Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками
Нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками
Езаова А.Г.
Кафедра теории функций.
Кабардино-Балкарский государственный университет
В работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения смешанного типа. Поставленная задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое методом Карлемана-Векуа редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода.
Рассмотрим уравнение
(1)
где m – натуральное число в конечной
односвязной области
,
ограниченной отрезками
прямых
соответственно – и характеристиками:
уравнения (1).
Пусть
;
–
интервал
прямой
;
– аффиксы точек пересечения характеристик
уравнения (1) при
,
выходящих из точки
,
с характеристиками
и
соответственно;
(2)
(3)
– операторы дробного интегрирования
порядка -
при
и обобщенные в смысле Лиувилля производные
порядка
при
,
причем
где
–
единичный оператор, а
–
целая часть
.
Под регулярным в области
решением уравнения (1) будем понимать
функцию
,
удовлетворяющую уравнению (1) в
,
и такую, что
может обращаться в бесконечность порядка
ниже
на концах А и В интервала I.
Задача Н
.
Найти регулярное в области
решение
уравнения (1), удовлетворяющее краевым
условиям:
,
(4)
,
(5)
где
,
(5`)
.
(6)
Пусть существует решение задачи
.
Тогда, регулярное решение уравнения
(1) в гиперболической части
,
удовлетворяющее данным Коши
,
дается формулой [1]:
(7)
Удовлетворяя (7) краевому условию (5),
получим функциональное соотношение
между функциями
и
,
принесенное на
из
[2]:
,
(8)
где
(9)
Из постановки задачи Н
следует, что функция
непрерывна в области
.
Поэтому, переходя к пределу при
в уравнении (1) и учитывая граничные
условия (4), получим:
,
(10)
.
(11)
Решая задачу (10), (11) относительно
,
окончательно получим функциональное
соотношение между функциями
и
,
принесенное из области
на
:
(12)
Подставляя в (9) вместо функции
её выражение (12), получаем :
где
.
Используя формулу Дирихле перестановки порядка интегрирования, перепишем равенство (13) в виде:
(14)
Следуя [2], преобразуем интегралы:
,
,
,
,
.
В интегралах
сделаем подстановки
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
соответственно. В результате получим равенства:
,
Подставляя значения
в равенство (14) и делая несложные
преобразования, получаем:
(15)
Учитывая (15) в равенстве (7), будем иметь:
(16)
где обозначено
(17)
(18)
(19)
Введем вспомогательную функцию
по формуле :
(20)
Легко заметить, что функция
и в точке x=0 обращается в нуль порядка
выше e, а
при x=1 может обращаться в бесконечность
порядка выше (1-e)
относительно x и (1-x) соответственно. Из
равенства (20) однозначно определяется
функция
:
(21)
Учитывая значение функции
из равенства (21), в интегралах в правой
части (16) получаем:
.
Обозначим
.
(22)
Тогда окончательно имеем:
.
Аналогично находим, что
,
где обозначено
,
(23)
;
(24)
.
(25)
Используя известное тождество [3],
,
где интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, уравнение (16) с учетом (5`), (17) – (19), (22) – (25) и делая несложные преобразования, приводится к сингулярному интегральному уравнению [1, 3]:
(26)
где сингулярный оператор S задаётся формулой:
,
,
,
,
,
,
– известные функции, ограниченные
соответственно на 0 £
t £ x £
1, 0 £ x £
t £ 1, 0 £
x £ 1, причем
,
.
Производя регуляризацию уравнения (26) по методу Карлемана – Векуа [4] и делая несложные преобразования, оно приводится к интегральному уравнению Фредгольма третьего рода [2]:
,
(27)
где
причем ядро
и функция
ограниченные соответственно при, 0£
x, t£ 1, 0£
x£ 1.
Следуя [2], обозначим через
– множество функций
,
непрерывных всюду кроме быть может
точек x=0, (x=1) и удовлетворяющих условию
где
,
–
целая часть
,
–
целая часть
[1].
В работе [2] найдены необходимые и
достаточные условия существования
решения уравнения (27) в классе
.
Функция
,
определенная формулой (21), принадлежит
классу искомых решений интегрального
уравнения (8).
После определения
,
функция
задаётся формулой (12). Таким образом, в
области
приходим к задаче [6]: найти регулярное
в области
решение уравнения (1), непрерывное вместе
с производной
в замкнутой области
и удовлетворяющее граничным условиям
(4) и
.
Решение этой задачи задается формулой :
где
– функция Грина этой задачи для уравнения
.
(28)
Функция Грина выражается через фундаментальные решения уравнения (28), которые имеют вид:
где
;
;
–
функция Бесселя. Функции
,
называются функциями Эйри и удовлетворяют
уравнению
.
Основные свойства функций
и
,
их оценки вместе с частными производными
порядка больше 1, приведены в [7].
Список литературы
Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981.
Бжихатлов Х.Г., Карасев И.М., Лесковский И.П., Нахушев А.М. Избранные вопросы дифференциальных и интегральных уравнений. Нальчик. 1972.
Wolfersdorf L. Mfth. Zeitschr., 90,1,1965.
Езаова А.Г. Краевая задача для одного уравнения третьего порядка с кратными характеристиками.// Нальчик, вестник КБГУ, серия «математические науки». Вып. 3, 2003.
Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Наука, 1968.
Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно- составного типов. Ташкент, Фан, 1979.
Kattabriga L. Un problem al kontrono per ulna education did or dine despair // Anal Della scholar normal did pisafisa mat. 1959. №2.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа