме можно сделать вывод, что контрольная работа выполнена успешно, и это говорит об удачном завершении формирования понятия комплексного числа.
2.2. Формирующая часть
Итак, было проведено 10 занятий. На первых двух занятиях, после объявления цели введения комплексных чисел, ребятам рассказывалась историческая справка о развитии теории комплексного числа. Учащиеся слушали очень внимательно, проявили глубокую заинтересованность. После того, как было дано определение, основные соглашения, относящиеся к комплексным числам, ученикам было предложено самим отыскать правила действий (сложения, вычитания) над комплексными числами. Школьники очень активно включились в работу, после недолгих рассуждений, пришли к верному решению данного им задания. И это говорит о гибкости их мышления. После демонстрации нескольких примеров, иллюстрирующих операции умножения и деления комплексных чисел в алгебраической форме, учащимся были предложены подобные задания.
Несколько учащихся, по желанию, решали эти задачи у доски, а с мест, по просьбе учителя, их решения комментировали другие учащиеся. Т.о. в учебно-познавательный процесс было вовлечено как можно больше учащихся. Работа наиболее активных ребят оценивалась, с более же пассивными учениками велась индивидуальная работа. Учитель подходил к учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения и помогал отыскать ошибки, разобраться в решении, т.д.
После рассмотрения геометрической интерпретации комплексного числа, уже после разбора нескольких заданий, ребята в быстром темпе и с необходимыми объяснениями решали предложенные задания.
Упражнениям на закрепление было отведено третье занятие. В начале проводился фронтальный опрос. Учащиеся активно отвечали на вопросы, помогали тем, кто затруднялся, некоторые делали хорошие добавления, в основном, конечно, это сильные учащиеся. Учащиеся со средней и слабой успеваемостью, в основном, усвоили алгоритмы решения задач, а теоретические положения темы если и запомнили, то поверхностно, формально. Неточно формулировали определения комплексного числа, например, комплексные числа – это числа вида а+bi, где i2= 1. Но здесь важно такое уточнение, что a и bÎR.
Был предложен ряд упражнений, которые ребята решали на местах, но тем учащимся, у которых возникали вопросы по ходу решения, например, что бы решить задачу z2 (5+2i)z+5+5i=0 нужно ли расписывать z в виде x+yi, предлагалось выйти к доске и найти самим ответ на свой вопрос с помощью класса или самостоятельно. Если ученик разберется в этом сам, то в следующий раз он уже будет видеть сразу способ решения.
На следующих
двух занятиях мы рассматривали переход
от алгебраической формы комплексного
числа к тригонометрической и обратно.
На предыдущем занятии им было задано
повторить формулы тригонометрии, т.к.
они нам понадобятся на этом занятии.
После объяснения новой темы и демонстрации
примера, одним из учащихся был задан
хороший вопрос: “Почему переводя число
>
>
в тригонометрическую форму мы берем
аргумент >
>,
а не >
>?”.
После недолгих рассуждений всем классом
мы выяснили, что >
>
не является тригонометрической формой
комплексного числа. Далее выполняя
задачи на закрепление ребята проговаривали
каждый шаг решения и объясняли его.
Учащиеся, которые решали вперед, помогали
тем, у кого возникали затруднения.
На шестом и седьмом занятиях мы разбирали действия над комплексными числами в тригонометрической форме – умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня n ой степени. После рассмотрения операции умножения ребята сделали верное предположение относительно деления комплексных чисел в тригонометрической форме. А далее, по аналогии с умножением, сами нашли правила возведения комплексного числа в натуральную степень. После того как разобрали примеры, перешли к извлечению корня. Как и предполагалось, у учащихся эта тема вызвала некоторые затруднения. Ребята иногда путали в формуле
>
>
какая буква
k
или n
пробегает значение от 0 до (n-1).
Но после решения ряда закрепляющих
задач у большинства учащихся сложилось
четкое представление этого понятия.
Также мы постарались разобрать как
можно больше упражнений, чтобы у ребят
не осталось неясных мест, пробелов. В
работу старались включить как можно
больше учащихся: проводили комментированное
письмо, где каждый шаг решения объясняли
разные учащиеся. Сразу несколько задач
было решено на доске, но рассказать,
пояснить решения пытались другие
ученики. Старались включить в работу
как можно больше слабых учащихся.
Восьмое и девятое занятия были посвящены решению упражнений, нахождению корней уравнений. На каждом занятии выделялось время, чтобы повторить некоторые моменты из предыдущих тем, чтобы не нарушать целостности темы, чтобы была системность и общность понимания. Т.к., в основном, алгоритмы решения данных задач им известны из предыдущего материала, то акцент делался на идею решения задачи. Многие ребята шли вперед и решали резервные задания. Далее класс разбился по парам, в составе которых, были, по возможности, сильный и слабый учащиеся, и продолжали решать на местах в парах. Учитель в это время следил за работой, помогал тем, у кого возникали сомнения. Хочется отметить, что чаще были вопросы по оформлению, чем по содержанию материала.
На некоторых занятиях проводились небольшие самостоятельные работы, тематические диктанты, чтобы выяснить насколько полно учащиеся освоили данное понятие, умеют ли они ими пользоваться при решении задач, знают ли связи между понятиями. Мы отмечали, что такая работа важна в первую очередь для них, т.к. они могут самостоятельно оценить уровень своих ЗУН по данным темам. Также два раза задавались на дом творческие задания, т.е. нужно было придумать самостоятельно задачу и решить ее. Сильные учащиеся очень ответственно отнеслись к этим заданиям. Но вот слабые иногда пользовались трудом своих одноклассников.
Но в целом ребята проявили большую заинтересованность, говорили, что особых трудностей тема не вызвала, это подтвердила контрольная работа. проведенная на последнем – десятом – занятии.
Заключение
Таким образом, после работы с научной и методической литературой по изучаемой теме делаем следующие выводы:
мышление старшеклассников становится более глубоким, полным, разносторонним и все более абстрактным;
учебная деятельность старших школьников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности и самостоятельности;
развитию мышления способствует работа над научными понятиями. Процесс формирования понятия – это длительный и сложный процесс, которому следует уделять достаточное внимание.
Разрабатывая логическую структуру темы “Комплексные числа” и после проведения эксперимента в школе можем сделать следующие выводы:
Изучение этой темы преследует следующие основные цели:
повышение математической культуры учащихся;
углубление представлений о понятии числа;
дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
Учащиеся способны в 10 классе усвоить понятие комплексного числа, как показало экспериментальное исследование.
Учащиеся вполне успешно усваивают содержание и объем понятия комплексного числа, связи и отношения данного понятия с другими, а также умеют оперировать этим понятием при решении практических задач.
Методические рекомендации
Предлагаем следующую расчасовку по темам, учитывая включение в учебный план общеобразовательного курса темы “Комплексные числа”:
Х класс (85ч).
Тригонометрические функции (15ч).
Тригонометрические уравнения (13ч).
Комплексные числа (14ч).
Производная (16ч).
Применение производной (20ч).
Повторение. Решение задач (7ч).
XI класс (68ч).
Повторение. Решение задач (6ч).
Первообразная и интеграл (16ч).
Показательная, логарифмическая и степенная функции (26ч).
Повторение. Решение задач (20ч).
Тему “Комплексные числа” благоприятнее всего вводить в 10 классе в I полугодии, когда сформировано представление о действительном числе и пройден курс тригонометрии.
Литература
Алгебра и начала анализа./Под ред. Яковлева Г.Н. Ч2 - М.: 1987.
Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. – М.: Просвещение, 1975.
Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: 1951.
Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. – М.: Просвещение, 1995.
Вопросы общей методики преподавания математики. – М.: Просвещение, 1979.
Демидов В.П. Методика преподавания математики. – Саранск, 1976.
Крамор В.С. Алгебра и начала анализа. – М.: Высшая школа, 1981.
Крутецкий В.А. Психология. – М.: Просвещение, 1980.
Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников. – М.: Просвещение, 1976.
Кузмин Р.О., Фадеев Д.К. Алгебра и арифметика комплексных чисел. – Л.: Изд. Наркомпроса РСФСР, 1939.
Лылова О.В. Комплексные числа и их обобщение.//Дипломная работа. – Оренбург, 1994.
Метельский Н.В. Дидактика математики. – Минкс: Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1982.
Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика./Оганесян В.А. и др. – М.: Просвещение, 1980.
Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. – М.: Просвещение, 1985.
Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. – М.: Просвещение, 1983.
Немов Р.С. Психология. Общие основы психологии. Т1. – М.: 1995.
Немов Р.С. Психология. Психология образования. Т2. – М.: 1995.
Педагогика./Под ред. Пидкасистого П.И. – М.: Пед. общество России, 1998.
Петровский А.В. и др. Психология. – М.: Академия, 1998.
Подласый И.П. Педагогика. – М.: Просвещение, 1996.
Поспелов Н.Н. и др. Формирование мыслительных операций у старшеклассников. – М.: Педагогика, 1989.
Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Сборник нормативных документов. – М.: Дрофа, 1998.
Программно-методические материалы. Математика 5-11 классы. Тематическое планирование. – М.: Дрофа, 1998.
Психология. Словарь. – М.: Изд. политической литературы, 1990.
Сергиенко Л.Ю. и др. Планирование учебного процесса по математике. – М.: Высшая школа, 1987.
Сластенин В.А. и др. Педагогика. – М.: 1998.
Хинчин А.Я. Педагогические статьи. – М.: Академия пед. наук РСФСР, 1963.
Холодченко А.А. Проблемные задачи как основа для дифференциации обучения в старших классах.//Дипломная работа. – Оренбург, 1997.
Приложение 2 Теоретические основы курса “Комплексные числа”
§
1 Развитие понятия числа, комплексные
числа, алгебраическая форма, действия
над комплексными числами, заданными в
алгебраической форме. Комплексная
плоскость. Геометрическая интерпретация
комплексного числа, их суммы и разности.
При
изучении математики мы уже неоднократно
встречались с обобщением понятия числа.
До сих пор мы рассматривали лишь
действительные числа. Если введение
действительных чисел позволяет выражать
результаты любых измерений, то с задачей
решения уравнений дело обстоит иначе.
Например, уравнения >
>х2
+ 1=0 и х2
+4х +5=0 не имеют решения во множестве
действительных чисел, хотя коэффициенты
этих уравнений – целые числа. Поэтому
возникает необходимость в дальнейшем
расширении понятия числа. Таким обобщением
множества действительных чисел и
является множество С комплексных чисел.
Комплексные числа часто называют мнимыми. Это название не вполне удачно, т.к. может создать представление о комплексных числах как о чём-то нереальном. Оно объясняется тем, что, хотя комплексные числа стали употребляться ещё в XVI в., они долго продолжали казаться даже выдающимся математикам чем-то реально не существующим, мнимыми в буквальном смысле этого слова. Одному из создателей дифференциального и интегрального исчисления, немецкому математику Г.Лейбницу (1646-1716) принадлежат, например, такие слова: „Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием”. Сейчас от всей этой мистики не осталось ничего, кроме, пожалуй, названия “мнимые числа”. Уже во времена К.Гаусса (1777-1855) было дано геометрическое истолкование комплексных чисел как точек плоскости. Трудами выдающихся математиков XIX века О.Коши, Г.Римана и К.Вейерштрасса на базе комплексных чисел была построена одна из самых красивых математических дисциплин – теория функций комплексной переменной.
Повторить с учащимися известные им сведения о числовых множествах:
а) натуральных чисел N={1,2,3,…,n,…};
б) целых Z={…,-2,-1,0,1,2,…};
в)
рациональных Q={>
>,n
>
>
Z,
n >
>
N};
г) действительных чисел R.
С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел – изменение любой величины. Арифметические операции над действительными числами снова дают действительные числа. Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных – из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя.
Ряд
вопросов, возникших при решении уравнений
третьей и четвертой степеней, привел
математиков к необходимости расширить
множество действительных чисел,
присоединив к ним новое число i,
такое, что i2=-1.Поскольку
действительных чисел с таким свойством
не существует, новое число назвали
“мнимой единицей” – она не выражала
ни результатов измерения величин, ни
изменений этих величин. Но включение
числа i
потребовало дальнейшего расширения
множества чисел – пришлось ввести
произведение этого числа на все
действительные числа, т.е. числа вида
bi,
где b>>R,
а также суммы действительных чисел и
таких произведений, т.е. числа вида a+bi,
где a,b>>R.
