Автоколебания системы с одной степенью свободы

Автоколебания системы с одной степенью свободы

Введение и краткое резюме

Настоящая работа посвящена исследованию движений автоколебаний системы с одной степенью свободы под действием внешней периодической силы. Такие движения представляют интерес для радиотелеграфии (например, к исследованию таких движений сводится теория регенеративного приемника). Особенно замечательно здесь явления так называемого "захватывания". Это явление заключается в том, что, когда период внешней силы достаточно близок к периоду автоколебаний системы, биения пропадают; внешняя сила как бы "захватывает" автоколебания. Колебания системы начинают совершаться с периодом внешнего сигнала, хотя их амплитуда весьма сильно зависит от амплитуды "исчезнувших" автоколебаний. Интервал захватывания зависит от интенсивности сигнала и от автоколебательной системы.

Теоретически этот вопрос уже разбирался, однако методами математически недостаточно строгими; кроме того, бралась характеристика весьма частного вида - кубическая парабола. Поэтому мы будем рассматривать случай произвольной характеристики при колебаниях близких к синусоидальных.

В этой работе мы рассмотрим периодические решения с периодом, равным периоду внешней силы, и их устойчивость при малых отклонениях. Мы оставим в стороне другие стационарные движения, возможные в исследуемой системы, например периодические решения с периодом, кратным периоду внешней силе, или квазипериодические решения. Мы оставим в стороне важный вопрос об устойчивости при больших отклонениях

Для отыскания периодических решений воспользуемся методом Пуанкаре, которые позволяют быстро решить задачу для случая колебаний, достаточно близких к синусоидальным. С этой целью введем в наше уравнение параметр m таким образом, чтобы при m = 0 уравнение превращалось в линейное и колебания делались синусоидальными. Этот параметр m, который мы предполагать достаточно малым, может иметь различный смысл в зависимости от выбора системы.

Для решения вопроса об устойчивости найденного решения при малых отклонениях воспользуемся методами Ляпунова, требуя, чтобы искомые решения обладали "устойчивостью по Ляпунову".

В настоящей работе мы не будем вычислять радиусы сходимости тех рядов, с которыми нам придется иметь дело; грубая оценка может быть сделана по Пуанкаре.

В § 1 и 2 рассматривается область достаточно сильной расстройки; § 3 и 4 посвящены рассмотрению области резонанса; в § 5 показывается, как общие формулы для амплитуд и для устойчивости, полученные в § 1- 4, могут быть применены в конкретных случаях, причем в качестве примера рассматривается случай Ван дер Поля. Результаты применения общих формул совпадают с теми, которые получил нестрогим путем Ван дер Поль.

§ 1 Отыскание периодического решения в случае достаточно сильной расстройки.

Уравнение, которое нас будет интересовать:

_>>

При m = 0 это уравнение имеет единственное периодическое решение

_>>

Рассмотрим случай, когда m бесконечно мало. Согласно Пуанкаре мы будем искать решение (1) в следующем виде:

_>>

Начальные условия выберем так:

_>>

F_>2> - степенной ряд по b_>1> b_>2>, m начинающийся с членов второго порядка. Подставим (3) в (1):

Сравнивая коэффициенты при _> > b_>1> b_>2>, m получим уравнение для А, В, С. Начальные условия можно получить для них, подставив (4) в (3).

_>>

Решая задачи Коши, получим:

_>>

Для того, чтобы (3) представляли периодические решения необходимо и достаточно, чтобы _> >

Введем обозначения _> >; для остальных функций аналогично.

Тогда (6) запишется в виде:

_>>

Если в этой системе можно b_>1> b_>2 > представить в виде функции m так, чтобы b_>1> b_>2>, m исчезли из системы (7) , то (3) - периодическое решение уравнения (1). Иначе Х- не периодично. Достаточным условием существования периодического решения при малых m служит неравенство 0 Якобиана.

В нашем случае: _> >

Т.е. мы всегда имеем периодические решения при малых m и любых f. Искомое периодическое решение может быть найдено в виде.

_>>

§ 2 Исследование устойчивости периодического решения

Составим уравнения первого приближения, порождаемое решением (8). Сделаем замену: x = Ф(t) + x ; в уравнении (1) при этом отбросим члены , содержащие квадраты и высшие степени x и x^'.

Воспользуемся тем фактом, что Ф (t) - решение уравнения. Получим уравнение первого приближения:

Это линейное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами. Его решение мы будем искать в виде _> > _> > функции времени_>> Удовлетворяют тому же уравнению, что и x, то есть (10). Начальные условия для них определены следующим образом.

_>>; аналогичным образом можно показать, что _> > (11).

Представим правую часть уравнения в виде степенного ряда по m.

_>>

_>>будем искать в виде: _> > (12).

Подставим (12) в (10) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим:

_>>Начальные условия для А_>о> , В_>о>, …. Следует выбрать так, чтобы выполнялись условия (11). Действительно подставляя (11) в (12) и сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях m, получим

_>>

Для В^'_>о> и В_>о> аналогично. Для остальных же как видно из уравнений условия будут нулевые. Итак:

_>>(14)

Решение (13) можно найти при помощи квадратур:

_>>(15)

Если вспомнить общую теорию линейных диффуров с периодическими коэффициентами, то общее решение (10) имеет вид:

_>>

S_>1>, S_>2> - периодические функции с тем же периодом, что и Ф (t). a_>1>, a_>2> - характеристические показатели.

Если все _> > , т.е. колебания затухают, то в этом случае выполняется теорема, доказанная Ляпуновым, относительно того, что периодическое решение уравнения первого приближения вполне устойчиво. Согласно Пуанкаре характеристические показатели можно определить из следующего уравнения:

_>>=0 (16) Полагаем _> >;

_>>

Тогда определитель будет:

_>>

Вопрос об устойчивости, как сказано выше, решается знаком R_>e> (a), или что все равно ÷ l÷ . Если ÷ l÷ < 1 имеет место устойчивость ÷ l÷ = 1 этот случай для нашей задачи не представляет интереса. ÷ l÷> 1 имеет место неустойчивость.

При рассмотрении (18) имеют место 2 случая q > р²; q < р²; В первом случае l-комплексные; ½l² ½=q; (20) если q<1; устойчивость q>1 - неустойчивость.

Случай второй - l - действительные: _> > ; (21) устойчивость соответствует _> > p и q нетрудно получить в виде рядов по степени m из формул (19) (12).

_>>(22)

Если принять во внимание (15)

_>>(22a)

_>>(23)

Мы видим, что при достаточно малом m и w¹n; n ' Z вопрос об устойчивости решается величиной q и следовательно знаком b, если b < 0- имеет место устойчивость, b > 0 - неустойчивость.

В нашем случае b имеет вид:

_>> (23a)

§ 3 Отыскание периодического решения в области резонанса.

Тогда l=ml_>о>; w² = 1+ a_>о> m, (24) (a_>о >, m - расстройка , реальный физический резонанс наступает при a_>о> ¹ 0).

Тогда исследуемое уравнение имеет вид :

_>> (25)

При m = 0 периодическое решение будет иметь вид : _> >(26)

Следуя Пуанкаре, мы можем предположить периодическое решение в виде:

_>> (27);

Начальные условия возьмем как и раньше:

_>>

Аналогично тому, как мы это делали в предыдущих параграфах. Подставляем (27) в (25) и, сравнивая коэффициенты при b_>1> b_>2>, m и других интересующих нас величинах, получим уравнение, которым удовлетворяет A, B, C, D, E, F. Начальные условия для этих уравнений определим, если подставим (28) в (27).

_>> (29)

Запишем условия периодичности для (27):

_>>

Делим на m:

_>> ( 30a )

Необходимым условием существования периодического решения является:

_>>

Эти уравнения определяют P и Q решения (26), в близости к которому устанавливается периодическое решение. Они могут быть записаны в раскрытой форме :

_>>

(31)

Для существования искомого периодического решения достаточно неравенство 0 детерминанта: (см. § 1).

_>>

D, Е и их производные найдутся из (29) при помощи формул аналогичных (15). Заметим, что (30) мы можем определить b_>1,> b_>2>, в виде рядов по степеням m. Таким образом, мы можем (27) как и в § 1 представить в виде ряда.

_>>(33)

P,Q-определяются формулами (31) (32).

§ 4 Исследование устойчивости периодических решений в области резонанса

Аналогично тому, как мы это делали в § 2, составим уравнение первого приближения, порожденное решением (33).

_>>

Решение опять будем искать в виде _> >. Однако нет необходимости проделывать все выкладки заново. Воспользуемся результатами § 2, приняв:

_> >

Из формул (22) _> > _> > (34) , тогда _> > D - тот же Якобиан, что и (32). Распишем его:

_>>

_>> (36)

_>>;

Тогда, зная функцию f, мы можем вычислить D в виде функции P, Q и a_>о>.

Заметим, что равенство (23 а) в нашем случае имеет вид:

_>> ; (37)

Опираясь на результаты исследования, полученных в § 2, нужно рассмотреть при исследовании устойчивости два случая: (при достаточно малых m)

1) p² - q < 0 _> >

2) p² - q > 0 _> >

В первом случае устойчивость характеризуется условием q<1 или, что то же самое b<0.

Во втором случае _> > (*) последнее может быть выполнено только, если b < 0, а D > 0. Нетрудно видеть, что необходимым достаточным условием в обоих случаях является b < 0, D > 0. (Это можно получить из неравенства (*) ).

§ 5 Применение общих формул, полученных в предыдущих параграфах, к теории захватывания в регенеративном приемнике для случая, когда характеристика - кубическая парабола.

Мы рассмотрим простой регенеративный приемник с колебательным контуром в цепи сетки, на который действует внешняя сила Р_>о> sin w_>1> t.

Дифференциальное уравнение колебаний данного контура следующее:

_>> (39)

Считая, что анодный ток зависит только от сеточного напряжения, а также, что характеристикой является кубическая парабола:

_>>(40)

S-крутизна характеристики, К - напряжение насыщения _> > .

Далее, вводя обозначения: _> >

_>>

Получим дифференциальное уравнение для х:

_>> (41)

А: (случай далекий от резонанса).

Для него применяем результаты § 1, полагая_>>.

Исходное решение в не посредственной близости, к которому устанавливается искомое решение следующее:

_>>

Если w > 1, т.е. w_>о> > w_>1>, то разность фаз равна 0, если _> >w < 1, то разность фаз равна p. В этом отношении все происходит в первом приближении также, как и при обычном линейном резонансе. Устойчивость определяется знаком b (b < 0).

_>>(42).

Т.е. те решения, для которых выполняется это условие, устойчивы.

В: (область резонанса , § 3, 4).

В качестве исходного периодического решения, в непосредственной близости к которому устанавливается искомое, будет решение следующего вида: x = P sin t + Q cos t (P, Q - const).

Запишем уравнение, определяющее эти P и Q, т.е. соотношение (31) для нашего случая.

_>>

Или преобразовав их, получим следующее:

_>>

Полагая Р = R sin j; Q = R cos j. Далее найдем для амплитуды R и фазы j для того исходного периодического решения, в близости к которому устанавливается рассматриваемое периодическое решение , соотношения связывающие их :

_>>

Первая формула дает "резонансную поверхность" для амплитуды. Вторая - для фазы. По (38) условия устойчивости имеют вид b < 0, D > 0. Считаем b и D через формулы (35-37).

_>>

(46)

_>>

Т.е. решение является устойчивым, если удовлетворяется условие (**). В заключение выпишем формулы для вычисления a_>о,> соответствующего ширине захватывания для рассматриваемого случая.

1) _> >

a_>0> - является общим корнем уравнений

_> >

2) _> >

Сама ширина Dw, отсчитанная от одной границы захватывания до другой выражается следующим образом: Dw = a_>о> w²_>о> (MS - c r). Можно дать простые формулы для вычисления ширины захватывания в следующих случаях:

а) l²_>о> << 1; Dw = w_>о> Р_>о>/V^о_>g>.

б) для очень сильных сигналов _> > ( V^о_>g >- амплитуда сеточного напряжения при отсутствии внешней силы).

Список литературы

Андронов А.А. Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

Андронов А.А., Витт А. К теории захватывания Ван дер Поля. . Собрание трудов, издательство "Академии наук СССР", 1956.

Ляпунов А. Общая задача об устойчивости движения, Харьков, 1892.

TYPE=RANDOM FORMAT=ARABIC>11