Отображение геометрических структур

Отображение геометрических структур

ABSTRACT

Mapping geometrical arrangements of a fiber space of differential equations, bound mapping of Hopf-Colle is under construction.

Устанавливается изоморфизм отображений Хопфа-Коула (Hopf E, Cole J. D.) [ 1, 2 3 ] и отображений геометрических структур дифференциальных уравнений, что позволяет определить сферы действия геометрического исчисления с соответствующей метрикой. Эта сфера действия соответствующих метрик определяется линейными и нелинейными связями.

Имеется проблема.

В настоящее время геометрии искривленных пространств позволяют извлекать физическую информацию в основном о системах космических и галактических масштабов: релятивистская теория гравитации (ОТО) и новая релятивистская теория гравитации (РТГ), в которых определяется «метрический тензор риманового пространства».

Но геометрия – раздел математики. Геометрическое исчисление имеет силу во всех разделах физики. Примером может служить интегральное исчисление, которое широко используется во всех разделах физики.

С помощью метрического тензора опускают и поднимают индексы у тензоров, находят их абсолютные переносы, определяют ковариантные производные и связности… Итак, посредством определенных в ОТО и РТГ метрических тензоров дважды поднимаются индексы, например, у тензора диэлектрической проницаемости в электродинамике, определяется перенос составляющих вектора электрической напряженности. Каков физический смысл этих действий? Ведь метрические тензоры в ОТО и РТГ – это гравитационные потенциалы!

В материальном мире реализуются многомерные пространства. С каждой физической системой и с каждым процессом ассоциируются соответствующей структуры пространства. Введение многомерных расслоенных пространств возможно во всех разделах физики. И не просто возможно, а геометрии расслоенных пространств составляют основу теорий всех разделов физики.

Геометрические действия с соответствующей метрикой возможно только в рамках соответствующей связи. При переходе к другой связи посредством соответствующих отображений происходит переход и к другой метрике посредством этих же отображений. Введение тензоров (скаляров, спиноров, векторов, тензоров более высокого ранга) производится только относительно соответствующих преобразований обобщенных координат. В физике вводятся многомерные пространства внутренних степеней свободы. Примером пространства внутренних степеней свободы в физике может служить изотопическое пространство, векторы в котором вводятся на основе преобразований координат изотопического пространства. В пространстве внутренних степеней свободы вводятся обобщенные базовые и слоевые координаты.

В качестве демонстрации данных утверждений и рассматривается сформулированная здесь задача.

Отображение Хопфа-Коула связывает два дифференциальных уравнения и их решения [ 1, 2, 3 ]: нелинейное уравнение Бюргерса [ 4 ] и уравнение теплопроводности (диффузии). Эти уравнения отображают соответствующие связи. Этих уравнений мы рассматриваем частные случаи (демонстрируется сам принцип) и обобщаем их на слоевые пространства.

Нелинейное уравнение (3) (см. Табл.) получено из уравнения типа уравнения Бюргерса в классе решений

_>> _> > т.е. _> > (1)

с использованием отображения (2) [ 5 ]:

Отображение геометрических структур

Таблица

Дифференциальное уравнение типа уравнения теплопроводности >> (3) >>-постоянные. >> >> > > > > >> - длина вектора > > в пространстве > > >> >>- постоянная интегрирования. >> >> (5) >> > > >> (10) >> >> >> >> (12) >> >> (5’) >> >>

Дифференциальные уравнения, связанные отображением Хопфа-Коула >> (2) >> - постоянные. слоевые пространства слоевые координаты метрические функции решение дифференциальных уравнений дифференциальные уравнения для метрической функции решения дифференциальных уравнений для метрических функций >> > > >> отображение Хопфа-Коула для метрических функций >> (7) ковариантные слоевые координаты >> > > составляющие метрического тензора >> > > - однородные степени нуль в слоевых координатах. коэффициенты связностей >> > > - однородные степени – 1 в слоевых координатах . длина векторов >> > > условие Эйлера >> выполнение свойства >> (14) дважды ковариантные составляющие метрического тензора >> > >

Уравнение, следующее из нелинейного дифференциального уравнения типа уравнения Бюргерса >> (4) >>- постоянные >> >> > > > > >> - длина вектора > > в пространстве > > >> где > > - постоянная интегрирования и >> >> >> (6) >> (9) >> (11) >> >>(13) >> (6’) >>) >>

Из Таблицы следует, что структура составляющих контравариантных векторов, метрического тензора, связностей сохраняется. Изменяется их конкретное содержание. Отображения Хопфа-Коула меняют длину слоевых координат _> >. Поскольку выполняется условие Эйлера и сохраняется свойство (14),то коэффициенты связностей найдены правильно. Итак, 1)если связь задана дифференциальным уравнением вида (3), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (10) и метрикой (5), 2)если же связь задана нелинейным дифференциальным уравнением вида (4), тогда следует проводить геометрическое исчисление с метрическим тензором (11) и метрикой (6), которые могут быть получены отображением Хопфа-Коула (2).

ЛИТЕРАТУРА

1.Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics/ Quart App. Vath.,1951, 9, pp. 225-236.

2.Hopf T. The partial differential equation _> >Comm. Pure Appl.Math.,1950, pp/ 201-230.

3.Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Перевод с англ. -М.: Мир, 1987, 180 с.

4.Burgers J. M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence/Adv. Appl. Mech, 1948, 1, pp. 171-199.

5.Севрюк В.П. Геометрии расслоенных пространств теории обобщенных криволинейных координат. ВИНИТИ , N 3378-B90 Деп., 145 с.