Получившиеся при этом числа были названы
комплексными, т.к. они содержали как
действительную часть a,
так и чисто мнимую часть bi.
Опр: комплексными числами называются числа вида a+bi (a и b - действительные числа, i2=-1).
Если z=а+bi - комплексное число, то а называют его действительной частью, а b-мнимой частью. Приняты обозначения a=Re z, b=Jm z (от французских слов re¢ele - действительный и imaginaire - мнимый). Числа a+bi, для которых b¹0, называют мнимыми числами, а числа вида bi, b¹0,- чисто мнимыми числами.
Множество комплексных чисел обозначается С.
Два комплексных числа z>1>=a+bi> >и z>2>=с+di считаются равными друг другу в том и только в том случае, если а=с и b=d. В частности, число a+bi будет считать равными нулю, если a=0 и b=0.
Запись z=a+bi называется алгебраической формой комплексного числа.
Действия над комплексными числами:
Сложение: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
Например , (2+3i)+(5-7i)=(2+5)+(3-7)i=7-4i.
Умножение: (a+bi)*(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i , причем нужно помнить, что i2 =-1. Эту формулу можно получить, умножая
(a+bi) на (c+di) по правилам действий над многочленами.
Например, (1+2i)(3-i) =3*1-1*i+6i-2i2 =3+2-i+6i=5+5i.
Рассмотрим степени числа i :
i1 =i ; i2 =-1; i3 =i2*i =-1*i =-i; i4 =i2*i2 =(-1)(-1) =1; i5=i3*i2=-i(-1)=i; i6= =i5*i=i*i=-1=i2; …
Вообщее, i4n+r =(i4)n*ir =(1)n *ir =ir.
Получаем, i4m=1; i4m+1=i; i4m+2=-1; i4m+3=-i.
Например, i218=i4*54+2=i2=-1.
Вычитание: (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i
Например, (5+4i) - (2-3i) = (5-2) + (4+3)i = 3+7i.
Опр: Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части.
Если z=a+bi, то сопряженное число имеет вид z=a-bi. Заметим, что z+z=(a+bi)+(a-bi)=2a; z*z=(a+bi)(a-bi)=a2+b2 . Следовательно, сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.
Деление: на практике при делении комплексных чисел удобно домножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю:
a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i = ac+bd + bc-ad i
c+di (c-di)(c-di) c2 + d2 c2+d2 c2+d2
Например, 10+15i = (10+15i)(1-2i) _ 10-20i +15i +30 = 40-5i = 8-i
1+2i (1+2i)(1-2i) 1 + 4 5
Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Как известно, действительные числа можно изображать точками на координатной прямой. А комплексное число естественно выражать точкой на координатной плоскости.
Каждому комплексному числу a+bi поставим в соответствии точку M(a;b) координатной плоскости, т.е. точку, абсцисса которой равна действительной части комплексного числа, а ордината - мнимой части. Каждой точке M(a; b) координатной плоскости поставим в соответствие комплексное число a+bi (рис.1).
Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. Сама координатная плоскость называется комплексной плоскостью. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, которая называется действительной осью, а чисто мнимым числам - точки оси ординат, которая называется мнимой осью.
Не менее важной и удобной является интерпретация комплексного числа a+bi как радиус-вектора ОМ (см. рис.1), т.е. вектора, исходящего из начала координат О (о,о) и идущего в точку М (а;b). Разумеется, вместо радиус-вектора ОМ можно взять любой равный ему вектор.
Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операций над ними. При сложении чисел z>1>=a>1>+b>1>i и z>2>=a>2>+b>2>i складываются их действительные и мнимые части. При сложении соответствующих им векторов ОМ>1> и ОМ>2 >складываются их координаты. Иными словами, если числу z>1> соответствует вектор ОМ>1>, а числу z>1>-вектор ОМ>2>, то числу z>1>+z>2> соответствует вектор ОМ>1>+ОМ>2>, а числу z>1>-z>2> - вектор ОМ>1>- ОМ>2>.
Перейдем к рассмотрению понятия модуля комплексного числа. Опр: Модулем комплексного числа называется длина вектора соответствующего этому числу.
Для модуля числа z используется обозначение /Z/ или r. По теореме Пифагора (см. рис.1) для модуля комплексного числа z=a+bi легко получается следующая важная формула: /Z/=Öa2+b2, выражающая модуль числа через его действительную и мнимую части. Отмети, что /z/ = /-z/ = /z/, z*z = /z/2 = /z/2.
Упражнения:
(2Ö3 - 4iÖ2) - (Ö27 - iÖ32) + (2 + 2i
Ö3 Ö3 ;
(m - n i) + ( n - m i - (( 1 - 1 i) - 1 - 1 i)) ;
n m m n n m m n
2i (1 + Ö3 i) ( -1 + Ö3 i );
2 2 2 2
Найдите комплексные числа:
а) z =i + 6i+1 б) z = i13+ i14 + i15 +i16 ; в) z = 3+1 : 2
1+7i 3-i 5(1-i)
г) z = (1+2i)3 - (1-i)3 ; д) z = (2+i)5 е) z = 5+12i + (1+2i)2
(3+2i)3- (2+i)2 8-6i 2+i
ж) z = (-0,5 + i Ö3) 3
2
Изобразить геометрически комплексные числа:
а) 3+0i; б) 0-5i; в) -3+2i; г) 1+i.
Найдите действительную часть комплексного числа:
z= (1+2i) + i19 ;
мнимую : z= (2-i)3 (2-11i).
Найти модуль к.ч. z= -2+ i*5, число, сопряженное данному, изобразить их геометрически.
Выполнить сложение алгебраически и дать геометрическую интерпретацию: z= z>1> +z>2> +z>3>, где z1 = 3-2i; z>2>=-3+4i; z>3> = 2- i.
Найти два действительных числа Х и У, удовлет их равенствам:
а) 2i + iу -2 = 3i - 3 =у
х х
б) (1+i)x + (1-i)у = 3-i;
в) (2x-3уi)(2x+3уi) +xi = 97+2i.
§2. Действия над комплексными числами, заданными
в алгебраической форме. Решение задач.
Провести комбинированный опрос. Фронтальный опрос провести по вопросам:
Обозначение числовых множеств и их соотношения.
Почему появилась необходимость введения комплексных чисел?
Определение комплексных чисел, частные случаи, основные соглашения.
Определения сопряженных и противоположных комплексных чисел, модуля комплексного числа.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел, сопряженных и противоположных комплексных чисел.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме (определения и свойства).
Действия над комплексными числами, геометрическая интерпретация их суммы и разности.
Действия над сопряженными и противоположными комплексными числами (их сумму и разность показать геометрически).
Можно ли сравнивать комплексные числа?
Какие закономерности имеются у степени мнимой единицы.
Индивидуальный опрос полезно провести по карточкам. Примерное содержание одного варианта:
Вычислить: а) (3+5i) + (2+i) = . . . . .; б) (3+5i) - (4-i) = . . . .;
Возвести в степень: а) i123 = . . . ; б) (i-1)2 = . . . .
Вычислить: (Ö3 + iÖ2) (Ö3 - iÖ2) = . . . .
Построить слагаемые и сумму комплексных чисел на комплексной плоскости: z>1>=1-5i; z2=2+3i.
Построить уменьшаемое, вычитаемое и разность комплексных чисел на комплексной плоскости: z>1>=1-i; z>2>=3i.
Упражнения:
Выполнить действия: а) [2i (3-4i)]2 =; б) a-bi - i b-ai = ;
b+ai a+bi
в) i100 + i98 +i63 =;
Н основании равенства комплексных чисел, найти действительные числа Х и У, если а) 2+5i x - 3уi = 14i + 3x -5y; б) x2 -7x +9yx = y2i +20i -12.
