Некоторые приложения определенного интеграла в математике
Некоторые приложения определенного интеграла в математике
Курсовая работа студента гр. МТ-21
Нургалиев А.З.
Павлодарский университет
Павлодар 2005 год.
1. Введение.
В курсовой работе рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. Цель: изучить актуальность применения определенного интеграла и широту его использования в математике, оценить ее практическую и теоретическую значимость.
При разработки данного вопроса, был также рассмотрен несобственный интеграл, как частный случай определенного интеграла, его определение и виды.
2. Определенный интеграл.
Пусть функция f(x) задана в некотором
промежутке [a,b]. Разобьем этот промежуток
произвольным образом на части, вставив
между a и b точки деления:
.
Наибольшую из разностей
(i=0,1,2, …,n-1) будем впредь обозначать через
λ.
Возьмем в каждом из частных промежутков
по произволу точку
и составим сумму
.
Говорят, что сумма σ
при λ→0 имеет
(конечный) предел I, если для каждого
числа ε>0 найдется
такое число δ>0,
что, лишь только λ<δ
(т.е. основной промежуток разбит на
части, с длинами
),
неравенство
выполняется при любом выборе чисел
.
Записывают это так:
.
(1)
Этому определению «на языке ε-δ»,
как обычно, противопоставляется
определение «на языке последовательностей».
Представим себе, что промежуток [α,b]
последовательно разбивается на
части, сначала одним способом, затем –
вторым, третьим и т.д. Такую последовательность
разбиений промежутка на части мы будем
называть основной, если соответствующая
последовательность значений
сходится к нулю.
Равенство (1) можно понимать теперь и в
том смысле, что последовательность
значений суммы σ,
отвечающая любой основной
последовательности разбиений промежутка,
всегда стремится к пределу I, как бы ни
выбирать при этом
.
Второе определение позволяет перенести основные понятия и предложения теории пределов и на этот новый предел.
Конечный предел I суммы σ при λ→0 называется определенным интегралом функции f(x) в промежутке от α до b и обозначается символом
;
в случае существования такого предела функции f(x) называется интегрируемой в промежутке [α,b].
Числа α и b носят название, соответственно, нижнего и верхнего пределов интеграла. При постоянных пределах определенный интеграл представляет собой постоянное число.
3. Несобственные интегралы.
Пусть f непрерывна на луче на луче
и F(x) – первообразная для f на луче
.
Если существует
,
то этот предел обозначается
и называется сходящимся несобственным
интегралом.
Несобственные интеграл вида
и аналогичный интеграл
получаются при замене в интеграле Римана
с помощью функции t=t(x), непрерывной и
дифференцируемой на полуинтервале
[a,b) ( или (a,b] ) и являющейся бесконечно
большой определенного знака при
(или
).
Здесь существенно, что особой точкой
функции t является именно конец (левый
или правый) отрезка [a,b]. Если особой
точкой t(x) (как в разобранном выше примере)
является внутренняя точка с интервала
(a,b), то
разбивается на
и
,
и переход к аргументу t делается раздельно
в каждом из слагаемых.
Пример.
Вычислим
.
Пусть
,
Другим видом несобственного интеграла
является интеграл
,
если функция f не ограничена на
,
но непрерывна на
при любом
,
(или на
),
т.е. не ограничена в окрестности точки
(точки b).
Этот интеграл существует (сходится), если существует:
Пример.
,
если
f(x) непрерывна на [0,1]. После замены
получаем
.
не ограничена на [0,1], т.к. первообразная
функция
на
при любом
,
равна:
,
то
.
Несобственный интеграл может появится и при интегрировании по частям.
,
т.е.
,
где
- первообразная для arcsinx на [0,1].
4.1.Формула Валлиса.
Для вывода формулы Валлиса необходимо вычислить следующий интеграл:
(при натуральном m).
Интегрируя по частям, найдём
.
Двойная подстановка обращает в нуль.
Заменяя
через
,
получим
откуда рекуррентная формула:
,
по которой интеграл
последовательно приводится к
и
.
Именно, при m=2n имеем
,
если же m=2n+1, то
.
Такие же точно результаты получаются
и для
.