При каких действительных значениях Х и У комплексного числа
а) 5 + ixy и x + y +4i; б) 9y2 - 4 - 10x и 8y2 + 20i7 Будут сопряженными?
Решите уравнения: а) (i-z) (1+2i) + (2-iz) (3-4i) = 1+7i;
б) z2 - (5+2i) z + 5 + 5i =0; в) z2 + z =0; г) (1-i) z - 3iz = 2-i; д) z*z + 2z =3+2i;
е) z*z + 3(z-z) - 4+3i.
Решите уравнения: а) /z/ = 2i (z+1); б) /z/ = i (2z+i); в) /z/ - iz = i-2i;
г) z2 + 3/z/ =0; д) z2 + /z/2 =0.
Какое множество точек комплексной плоскости задается условием:
а) /z/ <1; б) /z/ =2; в) Rez > 1; г) J>m>z < -2; д) /z+i/ =2; е) /z-2/ <3; ж) /z-4 +i/ £5.
Точка А соответствует комплексному числу z = 3+ i4. Какое комплексное число соответствует точке симметричной точке А, относительно: а)оси О>х>; б) оси О>у>; в) начала координат?
На комплексной плоскости даны точки z>1>, z>2> , z>3> являющиеся вершинами некоторого треугольника. Найдите все комплексные числа, соответствующие точками, дополняющим данный треугольник до параллелограмма.
Изобразить: а) /z/ £3 б)/z/³ 1 в) /z-1/³ 2
/z-3i/³3 /z-2i/£2 -1< Rez<2
г) 1£ /z-1/£ 2 д) /z/ £3
0£ J>m>z£Ö3 1< J>m>z <2.
§ 3 Тригонометрическая форма комплексного числа.
Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Повторить с учащимися алгебраическую форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.
Пусть точка А соответствует комплексному
числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется
модулем числа z, а радианная мера угла,
образованного этим вектором с
положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).
Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.
Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.
На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r, отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =Öa2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.
Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:
Найти радиус r = Öa2 + b2
Вычислить tg j>1 >=|b/a|.
По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.
Найти j, причем, если число находится:
а) в I четверти, то j = j>1>;
б) во II четверти, то j = p - j>1>;
в) в III четверти, то j = p + j>1>;
г) в IV четверти, то j = -j>1>, или j = 2p -j>1>.
Записать комплексное число в тригонометрической форме:
z = r (cos j + i sin j).
Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться:
|
j |
0 |
p 6 |
p 4 |
p 3 |
p 2 |
p |
5p 6 |
3p 4 |
2p 3 |
3p 2 |
4p 3 |
4p 4 |
7p 6 |
5p 3 |
7p 4 |
11p 6 |
2p |
|
sinj |
0 |
1 2 |
Ö2 2 |
Ö3 2 |
1 |
0 |
1 2 |
Ö2 2 |
Ö3 2 |
-1 |
-Ö3 2 |
-Ö2 2 |
-1 2 |
-Ö3 2 |
-Ö2 2 |
-1 2 |
0 |
|
cosj |
1 |
Ö3 2 |
Ö2 2 |
1 2 |
0 |
-1 |
-Ö3 2 |
-Ö2 2 |
- 1 2 |
0 |
-1 2 |
-Ö2 2 |
-Ö3 2 |
1 2 |
Ö2 2 |
Ö3 2 |
1 |
Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j) числовых значений cos j и sin j, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.
Например: 1) z = 1+i /z/ r =Ö 12+12 =Ö2
sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 Þj = 450
Ö2 2 Ö2 2
т.о z = a + bi = 1 + i = Ö2 (cos 450+ isin 450 =Ö2 (cos p + sin p)
4 4
z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 Þz = -6.
Упражнения:
Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:
а) Ö3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - Ö3 i е) -3 (cos p + isin p
2 2 ; 7 7 ;
ж) sin 48° + cos 48° ; з) 1 + cos 10p + isin 10p
9 9
Представьте в алгебраической форме комплексные числа :
а) z = 2 (cos 225° + isin 225°) ; б) z=3 (cos0° + isin 0°) ;
в) z = 5(cos p + isin p ; г) z = 2(cos p + isin p
2 2 3 3
Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )
4 4
б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p
4 4