Для более короткой записи найденных выражений воспользуемся символом m!!(произведение натуральных чисел, не превосходящих m и одной с ним чётности). Тогда можно будет написать
(1)
Из формулы (1) можно вывести знаменитую формулу Валлиса (J. Wallis).
Предполагая 0<x<
,
имеем неравенства
.
Проинтегрируем эти неравенства в
промежутке от 0 до
:
Отсюда, в силу (1), находим
или
.
Так как разность между двумя крайними выражениями
,
очевидно, стремится к 0 при
,
то
является их общим пределом. Итак,
или
.
Отсюда в свою очередь вытекает
Эта формула носит название формулы
Валлиса. Она дает довольно простое
выражение числа p через
натуральные числа. Теоретически этот
результат интересен. Что касается
ценности этой формулы как средства
фактического вычисления p,
то она невелика. Именно, чтобы получить
удовлетворительную точность, надо взять
n довольно большим, а тогда выражение
оказывается весьма громоздким.
4.2. Применение формулы Валлиса для интеграла Эйлера-Пуассона.
Интеграл Эйлера-Пуассона имеет вид:
;
Приведём метод его нахождения. Мы знаем что положив:
(т.к.
),
имеем соотношение:
;
отсюда заключаем:
,
что дает:
.
Установив это, замечаем, что предел
отношения
при бесконечно большом n равен единице;
действительно, так как
убывает при возрастании n, то мы имеем
неравенство:
или:
.
Мы видим, следовательно, что
заключается между единицей и дробью
,
которая также равна единице при
бесконечном n.
Установив это, получаем равенство:
,
которое нам дает, если заставим n бесконечно возрастать:
,
и, следовательно:
.
Полагая теперь
в интеграле
,
мы получим следующее новое выражение:
;
заменив затем z на
,
получаем:
и, следовательно, при бесконечном n
.
Достаточно затем положить
,
чтобы установить результат, к которому
мы стремились:
.
4.3. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Формула интегрирования по частям:
,
а обобщенная формула примет вид:
.
(1)
Положим, что в формуле (1)
.
Тогда
,
,
…,
,
;
при x=b все функции v, v’, …,
обращаются в нуль. Пользуясь для u, u’,
u’’, … функциональным обозначением
f(x), f’(x), f’’(x), …, перепишем (1) в виде
.
Отсюда получается формула Тейлора с дополнительным членом в виде определенного интеграла
.
Заменим здесь b через x, а
через
:
.
Новое выражение для дополнительного члена, не содержит никаких неизвестных чисел.
Если угодно, из этого выражения можно
было бы вывести и уже знакомые нам формы
дополнительного члена. Например,
воспользовавшись тем, что множитель
подинтегральной функции не меняет
знака, можно применить к последнему
интегралу обобщенную теорему о среднем
,
где с содержится в промежутке
.
Таким образом, мы вновь получили
лангранжеву форму дополнительного
члена.
5. Заключение.
В курсовой работе даны определения определенного и несобственного интеграла и его виды, рассмотрены вопросы некоторого приложения определенного интеграла. В частности, формула Валлиса, имеющая историческое значение, как первое представление числа p в виде предела легко вычисляемой рациональной варианты, а также вычисление интеграла Эйлера-Пуассона с помощью этой формулы. Рассмотрен способ получения формулы Тейлора с дополнительным членом в интегральной форме.
Формулой Валлиса в теоретических исследованиях пользуются и сейчас (например, при выведении формулы Стирлинга). Что касается фактического приближенного вычисления p, то существуют методы, гораздо более быстро ведущие к цели.
Интеграл Эйлера-Пуассона применяется при вычислении более сложных несобственных интегралов, встречается в теории вероятности.
Новое выражение для дополнительного члена в формуле Тейлора интересно тем, что оно не содержит никаких неизвестных чисел.
Данную курсовую работу можно использовать в качестве лекционного и справочного материала.
Список литературы
Фихтенгольц Г. М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления»(II том) – Москва, 1970г.
Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисления»(I том) - Москва, 1970г.
Эрмит Ш. «Курс анализа» - Москва, 1936г.
Для подготовки данной применялись материалы сети Интернет из общего доступа